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湖南省长沙市宁乡市西部六乡镇2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·宁乡市期中）在下列各组图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·宁乡市期中）点在平面直角坐标系中所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025七下·宁乡市期中）在我国海军海战演习中，若要确定每艘战舰的位置，则需要知道每艘战舰相对我方潜艇的（　　）
A．方位角 B．距离
C．方位角与距离 D．失火轮船的国籍
4．（2025七下·宁乡市期中）如图，下列关于图中角与角的位置关系，描述错误的是( )
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
5．（2025七下·宁乡市期中）下列各组数中，运算结果相等的一组是（　　）
A．与 B．23与32 C．与 D．与
6．（2025七下·宁乡市期中）下列命题中，真命题的个数有（　　）
①如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025七下·宁乡市期中）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（　　）
A．2 B． C．4 D．1
8．（2025七下·宁乡市期中）若方程是二元一次方程，则的值为（　　）
A．2 B． C．0 D．
9．（2025七下·宁乡市期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
10．（2025七下·宁乡市期中）如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，如图2所示， 以顶点为原点O， 分别以棱，，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系），立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ，，我们知道，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为，．照此方法，请你确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025七下·宁乡市期中）如果座位表上“2列3行”记作，那么表示　 　．
12．（2025七下·宁乡市期中）命题“内错角相等，两直线平行”的题设是　 　.
13．（2025七下·宁乡市期中）如图，小华表示的位置用表示，小芳表示的位置可以用表示，则老师的位置可以表示为　 　 ．
14．（2025七下·宁乡市期中）如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为　 　．
15．（2025七下·宁乡市期中）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是　 　．
16．（2025七下·宁乡市期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为　 　．
三、解答题（共72分）
17．（2025七下·宁乡市期中）计算：
（1）．
（2）．
18．（2025七下·宁乡市期中）解方程组：
19．（2025七下·宁乡市期中）解方程：
（1）．
（2）．
20．（2025七下·宁乡市期中）如图：
（1）分别写出点A，B，C三点的坐标
（2）求的面积（平面直角坐标系中小方格的边长为1）
21．（2025七下·宁乡市期中）在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标．
（1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度；
（2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度；
（3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度；
（4）点D在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度；
（5）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度．
22．（2025七下·宁乡市期中）如图，，与交于点P．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求证：．
23．（2025七下·宁乡市期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．
（1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值．
24．（2025七下·宁乡市期中）在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点的“短距”为 　 　；
（2）点的“短距”为1，求的值；
（3）若，两点为“等距点”，求的值．
25．（2025七下·宁乡市期中）【方法给定】事实上，是无理数是可以证明的，下面给出一种证明方法．
假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是．两边六次方得．
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的六次方才是偶数，所以p也是偶数．
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．所以q也是偶数．
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．（提示：奇数乘奇数等于奇数．奇数乘偶数等于偶数．偶数乘偶数等于偶数）
（1）【理解运用】证明是无理数．
（2）【猜想探究】发现问题，做出猜想，实验验证是数学学习中非常重要的一环，现在做出猜想：是不是所有无理数都能用这个方法证明是无理数呢？
、、 、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？
、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？
我们知道.、、可以用这种给定方法证明吗？、、呢？（提示：无理数的相反数是无理数）
（3）【总结归纳】你知道给定方法可以证明哪些无理数（根指数、被开方数有什么特点）是无理数了吗？请总结归纳出你的结论吧．（提示：可分正、负无理数归纳）（0次根号无意义，不讨论）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是，
故答案为：C．
【分析】“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移；再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】点在平面直角坐标系中所在的象限是第二象限，
故选：B．
【分析】该题目考查平面直角坐标系中点的位置判断。根据题目给定的坐标特征，可以确定点所在的象限。
3．【答案】C
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：在我国海军海战演习中，若要确定每艘战舰的位置，则需要知道每艘战舰相对我方潜艇的方位角与距离，
故答案为：C．
【分析】确定物体的位置要有两个数据，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A．与是对顶角，原说法正确，A不符合题意；
B．与是同位角，原说法正确，B不符合题意；
C．与是内错角，原说法正确，C不符合题意；
D．与是邻补角，原说法错误，D符合题意．
故选：D．
【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角的概念。正确理解这些角的定义是判断的前提条件，掌握"三线八角"的位置关系和几何意义是解题的关键。
5．【答案】D
【知识点】实数的大小比较；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，
，本选项不符合题意；
B、，，
，本选项不符合题意；
C、，
，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用有理数乘方法则进行计算，再比较大小，可对A、B作出判断；再利用负数的绝对值等于它的相反数，可对C作出判断；先求出的值，可对D 作出判断.
