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第4章 《三角形》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（　　）．
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事．如图，自行车支架一般都会采用的设计．这种设计方法应用的几何原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短
3．根据下列已知条件，能唯一画出 ABC的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下面是小颖同学四种折纸示意图、其中是 ABC的中线的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在锐角 ABC中， ABC的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在 ABC中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　）
A．是的角平分线 B．为边上的高
C．是边上的中线 D．为的高线
10．如图，在 ABC中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，已知，若要判定，则需增加一个条件为___________ ．
12．如图，，点在线段上，，则的度数为______．
13．如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为______．
14．如图，在 ABC中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________．
15．如图所示，在 ABC中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边________．(用含的代数式表示结果）
16．如图，，，，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与 CQP全等，则的值是_____．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（6分）如图，点A，C，E在同一条直线上，点D在上，且，，．
(1)求的长；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
18．（6分）已知 ABC的三边长分别为，，．
(1)若，满足，求整数的最小值．
(2)化简：．
19．（6分）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、均在格点上，按下列要求画图．
(1)在图①中，以为腰，画一个等腰三角形；
(2)在图②中，找到一个格点，连接、、使与全等．
20．（6分）如图，在 ABC中，是上的中线，点是的中点，连接，．
(1)若，，求的度数；
(2)若 ABC的面积为，，求线段的长度．
21．（8分）为测量公园里古塔底座，两点间的距离（其中，两点均在地面上），数学兴趣小组利用本学期所学的数学知识，分别设计出了如下两种方案：
方案一：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长．
方案二：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长，即可得线段的长．解答下列问题：
(1)请用所学知识证明以上两种方案的合理性；
(2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由．
22．（8分）如图，已知 ABC中，厘米，厘米，点D为 的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．
(1)当点P运动t秒时的长度为______（用含t的代数式表示）；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与 CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与 CQP全等？
23．（8分）在中，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作直角三角形，其中．
(1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离；
(2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：；
(3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为________．
24．（12分）（1）【问题初探】在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：
如图1，在 ABC中，高，交于点F，且，试说明与有怎样的数量关系．
小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．小明判定的依据可能是_______（填序号）．
①SSS ②AAS ③HL ④SAS
（2）【引导发现】李老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：
如图2，在 ABC中，，，平分，交的延长线于点E．
①填空：的度数为_______；
②判断线段与的数量关系，并写出证明过程．
（3）【拓展延伸】如图3，在 ABC中，，，点D在线段上，交的延长线于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系．
25．（12分）数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【初步探索】
如图1，在 ABC中，若，求边上的中线的取值范围．
以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
（1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____；
【灵活应用】
（2）如图2，是 ABC的中线，延长到点，连接，使，求证：；
【拓展提升】
（3）如图3，在 ABC中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出 ABC的面积．
参考答案
一、选择题
1．B
解：对选项A，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意；
对选项B，两短边为，，最长边为，，故不能组成三角形，符合题意；
对选项C，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意；
对选项D，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意．
2．B
解：自行车支架一般都会采用 ABC的设计，
这种设计方法应用的几何原理是三角形的稳定性，
故选：B．
3．B
解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意；
B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一 ABC，故B符合题意；
C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意；
D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一 ABC，故D不符合题意．
故选：B．
4．C
解：A、根据折叠的性质得，，故不符合题意，
B、根据折叠的性质得，，故不符合题意，
C、根据折叠的性质得，则线段是 ABC的中线．故符合题意，
D、根据折叠的性质得，，故不符合题意，
故选：C．
5．B
解：∵，，
∴，
∵A、F、B、D四点在同一直线上，，，
∴．
6．B
解：在 AOB与，
∵，
∴，
∴，
∴ AOB与全等的依据是，
故选：．
7．D
解：在 ABC和 ADE中，
，
∴，故选项A不符合题意；
∴，
∴，即，
∵、，
∴，故选项B不符合题意；
∴，
∴，即，故选项C不符合题意；
无法证明，故选项D符合题意．
故选：D．
8.C
解：如图，在上截取，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图，
即，
∵ ABC的面积为15，
∴，即，
∴．
9．C
解：A．∵，是的角平分线，正确；
B．∵，为边上的高，正确；
C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确；
D．∵，为的高线，正确；
故选C．
10．D
解：∵，，
∴，
在 CAF与中，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
如图，记交于点，的交点为，
∵，
∴，
∴，故②正确，
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，
，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
同理，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故③正确，④正确．
二、填空题
11．（答案不唯一）
解：添加条件，
由题意得，，，
在 ABC和中，
，
∴，
故可添加条件，利用证明．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．7
解：∵、是的高，
，
，，
，
∵在和中，
，
，
，，
∴，
．
故答案为：7．
14．8
解：如图，作交延长线于点．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
在 ABC和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴（负值已舍）．
故答案为：．
15．
解：设，由，得．
∵沿着折叠得到，
∴，
则，解得，
∴．
∵与同高(从点到的高)，
∴面积比等于底边比，即，
即，
∴．
故答案为：．
16．或4
解：由题意知，，，
，，
①当时，
，
，
；
②当时，
∴，
，
，
综上，当的值是或4时，能够使与全等，
故答案为：或4．
三、解答题
17．（1）解：∵，，，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）解：，
，．
，．
根据三角形三边关系，可得，即．
为整数，
的最小值为3．
（2）解：根据三角形三边关系，可得，，，
．
19．（1）解：如图①中，即为所求(答案不唯一)；
（2）解：如图②中，点D即为所求．
20．（1）解：，
，
，
，
，，
；
（2）解：是 ABC的中线，
，
点是的中点，
，
，
，
．
21．（1）证明：方案一：
在与中，
，
∴，
∴；
方案二：
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）
解：我会选择方案一，理由如下：方案一仅需使用刻度尺测量长度，工具简单、操作便捷；而方案二除刻度尺外，还需使用测角仪测量角度，工具和操作相对复杂．
22．（1）解：，则；
（2）解：当时，，
∵，点D为的中点，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和 CQP中，
，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴当，时，，
∴点P，点Q运动的时间秒，
∴厘米/秒．
23．（1）解：作交于，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为1．
（2）解：作交直线于，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：由图可知，点在射线上运动过程中，点在射线上运动，
下面分2类情况讨论：
若点在线段上，同（2）作辅助线，
由（2）得，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
若点在延长线上，同（2）作辅助线，
同①可得：，
设，则，
∴，，
∴，
解得：
∴．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
24．（1）解：高，交于点F，
、
在和中
故答案为：②；
（2）①解：，，平分，
、
故答案为：；
②，证明过程如下：
证明：如图，延长交的延长线于点M，
在和中
平分
在和中
；
（3）解：，理由如下：
如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于点H，
、
、
，
在和中
在 BDE和中
．
25．解：（1）如图1：先延长至点，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
∵线段的长度为整数，
∴．
故答案为：，2．
（2）证明：如图：延长到点F，使，连接．
∵是 ABC的中线，
∴，
在和中，
∴．
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）如图3：延长到点E，使，连接．
∵点D是的中点，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在 ABC和中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴AC=12．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ABC的面积为．

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