资源简介

湖南省岳阳市 湘阴县洞庭四校 2024-2025学年八年级下学期5月期中调研数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·湘阴期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·湘阴期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·湘阴期中）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
4．（2025八下·湘阴期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·湘阴期中）下列选项中，矩形一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角
6．（2025八下·湘阴期中）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．2
7．（2025八下·湘阴期中）叠放在一起的一副三角尺，若，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·湘阴期中）如图，中，是中线，是角平分线，于F，，，则的长为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．2.5
9．（2025八下·湘阴期中）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
10．（2025八下·湘阴期中）如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题（每空3分，共24分）
11．（2025八下·湘阴期中）如果正比例函数 的图象经过点（1，－2），那么k 的值等于　 　．
12．（2025八下·湘阴期中）已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=　 　．
13．（2025八下·湘阴期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是　 　．
14．（2025八下·湘阴期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当　 　时，四边形的面积最大，此时四边形是　 　形．
15．（2025八下·湘阴期中）如图，在矩形中，，，对角线交于O点，则的周长为　 　．
16．（2025八下·湘阴期中）如图，已知正方形，，则　 　．
17．（2025八下·湘阴期中）如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，则∠B=　 　．
三、解答题（共66分）
18．（2025八下·湘阴期中）一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大 ，求这个多边形的边数．
19．（2025八下·湘阴期中）如图，在中，，，，，求的长．
20．（2025八下·湘阴期中）如图，在中，，平分，交于点E．，．
（1）求，，的度数；
（2）求的周长．
21．（2025八下·湘阴期中）如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
22．（2025八下·湘阴期中）如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接交于点G，作交于点F，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
23．（2025八下·湘阴期中）某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得．
（1）如图1，请计算人工湖两端点之间的距离；（结果保留根号）
（2）如果最后一名同学所站的点处恰好到点和点距离相等，如图2，请计算两点间的距离．
24．（2025八下·湘阴期中）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于E，F．
（1）如图①，当AB=AC时图中有 个等腰三角形．
（2）如图②，写出EF与BE、CF之间关系式，并说明理由．
（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何 说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 具有轴对称性，但不具有中心对称性，A不符合题意；B. 是轴对称图形，非中心对称图形，B不符合题意；
C. 具有中心对称性，但不具有轴对称性，C不符合题意；
D. 同时满足轴对称和中心对称的性质，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，需要掌握两者的定义才能正确解题。通过逐一分析各选项图形的对称性质进行判断。
2．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵平分，，
∴，
∵点是边上一动点，
∴根据垂线段最短得，
故选：．
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和垂线段最短的性质。解题时，首先过点作的垂线，垂足为。根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；再根据垂线段最短的原理，即可确定为所求最短距离。正确理解和运用这些几何性质是解答本题的关键。
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
4．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：C．
【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求出已知点关于y轴对称的点的坐标.
5．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，在A符合题意；
B、C、D均为菱形所具有的性质，
故答案为：A.
【分析】根据矩形对角线相等的性质，逐项分析即可.
