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8.1 平方根
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．的平方根为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的算术平方根是（ ）
A．49 B．53 C．7 D．
3．已知，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（ ）
A．n+1 B．+1 C． D．
5.若x是的平方根，则的正的平方根是（ ）
A．1 B． C．1或5 D．1或
6．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（ ）
A．2 B． C．4 D．1
7．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 则以下对|x|的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若开始输入的数据为10，那么第2026步之后，显示的结果是（ ）
A．0.01 B．0.1 C． D．100
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若没有平方根，则x的值可能为 ．
12．若，则 ．
13．已知，若，则的值等于 ．
14．已知实数，满足与互为相反数，则的值为 ．
15．已知，则 ．
16．的平方根是 ．
17．64的算术平方根是 ．
18．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）求下列各数的平方根：
(1)1.69． (2)．
20．（8分）解方程：
(1)； (2)
21．（10分）若是关于的一元一次方程．
(1)求________；
(2)求的平方根．
22．（10分）阅读材料，解答问题：
(1)计算下列各式：
①__________，__________，
②__________，__________．
(2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________．
(3)通过（1）（2），完成下列问题：
①化简：__________．
②计算：__________．
③化简：的结果是__________．
23．（10分）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
(1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
(2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．
24．（12分）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①，②，③，…
(1)观察算式规律，计算，的值．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律．
(3)根据规律，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵，
∴的平方根为，
故选：C．
2．D
解：∵ = 7，
∴ 两边平方得：．
∴ ．
∴ 的算术平方根为 ．
故选：D．
3．B
解：∵，
∴，，
∴，，
解得，，
∴，
故选：．
4．D
解：∵一个自然数的算术平方根是n，
∴这个自然数为，
∴与这个自然数相邻的下一个自然数为，
∴与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是．
故选：D．
5．D
解：∵，
又∵ 是的平方根，
∴或．
当时，，的正的平方根为；
当时，，的正的平方根为．
∴的正的平方根是1或．
故选：D．
6．D
解：与是同一个数的两个不等的平方根，
∴，
解得：，
∴这个数是，
故选：D．
7．A
解：A、∵ ，
∴ ，故该选项说法正确，符合题意；
B、∵，，
∴，故该选项说法错误，不符合题意；
C、∵，
∴在实数范围内无意义，故该选项说法错误，不符合题意；
D、∵，，
∴，故该选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
8．B
解：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
9．C
解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4，
∴两个正方形的边长分别是、2，
∴阴影部分的周长为．
故选C．
10．A
解：根据题意可得：
第1步：；第2步：；第3步：；
第4步：；第5步：；第6步：；
第7步：；第8步：……
∵显示的数是六步一个循环，
∴，
∴第2026步之后荧幕显示的数与第四步相同，显示的结果是，
故选：A．
二、填空题
11．2（答案不唯一）
解：∵没有平方根，
∴，即，
解得，
因此 的值可能为2（或其他小于 2.5 的数）
故答案为：2．
12．
解：由 ，
根据平方根的性质，得：
或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ．
由于 是平方和，具有非负性，即 ，
因此 不成立，舍去；
故 ．
故答案为：．
13．
解：∵，
∴，
，
即x的值等于；
故答案为：；
14．
解：∵与互为相反数，
∴，
∵且，
∴且，
∴，，
∴．
故答案为：．
15．0.338
解：因为，所以，
故答案为：0.338．
16．
解：的平方根是，
故答案为：．
17．8
解：64的算术平方根是，
故答案为：8．
18．
解：由题知，
第1排数的个数为：；
前2排数的总数为：；
前3排数的总数为：；
…，
所以前n排数的总数为，且第n排有个数．
当时，，，
所以，数字是第46排，从左往右的89个数．
因为第第46排有个数，且从右到左依次减小，
则，，
所以．
故答案为：．
三、解答题
19．
（1）解：∵，
∴的平方根是．
（2）解：∵，
∴的平方根是．
20．
（1）解：
；
（2）解：
则或
或．
21．
（1）解：由题意得：，
，
又，
，
；
（2），
，
．
22．
（1）解：①，，
②，．
故答案为：①，；②，
（2）解：∵；，
∴通过计算，我们可以发现．
故答案为：
（3）解：①．
②．
③．
故答案为：①；②；③．
23．
（1）证明：，，，
，8，18这三个数是“和谐组合”，
故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去），
②当时，可得，解得：，经检验符合题意，
③当时，可得，解得：，经检验符合题意．
综上所述，的值为1或100．
24．
（1）解：，
；
（2）解：由题意得，
，
，
，
……
以此类推：；
（3）解：原式
．

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