资源简介

四川省泸州市江阳区枫叶佳德学校2025年九年级第一次学业水平模拟测试数学试 卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（2025·江阳模拟）在这四个实数中，绝对值最小的实数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|0|=0，|-1|=1，|1|=1，且0＜1＜2，
∴绝对值最小的数是0，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值意义求出各数的绝对值，再根据正数都大于零，即可判断得出答案.
2．（2025·江阳模拟）如图所示的几何体，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面可看，可得如下图形：
．
故答案为：D．
【分析】俯视图是从物体的上面向下看得到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，故可得该凹形几何体的俯视图是长方形中加两竖直实线.
3．（2025·江阳模拟）某机场2022年客流量达到4500万人次，4500万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4500万=45000000．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025·江阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A．﹣3a2 2a3＝﹣6a6 B．6a6÷（﹣2a3）＝﹣3a2
C．（﹣a3）2＝a6 D．（ab3）2＝ab6
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ﹣3a2 2a3 ＝﹣6a5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、 6a6÷（﹣2a3） ＝﹣3a3，故此选项计算错误，不符合题意；
C、 （﹣a3）2 ＝a6，故此选项计算正确，符合题意；
D、 （ab3）2 ＝a2b6，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘以单项式，把系数与系数相乘，结果作为积的系数，对于相同字母的幂，底数不变，指数相加，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式进行计算，即可判断A选项；根据单项式除以单项式， 把系数与系数相除，结果作为商的系数，对于相同字母的幂，底数不变，指数相减，对于只在被除式含有的字母，则连同指数作为商的一个因式进行计算， 即可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断D选项.
5．（2025·江阳模拟）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段 ，点 的对应点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴平移规律为横坐标减4，纵坐标减4，
∵ ，
∴点B′的坐标为 ，
故答案为：C.
【分析】根据对应点A、A 的坐标并结合平移规律“左减右加、上加下减”可知平移的方向和距离为：向左平移4个单位长度、向下平移4个单位长度，于是点B 的坐标可求解.
6．（2025·江阳模拟）班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六名同学，了解到他们在家的学习时间如表所示．那么，这六名同学学习时间的众数与中位数分别是（　　）
姓名 小丽 小明 小莹 小华 小乐 小凯
学习时间（小时） 5 3 6 4 4 8
A．4小时和小时 B．小时和4小时
C．4小时和5小时 D．5小时和4小时
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可知学习时间为4小时出现了两次，出现的次数最多，
∴这六名同学学习时间的众数为4小时，
把这组数据从小到大排列为，处在最中间的两个数据为4小时，5小时，
∴这组数据的中位数为小时，
故答案为：A．
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
7．（2025·江阳模拟）下列命题正确的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组邻边相等的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法错误；
B、矩形的对角线一定相等且平分，但不一定互相垂直，本选项说法错误；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，本选项说法错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项说法正确.
故答案为：D．
【分析】矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个内角为直角的平行四边形是矩形；菱形的判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定定理：①一组邻边相等的矩形是正方形，②有一个内角为直角的菱形是矩形；矩形的性质：矩形对角线互相平分且相等，据此逐一判断得出答案.
8．（2025·江阳模拟）如图，中，，两等圆，外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；生活中的旋转现象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴阴影部分的面积等于圆心角为的扇形的面积．
∵，，，
∴根据勾股定理得：，
∴扇形的半径为5．
∴阴影部分的面积=．
故答案为：C.
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠A+∠B=90°，从而可得阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积；利用勾股定理算出AB的长，即可得出圆的半径，最后根据扇形面积计算公式“”计算即可.
9．（2025·江阳模拟）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：方程去分母得：，
∴，
∵关于的方程的解为负数，
∴，
解得：．
又，
∴，
则m的取值范围是．
故答案为：C．
【分析】将m作为系数解分式方程，用含m的式子表示出 ，根据该分式方程的解为负数列出关于字母m的不等式组且，求解即可得出m的取值范围.
10．（2025·江阳模拟）因为，，所以．由此猜想，推理可知：当为锐角时，有，由此可知（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
.
故答案为：B．
【分析】由当为锐角时，有可将cos210°变形为cos(180°+30°)=-cos30°，然后根据特殊锐角三角函数值可得答案.
11．（2025·江阳模拟）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接，
∵四边形是矩形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】在，上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接，由矩形的性质得∠ABE=∠BAD=90°，AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=16，AB=CD=8，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABNM是平行四边形，进而根据一组邻边相等的且由一个内角为直角的平行四边形是正方形得出四边形ABNM是正方形，从而可得∠AMH=∠MNB=90°，AB=MN，AB∥MN，然后利用“SAS”证△ABG≌三硝基AMH，由全等三角形的性质得∠GAB=∠MAH及AG=AH；然后根据角的构成及等量代换推出∠GAE=∠EAF，再根据“SAS”证△AGE≌△AHE，由全等三角形的对应边相等得EG=EH，然后在Rt△ENH中利用勾股定理建立方程可求出MH的长；由平行于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AMH∽△ADF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DF的长.