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图
作点M关于AC的对称点M'，连接M'N交AC于P，此时MP+NP有最小值，．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M'是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM'∥BN，AM'=BN，
∴四边形ABNM'是平行四边形，
∴M'N=AB=1，
∴MP+NP=M'N=1，即MP+NP的最小值为1，
故答案为：B．
【分析】先作点M关于AC的对称点M'，连接M'N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M'N的长；利用菱形的对称性可证得M'是AD的中点，由此可推出AM'∥BN，AM'=BN，即可证得四边形ABNM'是平行四边形，利用平行四边形的性质可求出M'N的长，然后求出MP+NP的最小值.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由三角板性质可知：，，，
∴，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积是，
故答案为：A．
【分析】根据三角板的特性可推出是等腰直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AC的长，即可得到CF的长，然后利用三角形的面积公式可求出阴影部分的面积.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交与点，
平分，
，
，
，
，
，
，，
又点是中点，
是的中位线，
，
故选：D．
【分析】本题考查三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质。解题的关键是通过添加辅助线构造全等三角形，从而证明DF是△BCG的中位线，再利用中位线定理求解。具体解题步骤如下：延长CF交AB于点G； 证明△AFC≌△AFG（可根据ASA或AAS全等条件）；由全等得出AC=AG且GF=CF；由此可得F是CG的中点；又因为D是BC的中点，根据三角形中位线定理，DF∥BG且DF=BG；最终利用这些关系求解题目所求。注：解题过程中主要运用了全等三角形的性质（对应边相等）和三角形中位线定理（中位线平行于第三边且等于第三边的一半）。
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
；
平分，
，
，
；
；
E是的中点，，
；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可推出OB=OD，∠CDP=∠DPA，同时可求出AB的长，利用角平分线的概念可推出∠ADP=∠DPA，利用等角对等边可求出AP的长，然后根据E是的中点可求出EO的长.
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在正方形中，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
在中，，
∴，故②正确；
假设，
∵（已证），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在中，，
∴，这与正方形的边长相矛盾，
所以，假设不成立，，故③错误；
∵，
∴，
∴，
即，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质可推出∠BAF=∠D，AF=DE，利用SAS可证得△ABF≌△DAE，利用全等三角形的性质可对①作出判断；利用余角的性质可证得，据此可证得∠AOB=90°，可对②作出判断；假设，利用垂直平分线的性质可证得AB=BE，在中，，由此可推出矛盾，可对③作出判断；利用全等三角形的面积相等，可证得，据此可推出，由此可对④ 作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
11．【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：将（1，－2）代入 得，—2=1×k，解得k=－2
【分析】直接将点的坐标代入函数解析式计算即可.
12．【答案】96
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：根据菱形面积公式，计算如下：
因此，菱形的面积为96。
【分析】本题考查菱形的面积计算，关键在于掌握菱形面积与对角线长度的关系公式。菱形的面积可以通过其两条对角线的长度计算得出，具体公式为对角线长度相乘后除以2。
13．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
设点C到斜边AB的距离是h，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，设点C到斜边AB的距离是h，利用直角三角形的两个面积公式可求出h的值.
14．【答案】90；矩
【知识点】矩形的判定；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示：过作于点，
由题可知：的面积为，
∵不变，
∴当时，面积最大，
∴，
∴是矩形，
故答案为：90，矩．
【分析】本题主要考查平行四边形的不稳定性与几何性质，通过固定一边、旋转邻边来动态改变图形，核心在于分析角度变化时四边形形状的演变及其与特殊图形（如矩形、菱形）的关系。解题思路是抓住当∠ABC趋近于1°时，平行四边形被极度压扁，其对角线长度与边长的数量关系可通过余弦定理或极端化思想判断，从而推断出另一条对角线的长度范围及图形变化趋势。整体上，题目将直观想象与定量推理结合，体现了对图形变换中不变性与临界状态的理解。
15．【答案】16
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴；
∴的周长为；
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质可证得，，同时可求出CD、AD的长，再利用勾股定理求出BD的长，可得到OD、OC的长，然后求出△OCD的周长.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】本题主要考查正方形的性质与勾股定理的应用，核心在于利用正方形对角线互相垂直平分且相等的特点，判断出△COD为等腰直角三角形，从而将求对角线一半的长度转化为已知正方形边长与斜边的关系。解题思路是先从正方形的性质出发，明确OC=OD且夹角为直角，再在等腰直角三角形中运用勾股定理建立边长与对角线一半之间的数量关系，最终通过代数运算得出结果。
17．【答案】60°
【知识点】平行四边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠C=360°-90°-90°-∠EAF=120°，
∴平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-120°=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据四边形的内角和为360°，可求出∠C的度数，利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得∠B+∠C=180°，即可求出∠B的度数.
