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9.2.2用坐标表示平移
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（ ）
A．6，2 B．0，2 C．6， D．0，
3． ABC的顶点坐标分别为，，，将 ABC沿平移，使点A到达点B处，则平移后点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中， ABC内部有一点，若将 ABC先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是 ．
6．如图，已知点 、点 ，将线段AB平移得到线段DC ． 若点A 的对应点是 ，则点B的对应点C的坐标是 ．
7．如图，点的坐标分别为，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，若的面积为6，则点的坐标为 ．
8． ABC在经过某次平移后，顶点的对应点为，若此三角形内任意一点经过此次平移后对应点，则的值为 ．
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．

(1)点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？
10．已知,在平面直角坐标系中， 点，，．
(1)若点A在x轴上，在坐标系中画出 ABC并直接写出m的值；
(2)将线段先向右平移n个单位长度，再向上平移n个单位长度得到线段，其中点A，B的对应点分别是点，．
①若点在y轴上， 求n的值和的面积；
②若， 且的面积为9， 求m的值．
11．在平面直角坐标系中，对于点，若点N的坐标为，则称点N是点M的“n阶智慧点”（其中n为常数）．例如：点的“1阶智慧点”为点，即点N的坐标为．
(1)已知点M的坐标为，求点M的“2阶智慧点”的坐标；
(2)将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点，若点的“阶智慧点”在坐标轴上，求点的坐标；
(3)已知，，在第一象限内是否存在横坐标为整数的点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形的面积为4？如果存在，请你求出k的值；如果不存在，请说明理由．
12．在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，当时，轴，且线段的长为；当时，则轴，且线段的长为．
【实践操作】
（1）若点，且轴，则的长为______；若点，轴，当时，则点Q的坐标为______；
【初步运用】
（2）点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．
①如图，点M，N分别是线段上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的时间为t秒，当轴时，求t的值；
【问题解决】
②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在的左侧，连接交于点D，当时，求的值．（说明：三角形记作的面积记作）
13．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”．
根据上述定义，回答下列问题：
(1)已知点，则它的“双移点”为___________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为_____________；
(2)对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为____________；
(3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标；
(4)若点是点的“双移点”，且在轴上有一点，使的面积为9，请直接写出点的坐标．
14．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足．
(1)如图，求点的坐标；
(2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围；
(3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标
15.在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为．
【实践操作】
（1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ．
②若点轴，，则点的坐标为 ．
【初步运用】
（2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ．
【问题解决】
（3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值．
16.如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接．
(1)请求出点和点的坐标；
(2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；
(3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵在平面直角坐标系中，点平移时，横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减．
∴点先向下平移2个单位长度，纵坐标变为，此时点的坐标为．
再向左平移1个单位长度，横坐标变为．
∴平移后点的坐标为，
故选：C．
2．B
解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，
∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，
∴，
解得，
故选：B．
3．C
解：∵点平移到，
∴点A向左平移了3个单位，向下平移了5个单位，
∵点，
∴平移后点C的坐标为．
故选C．
4．C
解：∵点平移后的对应点的坐标是，
∴ ABC先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
∵点的坐标是，
∴平移后点对应的点的坐标是，即；
故选：C．
二、填空题
5．
点先向左平移4个单位长度，横坐标变为；
再向上平移2个单位，纵坐标变为，
所以点的坐标为．
故答案为：．
6．
解：点平移后对应点，
点的平移规律是先向右平移个单位，再向上平移个单位，
点的对应点的坐标为，
即，
故答案为：．
7．
解：∵点A的坐标为，的面积为6，
∴，
∴，
∵线段平移后得到线段，，
∴点C的坐标为．
故答案为：．
8．
解：∵在经过此次平移后对应点，
∴ ABC的平移规律为：向右平移个单位，向下平移个单位，
∵点经过平移后对应点，
∴，，
∴，，
∴，
即的值为．
故答案为：．
三、解答题
9．（1）解：，．
∵线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，，，
∴，．
（2）解：设秒后轴，
∵轴，
∴点与点的纵坐标相同，
则有，
解得，
时，轴．
10．（1）解：∵点A在x轴上，
∴，
解得，
∴，，；
ABC如图所示；
（2）①解：点A平移后的点坐标为，点B平移后的点坐标为，
∵点在y轴上，
∴，
解得，
∴；
解：∵，
∴点在点C的右侧
∵，
解得：，
∴点坐标为，
∵，
∴点坐标为或，
即或，
解得或．
11．（1）解：由题可知，M的“2阶智慧点”的坐标，即
故答案为：
（2）解：由题可知，即，
的“阶智慧点”，
即，
∵在坐标轴上，
或，
或，
∴或；
（3）解：理由；存在：
∵N为的阶智慧点，，
，
连结，
，
，
，
∵a为正整数，k是正整数
当时，；
当时，；
当时，（舍去）
当时，；
综上所述，或2或3 ．
12．解：（1）∵，轴，
∴；
∵，轴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴或；
（2）①如图，
∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，
∴，
由题意得 ，
∵轴，
∴点的纵坐标相等，
∴，
∴；
②过点A作 轴于点 G，
由题意，得 ，
∴，
设点，
∵，
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．
13．（1）解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，
即点的“双移点”为，
把先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点，
即点的坐标为；
故答案为：，
（2）∵先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，
∴对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为，
故答案为：
（3）∵点是点的“双移点”，
∴点，
设点D的坐标为，
∵的面积为4，
∴
解得或，
∴点的坐标为或；
（4）∵点是点的“双移点”，
∴，
设点的坐标为，
当点在线段的右侧时，
∵的面积为9，
∴
解得，
∴点的坐标为，
当点在线段的左侧时，
∵的面积为9，
当点点在原点时，的面积为，
∴点在原点的左侧，
∴
解得，
∴点的坐标为，
综上可知，点的坐标为或
14．（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，轴于，轴于，
∴，，
由题意得，，，
当点在上，即时，则，
∴
，
∵，
∴，
解得，
∴；
当点在的延长线上，即时，则，
∴，
，
∵，
∴，
解得；
综上，当时，的取值范围为或；
（3）解：设点，则，
∵，，
∴由平移的性质得，，
过点作轴于，如图，
则，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∵点在第三象限，
∴，
∴，
∴，
∴．
15.解：①∵点，点的横坐标为2，轴，
∴的长为，
故答案为：4；
②∵轴，点，
∴设，
∵，
∴，
∴或，
∴点的坐标为或，
故答案为：或；
（2）∵正方形的边长为4，
∴，
∵的坐标是轴，
∴，，
∴，
∴，
∴顶点A的坐标为；
∵正方形，
∴，
∵轴，
∴顶点B的坐标为，即；
故答案为：，；
（3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，
∴，
由题意得，
∵轴，
∴点的纵坐标相等，
∴，
∴．
16.（1）解：∵，，
，解得，
∴点和点的坐标分别为和；
（2）存在．
理由：过作的延长线，垂足为，如图所示：
由题意得点和点的坐标分别为和，
∴ ，
设点坐标为，连接，
∴，
∵，
∴，即，解得，
存在这样的，使得四边形的面积等于；
（3）不变．理由如下：
当点在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，，
过作的延长线，垂足为 ，连接，
∵，，
∴
，
当点运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接，
∴为定值，故其值不会变化．

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