6．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解： 命题①：在同一平面内，如果两条直线没有交点，则这两条直线平行。这个命题是假命题，因为还需要排除重合的情况；命题②：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这个命题是假命题，因为当点在直线上时存在无数条垂线；
命题③：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。这个命题是假命题，这是平行公设的特例，但表述不够严谨；
命题④：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。这个命题是真命题，符合垂线段最短的性质。
综上所述，真命题的个数有1个。
故选：A．
【分析】本题主要考查命题真假的判断，涉及平行公理和垂线段最短的性质。通过逐一分析每个命题的正确性来得出最终结论。
7．【答案】D
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平“一个正数的两个平方根互为相反数”列出算式，进而得出答案．
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵方程是二元一次方程，
∴且，解得：，
∴．
故选：A．
【分析】二元一次方程必须满足三个条件：含有两个未知数、所含未知数的项的次数均为1、且未知数的系数不为零。解题时，根据方程中 x 与 y 的指数分别等于1，列出方程组，并且注意m + 2n 0，求出m、n的值，然后代入计算即可．
9．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵方程组的解为，
∴分别为方程和的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴被“”“”遮住的两个数分别是，．
故答案为：A．
【分析】把代入先求出的值，再代入求出的值，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：依题意，∵在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为，且长方体的长宽高分别为，，
∴，，
∵点O 和点B的坐标分别记为，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用已知条件可求出，，即可求出点A的坐标，再根据长方体的特点，可求出点D的坐标.
11．【答案】5列4行
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵座位表上“2列3行”记作，
∴表示5列4行，
故答案为：5列4行．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的位置确定：坐标系中的点与有序实数对一一对应；
需要掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征。根据点坐标的含义进行分析解答。
12．【答案】内错角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题“内错角相等，两直线平行”改为“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角相等，那么这两条直线平行”，所以这个命题的题设为内错角相等；
故答案为：内错角相等.
【分析】一个命题的题设就是这个命题的已知部分，一般用如果领起，故将该命题改写成如果那么的形式即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
则老师的位置可以表示为，
故答案为：．
【分析】利用小芳和小华的位置的点的坐标，建立平面直角坐标系，据此可得老师所在的位置表示的点的坐标.
14．【答案】（北偏东，17海里）
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：由题意知：港口A相对货船B的位置可描述为：（北偏东，47海里），
故答案为：（北偏东，17海里）．
【分析】本题主要考查坐标系中位置的确定方法。当使用方位角描述方向时，通常以正北方向或正南方向作为基准起始边，以目标点所在射线作为终止边。因此，在描述方位角时，一般先说明是北向还是南向，再说明偏东或偏西的具体角度。题目要求以点为基准点，描述点的相对位置关系。在方向描述中，南方与北方互为相反方向，东方与西方也互为相反方向。需要注意的是，两点之间的实际距离保持不变，方向角度也维持原值。
15．【答案】
【知识点】实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：由 a 的倒数是，得：a =
的相反数是，其绝对值为 0，即：b = 0.
c 是 -1 的立方根，得：c = -1.
计算：=+ + = 3 + 0 + 1 = 4.
得：4 的平方根为 2.
故答案为：2.
