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2024 级高二下 4 月数学阶段性测试参考答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1．A 2．C 3．C 4．A 5．D 6．B 7．B 8．C
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
9．ACD 10．AB 11．AC
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．(－∞，－1)∪(－1，5) 13．－480 14．1820
四、解答题：本大题共 2 小题，共 27 分．
15.（本小题满分 13分）
解：二项式展开式的通项为：
k k k 6))
T ＝Cn(x)n－k(－2 x)kk＋1 3 ＝Cn(－2)kx\f(n－kk3)＝Cn(－2)kx ，k＝0，1，2，…，n．
4 4
第 5项对应 k＝4，系数为 Cn(－2)4＝16Cn；
2 2
第 3项对应 k＝2，系数为 Cn(－2)2＝4Cn．
由已知得\s\up1(4n\s\up1(2n＝563，化简可得 n2－5n－50＝0，
解得 n＝10（n＝－5舍去）． 3分
k 6))
（1）当 n＝10时，通项为 Tk＋1＝C10(－2)kx ，k＝0，1，2，…，10．
故展开式的有理项需满足 30－5k6为整数，所以 k＝0或 6． 5分
0
当 k＝0时，T1＝C10(－2)0x5＝x5，
6
当 k＝6时，T7＝C10(－2)6x0＝210×64＝13440，
故展开式的有理项为 T ＝x51 和 T7＝13440． 7分
（2）方法一：
k
设 k＋1项的系数绝对值为 ak＝C10·2k，k＝0，1，2，…，10．
ak＋1ak＝\s\up1(k＋110\s\up1(k10＝2·10－kk＋1，
令 ak＋1ak＞1得 k＜193． 9分
所以当 k≤6时 ak＋1＞ak，当 k≥7时 ak＋1＜ak．
故 a7最大，即 k＝7时系数绝对值最大． 10分
7 6)) 6)) 6))
此时 T8＝C10(－2)7x ＝120×(－128)x ＝－15360x ，
6))
故展开式中系数绝对值最大的项为 T8＝－15360x ． 13分
方法二：
k
设 k＋1项的系数绝对值为 ak＝C10·2k，k＝0，1，2，…，10．
k k＋1 k k－1
由题意，10 10 10 10 C·2k≥C·2k＋1，C·2k≥C·2k－1．)
解得 193≤k≤223，又 k∈N， 9分
所以 k＝7．
故 a7最大，即 k＝7时系数绝对值最大． 10分
7 6)) 6)) 6))
此时 T 78＝C10(－2) x ＝120×(－128)x ＝－15360x ，
6))
故展开式中系数绝对值最大的项为 T8＝－15360x ． 13分
16.（本小题满分 14分）
(1) 证明：∵ 四边形 ABCD为圆柱 ST的轴截面，
∴ BC为圆 S的直径，∴ BP⊥PC.
∵ 圆柱 ST中，AB⊥平面 BPC，∴ AB⊥PC.
又 BP∩AB＝B，BP，AB 平面 PAB，∴ PC⊥平面 PAB.
又 PC 平面 PAC，∴ 平面 PAB⊥平面 PAC. 4分
(2)解：方法一：
在平面 PBC内作 Bx⊥BC，因为圆柱 ST中，AB⊥平面 BPC，
故以 B为坐标原点，直线 Bx为 x轴，直线 BC为 y轴，直线
BA为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 6分
则 P(5)5，5)5，0)，C(0，35，0)，A(0，0，6)，
→ →
＝λ ＝λ(0，35，－6)＝(0，35λ，－6λ)，
M(0，35λ，6－6λ).
则平面 BMC的一个法向量为 n1＝(1，0，0)，
设平面 PBM的法向量为 n2＝(x，y，z)，
→ →
由上知 ＝(5)5，5)5，0)， ＝(0，35λ，6－6λ)，
则\f(6\r(512\r(555)λy＋（6－6λ）z＝0，解得 x＝2，y＝－1，3\r(56（1－λ）)，
即 n2＝(2，－1，5)λ6（1－λ）)， 10分
由题意，|cos〈n1，n2〉|＝24＋1＋（\f(3\r(56（1－λ）)）2＝10)5，
化简得， 10＝3\r(5)λ6（1－λ）)）2，
又 λ∈(0，1)，解得 λ＝23． 14分
附（以 P为坐标原点建系下的 M点坐标及法向量）：
M(3λ，6－6λ，6－6λ)，
平面 BMC的一个法向量为 n1＝(2，1，0)，
平面 PBM的一个法向量为 n2＝(2λ－2，0，λ)．
附（以 S为坐标原点建系下的 M点坐标及法向量）：
M(0，35λ－532，6－6λ)，
平面 BMC的一个法向量为 n1＝(1，0，0)，
平面 PBM的一个法向量为 n2＝(2，－1，5)λ6（1－λ）)．
方法二：
在平面 BPC内作 PH⊥BC交 BC于 H点，在平面 BMC内作
HN⊥BM交 BM于 N点，连接 NP．
因为 AB⊥平面 BPC，PH 平面 BPC，
所以 AB⊥PH，又 PH⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC 平面 ABC，
所以 PH⊥平面 ABC. 6分
因为 PH⊥平面 ABC，BM 平面 ABC，
所以 PH⊥BM，
又 BM⊥HN，HN∩PH＝H，HN，PH 平面 PNH，
从而 BM⊥平面 PNH，又 PN 平面 PNH，
因此 BM⊥PN，
所以∠HNP为二面角 P－BM－C的平面角. 10分
在 Rt△BPC中，PH＝565，BH＝5125，CH＝535.