18．【答案】解：设每个内角度数为 度，则与它相邻的外角度数为 ，
根据题意可得 ，
解得 ．
所以每个外角为 ，
所以这个多边形的边数为 ．
答：这个多边形的边数为9．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据内角与相邻外角和为180度、内角比它相邻的外角大 ，构造方程求出外角度数，最后利用外角和 可求边数．
19．【答案】解：，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题主要考查含特殊角的直角三角形边角关系以及勾股定理的综合应用，核心在于通过垂直条件将原三角形拆分为两个直角三角形，并分别利用45°角得到等腰直角三角形以确定一条直角边的长度，利用30°角所对直角边是斜边一半的关系求出另一条斜边，再通过勾股定理求得剩余直角边，最后将两段长度相加得到整个底边的长。解题思路是先从垂直出发，在△ABD中由45°角得出BD=AD，在△ACD中由30°角得出AC=2AD，再通过勾股定理计算CD，求BD+CD=BC。
20．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形为平行四边形，∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定。
(1)通过平行四边形邻角互补、对角相等的性质，由已知∠ ABC 可依次求得其余各内角；
（2）结合角平分线产生等角，利用平行线得到内错角相等，从而推导出△ ABE 为等腰三角形，求得 AE 长度，进而得到 AD，最后利用平行四边形对边相等求出周长。解题关键在于准确识别图形中的等角关系并合理转化线段长度。
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
21．【答案】解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，则AO=m，
∵AO=AC+OC，
∴OC=2m，
∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD为斜边，
∴OD==1.5m，
∴BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m；
（2）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变．
．
【知识点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】本题考点：勾股定理的应用，在直角三角形ABC中，已知AB和BC的长度，利用勾股定理可以求出AO的长度。
（1）根据AO=AC+OC的关系式，可以计算出OC的长度。然后在直角三角形CDO中，已知AB=CD和CO的长度，可以求得OD的长度。最后根据BD=OD-OB的关系式，即可求出BD的长度。
（2）在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离保持不变。这个结论可以通过直角三角形性质"斜边上的中线等于斜边的一半"来证明。
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在，，，，
由勾股定理得，
∴
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用矩形的性质可求出AB的长，利用菱形的性质可求出CF的长；再利用勾股定理求出BF的长，根据AF=AB-BF，代入计算求出AF的长.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在，，，，
由勾股定理得，
∴．
23．【答案】（1）解：如图所示：连接，过点作，
由题可知：，
∴，
在中，由勾股定理，得：；
答：人工湖两端点之间的距离为；
（2）解：设，则：，在中，，
在中，，
由题意，得：，
∴，
∴，
∴；
∴
答：两点间的距离为．
【知识点】解一元一次方程；勾股定理；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用、构造直角三角形求线段长度，以及利用距离相等建立方程求解未知数。题目将实际测量问题抽象为几何模型，通过作辅助线将空间关系转化为平面直角图形，体现了数形结合思想与方程思想。
（1）已知 AB 与 DE 均垂直于 AD，且 A、D 在同一水平线上，因此 ABDE 。通过过点 E 作 EF AB，构造出矩形 ADEF 与直角三角形 BFE，将 BE 转化为直角三角形的斜边，利用勾股定理求解。
（2）点 C 在 AD 上移动，满足 BC = CE。分别以 AB、AC 和 CD、DE 为直角边构造两个直角三角形 △ABC 与 △CDE，利用勾股定理表示与，由距离相等建立方程，解出 AC 的长度。解题关键在于正确设未知数，并注意 CD = AD - AC 的几何关系。
（1）解：连接，过点作，则由题意，可知：，
∴，
在中，由勾股定理，得：；
答：人工湖两端点之间的距离为；
（2）设，则：，
在中，，
在中，，
由题意，得：，
∴，
∴，
∴；
∴
答：两点间的距离为．
24．【答案】（1）5；
（2）关系式：EF=BE+CF
如图所示：
∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OE=BE，
