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第八章《实数》--平方根与立方根
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在( )
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
2．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列结论①是9的平方根；②27的立方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤
4．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．25
5．已知，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
7．如果，，那么约等于（　　）
A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
8．已知，，，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
9．小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．0.512的立方根是 ，的平方根是 ．
12．若为整数，且，则整数的值为 ．
13．古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是 ．
14．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果 ．
15．某计算器上的三个按键的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，若第次按键后，显示的结果是，则输入的数是 ．
三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．
16．（1）计算：；
（2）求的值：．
17．已知的算术平方根是的立方根是．
(1)求与的值；
(2)求的平方根．
18．【实践与探究】
计算：（1） ______， ______， ______， ______．
【归纳与应用】
（2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来；
（3）利用你总结的规律，计算：
①若，则______；②______．
19．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题．
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
(1)上表中，_________，_________．
(2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题．
①已知，则_________；
②已知．若，则_________（用含的代数式表示）．
(3)用语言概括你所发现的规律．
20．【观察】
①
②；
③；
④．
【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________；
（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立；
【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根．
21．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式．
(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵，
又∵
∴
故的值在和之间，
故选：C．
2．B
对于A，表示16的平方根，16的平方根为，故A正确，不符合题意；
对于B，，故B错误，符合题意；
对于C，，故C正确，不符合题意；
对于D，，故D正确，不符合题意．
故选：B．
3．B
解：平方根有正负两个，立方根只有一个实数根，算术平方根为非负根；
①正确，是9的平方根；
②错误，27的立方根是3，不是；
③错误，表示4的算术平方根，不是平方根；
④正确，2的平方根是；
⑤正确，16的算术平方根是4.
故正确的结论是①④⑤.
故选：B．
4．C
解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
故，
则这个正数是：．
故选：C．
5．B
解：∵，
∴，，
∴，，
解得，，
∴，
故选：．
6．C
解：∵的平方根是，
∴，
∴；
∵的立方根是3，
∴，
代入，得，
即，
∴；
∴，
∵144的算术平方根是12，
∴的算术平方根为12．
故选：C．
7．C
解：∵，
∴．
故选：C．
8．D
解：，，
，，
，
，或，，
当，时，；
当，时，，
的值为或，
故选：D．
9．D
解：右图可知：，
∴，
∴；
故选D．
10．D
解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为，
∴第11行从开始，则此行第4个数为；
故选：D．
二、填空题
11．
解：，
，
则的平方根是，
故答案为：，．
12．5
解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
解：∵已知正方体的棱长是1，
∴已知正方体的体积是，
∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍，
∴求作的这个正方体的体积为，
∴求作的这个正方体的棱长为．
故答案为：．
14．
解：根据题意，得，且，
∴，，
∴，
，
故答案为：．
15．
解：由题意知第步结果为，
第步结果为，
第步结果为，
第步结果为，
第步结果为，
第步计算结果为，
第7步计算结果为，
……
运算的结果以，，，，，六个数为周期循环，
∵，
∴第步之后显示的结果为，即，
∴输入的数是．
故答案为：．
三、解答题
16．（1）解：；
（2）解：，
，
，
解得：．
17．（1）解：∵的算术平方根是，
∴，
∴，
解得；
∵的立方根是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴的平方根为．
18．（1）解：，，，；
（2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；
用数学式子表示为：；
（3）解：①当时，，
∴；
故答案为：；
②；
故答案为：．
19．（1）解：由表格可知：，，
则，
．
（2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的；
∴是的10倍；
∴；
②∵264.6是2.646的100倍
∴b是a扩大10000倍得到的
∴．
（3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位．
20．解：（1）；
故答案为：（答案不唯一）
（2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立；
故答案为：0
（3）由（2）知，
，
解得，
，
．
21．（1）解：∵第一个等式；
第二个等式；
第三个等式；
∴根据规律可猜测第五个等式为；
（2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为；
（3）解：依题意，根据规律可化简：
原式
．

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