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第八章《实数》章节复习题
一、单选题
1．在下列实数，，0，，，1.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．30
3．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（ ）
A． B．
C． D．2026
4．在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，则的平方根为（ ）
A．9 B． C． D．
5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6． ； ．
7．已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为 ．
8．已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简 ．
9．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于 ．
10．有一个数值转换器，设计流程如图：
当输入的值为 时，该程序无法输出值
三、解答题
11．计算：
(1)； (2)解方程：．
12.在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
13.已知在两个连续的自然数a和b之间，是c的立方根．
(1)求a，b，c的值．
(2)求的平方根与c的差．
14.观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ．
(3)计算：．
15.如图是一个数值转换器，原理如图所示．
输入x取算术平方根结果是无理数输出y
(1)当输入x值为16时，求输出的y值．
(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
(3)输入x是一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出y，请写出两个符合要求的x值．
16.对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，
观察上述式子的特征，解答下列问题：
(1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：
______________；______________．
(2)当时，______________；当时，______________．
(3)计算：．
17.同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．
运用上述知识，解决下列问题：
(1)若，其中，为有理数，则_________，_________；
(2)如果，其中，为有理数，求的立方根．
18.【观察】
①
②；
③；
④．
【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________；
（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立；
【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵中是无理数，除以有理数2后仍为无理数；
∵ ，是有理数；
∵0是有理数；
∵是无理数；
∵是分数，有理数；
∵1.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）是无限不循环小数，无理数；
∴ 无理数有，，1.010010001…，共3个．
故选C．
2．B
解：∵，
∴，
∵，m，n是连续的两个整数，
∴，
∴．
故选：B．
3．B
解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同，
∵ ，
∴ 第项为负平方根，即.
故选：B．
4．D
解：∵与互为相反数，
且，，
∴且，
∴，解得，
代入，得，
即，解得，
∴，
∴的平方根为．
故选：D．
5．B
解：∵表示的数为，，
∴表示的数为，
∴，
∴表示的数为，
∵，
∴，
∴表示的数为，
∴，
∴表示的数为，
∵，
∴，
∴表示的数为，
∴．
故选：B．
二、填空题
6． 4
解：；
；
故答案为：4，．
7．
解：∵，
∴的整数部分．
∵，
∴的整数部分为2，小数部分．
代入方程得，
整理得，
由于为有理数，为无理数，
∴且，
解得．
∴．
故答案为：．
8．
由图可知，，
∴，，，
∴
．
故答案为：．
9．63
解：已知，，，……，
可归纳出一般形式：．
当时，．
故答案为63．
10．负数或0或1
解：∵负数没有算术平方根，
∴不能输出；
当输入时，算术平方根为0，不是无理数，继续取算术平方根，一直循环进行，不能输出；
当输入时，算术平方根为1，不是无理数，继续取算术平方根，一直循环进行，不能输出；
综上，当输入的值为负数或0或1时，该程序无法输出值
故答案为：负数或0或1．
三、解答题
11．（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
综上或．
12.（1）解：有理数集合：；
（2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}；
（3）解：正实数集合：；
（4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}．
13.（1）解：∵，
∴，
∴，
∵是c的立方根，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根为，
∴的平方根与c的差为或．
14.（1）解：，
故答案为：；
（2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
（3）解：
．
15.（1）解：，为有理数，
，为有理数，
为无理数，
∴；
（2）解：当或或负数时，始终输不出y值．
∵0，1的算术平方根是本身，一定是有理数，
当或1时，始终输不出值，
∵负数没有算术平方根，
∴若输入负数，同样始终输不出值．
综上所述，或1或负数；
（3）解：答案不唯一．
如或或或．
16.（1）解：、，
故答案为：，；
（2）解：当时，，
当时，，
故答案为：，；
（3）解：
．
17.（1）解：由题意可得：
解得：．
故答案为：
（2）解：，
，
．
，为有理数，
，，
解得，，
，
的立方根为2．
18.解：（1）；
故答案为：（答案不唯一）
（2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立；
故答案为：0
（3）由（2）知，
，
解得，
，
．

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