【分析】本题主要考查倒数、相反数、绝对值、立方根的概念，以及实数的平方根计算。解题关键在于准确理解各概念，正确求出 a、b、c 的值，再代入计算代数式的平方根。
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：过点作轴，
∵线段向右平移4个单位到线段，，
∴，，
∴，
∵，
∴（HL），
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】过点作轴，利用平移的性质及点的坐标平移规律可求出点D的坐标，同时可证得AB=CD，利用HL可证得，利用全等三角形的面积线段可知，根据阴影部分的面积可求出OE的长；设，可表示出OA的长，然后根据，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点C的坐标.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题主要考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根、平方根的性质以及乘方运算。
（1）分别计算（算术平方根，取非负值）、（立方根）、（先平方再开方，结果非负），再按顺序进行加减运算即可。
（2）注意表示 的相反数，结果为 -1； 先平方得 4，再开方得 2；立方根为 3；为无理数，直接保留。最后合并同类项（有理数与无理数分别计算）得出结果。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：
①×2得：2x+2y= 8 ③
②-③得： x=3，
将x=3 代入①式，得y=1，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点在于掌握加减消元法的运用步骤和技巧。解题时需要注意方程变形时保持等式平衡，并正确进行代数运算。将方程①两边同乘以2，得到新的方程2x + 2y = 8。然后运用加减消元法，先求出x的值，再代入求出y的值，最终得到方程组的解。
19．【答案】（1）解：∵
∴或，
∴或．
（2）解：∵
∴，
∴．
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】本题主要考查平方根与立方根的定义在解方程中的应用。
（1）方程为 = 225，利用平方根的定义，若 = b（b0），则 a =。将 4x - 1 视为整体，得到 4x - 1 =15，再分别解两个一次方程得出 x 的两个解。
（2）方程为 = -27，利用立方根的定义，若= b，则 a =（立方根唯一）。将 x + 3 视为整体，直接开立方得 x + 3 = -3，解得 x = -6。
（1）解：∵
∴或，
∴或．
（2）解：∵
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】本题考查了坐标与图形位置的关系，解题时需结合图形运用数形结合的思想方法。（1）根据平面直角坐标系中点的位置关系，直接写出各点的坐标即可；
（2）通过分割填补的方法计算图形的面积。
（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，．
21．【答案】解：（1）∵点A在y轴上，
∴点A的横坐标为0，而点A位于原点上方，距离原点2个单位长度，
∴点A的纵坐标为2，
∴点A的坐标为（0，2）；
（2）点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，而点A位于原点右侧，距离原点1个单位长度，
∴点B的横坐标为1，
∴点B的坐标为（1，0）；
（3）∵点C在x轴上方，y轴右侧，
∴点C在第一象限，
∵距离每条坐标轴都是2个单位长度，横纵坐标都为2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（4）∵点D在x下轴上方，y轴左侧，
∴点D在第三象限，
∵距离每条坐标轴都是3个单位长度，横纵坐标都为-3，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣3）；
（5）∵点E在x轴下方，y轴右侧，
∴点E在第四象限，
∵距离x轴2个单位长度，纵坐标为-2，距离y轴4个单位长度，横坐标为4，
∴点E的坐标为（4，﹣2）．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）对于点A：由于A在y轴上，其横坐标x=0；位于原点上方且距离为2个单位，故纵坐标y=2因此A点坐标为(0，2)；
（2）对于点B：根据定义，x轴上点的纵坐标必为0，所以点B的纵坐标为0，而点A位于原点右侧，距离原点1个单位长度，所以点B的横坐标为1，因此点B的坐标为（1，0）；
（3）对于点C：位于第一象限，到x轴和y轴的距离均为2个单位，故点C坐标为(2，2)；
（4）对于点D：位于第三象限，到x轴和y轴的距离均为3个单位，故点D坐标为(-3，-3)
(5)对于点E：位于第四象限，到x轴距离为2个单位 |y|=2 y=-2，到y轴距离为4个单位 |x|=4 x=4，故点E坐标为(4，-2)。
22．【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）证明：，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用同位角相等，两直线平行，可证得，再利用两直线平行，同位角相等可证，由此可求出∠C的度数.
（2）利用两直线平行，同位角相等可证得，利用三角形的内角和定理可求出∠CFD=90°，再根据两直线平行，同位角相等可求出∠EPD的度数，然后利用垂直的定义可证得结论.
