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2026届高考物理二轮复习专题讲义——配速法的应用
带电粒子在磁场、重力场（或电场）中运动时，洛伦兹力随速度变化，轨迹既不是直线也不是标准圆周，牛顿运动定律根本无从下手。此时考虑用配速法能很容易解决
配速法的核心本质，是运动的合成与分解，核心思路是“化繁为简”——通过构造两个分速度，让一个分速度的洛伦兹力平衡恒力（重力、电场力或其合力），另一个分速度的洛伦兹力单独提供向心力做匀速圆周运动，最终实际运动就是“匀速直线运动+匀速圆周运动”的合运动（轨迹多为摆线），把复杂变加速曲线运动转化为两个基础运动来求解。
配速法的5步通用实操流程（所有题型都适用）：①定恒力（明确需要平衡的重力、电场力或等效合力）；②配平衡速度（构造分速度，使洛伦兹力与恒力等大反向）；③补圆周速度（根据初速度情况，补充分速度使矢量和与实际初速度一致）；④分解运动（拆分匀速直线和匀速圆周运动）；⑤合成分解量（矢量合成求实际速度、位移等）。
一、基础题型：初速度为零
适用场景：带电粒子在“磁场+重力场”“磁场+电场”或“磁场+重力场+电场”中由静止释放，仅受恒力和洛伦兹力，做复杂曲线运动（摆线）。
核心逻辑：初速度为0，无法直接分解，需“人工构造”两个等大反向的分速度，一个用来平衡恒力，一个用来做匀速圆周运动，合速度仍为0，贴合初始状态。
1. 典型模型（磁场+电场/重力场，最常考）
1.真空中有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，方向竖直向上，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外在此空间中建立竖直面内的直角坐标系xoy有一个质量为m、电量大小为e电子（重力不计），从坐标原点O由静止开始运动，如图甲所示，其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为P，与x轴的第一个交点为Q.该运动可分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动，如图乙所示。求：
（1）摆线的最低点P到x轴的距离；
（2）电子在摆线最低点P的速度大小；
（3）每一段摆线的宽度大小。
配速步骤（严格按5步走）：
① 定恒力：待平衡的恒力为电场力，方向竖直向下；
② 配平衡速度：构造水平向右的分速度v1，由洛伦兹力平衡电场力，即ev B = mg，解得v =eE/(qB)（方向由左手定则判断：负电荷，洛伦兹力向上，速度方向水平向右）；
③ 补圆周速度：初速度为0，需补一个与v 等大反向的分速度v （水平向左，v = v = eE/(qB)），保证v + v = 0；
④ 分解运动：粒子实际运动 = 水平向右的匀速直线运动（速度v ，合外力为0） + 水平向左的匀速圆周运动（速度v ，洛伦兹力提供向心力）；
⑤ 合成分解量：圆周运动半径r = mv /(eB) = mE/(eB )，周期T = 2πm/(eB)（与速度无关）；实际速度为v 与v 的矢量和，轨迹为标准摆线（类似轮子滚动时边缘点的运动轨迹）。
2. 延伸模型（磁场+重力场/电场叠加）
若为“磁场+重力”：恒力为重力力mg，构造分速度v = mg/eB（方向由左手定则判断，使洛伦兹力与电场力平衡），补v = v （反向），合运动为摆线，周期T = 2πm/(eB)（与电场强度无关）；
若为“磁场+重力场+电场”：先将重力和电场力合成“等效重力” ，构造v = G'/(qB)（方向与等效重力垂直，使洛伦兹力平衡等效重力），补v = v （反向），合运动为斜向摆线，本质与基础模型一致，只是将“重力”替换为“等效重力”即可。
实战小技巧：
初速度为零的配速，核心是“平衡恒力”，只要找到需要平衡的力，就能快速算出v 和v ，剩下的就是匀速直线和圆周运动的基础计算，不用纠结复杂轨迹，记住“分运动独立求解，再合成”即可。
2．如图所示，平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴方向水平向右，坐标系xOy所在的空间有一正交的匀强电磁场，匀强电场方向竖直向下，场强大小为E；匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。一质量为m的小球（可视为质点）带正电荷，所带电荷量为q，小球以大小不同的初速度从坐标原点O沿x轴正方向对准x轴上的A点射出。不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）若小球做直线运动通过A点，求此时小球的初速度大小v0；
（2）若小球的初速度大小v≠v0，射出小球后，小球会经曲线运动通过A点，求A点的坐标值xA；
（3）若小球从O点由静止释放，求小球运动过程中可达到的最大速率vm和小球到x轴的最大距离H。
二、进阶题型：初速度不为零（水平方向）
适用场景：带电粒子初速度沿水平方向，在复合场（多为磁场+重力场）中运动，初速度v ≠ 0，洛伦兹力与恒力不共线，轨迹为复杂摆线（或退化为圆周运动）。
核心逻辑：初速度不为零，无需构造反向分速度，直接将初速度v 分解为“平衡速度v ”和“圆周速度v ”，即v = v + v （矢量合成），其中v 用来平衡恒力，v 用来做匀速圆周运动，简化计算。
典型模型（磁场+重力场/电场，带正电粒子）