12．（2025·江阳模拟）已知二次函数（为常数）的图象经过不同两点，若该二次函数的图象与直线有公共点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数（为常数）的图象经过不同两点，
∴对称轴为直线，对称轴为直线，
即，
∴，
∴，
∵该二次函数的图象与直线有公共点，
∴，
∴，
则，
解得，
∵当时，随的增大而增大，且函数的二次项系数为1，
∴开口向上，对称轴在直线的右边，随的增大而增大，
∴，
解得，
∴，
故答案为：D.
【分析】 根据抛物线的对称性可得对称轴为直线，由对称轴直线公式得对称轴为直线，从而得出；再结合该二次函数的图象与直线有公共点，得出方程中，求出；再根据二次函数的开口方向向上，结合增减性判断出对称轴在直线的右边，随的增大而增大，从而列出不等式c+1≤3，求解得出c≤2，综上即可得出c的取值范围.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·江阳模拟）因式分解∶　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式x，再用平方差公式继续因式分解到每一个因式都不能再分解为止.
14．（2025·江阳模拟）函数y= 中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥﹣1且x≠3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：x+1≥0；分母不等于0，可知：x﹣3≠0，所以自变量x的取值范围就可以求出．
15．（2025·江阳模拟）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1＋x2＝2m，则m的值是　 　.
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得：m≠0且Δ＝[﹣2（m＋2）]2﹣4m2＝16m＋16＞0，
∴m＞﹣1且m≠0，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝ ，
∵x1＋x2＝2m，
∴＝2m，
∵m≠0，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或﹣1，
经检验，m＝2或﹣1是原分式方程的解，
∵m＞﹣1，
∴m＝2.
故答案为：2.
【分析】根据题意得：m≠0且Δ＞0，代入求解可得m的范围，根据根与系数的关系可得x1＋x2= ，结合已知条件可得m的值，据此解答.
16．（2025·江阳模拟）射线绕点逆时针旋转，射线绕点顺时针旋转，，，旋转后的两条射线交点为，如果将逆时针方向旋转记为“”，顺时针方向旋转记为“”，则称为点关于线段的“双角坐标”，如图1，已知，点关于线段的“双角坐标”为，点关于线段的“双角坐标”为．如图2，直线交轴、轴于点、，若点关于线段的“双角坐标”为，轴上一点关于线段的“双角坐标”为，与交点为，若与相似，则点在该平面直角坐标系内的坐标是　 　．
【答案】（，-1）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；圆周角定理；确定圆的条件；一次函数图象与坐标轴交点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵直线：交轴、轴于点、
当x＝0时，y＝，
∴点B的坐标是（0，），OB＝
当y＝0时，0＝，解得x＝﹣1，
∴点A的坐标是（﹣1，0），OA＝1
∴tan∠ABO＝
∴∠ABO＝30°，∠OAB＝90°－∠ABO＝60°
如图所示，由题意得∠EAB＝∠ABD，∠ABE＝∠BAD，
∴△ABE∽△BAD
∴∠AEB＝∠ADB
∴A、E、D、B四点共圆，如图所示，
∴∠ADE＝∠ABE＝30°，∠EAD＝∠EBD
∴∠FAB＝∠FBA
∵△ADE∽△AFD
∴∠F＝∠ADE＝30°，∠FAB＝∠FBA＝75°
∴∠FAO＝∠FAB－∠BAO＝15°，∠FBE＝∠FAB－∠ABO＝45°，
∴∠OGB＝90°－∠FBE＝45°
∴∠OGB＝∠OBG
∴OG＝OB＝
∴点G的坐标是（，0），
设直线BF的解析式为y＝kx＋b，代入G（，0），B（0，）得
解得
∴直线BF的解析式为，
在线段AO上取点H，使得AH＝EH，则∠HAE＝∠HEA＝15°，
∴ ∠OHE＝∠HAE＋∠HEA＝30°
设OE＝t，
则OH＝ ，
∴
∴
∴点E的坐标为（0，）
设直线AF的解析式为y＝k1x＋b1，代入A（﹣1，0），E（0，－2）得
解得
∴直线AF的解析式为，
联立直线BF和AF的解析式得
解得
∴点F在该平面直角坐标系内的坐标（，-1）
故答案为：（，-1）
【分析】分别令中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，得其与y轴、x轴的交点B、A的坐标；根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值求出∠ABO＝30°，由直角三角形两锐角互余求出∠OAB＝60°；根据新定义易得 ∠EAB＝∠ABD，∠ABE＝∠BAD， 从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABE∽△BAD，由相似三角形对应角相等得∠AEB＝∠ADB，由确定圆的条件得出 A、E、D、B四点共圆， 由同弧所对的圆周角相等得∠ADE＝∠ABE＝30°，∠EAD＝∠EBD，则∠FAB＝∠FBA，由全等三角形的对应角相等及角的构成推出∠OGB＝∠OBG，由等角对等边得出 OG＝OB＝ ，从而得到点G的坐标，利用待定系数法求出直线BF的解析式；进而求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线AF的解析式，联立直线AF与BF的解析式求解得出点F的坐标.