（1）解：，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
．
23．【答案】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，
理由如下：，，，且6，3，2都是整数，
∴，，这三个数是“完美组合数”；
（2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为24，
这两个数的乘积为576，
当时，则，
，
，
，，
此时符合题意；
当时，则不符合题意；
．
【知识点】算术平方根的实际应用；分类讨论
【解析】【分析】本题考查算术平方根的概念，关键在于理解题目中"完美组合数"的定义。
（1）根据题目要求，需要分别计算两个数的乘积的算术平方根，然后按照"完美组合数"的定义进行判断；
（2）需要分两种情况讨论：当时，求解a的值，当时，求解a的值，最终需要分别计算这两种情况下的解。
（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，
理由如下：，，，且6，3，2都是整数，
∴，，这三个数是“完美组合数”；
（2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为24，
这两个数的乘积为576，
当时，则，
，
，
，，
此时符合题意；
当时，则不符合题意；
．
24．【答案】（1）2
（2）点的“短距”为1，
，
∴点B的“短距”为，
当-2m+1＞0时，-2m+1=1，m=0；
当-2m+1＜0时，-(-2m+1)=1，m=1；
∴或；
（3）点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4，
∴当时，即或时，，
∴，解得
或，解得；
当时，即或时，，
∴，解得（舍去）
或，解得（舍去）；
当时，即时，，
∴，解得（舍去）
或，解得（舍去），
综上所述，或．
【知识点】点的坐标；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据点到坐标轴的距离及“短距”的定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，即可求解；
（2）根据“短距”的定义可知，横坐标到y轴的距离为，则只能使得纵坐标到x轴的距离 ，由此可求出m的值；
（3）点C纵坐标到x轴的距离为，横坐标到y轴距离为1，点D纵坐标到x轴的距离为，横坐标到y轴距离为4，由，进而分类讨论，根据“等距点”的定义，列出方程与，解方程即可求出k的值．
25．【答案】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边8次方得，
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的8次方才是偶数，
所以p也是偶数，
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，
因为是偶数，所以也是偶数，只能是是偶数，
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾，
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．
（2）解：因为、、 、（n为正整数，k为正整数）去掉根号后不能得到一边是偶数，
所以它们都不可以用这种给定方法证明，
、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明，
如，
假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边3次方得，
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的3次方才是偶数，
所以p也是偶数，
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．
因为是偶数，
所以也是偶数，因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，因为是偶数，
所以也是偶数，
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾，
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数，即是无理数．
其它各数同理可证；
我们知道.、、可以用这种给定方法证明；
、、不能用这种给定方法证明．
（3）给定方法可以证明被开方数是偶数的无理数．
【知识点】反证法；奇数与偶数及其应用；有理数、无理数的证明
【解析】【分析】本题主要考查无理数的反证法证明，通过奇偶性分析推出矛盾，体现了数论与代数思想的结合。
（1）按照给定方法证明是无理数。假设=（p， q 互质），两边平方得 =，分析奇偶性：为偶数，故 p 为偶数；设 p = 2r 代入得，即，右边为偶数则 q 必为偶数，与 p， q 互质矛盾。
（2）通过观察示例，猜想并非所有无理数都能用此奇偶性反证法证明。该方法依赖于被开方数含有因子 2，从而从偶数推导出 p， q 均为偶数；若被开方数为奇数（如），则平方后奇偶性无法导出矛盾，需调整证明方法。
（3）总结归纳：给定方法适用于证明形如（k 为正整数，且被开方数为偶数）的无理数，因为偶数的平方仍为偶数，可通过奇偶性推出矛盾；对于被开方数为奇数的无理数，此方法失效，需采用质因数分解等其他反证思路。
（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边8次方得，
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的8次方才是偶数，
所以p也是偶数，
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，
因为是偶数，所以也是偶数，只能是是偶数，
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾，
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．
（2）解：因为、、 、（n为正整数，k为正整数）去掉根号后不能得到一边是偶数，
所以它们都不可以用这种给定方法证明，
、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明，
如，
假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边3次方得，
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的3次方才是偶数，
所以p也是偶数，
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．
因为是偶数，
所以也是偶数，因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，因为是偶数，
所以也是偶数，
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾，
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数，即是无理数．
其它各数同理可证；
我们知道.、、可以用这种给定方法证明；
、、不能用这种给定方法证明．
（3）给定方法可以证明被开方数是偶数的无理数．
1 / 1湖南省长沙市宁乡市西部六乡镇2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·宁乡市期中）在下列各组图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是，
故答案为：C．
【分析】“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移；再对各选项逐一判断即可.
