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2026年中考数学总复习第3期：函数图象与性质
重点知识链接
知识点1 一次函数的图象与性质
表达式 (特别地,当b=0时,y=kx为正比例函数,图象为过原点的一条直线)
k决定图象的倾斜方向和增减性 k>0:从左向右看图象呈上升趋势，у随x的增大而增大 k<0:从左向右看图象呈下降趋势，у随x的增大而减小
b决定图 象与y轴的交点位置 b>0:交点在正半轴 b<0:交点在负半轴 b>0:交点在正半轴 b<0:交点在负半轴
图象 （草图） (k>0，b>0) (k>0,b<0) (k<0,b>0) (k<0,b<0)
所在象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限
与坐标轴的交点坐标 一次函数的图象与x轴交于，与y轴交于（0，b）
知识点2 一次函数图象的平移
平移前的函数解析式 平移方式（m>0） 平移后的函数解析式 规律
y=kx+b (k≠0) 向左平移m个单位长度 y=k(x+m)+b 左加 右减，只给x加减
向右平移m个单位长度 y=k(x-m)+b
向上平移m个单位长度 y=kx+b+m 上加 下减，给等号右边整体加减
向下平移m个单位长度 y=kx+b-m
知识点3 反比例函数的图象与性质
反比例函数(k为常数，k≠0)，的值恒为k
图象 （草图） k>0 k<0
所在 象限 第一、三象限 (x,y同号) 第二、四象限 (x,y异号)
增减性 在每一象限内，y随x的增大而减小 在每一象限内，y随x的增大而增大
知识点4 反比例函数的图象特征
1.关于直线y=x,y=-x 成轴对称,关于原点成中心对称；
2.图象无限接近坐标轴,但不与坐标轴相交,即x≠0,y≠0.
知识点5 与k的几何意义有关的图形面积
图形
面积 (，关于原点对称)
知识点6 二次函数的图象与性质
二次函数(a,b,c为常数，a≠0)
开口方向 开口向上 开口向下
图象 (草图不唯一)
对称轴 1.对称轴为直线； 2.运用配方法将其解析式转化为顶点式，则其对称轴为直线x=h
顶点坐标 1.顶点坐标为； 2.运用配方法将其解析式转化为顶点式，则其顶点坐标为(h，k)
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小
最值 当时，y有最小值，为 当时，y有最大值，为
知识点7 二次函数图象与系数a，b，c的关系
a，b 决定对称轴位置 b=0 对称轴为y轴
a，b同号 对称轴在y轴左侧
a，b异号 对称轴在y轴右侧
c决定与y轴的交点位置 c=0 抛物线过原点
c>0 抛物线与y轴交于正半轴
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
决定与x轴交点个数 =0 与x轴有唯一的交点(顶点)
>0 与x轴有两个交点
<0 与x轴没有交点
知识点8 　二次函数图象的平移
平移前的函数解析式 平移方式（m>0） 平移后的函数 解析式 规律
+ 向左平移m个单位长度 + 左加右减,只给x加减
向右平移m个单位长度 +
向上平移m个单位长度 ++ 上加 下减，给等号右边整体加减
向下平移m个单位长度 +-
知识点9 用二次函数解决实际问题
类型 步骤
抛物线型问题 (1)恰当地建立平面直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数的解析式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出解析式； (5)利用二次函数的性质来解决问题
利润问题 (1)审清题意，弄清题中已知量有几个数量关系； (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量(函数值); (3)列函数解析式，根据题中的等量关系式列式，这就是二次函数； (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题； (5)检验所得解是否符合实际情况，即是否为所提问题的答案； (6)写出答案
动点问题
几何图形面积问题
知识点10 基本关系式
利润问题 总售价=单价×销量 利润=售价-进价=进价×利润率 总利润=单件利润×销量
行程问题 路程=速度×时间
易错点/方法梳理/解题技巧
1. 在一次函数y=kx+b中：
①忽略 k≠0 这一条件,在一次函数的表达式中要注意 k≠0,当 k=0 时，不是一次函数；
②快速确定函数图象草图的方法：
先看k：k>0,，图象，k<0，图象；
再看b：b>0，图象与y轴交于正半轴，b=0，图象过原点，b<0,图象与y轴交于负半轴.
2.在反比例函数中：
①确定反比例函数表达式要注意结合图象确定“k”的正负
号；
②比较函数值大小时，由于x≠0，所以不能盲目仅利用增减性，而忽略区分象限.
3.在二次函数中：
①a不能为 0，否则就不是二次函数;
②在求顶点坐标、判断图象与x轴交点时，要注意连同系数的符号一同带入，避免因漏掉符号而出错，同时，在求函数图象与x轴交点问题时，记得根据的值进行分类讨论，确保解的准确性.