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（2025·江阳模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据立方根的定义、绝对值性质、负整数指数幂的法则“”及零指数幂的法则“a0=1(a≠0）”分别化简，再计算乘法，最后计算加减法运算得出答案.
18．（2025·江阳模拟）化简： ．
【答案】解：原式= =（x﹣1）（x﹣3）= ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的除法，可得答案．
19．（2025·江阳模拟）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．
【答案】解：由图可知：，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据角的和差证明∠DOC=∠BOA，再根据SAS得到两三角形全等即可．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．（2025·江阳模拟）根据“五项管理”文件精神，我校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上：B：60~90分钟：C：30~60分钟：D：30分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角度数，并补全条形统计图：
（3）学校从“A”层级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）
（2）解：扇形统计图中“”层级的扇形的圆心角的度数为：，
“”层级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：接受问卷调查的学生共有：（人，
故答案为：40；
【分析】（1）由统计图表提供的信息，用“”层级的人数除以所占百分比即可求出本次接受问卷调查的学生总人数 ；
（2）由360°乘以“”层级的人数所占的比例得出扇形统计图中“”层级的扇形的圆心角的度数，再根据各个层次的人数之和等于本次调查的总人数求出B层级的人数，补全条形统计图即可；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图列举出所有等可能的情况数，由图可知共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
（1）解：接受问卷调查的学生共有：（人，
故答案为：40；
（2）解：扇形统计图中“”层级的扇形的圆心角的度数为：，
“”层级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
21．（2025·江阳模拟）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以3150元购进A、B两种不同品种的盒装草莓，其中A品种进价为35元/盒、B品种50元/盒；若按A品种60元/盒、B品种80元/盒的标价出售可获利润2050元．
（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒？
（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕．（损耗忽略不计）因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于25盒．如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设品种草莓购进盒，品种草莓购进盒，
则，
解得：，
即品种草莓购进40盒，品种草莓购进35盒．
（2）解：设品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，总利润为元，
则，
又由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最大整数为33，最小整数为25，
，
∴随的增大而减少，
∴当时，取最大值，最大值为：元，
所以安排品种草莓购进25盒，则品种草莓购进75盒，可以获得最大利润2875元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A品种草莓购进x盒，B品种草莓购进y盒，根据单价乘以数量等于总价及购买x盒A品牌的草莓需要得费用+购进y盒B品牌草莓的费用=3150元，根据每盒草莓的利润乘以销售数量等于总利润及销售x盒A品牌的草莓获取的利润+销售y盒B品牌草莓获取的利润=2050元，列出方程组，求解即可得出答案；
（2）设A品种草莓购进m盒，则B品种草莓购进盒，根据销售m盒A品牌的草莓获取的利润+销售(100-x)盒B品牌草莓获取的利润等于总利润，列出w与m的函数关系式；根据“ 购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于25盒 ”列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围，从而利用一次函数的性质可得答案．
（1）解：设品种草莓购进盒，品种草莓购进盒，
则，
解得：，
即品种草莓购进40盒，品种草莓购进35盒．
（2）解：设品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，总利润为元，
则，
又由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最大整数为33，最小整数为25，
，
∴随的增大而减少，
∴当时，取最大值，最大值为：元，
所以安排品种草莓购进25盒，则品种草莓购进75盒，可以获得最大利润2875元．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．（2025·江阳模拟）为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．
【答案】解：过作于于，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴在中，，
∵米，，
∴（米），
∵，
∴在中，，
∵四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴（米），
∴（米），
答：的长和的长分别约为米和米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过作于于，根据直线平行性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，在中，根据正切定义可得AB，在中，根据正切定义可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2025·江阳模拟）如图，A为反比例函数（其中）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，．连接OA、AB，且．
（1）求k的值；
（2）过点B作，交反比例函数（）的图象于点C．连接AC，连接OC交AB于点D，求三角形ADC的面积．
【答案】（1）解：过点作交轴于点，交于点，
，，
，
，
，
；
（2）解：将代入得y=3，
∴，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）过点作轴，垂足为，交于，利用等腰三角形的三线合一得出的长，利用勾股定理得出的长，从而可得出的坐标，再利用反比例函数图象上任意一点的横纵坐标乘积都等于k，即可求出k值；
（2）根据（1）所求k的值，可得反比例函数的解析式；易得点C的横坐标为6，将x=6代入反比例函数解析式算出对应的函数值，可得点C的坐标；利用三角形中位线定理可求出的长，进而可得出的长；由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AH∥BC，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，利用相似三角形的对应边成比例即可求出的值，再根据三角形的面积公式可求得△ABC的面积，进而根据同高三角形面积之间得关系就是对应底的关系可求得△ADC的面积．