2．（2025七下·宁乡市期中）点在平面直角坐标系中所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】点在平面直角坐标系中所在的象限是第二象限，
故选：B．
【分析】该题目考查平面直角坐标系中点的位置判断。根据题目给定的坐标特征，可以确定点所在的象限。
3．（2025七下·宁乡市期中）在我国海军海战演习中，若要确定每艘战舰的位置，则需要知道每艘战舰相对我方潜艇的（　　）
A．方位角 B．距离
C．方位角与距离 D．失火轮船的国籍
【答案】C
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：在我国海军海战演习中，若要确定每艘战舰的位置，则需要知道每艘战舰相对我方潜艇的方位角与距离，
故答案为：C．
【分析】确定物体的位置要有两个数据，即可求解.
4．（2025七下·宁乡市期中）如图，下列关于图中角与角的位置关系，描述错误的是( )
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A．与是对顶角，原说法正确，A不符合题意；
B．与是同位角，原说法正确，B不符合题意；
C．与是内错角，原说法正确，C不符合题意；
D．与是邻补角，原说法错误，D符合题意．
故选：D．
【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角的概念。正确理解这些角的定义是判断的前提条件，掌握"三线八角"的位置关系和几何意义是解题的关键。
5．（2025七下·宁乡市期中）下列各组数中，运算结果相等的一组是（　　）
A．与 B．23与32 C．与 D．与
【答案】D
【知识点】实数的大小比较；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，
，本选项不符合题意；
B、，，
，本选项不符合题意；
C、，
，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用有理数乘方法则进行计算，再比较大小，可对A、B作出判断；再利用负数的绝对值等于它的相反数，可对C作出判断；先求出的值，可对D 作出判断.
6．（2025七下·宁乡市期中）下列命题中，真命题的个数有（　　）
①如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解： 命题①：在同一平面内，如果两条直线没有交点，则这两条直线平行。这个命题是假命题，因为还需要排除重合的情况；命题②：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这个命题是假命题，因为当点在直线上时存在无数条垂线；
命题③：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。这个命题是假命题，这是平行公设的特例，但表述不够严谨；
命题④：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。这个命题是真命题，符合垂线段最短的性质。
综上所述，真命题的个数有1个。
故选：A．
【分析】本题主要考查命题真假的判断，涉及平行公理和垂线段最短的性质。通过逐一分析每个命题的正确性来得出最终结论。
7．（2025七下·宁乡市期中）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（　　）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】D
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平“一个正数的两个平方根互为相反数”列出算式，进而得出答案．
8．（2025七下·宁乡市期中）若方程是二元一次方程，则的值为（　　）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵方程是二元一次方程，
∴且，解得：，
∴．
故选：A．
【分析】二元一次方程必须满足三个条件：含有两个未知数、所含未知数的项的次数均为1、且未知数的系数不为零。解题时，根据方程中 x 与 y 的指数分别等于1，列出方程组，并且注意m + 2n 0，求出m、n的值，然后代入计算即可．
9．（2025七下·宁乡市期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵方程组的解为，
∴分别为方程和的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴被“”“”遮住的两个数分别是，．
故答案为：A．
【分析】把代入先求出的值，再代入求出的值，即可求解.
10．（2025七下·宁乡市期中）如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，如图2所示， 以顶点为原点O， 分别以棱，，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系），立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ，，我们知道，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为，．照此方法，请你确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：依题意，∵在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为，且长方体的长宽高分别为，，
∴，，
∵点O 和点B的坐标分别记为，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用已知条件可求出，，即可求出点A的坐标，再根据长方体的特点，可求出点D的坐标.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025七下·宁乡市期中）如果座位表上“2列3行”记作，那么表示　 　．
【答案】5列4行
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵座位表上“2列3行”记作，
∴表示5列4行，
故答案为：5列4行．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的位置确定：坐标系中的点与有序实数对一一对应；
需要掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征。根据点坐标的含义进行分析解答。
12．（2025七下·宁乡市期中）命题“内错角相等，两直线平行”的题设是　 　.