（多选）3．带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若正带电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上有两个大小相等、方向相反速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为+q，磁感应强度为B（范围无限大），重力加速度为g，小球由静止开始下落，则以下猜想正确的是（　　）
A．MN两点间的距离为
B．小球在运动过程中机械能不守恒
C．小球下降的最大高度为
D．小球的加速度大小恒为g
配速步骤：
① 定恒力：仍为重力mg，竖直向下；
② 配平衡速度：v = mg/(qB)，方向水平向右（与初速度同向），洛伦兹力竖直向上，平衡重力；
③ 补圆周速度：由v = v + v ，得v = v - v （矢量差，方向由v 与v 的大小关系决定）；
④ 分解运动：实际运动 = 水平向右的匀速直线运动（速度v ） + 以v 为速度的匀速圆周运动（洛伦兹力提供向心力）；
⑤ 合成分解量：圆周运动半径r = mv /(qB)，周期T = 2πm/(qB)，实际速度、位移由两个分运动矢量合成。
3种临界情况：
（1）. 当v = v = mg/(qB)时：v = 0，圆周运动消失，粒子仅做水平向右的匀速直线运动（摆线退化为直线），合外力为零；
（2）. 当v < v 时：v 方向水平向左（v = v - v ），合运动轨迹在匀速直线运动方向（水平向右）下方摆动，粒子水平方向速度可能反向；
（3）. 当v > v 时：v 方向水平向右（v = v - v ），合运动轨迹在匀速直线运动方向（水平向右）上方摆动，粒子水平方向速度不会反向。
（多选）4．如图质量为m、电荷量为q的带正电粒子（忽略粒子重力），以速度v0沿OO′方向垂直射入相互正交的竖直向下的匀强电场E和水平向里匀强磁场B，经过该区域中的P点的速率为vp，此时侧移量为s，若，下列说法中正确的是（　　）
A．带电粒子在P点的速率vp＝
B．带电粒子的加速度大小恒为
C．若，粒子从射入该区域到P点所用时间至少
D．粒子在运动过程中洛伦兹力始终小于电场力
三、难点题型：初速度不为零，且与水平或竖直方向成某一角度
适用场景：带电粒子初速度v 与水平方向成θ角（θ≠0°、90°），在复合场中运动，轨迹为斜向摆线，难度最大，但掌握方法后可快速突破。
核心逻辑：先将斜向初速度v 正交分解为水平分量和竖直分量，再按“初速度不为零（水平）”的思路，构造平衡速度v ，补圆周速度v ，最终分解为“匀速直线运动+匀速圆周运动”，关键是“正交分解+矢量合成”的灵活运用。
典型模型（磁场+电场，带正电粒子）
5、如图所示，第一象限内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E（E未知），第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场及竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从x轴上的A点以初速度垂直于x轴射入电场，经y轴上的P点进入第二象限。已知第二、三象限内磁感应强度的大小均为，A点的横坐标为，P点的纵坐标为L，不计粒子重力。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）粒子进入第二象限的磁场区域后，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离；
（3）粒子第一次在第三象限运动过程中与x轴的最远距离。
配速步骤（分两步，先分解初速度，再配速）：
第一步：分解初速度v
第二步：按配速法5步流程操作
① 定恒力：② 配平衡速度：③ 补圆周速度：④ 分解运动⑤ 合成分解量
解题关键：
斜向初速度的配速，核心是“先正交分解初速度，再单独处理水平方向的配速，竖直分量直接作为圆周速度的竖直分量”，不用纠结整体轨迹，重点关注两个分运动的矢量合成，尤其是速度极值和临界位置（如最高点、最低点）的速度计算。
四、配速法通用易错点+高分技巧
1. 易错点汇总（避开这些坑，少丢分）
① 忽略恒力的平衡：配速的核心是“平衡恒力”，若忘记构造v ，直接用初速度算圆周运动，必错；
② 方向判断错误：洛伦兹力方向由左手定则判断，注意正、负电荷的区别，以及v 的方向必须使洛伦兹力与恒力反向；
③ 矢量合成错误：分速度、分位移的合成的是矢量，需用平行四边形定则，不能直接代数相加；
④ 混淆周期与速度的关系：圆周运动的周期T = 2πm/(qB)，与圆周速度v 无关，仅由粒子质量、电荷量和磁感应强度决定，这是高考常考的隐含条件。
2. 高分技巧（快速解题，节省时间）
① 牢记“5步流程”：定恒力→配v →补v →分解运动→合成分量，所有题型都按这个思路走，不会乱；
② 记住核心公式：v = F恒/(qB)（F恒为重力、电场力或等效合力），r = mv /(qB)，T = 2πm/(qB)，直接套用，不用重新推导；
③ 临界问题优先看v ：无论初速度如何，v 都是固定值（由恒力和磁场决定），抓住v 与初速度水平分量的关系，就能快速判断轨迹和临界状态；
④ 特殊位置速算：最高点、最低点的速度，可直接通过分速度同向/反向合成，不用复杂计算（如初速度为零时，最高点速度v - v = 0，最低点速度v + v = 2mg/(qB)）。