（1）解：过点作交轴于点，交于点，
，，
，
，
，
；
（2）解：将代入得，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（2025·江阳模拟）如图，中，点O在边上，经过点A的与边相切于点D，与边交于点E，射线交的延长线于点F，连接，．
（1）判断直线与的位置关系，并加以证明；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：直线与相切，
证明如下：如图，连接，则．
∴，，
∴，，
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
设⊙O的半径为r，则，
，
∴．
在中，
，
∴．
【知识点】切线的性质；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）直线AF与圆O相切，理由如下：连接OD，由同圆半径相等得OA=OE=OD，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠AOE=∠DOE，从而利用“SAS”证明△AOF≌△DOF，由全等三角形的对应角相等及切线的性质得到∠OAF=∠ODF=90°，然后根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线即可得出结论；
（2）首先在Rt△ACF中，由勾股定理求出AF，然后根据有两组角相等的两个三角形相似得△ODC∽△FAC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出圆的半径得长，再在Rt△AFO中，用勾股定理求出OF的长，最后根据EF=OF-OE进行求解即可．
（1）解：直线与相切，
证明如下：如图，连接，则．
∴，，
∴，，
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
设⊙O的半径为r，则，
，
∴．
在中，
，
∴．
25．（2025·江阳模拟）如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线上一点，且，求点P的坐标；
（3）若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点．
①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当时，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线，当时，取最小值，
∴抛物线的解析式是：，即；
当时，，
即点坐标是，
当时，，
解得：或2，
即点坐标是点坐标是．
将代入直线的解析式，
得，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）解：过点作为垂足，
，
，
，
由勾股定理，得，
当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足，
，
，
，
∴，
，
，
∴点；
②当点在延长线时，作轴，点为垂足，
，
，
∵PG∥OC，
∴△PAG∽△CAO，
，
，
，
解得：，
；
综上，或；
（3）解：①存在的值，使得，
设直线与抛物线的交点为在左侧 ）．
则为方程组的解，
由方程组消去整理，得：，
∴是方程的两个根，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：，
∴存在值，使得，其值为或；
②或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）②∵，
∴，即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：或，
∴当时，的取值范围是或．
【分析】（1）由题意得到抛物线的顶点坐标为，从而可写出抛物线的顶点式，再分别令抛物线解析式中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得点C与点A的坐标；然后将A、C的坐标代入，可得关于字母k、m的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）过点作为垂足，根据等高三角形的面积比等于对应底之比可得，即，可先根据勾股定理求出AC的长，然后分情况讨论：①当在线段AC上时，过点作轴，点为垂足，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得，由平行于三角形一边的直线截其他两边，所截三角形与原三角形相似得△ACO∽△APH，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PH的长，即得点P的纵坐标，然后将点P的纵坐标代入直线AC的解析式，即可算出对应的自变量x的值，从而得到点P的坐标；②当P在CA的延长线上时， 由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得PG∥OC，由平行于三角形一边的直线截其他两边延长线，所截三角形与原三角形相似得 △PAG∽△CAO，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PG的长，即得点P的纵坐标，然后将点P的纵坐标代入直线AC的解析式，即可算出对应的自变量x的值，从而得到点P的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设两函数图象的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出；①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值；②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围．
（1）解：∵抛物线，当时，取最小值，
∴抛物线的解析式是：，即；
当时，，
即点坐标是，
当时，，
解得：或2，
即点坐标是点坐标是．
将代入直线的解析式，
得，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）解：过点作为垂足，
，
，
，
由勾股定理，得，
当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足，
，
，
，
∴，
，
，
∴点；
②当点在延长线时，作轴，点为垂足，
，
，
，
，
，
解得：，
；
综上，或；
（3）解：①存在的值，使得，
设直线与抛物线的交点为在左侧 ）．
则为方程组的解，
由方程组消去整理，得：，
∴是方程的两个根，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：，
∴存在值，使得，其值为或；
②∵，
∴，即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：或，
∴当时，的取值范围是或．
1 / 1四川省泸州市江阳区枫叶佳德学校2025年九年级第一次学业水平模拟测试数学试 卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（2025·江阳模拟）在这四个实数中，绝对值最小的实数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·江阳模拟）如图所示的几何体，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·江阳模拟）某机场2022年客流量达到4500万人次，4500万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·江阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A．﹣3a2 2a3＝﹣6a6 B．6a6÷（﹣2a3）＝﹣3a2