在△CFO中，同理可证OF=CF，
∵EF=EO+FO，
∴EF=BE+CF；
（3）关系式：EF=BE-CF
如图所示：
∵OE∥BC，
∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，
∴∠4=∠6，
∴OE=BE，
在△CFO中，同理可证OF=CF，
∵EF=EO-FO，
∴EF=BE-CF．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（1）当 AB = AC 时，△ ABC 为等腰三角形，
∴∠ABC = ∠ ACB。
∵BO 平分 ∠ABC，∴∠ EBO =∠ OBC。
∵CO 平分 ∠ ACB，∴∠ FCO = ∠ OCB。
∵EFBC，
∴∠ EOB = ∠ OBC（内错角相等），∠FOC = ∠ OCB（内错角相等）。
∴∠EBO = ∠EOB，∠ FCO = ∠FOC，
∴△BEO 与△ CFO 均为等腰三角形。
又△ABC、△ AEF（由 EFBC 且 AB = AC 得 AE = AF）也为等腰三角形。
综上，等腰三角形有：△ ABC、△AEF、△ BEO、△CFO、△ OBC（由∠ OBC =∠ OCB 得），共 5 个。
故答案为：5；
【分析】本题综合考查角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，以及图形变换中的类比推理。
（1）当 AB = AC 时，△ ABC 为等腰三角形。由角平分线和平行线可推出多个等角关系，从而得到多个等腰三角形。需逐一识别并计数。
（2）通过平行线得到内错角相等，结合角平分线可得∠EBO = ∠ EOB、∠ FCO =∠ FOC，从而 △ BEO 与 △ CFO 均为等腰三角形，进而导出 EF = BE + CF。
（3）点 O 为内角平分线与外角平分线交点，图形结构改变，但依然利用平行线和角平分线推导角相等。需注意此时 O 在三角形外部，结论变为 EF = BE - CF 或 EF = CF - BE，具体取决于点 E、F 的位置。
1 / 1湖南省岳阳市 湘阴县洞庭四校 2024-2025学年八年级下学期5月期中调研数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·湘阴期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 具有轴对称性，但不具有中心对称性，A不符合题意；B. 是轴对称图形，非中心对称图形，B不符合题意；
C. 具有中心对称性，但不具有轴对称性，C不符合题意；
D. 同时满足轴对称和中心对称的性质，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，需要掌握两者的定义才能正确解题。通过逐一分析各选项图形的对称性质进行判断。
2．（2025八下·湘阴期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵平分，，
∴，
∵点是边上一动点，
∴根据垂线段最短得，
故选：．
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和垂线段最短的性质。解题时，首先过点作的垂线，垂足为。根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；再根据垂线段最短的原理，即可确定为所求最短距离。正确理解和运用这些几何性质是解答本题的关键。
3．（2025八下·湘阴期中）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
4．（2025八下·湘阴期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：C．
【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求出已知点关于y轴对称的点的坐标.
5．（2025八下·湘阴期中）下列选项中，矩形一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，在A符合题意；
B、C、D均为菱形所具有的性质，
故答案为：A.
【分析】根据矩形对角线相等的性质，逐项分析即可.
6．（2025八下·湘阴期中）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图
作点M关于AC的对称点M'，连接M'N交AC于P，此时MP+NP有最小值，．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M'是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM'∥BN，AM'=BN，
∴四边形ABNM'是平行四边形，
∴M'N=AB=1，
∴MP+NP=M'N=1，即MP+NP的最小值为1，
故答案为：B．
【分析】先作点M关于AC的对称点M'，连接M'N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M'N的长；利用菱形的对称性可证得M'是AD的中点，由此可推出AM'∥BN，AM'=BN，即可证得四边形ABNM'是平行四边形，利用平行四边形的性质可求出M'N的长，然后求出MP+NP的最小值.
