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第四章《 因式分解》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列由左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　）
A． B． C． D．
5．下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．若，，则的值为（　　）
A．1 B．3 C．6 D．9
7．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（ ）
A．－5 B．7 C．9 D．21
8．已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（ ）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零
9．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（ ）
A．所有“豫数”都是6的倍数 B．28是“豫数”
C．50是“豫数” D．最小的“豫数”是2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：______．
12．多项式中，各项的公因式是___________．
13．若，则多项式应是______________．
14．若，则的值为_____．
15．2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______．
16．山西平遥推光漆器以“推光、描金、镶嵌”闻名，某非遗工坊接到一批定制漆器礼盒订单，礼盒编号为四位数（，为的整数）．已知符合订单要求的礼盒编号能被15整除，且漆器工坊按编号从小到大依次生产，则生产的合格礼盒最小的编号是______．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（6分）把下列各式因式分解：
(1)； (2)．
18．（6分）利用因式分解进行计算：
(1)； (2)．
19．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得
则
∴
解得：，
∴另一个因式为，m的值为．
问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值；
(2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解．
20．（6分）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
21．（8分）张老师在黑板上写了下列三个式子：
①；②；③．
(1)请结合上述三个式子的规律，写出式子：
④__________；⑤__________；
(2)用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________；
(3)试证明（2）中的规律的正确性．
22．（8分）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”．
(1)通过计算判断45是否为“完美数”；
(2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值．
23．（8分）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下：
一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：．
请仔细阅读材料，回答下列问题：
(1)填空：________；
(2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？
24．（12分）瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解．
解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法．
(1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）
(2)请你按照上述方法分解因式：
(3)应用：已知 ABC的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状．
25．（12分）【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究．
(1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____；
(2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题：
已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为，
∴应提取的公因式为．
故选：C．
2．C
解：A选项：是两个平方项的和，不符合条件；
B选项：，是两个平方项的和的相反数，不符合条件；
C选项：，是两个平方项的差，符合平方差公式形式，可分解为，符合条件；
D选项：中不是平方项，不符合条件．
3．B
解：因式分解的要求是将多项式最终变形为几个整式乘积的形式．
选项A，是将整式乘积变形为多项式，属于整式乘法，不属于因式分解，该项错误；
选项B，将多项式变形为两个整式和的乘积，符合因式分解的定义，该项正确；
选项C，变形后结果不是整式乘积的形式，该项错误；
选项D，变形后结果不是整式乘积的形式，该项错误．
4．A
解：，
∴被遮盖的式子为．
5．A
完全平方公式因式分解的结构要求为 ，逐一判断：
① 对于，
①可以用完全平方公式因式分解；
② 对于，完全平方结构要求中间项应为-2a（3a）（4b）=-24ab≠-20ab，不符合完全平方结构，
②不能用完全平方公式分解；
③ 对于，
③可以用完全平方公式因式分解；
④ 对于，完全平方结构要求中间项为，与原式不符，不能用完全平方公式分解；
⑤ 对于，常数项为负数，无法写成两数平方和的形式，不符合完全平方结构，不能分解；
综上，能用完全平方公式因式分解的多项式有①③共有2个．
6．B
解：∵
，
又∵，，
∴原式．
7．A
解：∵ 小刚分解为，且看错常数项但一次项系数正确，
∴ .
∵ 小明分解为，且看错一次项系数但常数项正确，
∴ .
∴ .
故选：A．
8．A
解：∵ = =
又∵ 为三角形的三边，
∴ ，，，
∴ ，且 ，
∴
∴ 代数式的值一定为负数.
故选：A．
9．C
解：∵，
∴，
∴
；
∴．
10．B
解：设两个连续偶数分别为和（为整数，），
∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差，
∴ 豫数
豫数是乘以奇数．
对选项逐一判断：
A、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误；
B、，符合“豫数”定义，选项正确；
C、不是的倍数，不符合豫数的形式，选项错误；
D、最小的“豫数”是，不是，选项错误．
二、填空题
11．
解：．
12．3xy
解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3；
各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1，
因此公因式为，
故答案为：
13．
解：∵，
∴
.
14．2035
解：∵，
∴
．
故答案为：2035．
15．
解：由题意可得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．8070
解：礼盒编号为四位数，需被15整除，即同时被3和5整除．
由被5整除，可知：或．
若，则被3整除，即是3的倍数，所以，此时最小编号为．
若，则被3整除，即是3的倍数，所以，此时最小编号为8175，均大于8070．
故最小编号为8070．
故答案为8070．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：
．
（2）解：
．
19．（1）解：设另一个因式为，得
则，
∴，
由①得：，
把代入②得：，
∴另一个因式是，a的值为5；
（2）解：设另一个因式为，得
，
则，
∴，
由①得：，
把代入②得：，
∴．
20．（1）解：∵，，
∴
，
，
．
∴
．
（2）解：
．
（3）解：
．
21．（1）解：由已知式子可得④；⑤；
（2）解：由已知式子可得规律为；
（3）证明：
．
22．（1）解：∵，
∴45是“完美数”；
（2）解：
，
∵为“完美数”，
∴，
∴，
∴符合条件的的值为10．
23．（1）解：由题意得，；
（2）解：∵可分解为，
∴，
∴，，
∵、为整数，且，
∴或或或或或或或
∴或或或或或或或
∴整数p的所有可能值为7或或2或．
24．（1）解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法，
第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法，
故答案为：②，①；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，
，
、b、c是 ABC的三边，
，
或，
或，
是等腰三角形或者直角三角形．
25．（1）解：根据题意可知：．
（2）解：∵，且，，
∴需要②号长方体12个，③号长方体6个．
（3）解：；
由题意，得，
整理得，
∵，
∴．
即．
∵为整数，
∴为完全平方数，且，即
又，，故
因而存在下面两种情形：
①当时，；
②当时，．
综上所述，的值为或．

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