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第二十章《勾股定理》章节检测卷
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．若三角形的三边长为、、（为正整数），则该三角形的形状（ ）
A．是锐角三角形 B．是直角三角形
C．是钝角三角形 D．根据的值决定
2．如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，坐标系中有两点，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．为了体验人工智能生活，小善想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：、、、、，则其中有（ ）款扫地机可以购买．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形．
问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
8．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元
9．世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
10．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则图中阴影部分（正方形）的面积为_________．
12．如图，分别以 ABC的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则 ABC是______三角形．
13．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的总长度为______．
14．如图，在中，，点为的中点，点在平面内运动，满足，连接，则的面积的最小值为___________．
15．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上．

（1）线段的长为___________；
（2）若 ABC是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有___________个．
16．如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为_____．
17．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线______千米．
18．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示．已知：秋千静止时，踏板离地1尺，将它推送2步（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的曾记一样高，秋千的绳索始终拉得很直．若小明同学根据题意计算出秋千的绳索长为14.5尺，则文中“两步”是____________尺．

三、解答题（8小题，共64分）
19．如图，点O为数轴上的原点，的两条直角边长分别为，，且点A在数轴上，请你在数轴的负半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法）

20．如图， 在 ABC中， 于点， ，，，
(1)求；
(2)求的度数．
21．在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm）
22．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．
(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由；
(2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离．
23．【发现问题】
小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得：
【解决问题】
（1）①则线段长度是 ；
②如果点，点，则线段长度是
【知识迁移】
（2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是 ．
②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是 ．
【拓展延伸】
（3）①代数式的最小值是 ．
②代数式的最大值是 ．
24．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究．
【问题提出】
（1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积；
【深入探究】
（2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积；
【应用】
（3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值．
25．综合与实践：数学课上，同学们以“等边三角形折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断，操作一：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕，把纸片展开，如图（2）；操作二：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕，，，三条折痕的相交于点O，把纸片展开，如图（3）；若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①；②；③，这三种线段和中，线段和最小的是（填序号）________，最小值是 ．
(2)迁移研究：小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片，继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为点O，把纸片展开，如图（4），若，，求点O到点A的距离．
(3)拓展应用：在等腰△ABC中，已知， ABC的面积为10，点O到 ABC三个顶点的距离相等，请直接写出点O到点A的距离．
26．初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．
问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？
(1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来；
(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；
②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；
③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程．
参考答案
一、选择题
1．C
解：，
以、、为三边构成的三角形是钝角三角形，
故选：C．
2．D
解：四边形是矩形，
，，
，
，
，A为，
，
点表示点数为．
故选：．
3．B
解：∵点
∴，，
∴，
故选：B
4．B
解：在中，，
由勾股定理得：，
．
故选：B．
5．D
解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则，，
在中，，即，
∴，
∵扫地机能从角落自由进出，
∴扫地机的直径不大于长，
∴小善可以购买扫地机的尺寸直径可以为、、、，共4款，
故选：D．
6．B
解：如下3个图，点即为所求；

，
四边形为邻等四边形，

，
四边形为邻等四边形，

，
四边形为邻等四边形，
故选：B
7．B
解：∵五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，
∴五种正方形纸片的边长分别是1，，，，，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，1＋4＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2＋3＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，2＋2＝4，围成的三角形是直角三角形，面积是，
∵＞1，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
8．A
解：连接，如图2，
∵，，，
∴
∵，，
∴，
∴
∴，
∴铺满该区域需要的费用为：（元），
故选：A．
9．B
解：设湖水的深度尺，则荷花的长为尺，
在直角三角形中，根据勾股定理得，，
解得，
故选：．
10．C
解：由题意可得：
，
设，
解得，
长方形的面积为．
故选C．
二、填空题
11．100
解：由图可知：阴影部分的面积为；
故答案为100．
12．直角
解：∵，，，
又∵，
∴，
∴，
∴ ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
13．10
解：过作于，
设绳子的长度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
即绳子的长度为．
故答案为：．
14．
解：∵，
∴，
∴点B到的距离为，
∵点为的中点，
∴，
∵点在平面内运动，满足，
∴当面积最小时，点E到的距离为，
∴的面积的最小值为，
故答案为：．
15． 6
（1）解：如图，

由勾股定理得，
故答案为：；
（2）解：如图所示，共有6个，

故答案为：6．
16．
解：正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，是4个全等的三角形，设每个的面积为，
∴，
∴，
故答案为：8 ．
17．
解：
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形且；
设千米，则千米，
在中，由已知得，
由勾股定理得：，
∴，解得x=．
故答案为．
18．10
解：由题意可知，，，
∴，
∴．
在中，，
∴，即文中“两步”是10尺．
故答案为：10．
三、解答题
19．解：的两条直角边长分别为，，
则，
如图，点即为所求作．

20．（1）解：∵，
∴，
∴，；
（2）解：由（）得，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．解：如图所示：
由题意得：（mm），（mm），
在中：（mm），
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm．
22．（1）解：．理由如下：
，
．
∴为直角三角形，
，
；
（2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图，
，
∴．
又，
∴，
．
，
，
在中，，
∴，
根据勾股定理，得，，
∴
解得：．
．
购物车把手点到的距离为．
23．当于图1，点，点，则点，即可求解．
【详解】解：（1）①线段；
②由题意得，线段．
故答案为：①，②；
（2）①如图1，连接 延长交轴于点，则此时的值最大，
故的值最大；
②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则此时最小，
．
故答案为：①，②；
（3）①求代数式的最小值，
相当于图2，点，点，点，则点，
参照图2可知的最小值，
则的最小值为；
②求代数式的最大值，
相当于图1，点，点，则点，
则代数式的最大值为：．
故答案为：①，②．
24．解：（1）由勾股定理得，，
即，
因为，
所以，
由图形可知，阴影部分的面积，
所以阴影部分的面积；
（2）由题意得，，
所以，
因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，
所以，
所以，
（3）由题意可知：，，，，
如解图，连接，
在和中，，
即，
所以．
25．（1）解：∵ ABC是等边三角形,
∴，
∴，，
∴，
∵O是 ABC的重心
∴，
故答案为：③，；
（2）如图1，

连接，
由题意得：是等腰三角形的底的垂直平分线，是得垂直平分线，
∴，，
∴，
设，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴点O到A的距离是；
（3）如图，过点A作，过点B作，
由于点O到等腰三个顶点的距离相等，
是垂直平分线的交点，即点O在上，
当时，
等腰中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CE=AC -AE=2，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
即：点O到A的距离为：，
如图3，

当时，作，交的延长线于D，
由上知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
此时点O到点A的距离为：，
综上所述：点O到点A的距离为：或．
26．（1）解：共有3条路径，如下图：
（2）解：①如图，连接，
根据题意得：，，
∴，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为；
②i)如图，连接，
根据题意得：，，
∴，
ii)此时考虑从A-B-C线路这一情况，
所以这一线路的路程为，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为；
③如图，连接，
根据题意得：，，
∴，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为．

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