7．（2025八下·湘阴期中）叠放在一起的一副三角尺，若，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由三角板性质可知：，，，
∴，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积是，
故答案为：A．
【分析】根据三角板的特性可推出是等腰直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AC的长，即可得到CF的长，然后利用三角形的面积公式可求出阴影部分的面积.
8．（2025八下·湘阴期中）如图，中，是中线，是角平分线，于F，，，则的长为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交与点，
平分，
，
，
，
，
，
，，
又点是中点，
是的中位线，
，
故选：D．
【分析】本题考查三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质。解题的关键是通过添加辅助线构造全等三角形，从而证明DF是△BCG的中位线，再利用中位线定理求解。具体解题步骤如下：延长CF交AB于点G； 证明△AFC≌△AFG（可根据ASA或AAS全等条件）；由全等得出AC=AG且GF=CF；由此可得F是CG的中点；又因为D是BC的中点，根据三角形中位线定理，DF∥BG且DF=BG；最终利用这些关系求解题目所求。注：解题过程中主要运用了全等三角形的性质（对应边相等）和三角形中位线定理（中位线平行于第三边且等于第三边的一半）。
9．（2025八下·湘阴期中）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
；
平分，
，
，
；
；
E是的中点，，
；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可推出OB=OD，∠CDP=∠DPA，同时可求出AB的长，利用角平分线的概念可推出∠ADP=∠DPA，利用等角对等边可求出AP的长，然后根据E是的中点可求出EO的长.
10．（2025八下·湘阴期中）如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在正方形中，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
在中，，
∴，故②正确；
假设，
∵（已证），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在中，，
∴，这与正方形的边长相矛盾，
所以，假设不成立，，故③错误；
∵，
∴，
∴，
即，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质可推出∠BAF=∠D，AF=DE，利用SAS可证得△ABF≌△DAE，利用全等三角形的性质可对①作出判断；利用余角的性质可证得，据此可证得∠AOB=90°，可对②作出判断；假设，利用垂直平分线的性质可证得AB=BE，在中，，由此可推出矛盾，可对③作出判断；利用全等三角形的面积相等，可证得，据此可推出，由此可对④ 作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
二、填空题（每空3分，共24分）
11．（2025八下·湘阴期中）如果正比例函数 的图象经过点（1，－2），那么k 的值等于　 　．
【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：将（1，－2）代入 得，—2=1×k，解得k=－2
【分析】直接将点的坐标代入函数解析式计算即可.
12．（2025八下·湘阴期中）已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=　 　．
【答案】96
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：根据菱形面积公式，计算如下：
因此，菱形的面积为96。
【分析】本题考查菱形的面积计算，关键在于掌握菱形面积与对角线长度的关系公式。菱形的面积可以通过其两条对角线的长度计算得出，具体公式为对角线长度相乘后除以2。
13．（2025八下·湘阴期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
设点C到斜边AB的距离是h，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，设点C到斜边AB的距离是h，利用直角三角形的两个面积公式可求出h的值.
14．（2025八下·湘阴期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当　 　时，四边形的面积最大，此时四边形是　 　形．
【答案】90；矩
【知识点】矩形的判定；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示：过作于点，
由题可知：的面积为，
∵不变，
∴当时，面积最大，
∴，
∴是矩形，
故答案为：90，矩．
【分析】本题主要考查平行四边形的不稳定性与几何性质，通过固定一边、旋转邻边来动态改变图形，核心在于分析角度变化时四边形形状的演变及其与特殊图形（如矩形、菱形）的关系。解题思路是抓住当∠ABC趋近于1°时，平行四边形被极度压扁，其对角线长度与边长的数量关系可通过余弦定理或极端化思想判断，从而推断出另一条对角线的长度范围及图形变化趋势。整体上，题目将直观想象与定量推理结合，体现了对图形变换中不变性与临界状态的理解。
15．（2025八下·湘阴期中）如图，在矩形中，，，对角线交于O点，则的周长为　 　．
【答案】16
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴；
∴的周长为；
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质可证得，，同时可求出CD、AD的长，再利用勾股定理求出BD的长，可得到OD、OC的长，然后求出△OCD的周长.
