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8.3 实数及其简单运算
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值应在（ ）
A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间
4．如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列各组数中互为相反数的是()
A．与 B．与
C．与 D．与
6．对于的叙述，下列说法正确的是（ ）
A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数
C．它比大 D．它的相反数为
7．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
9．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．设，，，…，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若，则 ．
12．计算 ．
13．若a为实数，则 ．（填“”“”或“”）
14．若，且是无理数，则可以是 （写出一种情况即可）．
15．已知，则实数x的值为 ．
16．一个正方体纸盒体积为80，设正方体的棱长为x，估计（a，b是连续的两个整数），则的值为 ．
17．如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则 ．
18．观察下列各式：

请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1) (2)
20．（8分）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值．
21．（10分）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方．
(1)直接写出，的值，并比较，，的大小．
(2)求的所有可能值．
22．（10分）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）．
(1)如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长．
(2)请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）．
23．（10分）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数．
(1)实数的值是 ；
(2)求的值；
(3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根．
24．（12分）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”．
例如：，为3，4的“平方和数”．
请你根据以上材料回答下列问题：
(1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________；
②5还可以是数_________，_________的“平方和数”．
(2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________；
(3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：，
由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数，
故选：D．
2．C
解：由数轴可知，，，
∴，，，，
，
∴，
∴在这四个代数式中，结果最小的是，
故选：C．
3．C
解：∵，
∴，
∴，则，
∴估计的值应在6到7之间．
故选：C．
4．A
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5．C
解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数．
B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数．
C：∵=，∵=．∴与互为相反数，
D：∵，∴不互为相反数．
故选：C．
6．B
解：、数轴上的点与实数一一对应，是实数，可以用数轴上的点表示，原选项说法错误；
、是有理数，是无理数，有理数与无理数的和为无理数，故是无理数，原选项说法正确；
、∵，
∴，原选项说法错误；
、 的相反数为，原选项说法错误；
故选：．
7．B
解：由题意可知的取值范围是；
当时，，
此时，
解得，
符合题意；
当时，
此时，
不符合题意舍去；
综上所述：；
故选：B
8．C
解：∵点是的中点，
∴，
设点表示的数是，
则，
解得，
则点表示的数是，
故选：C．
9．C
解：∵ 三角形的三边长分别为2, 4, 4，
∴，
∴，
∵ ，，
∴ ，
∴，
又，
故．
故选：C．
10．D
解：∵ ，
，
，
，
∴，
∴，
，
∴，
故选：．
二、填空题
11．
解：，且，
∴原等式可化为．
解得： ．
故答案为：．
12．
解：∵，即，
∴，
故答案为：．
13．
解：∵，即，
∴，
∵，且，
∴．
故答案为：．
14．（答案不唯一）
解：，
故答案为： （答案不唯一）．
15．或
解：由绝对值的性质，可得 或．
解这两个方程，得或．
故答案为：或．
16．9
解：∵正方体的体积公式为，
∴，
解得，
∵，
∴，即，，
∴．
故答案为：9．
17．
由数轴上两点间距离公式，（因），．
已知，故：
解得：
．
故答案为：．
18．（为正整数）
解：根据等式的规律可得：（为正整数）
故答案为：（为正整数）．
三、解答题
19．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．
解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式，
∴，，
解得：，，
则或．
综上所述：的值为或1．
21．
（1）解：∵是的立方根，
∴．
∵的平方根是，的立方根是，
∴当取时，；当取时，．
∴或．
当时，，
∵，
∴；
当时，，
∵，
∴；
综上，；
（2）解：当时，，
∴；
当时，，
∴；
故只有一个值为．
22．
（1）解：阴影正方形的面积为
它的边长为；
（2）解：如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形．
∴大正方形的面积为，则小正方形的对角线长为，
如图，画边长为的正方形，则边长为的小正方形的对角线长为，
∴点即为所求，
23．
（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴
；
（3）解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴的算术平方根为．
24．
（1）解：（1）①∵，
∴数，的另一个“平方和数”为．
②∵，且，
∴还可以是数，的“平方和数”．
（2）解：（2）由题意得
∵平方数具有非负性，
∴，
要使两个非负数的和为，必须两个数都为：
解得 ：，．
（3）解：（3）根据题意，得
当时，；
当时，．
∴或．

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