【答案】内错角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题“内错角相等，两直线平行”改为“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角相等，那么这两条直线平行”，所以这个命题的题设为内错角相等；
故答案为：内错角相等.
【分析】一个命题的题设就是这个命题的已知部分，一般用如果领起，故将该命题改写成如果那么的形式即可得出答案.
13．（2025七下·宁乡市期中）如图，小华表示的位置用表示，小芳表示的位置可以用表示，则老师的位置可以表示为　 　 ．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
则老师的位置可以表示为，
故答案为：．
【分析】利用小芳和小华的位置的点的坐标，建立平面直角坐标系，据此可得老师所在的位置表示的点的坐标.
14．（2025七下·宁乡市期中）如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为　 　．
【答案】（北偏东，17海里）
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：由题意知：港口A相对货船B的位置可描述为：（北偏东，47海里），
故答案为：（北偏东，17海里）．
【分析】本题主要考查坐标系中位置的确定方法。当使用方位角描述方向时，通常以正北方向或正南方向作为基准起始边，以目标点所在射线作为终止边。因此，在描述方位角时，一般先说明是北向还是南向，再说明偏东或偏西的具体角度。题目要求以点为基准点，描述点的相对位置关系。在方向描述中，南方与北方互为相反方向，东方与西方也互为相反方向。需要注意的是，两点之间的实际距离保持不变，方向角度也维持原值。
15．（2025七下·宁乡市期中）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是　 　．
【答案】
【知识点】实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：由 a 的倒数是，得：a =
的相反数是，其绝对值为 0，即：b = 0.
c 是 -1 的立方根，得：c = -1.
计算：=+ + = 3 + 0 + 1 = 4.
得：4 的平方根为 2.
故答案为：2.
【分析】本题主要考查倒数、相反数、绝对值、立方根的概念，以及实数的平方根计算。解题关键在于准确理解各概念，正确求出 a、b、c 的值，再代入计算代数式的平方根。
16．（2025七下·宁乡市期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：过点作轴，
∵线段向右平移4个单位到线段，，
∴，，
∴，
∵，
∴（HL），
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】过点作轴，利用平移的性质及点的坐标平移规律可求出点D的坐标，同时可证得AB=CD，利用HL可证得，利用全等三角形的面积线段可知，根据阴影部分的面积可求出OE的长；设，可表示出OA的长，然后根据，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点C的坐标.
三、解答题（共72分）
17．（2025七下·宁乡市期中）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题主要考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根、平方根的性质以及乘方运算。
（1）分别计算（算术平方根，取非负值）、（立方根）、（先平方再开方，结果非负），再按顺序进行加减运算即可。
（2）注意表示 的相反数，结果为 -1； 先平方得 4，再开方得 2；立方根为 3；为无理数，直接保留。最后合并同类项（有理数与无理数分别计算）得出结果。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·宁乡市期中）解方程组：
【答案】解：
①×2得：2x+2y= 8 ③
②-③得： x=3，
将x=3 代入①式，得y=1，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点在于掌握加减消元法的运用步骤和技巧。解题时需要注意方程变形时保持等式平衡，并正确进行代数运算。将方程①两边同乘以2，得到新的方程2x + 2y = 8。然后运用加减消元法，先求出x的值，再代入求出y的值，最终得到方程组的解。
19．（2025七下·宁乡市期中）解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：∵
∴或，
∴或．
（2）解：∵
∴，
∴．
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】本题主要考查平方根与立方根的定义在解方程中的应用。
（1）方程为 = 225，利用平方根的定义，若 = b（b0），则 a =。将 4x - 1 视为整体，得到 4x - 1 =15，再分别解两个一次方程得出 x 的两个解。
（2）方程为 = -27，利用立方根的定义，若= b，则 a =（立方根唯一）。将 x + 3 视为整体，直接开立方得 x + 3 = -3，解得 x = -6。
（1）解：∵
∴或，
∴或．
（2）解：∵
∴，
∴．
20．（2025七下·宁乡市期中）如图：
（1）分别写出点A，B，C三点的坐标
（2）求的面积（平面直角坐标系中小方格的边长为1）
【答案】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】本题考查了坐标与图形位置的关系，解题时需结合图形运用数形结合的思想方法。（1）根据平面直角坐标系中点的位置关系，直接写出各点的坐标即可；
（2）通过分割填补的方法计算图形的面积。
（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，．
21．（2025七下·宁乡市期中）在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标．
（1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度；
（2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度；