4.二次函数实际应用的解题方法
（1）抛物线型问题
抛物线型问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等.解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义.
①判断抛球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方；
②判断投篮是否能投中即判断篮筐是否在球的运动轨迹所在的抛物线上；
③判断货车是否能通过隧道即判断车顶两端点的坐标是否在抛物线的下方；
④判断船是否能通过拱桥即判断船顶两端点的坐标是否在抛物线的下方；
⑤判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高大.
（2）销售利润问题
①根据题意找出或列出“成本”、“售价”、“销量”所表示的数或代数式；
②根据“总利润=(售价-成本)×销量”或“总利润=售价×销量-总成本”列函数关系式；
③根据题干信息及实际意义，确定自变量x的取值范围；
④通过配方法将函数关系式化为顶点式，根据函数增减性求得在自变量取值范围内的最值.
（3）几何图形面积问题
几何面积问题的解题步骤：
①根据几何图形的性质，找变量；
②确定变量与该图形周长或面积之间的关系，用变量表示出其他边的长；
③确定二次函数的解析式，化为顶点式即可求得面积最值.
原创题练习
1.若一次函数y=kx+b（kb≠0）的图象经过第一、二、三象限，则一次函数y=bx-k的图象经过
A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限
C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限
2.已知二次函数y=mx2-2mx+n(m≠0)有最小值，点A(x1，y1)是该函数对称轴左侧图象上的点，点B(x2，y2)是对称轴右侧图象上的点，若x1+x2＜2，则下列关于y1与y2大小关系表述正确的是
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1≥y2 D.y1≤y2
3.在观察某细胞分裂的实验中，细胞的总面积S(单位：μm2)随时间t(单位：h)的变化如下：在0≤t≤2时，S与t可近似看成一次函数关系；当t＞2时，S与t的函数关系满足S=+m（k≠0），已知细胞的总面积S随时间t的变化的函数图象如图所示，则下列说法错误的是(　　)
第3题图
A.当0≤t≤2时，t每增加1 h，细胞的总面积增加10 μm2
B.当t＞2时，细胞总面积S随t的增大而减小
C.当S=20时，t=3
D.当t=1.5时，细胞总面积为25 μm2
4.如图，点A在y轴的正半轴上，以OA为边在OA左侧作菱形OABC，且∠AOC=60°，反比例函数y=(k≠0，x＜0)的图象经过点C，若菱形OABC的面积是12，则k的值为　　　　.
第4题图
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上且OA＝2，OC＝3，D是BC上的一动点(点D不与点B，C重合)，过点D的反比例函数y＝(x＞0)的图象与AB交于点E，连接DE，CE，则△CDE面积的最大值为　　　　.
第5题图
6.2025年2月7日，“冰雪同梦，亚洲同心”第九届亚冬会在哈尔滨开幕，“滨滨和妮妮”是亚冬会上的吉祥物，因此某经销商购进了一批该吉祥物玩偶，进价为每对20元，销售单价不低于进价且不高于40元，在销售过程中发现，日销售量y(对)与销售单价x(元)满足一次函数关系，其部分对应数据为(25，90)(27，86).
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商某天想获得800元的利润，则该天应将销售单价定为多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
挑战题
7.同学们进行抛球训练，如图，在平面直角坐标系中，点M(m，0)处有一倾斜角为45°的斜坡MN，小明从y轴上的点A处朝着斜坡抛出一个弹力球(看成点)，其运动轨迹是抛物线G1：y=﹣x2+bx+1的一部分，抛物线G1的最高点Q的纵坐标为5，G1的对称轴在y轴右侧.弹力球落到斜坡上的点B处并向左侧被弹起，运动路线是抛物线G2的一部分，最终落在x轴上的点C处，G2的对称轴在点B左侧，且G1与G2的形状相同.
(1)求抛物线G1的解析式；
(2)当m=6时，求点B的坐标；
(3)当点A，B在同一高度上，且抛物线G2的最大高度是抛物线G1最大高度的时，现有一圆柱形桶，桶的最左侧恰好在原点的正上方，桶的直径和高度均为1(桶的厚度忽略不计)，若将圆柱形桶向右平移t个单位长度后可接住从点B处弹回的弹力球，求t的取值范围.（球碰到上边缘会弹出）
第7题图
答案解析
1.B【解析】∵一次函数y=kx+b（kb≠0）的图象经过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，∴一次函数y=bx-k的图象经过第一、三、四象限.