16．（2025八下·湘阴期中）如图，已知正方形，，则　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】本题主要考查正方形的性质与勾股定理的应用，核心在于利用正方形对角线互相垂直平分且相等的特点，判断出△COD为等腰直角三角形，从而将求对角线一半的长度转化为已知正方形边长与斜边的关系。解题思路是先从正方形的性质出发，明确OC=OD且夹角为直角，再在等腰直角三角形中运用勾股定理建立边长与对角线一半之间的数量关系，最终通过代数运算得出结果。
17．（2025八下·湘阴期中）如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，则∠B=　 　．
【答案】60°
【知识点】平行四边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠C=360°-90°-90°-∠EAF=120°，
∴平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-120°=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据四边形的内角和为360°，可求出∠C的度数，利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得∠B+∠C=180°，即可求出∠B的度数.
三、解答题（共66分）
18．（2025八下·湘阴期中）一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大 ，求这个多边形的边数．
【答案】解：设每个内角度数为 度，则与它相邻的外角度数为 ，
根据题意可得 ，
解得 ．
所以每个外角为 ，
所以这个多边形的边数为 ．
答：这个多边形的边数为9．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据内角与相邻外角和为180度、内角比它相邻的外角大 ，构造方程求出外角度数，最后利用外角和 可求边数．
19．（2025八下·湘阴期中）如图，在中，，，，，求的长．
【答案】解：，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题主要考查含特殊角的直角三角形边角关系以及勾股定理的综合应用，核心在于通过垂直条件将原三角形拆分为两个直角三角形，并分别利用45°角得到等腰直角三角形以确定一条直角边的长度，利用30°角所对直角边是斜边一半的关系求出另一条斜边，再通过勾股定理求得剩余直角边，最后将两段长度相加得到整个底边的长。解题思路是先从垂直出发，在△ABD中由45°角得出BD=AD，在△ACD中由30°角得出AC=2AD，再通过勾股定理计算CD，求BD+CD=BC。
20．（2025八下·湘阴期中）如图，在中，，平分，交于点E．，．
（1）求，，的度数；
（2）求的周长．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形为平行四边形，∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定。
(1)通过平行四边形邻角互补、对角相等的性质，由已知∠ ABC 可依次求得其余各内角；
（2）结合角平分线产生等角，利用平行线得到内错角相等，从而推导出△ ABE 为等腰三角形，求得 AE 长度，进而得到 AD，最后利用平行四边形对边相等求出周长。解题关键在于准确识别图形中的等角关系并合理转化线段长度。
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
21．（2025八下·湘阴期中）如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
【答案】解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，则AO=m，
∵AO=AC+OC，
∴OC=2m，
∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD为斜边，
∴OD==1.5m，
∴BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m；
（2）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变．
．
【知识点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】本题考点：勾股定理的应用，在直角三角形ABC中，已知AB和BC的长度，利用勾股定理可以求出AO的长度。
（1）根据AO=AC+OC的关系式，可以计算出OC的长度。然后在直角三角形CDO中，已知AB=CD和CO的长度，可以求得OD的长度。最后根据BD=OD-OB的关系式，即可求出BD的长度。
（2）在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离保持不变。这个结论可以通过直角三角形性质"斜边上的中线等于斜边的一半"来证明。