（3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度；
（4）点D在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度；
（5）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度．
【答案】解：（1）∵点A在y轴上，
∴点A的横坐标为0，而点A位于原点上方，距离原点2个单位长度，
∴点A的纵坐标为2，
∴点A的坐标为（0，2）；
（2）点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，而点A位于原点右侧，距离原点1个单位长度，
∴点B的横坐标为1，
∴点B的坐标为（1，0）；
（3）∵点C在x轴上方，y轴右侧，
∴点C在第一象限，
∵距离每条坐标轴都是2个单位长度，横纵坐标都为2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（4）∵点D在x下轴上方，y轴左侧，
∴点D在第三象限，
∵距离每条坐标轴都是3个单位长度，横纵坐标都为-3，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣3）；
（5）∵点E在x轴下方，y轴右侧，
∴点E在第四象限，
∵距离x轴2个单位长度，纵坐标为-2，距离y轴4个单位长度，横坐标为4，
∴点E的坐标为（4，﹣2）．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）对于点A：由于A在y轴上，其横坐标x=0；位于原点上方且距离为2个单位，故纵坐标y=2因此A点坐标为(0，2)；
（2）对于点B：根据定义，x轴上点的纵坐标必为0，所以点B的纵坐标为0，而点A位于原点右侧，距离原点1个单位长度，所以点B的横坐标为1，因此点B的坐标为（1，0）；
（3）对于点C：位于第一象限，到x轴和y轴的距离均为2个单位，故点C坐标为(2，2)；
（4）对于点D：位于第三象限，到x轴和y轴的距离均为3个单位，故点D坐标为(-3，-3)
(5)对于点E：位于第四象限，到x轴距离为2个单位 |y|=2 y=-2，到y轴距离为4个单位 |x|=4 x=4，故点E坐标为(4，-2)。
22．（2025七下·宁乡市期中）如图，，与交于点P．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求证：．
【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）证明：，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用同位角相等，两直线平行，可证得，再利用两直线平行，同位角相等可证，由此可求出∠C的度数.
（2）利用两直线平行，同位角相等可证得，利用三角形的内角和定理可求出∠CFD=90°，再根据两直线平行，同位角相等可求出∠EPD的度数，然后利用垂直的定义可证得结论.
（1）解：，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
．
23．（2025七下·宁乡市期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．
（1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值．
【答案】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，
理由如下：，，，且6，3，2都是整数，
∴，，这三个数是“完美组合数”；
（2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为24，
这两个数的乘积为576，
当时，则，
，
，
，，
此时符合题意；
当时，则不符合题意；
．
【知识点】算术平方根的实际应用；分类讨论
【解析】【分析】本题考查算术平方根的概念，关键在于理解题目中"完美组合数"的定义。
（1）根据题目要求，需要分别计算两个数的乘积的算术平方根，然后按照"完美组合数"的定义进行判断；
（2）需要分两种情况讨论：当时，求解a的值，当时，求解a的值，最终需要分别计算这两种情况下的解。
（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，
理由如下：，，，且6，3，2都是整数，
∴，，这三个数是“完美组合数”；
（2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为24，
这两个数的乘积为576，
当时，则，
，
，
，，
此时符合题意；
当时，则不符合题意；
．
24．（2025七下·宁乡市期中）在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点的“短距”为 　 　；
（2）点的“短距”为1，求的值；
（3）若，两点为“等距点”，求的值．
【答案】（1）2
（2）点的“短距”为1，
，
∴点B的“短距”为，
当-2m+1＞0时，-2m+1=1，m=0；
当-2m+1＜0时，-(-2m+1)=1，m=1；
∴或；
（3）点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4，
∴当时，即或时，，
∴，解得
或，解得；
当时，即或时，，
∴，解得（舍去）
或，解得（舍去）；
当时，即时，，
∴，解得（舍去）
或，解得（舍去），
综上所述，或．
【知识点】点的坐标；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据点到坐标轴的距离及“短距”的定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，即可求解；
（2）根据“短距”的定义可知，横坐标到y轴的距离为，则只能使得纵坐标到x轴的距离 ，由此可求出m的值；
（3）点C纵坐标到x轴的距离为，横坐标到y轴距离为1，点D纵坐标到x轴的距离为，横坐标到y轴距离为4，由，进而分类讨论，根据“等距点”的定义，列出方程与，解方程即可求出k的值．
25．（2025七下·宁乡市期中）【方法给定】事实上，是无理数是可以证明的，下面给出一种证明方法．