C．（﹣a3）2＝a6 D．（ab3）2＝ab6
5．（2025·江阳模拟）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段 ，点 的对应点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·江阳模拟）班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六名同学，了解到他们在家的学习时间如表所示．那么，这六名同学学习时间的众数与中位数分别是（　　）
姓名 小丽 小明 小莹 小华 小乐 小凯
学习时间（小时） 5 3 6 4 4 8
A．4小时和小时 B．小时和4小时
C．4小时和5小时 D．5小时和4小时
7．（2025·江阳模拟）下列命题正确的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组邻边相等的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
8．（2025·江阳模拟）如图，中，，两等圆，外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
A．10 B． C． D．
9．（2025·江阳模拟）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
10．（2025·江阳模拟）因为，，所以．由此猜想，推理可知：当为锐角时，有，由此可知（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·江阳模拟）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·江阳模拟）已知二次函数（为常数）的图象经过不同两点，若该二次函数的图象与直线有公共点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·江阳模拟）因式分解∶　 　．
14．（2025·江阳模拟）函数y= 中自变量x的取值范围是　 　．
15．（2025·江阳模拟）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1＋x2＝2m，则m的值是　 　.
16．（2025·江阳模拟）射线绕点逆时针旋转，射线绕点顺时针旋转，，，旋转后的两条射线交点为，如果将逆时针方向旋转记为“”，顺时针方向旋转记为“”，则称为点关于线段的“双角坐标”，如图1，已知，点关于线段的“双角坐标”为，点关于线段的“双角坐标”为．如图2，直线交轴、轴于点、，若点关于线段的“双角坐标”为，轴上一点关于线段的“双角坐标”为，与交点为，若与相似，则点在该平面直角坐标系内的坐标是　 　．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（2025·江阳模拟）计算：．
18．（2025·江阳模拟）化简： ．
19．（2025·江阳模拟）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．（2025·江阳模拟）根据“五项管理”文件精神，我校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上：B：60~90分钟：C：30~60分钟：D：30分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角度数，并补全条形统计图：
（3）学校从“A”层级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
21．（2025·江阳模拟）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以3150元购进A、B两种不同品种的盒装草莓，其中A品种进价为35元/盒、B品种50元/盒；若按A品种60元/盒、B品种80元/盒的标价出售可获利润2050元．
（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒？
（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕．（损耗忽略不计）因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于25盒．如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．（2025·江阳模拟）为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．
23．（2025·江阳模拟）如图，A为反比例函数（其中）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，．连接OA、AB，且．
（1）求k的值；
（2）过点B作，交反比例函数（）的图象于点C．连接AC，连接OC交AB于点D，求三角形ADC的面积．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（2025·江阳模拟）如图，中，点O在边上，经过点A的与边相切于点D，与边交于点E，射线交的延长线于点F，连接，．
（1）判断直线与的位置关系，并加以证明；
（2）若，求的长．
25．（2025·江阳模拟）如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线上一点，且，求点P的坐标；
（3）若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点．
①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当时，请直接写出a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|0|=0，|-1|=1，|1|=1，且0＜1＜2，
∴绝对值最小的数是0，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值意义求出各数的绝对值，再根据正数都大于零，即可判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面可看，可得如下图形：
．
故答案为：D．
【分析】俯视图是从物体的上面向下看得到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，故可得该凹形几何体的俯视图是长方形中加两竖直实线.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4500万=45000000．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ﹣3a2 2a3 ＝﹣6a5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、 6a6÷（﹣2a3） ＝﹣3a3，故此选项计算错误，不符合题意；
C、 （﹣a3）2 ＝a6，故此选项计算正确，符合题意；
D、 （ab3）2 ＝a2b6，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘以单项式，把系数与系数相乘，结果作为积的系数，对于相同字母的幂，底数不变，指数相加，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式进行计算，即可判断A选项；根据单项式除以单项式， 把系数与系数相除，结果作为商的系数，对于相同字母的幂，底数不变，指数相减，对于只在被除式含有的字母，则连同指数作为商的一个因式进行计算， 即可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴平移规律为横坐标减4，纵坐标减4，
∵ ，
∴点B′的坐标为 ，
故答案为：C.
【分析】根据对应点A、A 的坐标并结合平移规律“左减右加、上加下减”可知平移的方向和距离为：向左平移4个单位长度、向下平移4个单位长度，于是点B 的坐标可求解.