2.A【解析】∵二次函数y=mx2-2mx+n(m≠0)有最小值，∴二次函数图象开口向上，由题意知二次函数对称轴为直线x=-=1，设C(x0，y1)与A(x1，y1)关于对称轴对称，则有=1，则有x1=2-x0，∵x1+x2＜2，∴2-x0+x2＜2，解得x2＜x0，∵二次函数图象开口向上，且点C(x0，y1)、B(x2，y2)在对称轴右侧，故有y1＞y2.
3.C【解析】∵当0≤t≤2时，S与t可近似看成一次函数关系，故设表达式为S=at+b（a≠0），将点（0，10），（2，30）代入，得，解得，∴S=10t+10，故A选项说法正确；观察函数图象可知当t＞2时，细胞总面积S随t的增大而减小，故B选项说法正确；当0≤t≤2时，若S=20，则t=1，当t＞2时，若S=20，根据题图可知，t=3，∴当S=20时，t=1或3，故C选项说法错误；当t=1.5时，S=10×1.5+10=25，故D选项说法正确.
4.-6【解析】如解图，过点C作x轴的垂线，垂足为D，∵∠AOC=60°，∴∠COD=30°，设CD=a，则OC=2a，∴在Rt△COD中，OD===a，∵四边形OABC是菱形，∴AO=OC=2a，∵菱形OABC的面积是12，∴S菱形OABC=AO·OD=2a×a=2a2=12，∴a2=2，∵反比例函数y=(k≠0，x＜0)的图象经过点C，∴|k|=OD·CD=a×a=a2=×2=6，∵反比例函数的图象位于第二象限，∴k＜0，∴k的值为-6.
第4题解图
5.【解析】∵四边形OABC是矩形，OA＝2，OC＝3，∴S矩形OABC＝OA·OC＝6，点B（3，2），点D的横坐标为3,AB⊥BC，点E的纵坐标为2，∵D是BC上的一动点（点D不与点B，C重合），∴0在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴E(，2)，D(3，)，∴CD＝，BE＝3-，∴S△CDE＝CD·
BE＝××(3-)＝-k2＋＝-(k-3)2＋.∵-＜0，06.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，将(25，90)，(27，86)代入y=kx+b中，
得，
解得，
∴所求函数关系式为y=-2x+140.
∵销售单价不低于进价且不高于40元，
∴20≤x≤40，
答：y与x的函数关系式为y=-2x+140(20≤x≤40)；
(2)依题意得(x-20)(-2x+140)=800，
化简得，x2-90x+1800=0，即(x-30)(x-60)=0，
解得x1=30，x2=60.
∵由(1)知20≤x≤40，
∴x2=60舍去，
答：若某天该经销商想获得800元的利润，则该天应将销售单价定为30元，
(3)设每天的销售利润为W，W=(x-20)(-2x+140)=-2x2+180x-2 800=-2(x-45)2+1 250，
∵-2＜0，20≤x≤40，
∴当x=40时，W取得大值，此时W=-2(40-45)2+1 250=1 200元.
答：当销售单价定为40元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是1 200元.
7.解：(1)∵抛物线G1：y=﹣x2+bx+1的最高点Q的纵坐标为5，
∴=5，
∴b=±2.
∵抛物线G1的对称轴在y轴右侧，
∴b=2，
∴抛物线G1的解析式为y=﹣x2+2x+1；
(2)当m=6时，设点B的纵坐标为n，
∵MN是倾斜角为45°的斜坡，
∴点B的横坐标为6+n.
由(1)知，抛物线G1的解析式为y=﹣x2+2x+1，
将B(6+n，n)代入，
得n=﹣(6+n)2+2(6+n)+1，
解得n1=﹣4-4(舍去)，n2=﹣4+4，
∴6+n=6+(-4+4)=2+4，
∴点B的坐标为(2+4，﹣4+4)；
(3)由(1)知，抛物线G1的解析式为y=-x2+2x+1，
令x=0，得y=1，
∴A(0，1).
∵点A，B在同一高度上，
∴B(m+1，1).
将B(m+1，1)代入y=﹣x2+2x+1中，
得1=﹣(m+1)2+2(m+1)+1，
解得m=-1(舍去)或m=7，
∴B(8，1).
∵抛物线G2的最大高度是抛物线G1最大高度的，
∴抛物线G2的顶点的纵坐标为5×=.
∵G1与G2的形状相同，
∴可设抛物线G2：y=﹣(x-h)2+.
将点B(8，1)代入y=﹣(x-h)2+，
得1=﹣(8-h)2+，
解得h1=11(舍去)，h2=5，
∴抛物线G2的解析式为y=﹣(x-5)2+，
将y=1代入y=﹣(x-5)2+，
得﹣(x-5)2+=1，
解得x=2或x=8(舍去).
∵圆柱形桶的直径为1，球落入桶中，
∴t的取值范围为1＜t＜2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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