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第4章 《因式分解》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．多项式中，各项的公因式是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A． B．
C． D．
3．下列不能用公式法因式分解的多项式是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
5．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．若，，是三角形三边的长，则代数式的值（ ）
A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零
7．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
8．小航是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别表示我、爱、中、华、河、山．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱中华 B．中华河山 C．我爱河山 D．河山中华
9．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　）
A．甲： B．乙： C．丙： D．丁：
10．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（ ）
A．17是和谐数
B．（，是整数）不一定是和谐数
C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数”
D．当时，（，是整数）是“和谐数”
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．多项式的公因式是___________．
12．因式分解：______．
13．已知，则代数式的值为_____．
14．若任意两个连续奇数的平方差一定能被正整数整除，则所有满足条件的正整数的和为____________．
15．对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______．
16．已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为____________．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（6分）分解因式：
(1)； (2)．
18．（6分）简便运算：
(1) (2)
19．（6分）已知：，分别求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
20．（6分）已知，，是 ABC的三边，且．
(1)试判断 ABC的形状．
(2)若，求第三边的取值范围．
21．（8分）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题．
已知二次三项式有一个因式是，求的值．
解法一：设，
，
，解得，
的值为．
解法二：设（为整式），
当，即时，，
把代入，得，
根据上面材料，选择一种方法解答下列各题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求的值；
(2)多项式分解因式后有一个因式是，求的值．
22．（8分）【知识生成】
（1）图形是一种重要的数学语言，它直观形象、简洁概括、有时我们可以借助几何图形来研究代数恒等式，观察图，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，我们可以得到________．
【知识应用】
（2）基于上面的解答，根据图，写出一个代数恒等式：_______________．
（3）利用（）中得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值．
【知识迁移】
（4）类似，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图表示的是一个棱长为的正方体截去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________________．
23．（8分）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：
解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．
(1)上述式子中________，________；
(2)对于一元多项式，必定有f（________）；
(3)请你用“试根法”分解因式：．
24．（12分）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．
例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式．
又如：因式分解．
我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式．
请根据上面的提示和范例解决下面问题：
(1)因式分解：______；
(2)已知，求的值；
(3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方．
25．（12分）阅读材料，回答问题．
材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，．
这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，．
材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，．
已知，求下列问题：
(1)求中的a和b的值；
(2)若，利用因式定理，求此时x的值；
(3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵ 各项系数的最大公约数是，
∵ 多项式各项都含有的相同字母为，
∵ 的最低次幂是，的最低次幂是，
∴ 各项的公因式是．
故答案为：．
2．A
解：∵选项A中，左边是多项式，等式右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，∴本选项符合题意.
∵选项B中，等式右边不是几个整式的积的形式，∴不是因式分解，本选项不符合题意.
∵选项C，选项D的变形是将整式的积化为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，∴这两个选项不符合题意.
3．C
解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式，
∴对各选项分析如下：
A选项：，可用平方差公式因式分解，
B选项：，可用完全平方公式因式分解，
C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解，
D选项：，可用完全平方公式因式分解，
故答案为：C．
4．C
解：∵，
∴
故选：C
5．D
解：∵将展开得,
又∵,
∴,
由得,
将，代入得，符合条件,
∴,
故选：D．
6．B
解：∵
，
又∵，，是三角形三边，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即原代数式的值小于零，
故选：．
7．A
解：∵，，，
∴，
整理得：，
即，
∴，，，
∴此三角形为等腰三角形．
故选：A．
8．A
解：∵
，
对应密码：表示我，表示华，表示中，表示爱
因乘法交换律，顺序可调整为“我、爱、中、华”，即“我爱中华”．
故选：A．
9．C
解：A、甲：，故此选项不符合题意；
B、乙：，故此选项不符合题意；
C、丙：，在有理数范围内不能因式分解，符合题意；
D、丁：，故此选项不符合题意；
故选：C．
10．B
解：A.，
17是和谐数，故该说法正确，不符合题意；
B. ，
（是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意；
C.
，
都是“和谐数”，设，
原式
，
也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意；
D.，
，
当时，（是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意．
故选：B．
二、填空题
11．
解：多项式的公因式是．
故答案为：．
12．
解：，
故答案为：．
13．13
解：
∵ ，
原式，
．
故答案为：．
14．15
解：设这两个连续奇数为和，则
．
因此两个连续奇数的平方差能被8整除．
正整数为8的正约数：1，2，4，8．
这些约数的和为．
故答案为：15．
15．
解：由已知，，，且．
展开得，
即，
因式分解得．
由于和是正整数，且，故，．
又，且，
因此可能因子对为，，．
当，时，解得，．
当，时，联立方程组解得，，不符合为正整数，舍去．
当，时，解得，与联立，得，，，但为正整数，舍去．
故唯一解为，，此时．
故答案为：．
16．7或8或11
解：，满足，
，即
，
解得：．
为正整数，
当时，，当时，，
当时，，若腰为2，则三边为，满足三角形三边关系，周长为7；
若腰为3，则三边为，满足三角形三边关系，周长为8．
当时，，若腰为5，则三边为，满足三角形三边关系，周长为11；
若腰为1，则三边为，但，不满足三角形三边关系，故舍去．
综上，周长为7或8或11．
故答案为：7或8或11．
三、解答题
17．（1）解：
（2）解：
18．（1）解：
（2）解：
19．（1）解：，
，
；
；
（2）解：；
．
20．（1）解：,
，
，
，
，，是的三边，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：由（1）可得，，
当时，三角形的三边为，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边得，，
解得．
21．（1）解：设（为整式）
当，即时，．
把代入，得，
．
（2）解：设（为整式）
当，即时，，
把代入，得，
．
22．（）解：观察图，正方形的面积，正方形的面积，
∴，
故答案为：；
（）解：∵正方形的面积，正方形的面积，
∴，
故答案为：；
（）解：，
∴，
∴的值为；
（）解：∵原几何体的体积，新几何体的体积，
∴．
23．（1）解：依题意，设
∴
解得：，
故答案为：，．
（2）解：∵
其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为
∴
（3）∵
∴多项式中有因式
设
∴
∴，
∴
24．（1）解：（1）将看成整体，令，
则原式，
再将a还原，得到原式，
故答案为：；
（2）∵，
∴
∴
；
（3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数），
则
将看成整体，令，
则原式
，
再将b还原，得到原式，
∵n为整数，
∴为整数，
故式子的值一定是某一个整数的平方．
∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方
25．（1）解：∵，
∴即①
∵，
∴
即②
联立①②得
解得
∴a的值为0，b的值为；
（2）解：由（1）得，
当时，，
，
当时，，
∴是的因式，
当时，，
∴是的因式，
设另一个因式为，
则，
即，
解得，
∵，
∴，
∴或或，
∴x的值为或或4；
（3）解：当，，
当，，
∵能写成某些正整数的平方，
∴，能写成某些正整数的平方，
不妨设①，②（其中，都是正整数），
得：，即，
∵，
且，同奇同偶，且，
所有可能情况如下：
或或或或，
解得或或或或，
此时或或或或，
∵正整数m，
∴或或．

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