6．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可知学习时间为4小时出现了两次，出现的次数最多，
∴这六名同学学习时间的众数为4小时，
把这组数据从小到大排列为，处在最中间的两个数据为4小时，5小时，
∴这组数据的中位数为小时，
故答案为：A．
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
7．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法错误；
B、矩形的对角线一定相等且平分，但不一定互相垂直，本选项说法错误；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，本选项说法错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项说法正确.
故答案为：D．
【分析】矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个内角为直角的平行四边形是矩形；菱形的判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定定理：①一组邻边相等的矩形是正方形，②有一个内角为直角的菱形是矩形；矩形的性质：矩形对角线互相平分且相等，据此逐一判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；生活中的旋转现象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴阴影部分的面积等于圆心角为的扇形的面积．
∵，，，
∴根据勾股定理得：，
∴扇形的半径为5．
∴阴影部分的面积=．
故答案为：C.
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠A+∠B=90°，从而可得阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积；利用勾股定理算出AB的长，即可得出圆的半径，最后根据扇形面积计算公式“”计算即可.
9．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：方程去分母得：，
∴，
∵关于的方程的解为负数，
∴，
解得：．
又，
∴，
则m的取值范围是．
故答案为：C．
【分析】将m作为系数解分式方程，用含m的式子表示出 ，根据该分式方程的解为负数列出关于字母m的不等式组且，求解即可得出m的取值范围.
10．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
.
故答案为：B．
【分析】由当为锐角时，有可将cos210°变形为cos(180°+30°)=-cos30°，然后根据特殊锐角三角函数值可得答案.
11．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接，
∵四边形是矩形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】在，上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接，由矩形的性质得∠ABE=∠BAD=90°，AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=16，AB=CD=8，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABNM是平行四边形，进而根据一组邻边相等的且由一个内角为直角的平行四边形是正方形得出四边形ABNM是正方形，从而可得∠AMH=∠MNB=90°，AB=MN，AB∥MN，然后利用“SAS”证△ABG≌三硝基AMH，由全等三角形的性质得∠GAB=∠MAH及AG=AH；然后根据角的构成及等量代换推出∠GAE=∠EAF，再根据“SAS”证△AGE≌△AHE，由全等三角形的对应边相等得EG=EH，然后在Rt△ENH中利用勾股定理建立方程可求出MH的长；由平行于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AMH∽△ADF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DF的长.
12．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数（为常数）的图象经过不同两点，
∴对称轴为直线，对称轴为直线，
即，
∴，
∴，
∵该二次函数的图象与直线有公共点，
∴，
∴，
则，
解得，
∵当时，随的增大而增大，且函数的二次项系数为1，
∴开口向上，对称轴在直线的右边，随的增大而增大，
∴，
解得，
∴，
故答案为：D.
【分析】 根据抛物线的对称性可得对称轴为直线，由对称轴直线公式得对称轴为直线，从而得出；再结合该二次函数的图象与直线有公共点，得出方程中，求出；再根据二次函数的开口方向向上，结合增减性判断出对称轴在直线的右边，随的增大而增大，从而列出不等式c+1≤3，求解得出c≤2，综上即可得出c的取值范围.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式x，再用平方差公式继续因式分解到每一个因式都不能再分解为止.
14．【答案】x≥﹣1且x≠3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：x+1≥0；分母不等于0，可知：x﹣3≠0，所以自变量x的取值范围就可以求出．
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得：m≠0且Δ＝[﹣2（m＋2）]2﹣4m2＝16m＋16＞0，
∴m＞﹣1且m≠0，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝ ，
∵x1＋x2＝2m，
∴＝2m，
∵m≠0，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或﹣1，
经检验，m＝2或﹣1是原分式方程的解，
∵m＞﹣1，
∴m＝2.
故答案为：2.
【分析】根据题意得：m≠0且Δ＞0，代入求解可得m的范围，根据根与系数的关系可得x1＋x2= ，结合已知条件可得m的值，据此解答.