五、实战例题
练习6（初速度为零）
在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求：
（1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v。
（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym。
（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E＞mg/q）的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率vm。
练习7（初速度不为零，水平方向）
根据牛顿力学经典理论，只要物体的初始条件和受力情况确定，就可以预知物体此后的运动情
（1）如图1所示，空间存在水平方向的匀强磁场（垂直纸面向里），磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为+q的带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，经过M点时速度的大小为v，方向水平向左。不计粒子所受重力。求粒子做匀速圆周运动的半径r和周期T。
（2）如图2所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平的匀强磁场（垂直纸面向里），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为+q的带电粒子在场中运动，不计粒子所受重力。
a．若该带电粒子在场中做水平向右的匀速直线运动，求该粒子速度v′的大小；
b．若该粒子在M点由静止释放，其运动将比较复杂。为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分解的方法，将它为0的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。
练习8（初速度不为零，与水平方向成角度）
如图甲,空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。让质量为m,电量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。
(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射,恰好能经过x轴上的A(a,0)点,求v1的大小;
(2)已知一粒子的初速度大小为v(v>v1),为使该粒子能经过A(a,0)点,其入射角θ(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个 并求出对应的sinθ值;
(3)如图乙,若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场,一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明:粒子在xOy平面内做周期性运动,且在任一时刻,粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比,比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。
总结
配速法的核心是“化繁为简”，无论初速度是零、水平还是斜向，本质都是通过构造分速度，将复杂曲线运动转化为“匀速直线运动+匀速圆周运动”，再利用基础运动规律求解。
参考答案与试题解析
1．【解答】解：（1）令电子在原点O处具有沿x轴正方向的分速度v1和沿x轴负方向的分速度v2，且v1＝v2（两者合速度为零）。令分速度v1对应的竖直向上的洛伦兹力等于电场力，即eBv1＝eE，这样电子沿x轴正方向以分速度v1做匀速直线运动，而分速度v2在洛伦兹力eBv2的作用下做匀速圆周运动，则电子的运动分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动。其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为P。
设分运动匀速圆周运动的轨迹半径为r，则有：
eBv2＝，
又有：eBv2＝eBv1＝eE
解得：r＝
最低点P到x轴的距离y等于分运动匀速圆周运动的直径，即：
y＝2r＝；
（2）在最低点P两分运动的速度方向相同均沿x轴正方向，则电子的速度大小为：
v＝v1+v2＝2v2＝；
（3）电子的分运动匀速圆周运动完成一次完整的圆周运动，对应一段摆线的轨迹，则摆线的宽度大小等于分运动匀速直线运动在匀速圆周运动一个周期内的位移大小。
分运动匀速圆周运动的周期：T＝＝
所以每一段摆线的宽度大小为：d＝。
2．【解答】解：（1）因小球沿直线运动，则有：qBv0＝qE+mg
解得：.
（2）若小球的初速度大小v≠v0，则小球在竖直平面内做曲线运动，设小球速度为v0+Δv，小球所受合力为：F＝qB（v0+Δv）﹣qE﹣mg＝qBΔv
所以小球的运动可视为沿x轴正方向做速度为v0的匀速直线运动和速度为Δv的匀速圆周运动的合运动。
若Δv＞0，则其方向向右，对应x轴上方的逆时针方向的匀速圆周运动；若Δv＜0，则其方向向左，对应x轴下方的逆时针方向的匀速圆周运动.
