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8.3《实数及其简单运算》同步练习
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．在实数：，，，，（小数点后每个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．下列命题真命题的个数有（ ）
①无理数是无限小数；②不带根号的数一定是有理数；③实数与数轴上的点一一对应；④0.1的平方根是；⑤平方根等于本身的数是0和1．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
4．实数的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A． B． C． D．
5．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．
6．若，求的值（ ）
A． B． C．7 D．5
7．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．3或7 D．5或7
8．数轴是一种重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，面积为13的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴原点右侧于点P，则点P表示的数为（ ）
A． B． C． D．
9．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的结果是，当输入的值是27时，输出的值是（ ）
A．3 B． C． D．
10．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11． ；
12．比较大小： 1（填“>”“<”或“=”）．
13．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是 ．
14．对于任意两个不相等且乘积为非负的实数，，定义一种新运算：．如，则 ．
15．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为 ．
三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．
16．（1）计算：；
（2）求下列等式中的值：．
17．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．
(1)求出a，b的值；
(2)求的平方根和的立方根．
18．已知，，，，…，．定义：，，，…．
(1)由上可知：___________，___________．
(2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想．
19．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)的值是 ；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
20．我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数．
(1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________；
(2)若与是关于的对称数，求的值．
(3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数．
21．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，
观察上述式子的特征，解答下列问题：
(1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：
______________；______________．
(2)当时，______________；当时，______________．
(3)计算：．
参考答案
一、选择题
1．C
解：无理数指无限不循环小数，
是无限不循环小数，属于无理数；
是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数；
是分数，是有理数；
是整数，是有理数；
（小数点后每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数．
则无理数有个．
故选：．
2．C
①无理数是无限不循环小数，故是无限小数，真命题；
②不带根号的数不一定是有理数，如π是无理数，假命题；
③实数与数轴上的点一一对应，是真命题；
④的平方根是，而，假命题；
⑤平方根等于本身的数：解，得或，但1的平方根是，不都等于1，故只有0满足，假命题．
真命题有2个：①和③．
故选C．
3．B
解：因为，且 ，，
所以 且 ，
，即 ，
，即 ，
，
．
故选B．
4．A
解：∵，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴．
故选：A．
5．C
∵ 正数的两个平方根互为相反数，
∴ ，
即 ，
解得 ．
∴ 平方根分别为 和，
∴ 这个正数为，
∴ 64 的立方根为（因为 ）．
故选：C．
6．C
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
故选：C．
7．B
解：∵，
∴，
∵的算术平方根是，
∴．
∵的立方根是，，
∴．
∴．
故选B．
8．C
解：∵正方形的面积为13，
∴，
∵，
∴，
∵点A表示的数为，点P在点A的右侧，
∴表示的数为：，
故选： C．
9．B
解：当输入的值为8时，，取算术平方根为，有理数则输出的结果为，
当输入的值为27时，，取算术平方根为，有理数则输出的结果为，
故选：B
10．C
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴的“共同体区间”是，
故选：．
二、填空题
11． 3
解：；
．
故答案为：；3．
12．>
∵与1比较大小，且，
∴比较分子与3的大小，
∵（理由：），
∴，
∴．
故答案为：．
13．
解：设最美实数为，则，且，
两边六次方得，
即，
解得：或，
由于为非零实数，
，
，
解得：．
故答案为：．
14．
解：，
故答案为：．
15．1014
解：，
，
，
…
．
原式．
故答案为：1014．
三、解答题
16．（1）解：
；
（2）解：，
开平方得：，
解得：或．
17．（1）解：由题意，，，
∴；
（2）∵，
∴的平方根为，的立方根为．
18．（1）解：，
，
，
故答案为：，．
（2）猜想：．
证明如下：
．
19．（1）解：由题意知：，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，，
∴
；
（3）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，且，
解得：，，
∴，
∴的平方根为：．
20．（1）解：∵与8是关于4的对称数，
∴，
解得；
（2）解：∵与是关于的对称数，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵x、y都是有理数，
∴都是有理数，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴与是关于7的对称数．
21．（1）解：、，
故答案为：，；
（2）解：当时，，
当时，，
故答案为：，；
（3）解：
．

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