假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是．两边六次方得．
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的六次方才是偶数，所以p也是偶数．
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．所以q也是偶数．
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．（提示：奇数乘奇数等于奇数．奇数乘偶数等于偶数．偶数乘偶数等于偶数）
（1）【理解运用】证明是无理数．
（2）【猜想探究】发现问题，做出猜想，实验验证是数学学习中非常重要的一环，现在做出猜想：是不是所有无理数都能用这个方法证明是无理数呢？
、、 、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？
、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？
我们知道.、、可以用这种给定方法证明吗？、、呢？（提示：无理数的相反数是无理数）
（3）【总结归纳】你知道给定方法可以证明哪些无理数（根指数、被开方数有什么特点）是无理数了吗？请总结归纳出你的结论吧．（提示：可分正、负无理数归纳）（0次根号无意义，不讨论）
【答案】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边8次方得，
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的8次方才是偶数，
所以p也是偶数，
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，
因为是偶数，所以也是偶数，只能是是偶数，
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾，
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．
（2）解：因为、、 、（n为正整数，k为正整数）去掉根号后不能得到一边是偶数，
所以它们都不可以用这种给定方法证明，
、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明，
如，
假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边3次方得，
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的3次方才是偶数，
所以p也是偶数，
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．
因为是偶数，
所以也是偶数，因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，因为是偶数，
所以也是偶数，
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾，
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数，即是无理数．
其它各数同理可证；
我们知道.、、可以用这种给定方法证明；
、、不能用这种给定方法证明．
（3）给定方法可以证明被开方数是偶数的无理数．
【知识点】反证法；奇数与偶数及其应用；有理数、无理数的证明
【解析】【分析】本题主要考查无理数的反证法证明，通过奇偶性分析推出矛盾，体现了数论与代数思想的结合。
（1）按照给定方法证明是无理数。假设=（p， q 互质），两边平方得 =，分析奇偶性：为偶数，故 p 为偶数；设 p = 2r 代入得，即，右边为偶数则 q 必为偶数，与 p， q 互质矛盾。
（2）通过观察示例，猜想并非所有无理数都能用此奇偶性反证法证明。该方法依赖于被开方数含有因子 2，从而从偶数推导出 p， q 均为偶数；若被开方数为奇数（如），则平方后奇偶性无法导出矛盾，需调整证明方法。
（3）总结归纳：给定方法适用于证明形如（k 为正整数，且被开方数为偶数）的无理数，因为偶数的平方仍为偶数，可通过奇偶性推出矛盾；对于被开方数为奇数的无理数，此方法失效，需采用质因数分解等其他反证思路。
（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边8次方得，
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的8次方才是偶数，
所以p也是偶数，
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，
因为是偶数，所以也是偶数，只能是是偶数，
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾，
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．
（2）解：因为、、 、（n为正整数，k为正整数）去掉根号后不能得到一边是偶数，
所以它们都不可以用这种给定方法证明，
、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明，
如，
假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边3次方得，
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的3次方才是偶数，
所以p也是偶数，
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．
因为是偶数，
所以也是偶数，因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，因为是偶数，
所以也是偶数，
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾，
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数，即是无理数．
其它各数同理可证；
我们知道.、、可以用这种给定方法证明；
、、不能用这种给定方法证明．
（3）给定方法可以证明被开方数是偶数的无理数．
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