由洛伦兹力提供向心力及圆周运动周期得圆周运动周期为：
要使小球通过A点应满足t＝nT（n＝1、2、3…），xA＝v0t
解得：（n＝1、2、3…）
（3）小球从O点由静止释放后的运动可视为沿x轴正方向速度为v0和沿x轴负方向速度大小为v0的合运动，后者对应x轴下方的逆时针方向的匀速圆周运动。
经半个周期，小球在最低点两个分速度相同，对应的合速度最大。
最大速率为：
由动能定理得：
3．选CD。【解答】解：A、在水平方向上带电小球受力平衡，则有
mg＝qvB，
解得水平速度为v0＝，
竖直面内匀速圆周运动半径为
R＝，
周期为T＝，
MN两点间距离为
s＝v0T＝，
故A错误；
B、小球在运动过程中只有重力做功，洛伦兹力不做功，小球的机械能守恒，故B错误；
C、小球下落的最大高度为2R＝，故C正确；
D、小球在水平面内是匀速直线运动，竖直面内是匀速圆周运动，小球的加速度大小恒为a向＝，故D正确；
4.选BC。【解答】解：A、粒子运动过程中，洛伦兹力始终与速度方向垂直而不做功，则根据动能定理：﹣qEs＝2，解得vP＝，故A错误；
B、将粒子的初速度分解为两个水平向右的分速度，其大小均为。
其中一个分速度对应的洛伦兹力为：q＝qE，恰与电场力平衡，这两个力不会引起粒子在竖直方向的偏移。
另外一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，大小为q＝Eq，粒子的加速度就是该力产生的，即a＝，大小不变，故B正确；
C、由B中的分析可知，粒子运动可分解为两个分运动：水平向右的匀速直线运动与竖直平面内匀速圆周运动，其速度大小均为。
根据洛伦兹力提供向心力：q×，代入数据解得竖直平面内匀速圆周运动的半径为：R＝
当s＝时，若未完成一个圆周运动，则偏转圆心角满足cosθ＝＝0，代入数据解得θ的最小值为：θ＝；则到达P点的运动时间为：t＝＝，故所用时间至少为，故C正确；
D、初始时刻，粒子的洛伦兹力为qv0B＝q×v0×＝2qE，大于电场力qE，故D错误。
5.答案：（1）；（2）；（3）
解析：（1）粒子在第一象限电场中做类平抛运动，如图所示，
竖直方向有
水平方向有
联立解得
解得
（2）设粒子离开电场时，速度大小为v，方向与y轴正方向夹角为，则速度大小
解得
由几何关系得
解得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，由牛顿第二定律得
解得
则圆心恰好落在x轴上。粒子第一次与x轴相交时到坐标原点的距离
解得
（3）由解析图可知，粒子进入第三象限时的速度大小为
方向竖直向下，可在水平方向上配上水平向左的速度和水平向右的速度，使满足
由此可知
与的合速度大小
与x轴方向的夹角
所以粒子进入第三象限后以做匀速圆周运动的同时以向左做匀速直线运动。设粒子做匀速圆周运动的半径为，由牛顿第二定律得
解得
由几何关系得
解得
6．【解答】解：（1）洛伦兹力不做功，由动能定理得：
mgy＝mv2…①
得：v＝…②
（2）设在最大距离ym处的速率为vm，根据圆周运动有：
qvmB﹣mg＝m …③
且由②知：…④
由③④及R＝2ym得：…⑤
（3）小球运动如图所示，由动能定理 有：
（qE﹣mg）|ym|＝…⑥
由圆周运动有：qvmB+mg﹣qE＝m …⑦
且由⑥⑦及R＝2|ym|解得：vm＝。
7．【解答】解：（1）粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，故粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，故有：；
所以，粒子做匀速圆周运动的半径，周期；
（2）a．粒子运动过程受电场力和洛伦兹力作用，由粒子做匀速直线运动可得：粒子受力平衡，故有：Bv'q＝qE，所以，粒子速度；
b．粒子运动过程受电场力和洛伦兹力作用，故将粒子运动分解为两部分，一部分洛伦兹力和电场力平衡，做匀速直线运动；一部分只受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动；
故由a可知：带电粒子由静止释放，将其初速度分解为相等的水平向左和水平向右的速度v'；
那么，带电粒子的运动可分解为沿水平方向的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动；
根据洛伦兹力做向心力可得：，故圆周运动的轨道半径；
所以，粒子沿电场方向运动的最大距离，运动过程中的最大速率；
8.答案：(1) 　(2)见解析　(3)
解析：(1)带电粒子以速率v在磁场中做半径为R的匀速圆周运动,有qvB=m　①
当粒子以初速度v1沿y轴正方向入射时,转过半个圆周至A点,据几何关系有a=2R1　②
联立①②式解得v1=
(2)如图,O、A两点处于同一圆周上,且圆心在的直线上,半径为R。
当给定一个初速度v时,有2个入射角,分别在第1、2象限,有:
sinθ'=sinθ=③
由①③两式得
(3)粒子在运动过程中仅电场力做功,因而在轨道的最高点处速率最大,其纵坐标为ym
据动能定理有　④
依题意有vm=kym⑤
由于比例系数与场强无关,若E=0时,粒子以初速度v0沿y轴正向入射,有
　⑥
v0=kR0　⑦
由④⑤⑥⑦式得
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