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第8章《 实数》章节测试卷
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．64的立方根是 B．没有立方根
C．立方根等于本身的数是0和1 D．
2．若，则的值分别是（ ）
A．1，2 B． C．－1，2 D．－1，－2
3．在 、、 、 、 、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列说法：
①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若，，，，……，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由，，能确定是两位数；
②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2；
③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．
（提示：，，，）
已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（ ）
A．19 B．15 C．12 D．14
7．在十六进制中，逢十六进一，采用数字和字母共个计数符号．十六进制的符号和十进制的数的对应关系如表所示．
进制
进制
例：，，，则用十六进制表示的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，则正方形的边长可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．6
10．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（ ）
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．② B．②③ C．①②③ D．②③④
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．已知，则_________．
12．若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______．
13．已知，其中为正整数，则的值为______．
14．如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为16时，输出的数值是_____________．
15．如表是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数3，则表示的实数是_________．
1 第1行
第2行
2 第3行
3 第4行
… …
16．已知表示不大于的最大整数，例如．现对69进行如下操作：
（1）对28进行一次操作后变为________．
（2）若正整数进行3次操作后变为2，的最大值为________．
17．每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______·
18．我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论：
①若时，的值有_______个；
②当时，的值为_______．
三、解答题（8小题，共64分）
19．计算下列各式：
(1)； (2)； (3)； (4)．
20．已知的算术平方根是3，的立方根是2，
(1)求，的值．
(2)求的平方根．
21．在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“”连接．
0，，，
________________________．
22．我们知道的立方根是，可以表示为 反之 16 的平方根是，可以表示为 反之 根据立方根和平方根的含义，完成下面问题：
(1)表示的含义是什么？ 表示的含义是什么？
(2)表示的含义是什么？
(3)若 求的值和的平方根．
23．小云的作业中有一道题目如下：
请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接．
(1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________．
(2)请你帮助小云完成剩下的任务．
24．阅读以下材料，解决以下问题：
①和为相邻两个整数，则有：；
②和为相邻两个整数，则有：；
③和为相邻两个整数，则有：．…
(1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______．
(2)猜想并证明结论：
结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______．
证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______，
∴……
请补全小明的证明过程．
(3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值．
25．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①，②，③，…
(1)观察算式规律，计算，的值．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律．
(3)根据规律，求的值．
26．（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
①=　； ②=　；③=　．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、64的立方根是4，故本选项错误，不符合题意；
B、的立方根为，故本选项错误，不符合题意；
C、立方根等于本身的数是0和，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
2．B
∵算术平方根具有非负性，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，，
解得，，
故选：B．
3．C
解：在 、、 、 、 、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数有、 、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）共3个；
故选C．
4．B
解：① ∵ ，
∴ ，
故此说法错误；
② ∵ ，且，
∴ ，
故此说法错误；
③ ∵ ，
∴ 4是16的一个平方根，
故此说法正确；
④ ∵ ，且是5的算术平方根，
∴此说法正确；
⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根，
∴此说法错误；
综上，正确个数为2个．
故选：B．
5．C
解：，；
， ，
，，
……，
由此发现，，
∴，
∴
．
故选：C
6．D
解：①由，，能确定是两位数；
②由205379的个位上的数是9，因为，能确定的个位上的数是9；
③如果划去205379后面的三位379得到数205，而，，由此能确定的十位上的数是5．
即，
∴的每位数上的数字之和为，
故选：D．
7．D
解：∵ （十六进制）（十进制），（十六进制）（十进制），
∴ （十进制），
又∵ 余 ，（十进制）（十六进制），（十进制）（十六进制），
∴ （十进制）（十六进制）．
故选：D．
8.B
解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为，
根据题意，可得，
∴，
∴小美制作的正方体礼盒的棱长为，
∴小美制作的正方体礼盒的体积为，
∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为，
设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，
∴，
∴，
∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，
∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为．
故选：B．
9．B
解：设正方形的边长为，
∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴正方形的边长可能是，
故选：B．
10．D
解：推断①：由表格知，，故，①错误．
推断②：，，因此满足的整数n有241、242、243，共3个，其算术平方根在之间，②正确．
推断③：设，则．因，故，得，③正确．
推断④：由表格，，，故介于15.4与15.5之间．此时离15的距离小于离16的距离，④正确．
综上，合理推断为②③④，
故选D．
二、填空题
11．0.2872
解：已知 ，由于
则．
故答案为：0.2872．
12．
解：由题意得：，
∵，且9的算术平方根是b，
∴，
∴，
故答案为．
13．
解：∵，
∴，即，
∴，
∵，为正整数，
∴．
14．3
解：当时：先计算；再计算；最后计算．
因此输出的数值是3．
故答案为：3．
15．
解：根据给出的数的摆放规律得，
前7行的数的总数为，
第8行第5个数为，
∴表示的实数是，
故答案为：．
16． 5 6560
解：（1），
，
故答案为：．
（2）设三次操作依次结果为、、，其中，
，
(b为整数)，
取时，，
，
，
取时，，
，
，
为整数，故最大值为．验证：当时，，，，符合要求；若，则，，，故不能为．
故答案为：．
17．
解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长，
所以这个表面积为
18． 6 110
解：①当时，为7，8，9，10，11，12一共有6个；
②由，
；可得2个1，4个2，6个3，8个4……，
所以，，
．
故答案为：①6；②110．
三、解答题
19．（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
（3）解：∵，
∴；
（4）解：．
20．（1）解：∵的算术平方根是3，的立方根是2
∴，，
解得，
即，
解得，
（2）解：由（1）得，；
∴，
则的平方根是，
的平方根为．
21．解：各数表示在数轴上为，
根据数轴可知．
故答案为：．
22．（1）表示125的立方根，表示的立方根．
（2）表示的算术平方根．
（3）因为，
所以，
所以，
所以，，
所以．
23．（1）解：
因此在数轴上位于和之间，对应点．
（2）解：将个实数在数轴上表示出来如图所示．
由图可知，．
24．（1）解：∵，
∴，则，
可得，解得
（2）解：结论：
证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设，
∴两边同时平方，得，
∴，
∴．
（3）解：依题意，得，
∴两边同时平方，得，
∴，
∴，
∴．
25．（1）解：，
；
（2）解：由题意得，
，
，
，
……
以此类推：；
（3）解：原式
．
26．（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3;
②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，
∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．
（2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27
（ⅱ）①； ②；③．
故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81．

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