在 Rt△ABC中，BM＝81λ2－72λ＋36，HN＝581λ2－72λ＋3672(1－λ)5.
由题意，cos∠HNP＝10)5，
所以 tan∠HNP＝PHHN＝62，
所以 565581λ2－72λ＋3672(1－λ)5＝62，
所以 3λ2－8λ＋4＝0，
所以λ＝23（λ＝2舍去）． 14分
注：如果找到正确的平面角，但没有证明过程或证明过程不正确，后面计算出正确结论，
第 2 问得 5 分.2024级高二下 4月数学阶段测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知向量 a＝(1，2，m)，b＝(m，－4，n)，若 a//b，则 m＋n＝
A．2 B．－1 C．－2 D．－6
2．已知向量 a，b，c不共面，下列选项中的三个向量不共面的是
A．b－c，b，b＋c B．a＋b，c，a＋b＋c
C．a＋b，a－c，c D．a＋b，b＋c，a－c
3．向量 a＝(2，2，0)在向量 b＝(2，0，2)上的投影向量为
A．(2，0，2) B．(2，2，0) C．(1，0，1) D．(1，1，0)
4．若(x2－a)(x＋1)10的展开式中 x9的系数为 30，则 a＝
A．9 B．－9 C．10 D．－10
5．在平行六面体 中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60
°，则 BD1的长为
A．6 B．6 C．2 D．2
6．如图，圆锥 PO的底面圆周上有 A，B，C三点，AB为底面圆 O的直径，
点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若AB＝PO＝2，
则直线 CD和平面 PBC所成角的正弦值为
A. 13 B. 49 C. 659 D. 223
7．下列选项中与 1.026最接近的数为
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
8．某校期中考试要将教室按照六行五列进行布置， 讲台
1 12 13 24 25 前门
其中一个特殊考场需要在最后加上一个座位，如
2 11 14 23 26
图所示．现将甲、乙等 31位考生安排在该考场， 3 10 15 22 27
4 9 16 21 28
则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为 5 8 17 20 29
6 7 18 19 30
A．8693 B．8593 31 后门
C．8393 D．8093
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6 分，部分选
对得部分分，不选或有错选的得 0 分．
9． 如图，在长方体 中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线 DA，DC，
DD1分别为 x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则
A. 点 B1的坐标为(4，5，3)
B. 点 C1关于点 对称的点为(5，8，－3)
C. 点 关于直线 BD1对称的点为(0，5，3)
D. 点 关于平面 ABB1A1对称的点为(8，5，0)
10．若(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10＝a0＋a x＋a x21 2 ＋a 33x ＋…＋a x1010 ，则
A．a0＝10 B．a3＝330
C．a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2046 D．a1－2a2＋3a3－4a4＋…－10a10＝0
→ → → → → → →
11．在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，| |＝2| |＝2| |＝2， ＝λ ＋μ ＋t ，其 中λ
∈[0，1]，μ∈[0，1]，t∈[0，1]，则下列命题正确的是( )
A．当λ＝0，μ＝t时，B1P∥平面 BC1D
B. 当μ＝0且 PA⊥PB时，P点的轨迹长度为π
C. 当λ＝0，μ＋t＝1时，二面角 P－BC－D正切值的最大值为 2
D. 当λ＋μ＋t＝1时，|AP|的最小值为 223
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．向量 a＝(1，2，x)，b＝(－2，－4，2)，若＜a，b＞为钝角，则实数 x的取值范围是▲________．
13．(x2－2y＋z)6展开式中 x4y3z的系数为▲________．（用数字作答）
14．用扑克牌算“24”点是大家喜欢的游戏，游戏规则是：从一副去掉大小王的扑克牌中
任意取出 4张组成一个牌组，将牌面上的数字 2到 10分别视作点数 2到 10，将牌面上
的字母 A、J、Q、K分别视作点数 1、11、12、13．再通过加减乘除四则运算，将 4张
牌面上的点数得出 24点，每张牌只能用一次．如果只考虑牌面点数，不考虑花色，
那么在这个规则下，不同的牌组共有▲________组．（用数字作答）
四、解答题：本大题共 2 小题，共 27 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13分)
已知在(x－3x) 2 )n(n∈N*)的展开式中，第 5项的系数与第 3项的系数之比为 56：3．求:
（1）展开式中的所有有理项；
（2）展开式中系数绝对值最大的项．
16．(本小题满分 14分)
如图，四边形 ABCD为圆柱 ST的轴截面，点 P为圆弧 BC上一点(点 P异于 B，C).
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAC；
→ →
（2）若 AB＝BP＝2PC＝6， ＝λ (0＜λ＜1)，且二面角 P－BM－C的余弦值为 10)5，
求λ的值．

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