16．【答案】（，-1）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；圆周角定理；确定圆的条件；一次函数图象与坐标轴交点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵直线：交轴、轴于点、
当x＝0时，y＝，
∴点B的坐标是（0，），OB＝
当y＝0时，0＝，解得x＝﹣1，
∴点A的坐标是（﹣1，0），OA＝1
∴tan∠ABO＝
∴∠ABO＝30°，∠OAB＝90°－∠ABO＝60°
如图所示，由题意得∠EAB＝∠ABD，∠ABE＝∠BAD，
∴△ABE∽△BAD
∴∠AEB＝∠ADB
∴A、E、D、B四点共圆，如图所示，
∴∠ADE＝∠ABE＝30°，∠EAD＝∠EBD
∴∠FAB＝∠FBA
∵△ADE∽△AFD
∴∠F＝∠ADE＝30°，∠FAB＝∠FBA＝75°
∴∠FAO＝∠FAB－∠BAO＝15°，∠FBE＝∠FAB－∠ABO＝45°，
∴∠OGB＝90°－∠FBE＝45°
∴∠OGB＝∠OBG
∴OG＝OB＝
∴点G的坐标是（，0），
设直线BF的解析式为y＝kx＋b，代入G（，0），B（0，）得
解得
∴直线BF的解析式为，
在线段AO上取点H，使得AH＝EH，则∠HAE＝∠HEA＝15°，
∴ ∠OHE＝∠HAE＋∠HEA＝30°
设OE＝t，
则OH＝ ，
∴
∴
∴点E的坐标为（0，）
设直线AF的解析式为y＝k1x＋b1，代入A（﹣1，0），E（0，－2）得
解得
∴直线AF的解析式为，
联立直线BF和AF的解析式得
解得
∴点F在该平面直角坐标系内的坐标（，-1）
故答案为：（，-1）
【分析】分别令中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，得其与y轴、x轴的交点B、A的坐标；根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值求出∠ABO＝30°，由直角三角形两锐角互余求出∠OAB＝60°；根据新定义易得 ∠EAB＝∠ABD，∠ABE＝∠BAD， 从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABE∽△BAD，由相似三角形对应角相等得∠AEB＝∠ADB，由确定圆的条件得出 A、E、D、B四点共圆， 由同弧所对的圆周角相等得∠ADE＝∠ABE＝30°，∠EAD＝∠EBD，则∠FAB＝∠FBA，由全等三角形的对应角相等及角的构成推出∠OGB＝∠OBG，由等角对等边得出 OG＝OB＝ ，从而得到点G的坐标，利用待定系数法求出直线BF的解析式；进而求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线AF的解析式，联立直线AF与BF的解析式求解得出点F的坐标.
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据立方根的定义、绝对值性质、负整数指数幂的法则“”及零指数幂的法则“a0=1(a≠0）”分别化简，再计算乘法，最后计算加减法运算得出答案.
18．【答案】解：原式= =（x﹣1）（x﹣3）= ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的除法，可得答案．
19．【答案】解：由图可知：，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据角的和差证明∠DOC=∠BOA，再根据SAS得到两三角形全等即可．
20．【答案】（1）
（2）解：扇形统计图中“”层级的扇形的圆心角的度数为：，
“”层级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：接受问卷调查的学生共有：（人，
故答案为：40；
【分析】（1）由统计图表提供的信息，用“”层级的人数除以所占百分比即可求出本次接受问卷调查的学生总人数 ；
（2）由360°乘以“”层级的人数所占的比例得出扇形统计图中“”层级的扇形的圆心角的度数，再根据各个层次的人数之和等于本次调查的总人数求出B层级的人数，补全条形统计图即可；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图列举出所有等可能的情况数，由图可知共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
（1）解：接受问卷调查的学生共有：（人，
故答案为：40；
（2）解：扇形统计图中“”层级的扇形的圆心角的度数为：，
“”层级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
21．【答案】（1）解：设品种草莓购进盒，品种草莓购进盒，
则，
解得：，
即品种草莓购进40盒，品种草莓购进35盒．
（2）解：设品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，总利润为元，
则，
又由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最大整数为33，最小整数为25，
，
∴随的增大而减少，
∴当时，取最大值，最大值为：元，
所以安排品种草莓购进25盒，则品种草莓购进75盒，可以获得最大利润2875元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A品种草莓购进x盒，B品种草莓购进y盒，根据单价乘以数量等于总价及购买x盒A品牌的草莓需要得费用+购进y盒B品牌草莓的费用=3150元，根据每盒草莓的利润乘以销售数量等于总利润及销售x盒A品牌的草莓获取的利润+销售y盒B品牌草莓获取的利润=2050元，列出方程组，求解即可得出答案；
（2）设A品种草莓购进m盒，则B品种草莓购进盒，根据销售m盒A品牌的草莓获取的利润+销售(100-x)盒B品牌草莓获取的利润等于总利润，列出w与m的函数关系式；根据“ 购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于25盒 ”列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围，从而利用一次函数的性质可得答案．
（1）解：设品种草莓购进盒，品种草莓购进盒，
则，
解得：，
即品种草莓购进40盒，品种草莓购进35盒．
（2）解：设品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，总利润为元，
则，
又由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最大整数为33，最小整数为25，
，
∴随的增大而减少，
∴当时，取最大值，最大值为：元，
所以安排品种草莓购进25盒，则品种草莓购进75盒，可以获得最大利润2875元．
22．【答案】解：过作于于，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴在中，，
∵米，，
∴（米），
∵，
∴在中，，
∵四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴（米），
∴（米），
答：的长和的长分别约为米和米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过作于于，根据直线平行性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，在中，根据正切定义可得AB，在中，根据正切定义可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）解：过点作交轴于点，交于点，