22．（2025八下·湘阴期中）如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接交于点G，作交于点F，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在，，，，
由勾股定理得，
∴
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用矩形的性质可求出AB的长，利用菱形的性质可求出CF的长；再利用勾股定理求出BF的长，根据AF=AB-BF，代入计算求出AF的长.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在，，，，
由勾股定理得，
∴．
23．（2025八下·湘阴期中）某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得．
（1）如图1，请计算人工湖两端点之间的距离；（结果保留根号）
（2）如果最后一名同学所站的点处恰好到点和点距离相等，如图2，请计算两点间的距离．
【答案】（1）解：如图所示：连接，过点作，
由题可知：，
∴，
在中，由勾股定理，得：；
答：人工湖两端点之间的距离为；
（2）解：设，则：，在中，，
在中，，
由题意，得：，
∴，
∴，
∴；
∴
答：两点间的距离为．
【知识点】解一元一次方程；勾股定理；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用、构造直角三角形求线段长度，以及利用距离相等建立方程求解未知数。题目将实际测量问题抽象为几何模型，通过作辅助线将空间关系转化为平面直角图形，体现了数形结合思想与方程思想。
（1）已知 AB 与 DE 均垂直于 AD，且 A、D 在同一水平线上，因此 ABDE 。通过过点 E 作 EF AB，构造出矩形 ADEF 与直角三角形 BFE，将 BE 转化为直角三角形的斜边，利用勾股定理求解。
（2）点 C 在 AD 上移动，满足 BC = CE。分别以 AB、AC 和 CD、DE 为直角边构造两个直角三角形 △ABC 与 △CDE，利用勾股定理表示与，由距离相等建立方程，解出 AC 的长度。解题关键在于正确设未知数，并注意 CD = AD - AC 的几何关系。
（1）解：连接，过点作，则由题意，可知：，
∴，
在中，由勾股定理，得：；
答：人工湖两端点之间的距离为；
（2）设，则：，
在中，，
在中，，
由题意，得：，
∴，
∴，
∴；
∴
答：两点间的距离为．
24．（2025八下·湘阴期中）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于E，F．
（1）如图①，当AB=AC时图中有 个等腰三角形．
（2）如图②，写出EF与BE、CF之间关系式，并说明理由．
（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何 说明你的理由．
【答案】（1）5；
（2）关系式：EF=BE+CF
如图所示：
∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OE=BE，
在△CFO中，同理可证OF=CF，
∵EF=EO+FO，
∴EF=BE+CF；
（3）关系式：EF=BE-CF
如图所示：
∵OE∥BC，
∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，
∴∠4=∠6，
∴OE=BE，
在△CFO中，同理可证OF=CF，
∵EF=EO-FO，
∴EF=BE-CF．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（1）当 AB = AC 时，△ ABC 为等腰三角形，
∴∠ABC = ∠ ACB。
∵BO 平分 ∠ABC，∴∠ EBO =∠ OBC。
∵CO 平分 ∠ ACB，∴∠ FCO = ∠ OCB。
∵EFBC，
∴∠ EOB = ∠ OBC（内错角相等），∠FOC = ∠ OCB（内错角相等）。
∴∠EBO = ∠EOB，∠ FCO = ∠FOC，
∴△BEO 与△ CFO 均为等腰三角形。
又△ABC、△ AEF（由 EFBC 且 AB = AC 得 AE = AF）也为等腰三角形。
综上，等腰三角形有：△ ABC、△AEF、△ BEO、△CFO、△ OBC（由∠ OBC =∠ OCB 得），共 5 个。
故答案为：5；
【分析】本题综合考查角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，以及图形变换中的类比推理。
（1）当 AB = AC 时，△ ABC 为等腰三角形。由角平分线和平行线可推出多个等角关系，从而得到多个等腰三角形。需逐一识别并计数。
（2）通过平行线得到内错角相等，结合角平分线可得∠EBO = ∠ EOB、∠ FCO =∠ FOC，从而 △ BEO 与 △ CFO 均为等腰三角形，进而导出 EF = BE + CF。
（3）点 O 为内角平分线与外角平分线交点，图形结构改变，但依然利用平行线和角平分线推导角相等。需注意此时 O 在三角形外部，结论变为 EF = BE - CF 或 EF = CF - BE，具体取决于点 E、F 的位置。
1 / 1

展开更多......

收起↑