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21.3.3正方形
一、单选题
1．如图，在正方形中，为上一点．若，则（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
5．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
6．如图，中国结内包含两个全等的正方形．若两个大正方形的面积均为，重叠部分的小正方形的面积为，则的长为 ．
7．如图，在 ABC中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交 ABC的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形．
8．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ．
9．如图，在正方形中，E为上一点，连接，以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点F，连接，过点F作，分别交于点，若，则的长为 ．
10．已知：点是正方形的边所在直线上的点，过点作交于点，连接，，若的周长为，则的长为 ．
三、解答题
11．如图，，，平分，平分，，，.
(1)求证：四边形是正方形．
(2)连接，若，求线段的长度．
12．已知直线上的点，分别是正方形的边，的中点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，以线段为较长对角线作菱形；
(2)在图2中，将直线绕着点逆时针旋转．
13．已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形．
(3)当时，求证：四边形是正方形．
14．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，．
(1)求证：．
(2)连接，交于点，求的长．
(3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形．
15．在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点．
特例感知】
（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接，求的长度．
16．【课本再现】
如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为2，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．
【问题发现】
（1）①如图1，求证：；
②如图1，四边形的面积为________；线段，，之间的数量关系是________；
【类比迁移】
（2）如图2，点是矩形对角线的中点，点又是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明：
【拓展应用】
（3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点，现要在菱形菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点在上，点在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园边上围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？
参考答案
一、单选题
1．A
解：∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
2．B
解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意，
选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意，
选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意，
选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意，
故选：B．
3．D
解：过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴即：是等腰直角三角形，
∵正方形边长为，
∴，
∴，
设，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
4．C
解：连接，
∵，
∴点E是的中点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长为8，即，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分四边形的面积为16．
故选：C．
5．B
解：如图，由题意可知，，，
，
在和中，
，
∴，故①正确；
∵正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，故②正确；
，故③错误；
，
，
，，
，
，故④正确；
∴①②④正确，
故选：B．
二、填空题
6．
解：两个大正方形的面积均为，
．
小正方形的面积为，
，
．
故答案为：．
7．90°
解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
同理，平分，．
∴．
∵是边的中点，
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
当时，平分，
可得：．
∵，
∴．
又∵，
∴是等腰直角三角形，．
∴矩形是正方形．
故答案为： ．
8．
解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为： ．
9．
解：延长与交于点，
∵，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∵以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即的长为
故答案为：1．
10．或
解：如图，当在上时，
∵，的周长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
如图，当在延长线上时，
∵，的周长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
综上可得：的长为或．
三、解答题
11．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形.
即四边形是正方形.
（2）解：过点E作，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，设，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴.
12．（1）解：如图1，菱形即为所求．
（2）解：如图2，直线即为所求．(作法不唯一)
13．（1）证明：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，；
（2）证明：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）证明：∵，，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形．
14．（1）证明：∵四边形是矩形，
，，
．
，，
．
由旋转，得．
在和中，
，
，
．
，
．
（2）解：在和中，
，
，
，．
在中，由勾股定理，得．
，
．
在中，由勾股定理，得，
．
（3）证明：∵四边形是矩形，，
∴四边形是矩形．
，
，
∴四边形是正方形．
15．解：（1）当，时，
四边形和均为正方形，且为的中点，
如图1，连接，则，，，
，
（），
，
，
；
故答案为：；
（2）如图2，过点作，交于，
四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，，
，，
、均为等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
（），
，
，
；
（3）连接交于，
四边形是菱形，
，即，
，
，
，
当点在线段上时，如图2，过点作于，则，
，
由（2）知：，
，
，
；
当点在线段上时，如图3，
则，
，
，
；
综上所述，的长度为或．
16．解：（1）①证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
②∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
连接，如下图所示：
∵为矩形中心，
∴，
延长交与点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴；
（3）取的中点，连接，过点作于点，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，为等边三角形，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
解得，负值舍去，
，
∴，
∴菱形菜园需要篱笆．

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