，，
，
，
，
；
（2）解：将代入得y=3，
∴，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）过点作轴，垂足为，交于，利用等腰三角形的三线合一得出的长，利用勾股定理得出的长，从而可得出的坐标，再利用反比例函数图象上任意一点的横纵坐标乘积都等于k，即可求出k值；
（2）根据（1）所求k的值，可得反比例函数的解析式；易得点C的横坐标为6，将x=6代入反比例函数解析式算出对应的函数值，可得点C的坐标；利用三角形中位线定理可求出的长，进而可得出的长；由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AH∥BC，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，利用相似三角形的对应边成比例即可求出的值，再根据三角形的面积公式可求得△ABC的面积，进而根据同高三角形面积之间得关系就是对应底的关系可求得△ADC的面积．
（1）解：过点作交轴于点，交于点，
，，
，
，
，
；
（2）解：将代入得，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：直线与相切，
证明如下：如图，连接，则．
∴，，
∴，，
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
设⊙O的半径为r，则，
，
∴．
在中，
，
∴．
【知识点】切线的性质；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）直线AF与圆O相切，理由如下：连接OD，由同圆半径相等得OA=OE=OD，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠AOE=∠DOE，从而利用“SAS”证明△AOF≌△DOF，由全等三角形的对应角相等及切线的性质得到∠OAF=∠ODF=90°，然后根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线即可得出结论；
（2）首先在Rt△ACF中，由勾股定理求出AF，然后根据有两组角相等的两个三角形相似得△ODC∽△FAC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出圆的半径得长，再在Rt△AFO中，用勾股定理求出OF的长，最后根据EF=OF-OE进行求解即可．
（1）解：直线与相切，
证明如下：如图，连接，则．
∴，，
∴，，
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
设⊙O的半径为r，则，
，
∴．
在中，
，
∴．
25．【答案】（1）解：∵抛物线，当时，取最小值，
∴抛物线的解析式是：，即；
当时，，
即点坐标是，
当时，，
解得：或2，
即点坐标是点坐标是．
将代入直线的解析式，
得，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）解：过点作为垂足，
，
，
，
由勾股定理，得，
当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足，
，
，
，
∴，
，
，
∴点；
②当点在延长线时，作轴，点为垂足，
，
，
∵PG∥OC，
∴△PAG∽△CAO，
，
，
，
解得：，
；
综上，或；
（3）解：①存在的值，使得，
设直线与抛物线的交点为在左侧 ）．
则为方程组的解，
由方程组消去整理，得：，
∴是方程的两个根，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：，
∴存在值，使得，其值为或；
②或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）②∵，
∴，即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：或，
∴当时，的取值范围是或．
【分析】（1）由题意得到抛物线的顶点坐标为，从而可写出抛物线的顶点式，再分别令抛物线解析式中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得点C与点A的坐标；然后将A、C的坐标代入，可得关于字母k、m的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）过点作为垂足，根据等高三角形的面积比等于对应底之比可得，即，可先根据勾股定理求出AC的长，然后分情况讨论：①当在线段AC上时，过点作轴，点为垂足，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得，由平行于三角形一边的直线截其他两边，所截三角形与原三角形相似得△ACO∽△APH，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PH的长，即得点P的纵坐标，然后将点P的纵坐标代入直线AC的解析式，即可算出对应的自变量x的值，从而得到点P的坐标；②当P在CA的延长线上时， 由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得PG∥OC，由平行于三角形一边的直线截其他两边延长线，所截三角形与原三角形相似得 △PAG∽△CAO，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PG的长，即得点P的纵坐标，然后将点P的纵坐标代入直线AC的解析式，即可算出对应的自变量x的值，从而得到点P的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设两函数图象的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出；①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值；②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围．
（1）解：∵抛物线，当时，取最小值，
∴抛物线的解析式是：，即；
当时，，
即点坐标是，
当时，，
解得：或2，
即点坐标是点坐标是．
将代入直线的解析式，
得，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）解：过点作为垂足，
，
，
，
由勾股定理，得，
当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足，
，
，
，
∴，
，
，
∴点；
②当点在延长线时，作轴，点为垂足，
，
，
，
，
，
解得：，
；
综上，或；
（3）解：①存在的值，使得，
设直线与抛物线的交点为在左侧 ）．
则为方程组的解，
由方程组消去整理，得：，
∴是方程的两个根，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：，
∴存在值，使得，其值为或；
②∵，
∴，即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：或，
∴当时，的取值范围是或．
1 / 1

展开更多......

收起↑