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浙江省温州龙湾区2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·龙湾模拟）排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·龙湾模拟）如图是由5个完全相同的小立方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·龙湾模拟）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即149600000千米．数149600000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·龙湾模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·龙湾模拟）如图，直线，将一把三角尺的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·龙湾模拟）某班40名学生一周体育锻炼的时间统计如图所示，那么该班学生一周参加体育锻炼时间（单位：小时）的众数和中位数分别是（　　）
A．9，9 B．14，9 C．14，8.5 D．9，8.5
7．（2025·龙湾模拟）在一次体育模拟测试前，某班准备了若干块巧克力，若每位学生分3块，有7人未分到巧克力；若每位学生分2块．还剩下26块．问该班有多少名学生？准备了多少块巧克力？设该班有名学生，准备了块巧克力，则根据题意，可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·龙湾模拟）如图，在中，，．以为直径画半圆，交于点，过点作半圆的切线交于点，若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．10
9．（2025·龙湾模拟）小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论：
①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15；
③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米．
其中，正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025·龙湾模拟）如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，．连接，过点作于点，过点作分别交，，于点，，，则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·龙湾模拟）因式分解： 　 　.
12．（2025·龙湾模拟）二次根式中的取值范围为　 　．
13．（2025·龙湾模拟）有8张卡片，上面分别写着数，，，，，，，．从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是　 　．
14．（2025·龙湾模拟）在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为　 　．（结果保留）
15．（2025·龙湾模拟）如图，点，，，分别在矩形纸片的边，，，上，将矩形的四个角分别沿着，，，向内折，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．若，，则四边形的面积为　 　．
16．（2025·龙湾模拟）如图，点是边长为4的菱形内一点，，点，分别在，上，且，分别连结，并延长交，于点，．记四边形，的面积分别为，，与的面积之比为．当的值达到最大时，的值为　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·龙湾模拟）计算：．
18．（2025·龙湾模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·龙湾模拟）小明和小丽在探究尺规作图问题：如图1，在中，用尺规作边上的中线．
小明：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧交的右侧于点，连接交于点，则是边上的中线．
小丽：为什么？
小明：可以连接，，因为……
（1）请补充小明的推理过程．
（2）如图2，若，，，求的长．
20．（2025·龙湾模拟）某广播站要招聘一名小记者，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试以及成员评议（每人必须投一票，每票记1分），其成绩如下：
笔试 面试 成员评议
甲 80 90
乙 85 80
丙 70 90 12
成员评议得分扇形统计图
（1）求、的值；
（2）根据招聘要求，笔试低于80分不录用，“笔试”“面试”“成员评议”按照、、折算计入总分，总分最高者将被录用．已求得甲的总分为77.8分，那么谁将被录用？请说明理由．
21．（2025·龙湾模拟）如图，地面上点，，在一条直线上，两个观察者从，两地观测空中处一个无人机，分别测得其仰角为和，已知，两地相距36米．
（1）求观测者到处的距离；
（2）当无人机沿着与平行的路线飞行6秒后达到，在处测得该无人机的仰角为，求无人机飞行的平均速度．（结果保留根号）
22．（2025·龙湾模拟）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分．
（1）求的值及曲线的函数表达式．
（2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
23．（2025·龙湾模拟）已知二次函数（，为常数）的图象经过点和．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）该二次函数图象上有两点，，其中点在点左边．
①用含的代数式表示．
②当时，函数最大值与最小值的差为，求的值．
24．（2025·龙湾模拟）如图，在等腰中，，点为上一点，过点作交于点，过点作交的延长线于点．连接，作的外接圆交的延长线于点．
（1）若劣弧的度数为，求的度数．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴最接近标准质量的是，
故答案为：C．
【分析】要确定最接近标准质量的样品，需要比较各样品与标准质量差值的绝对值，绝对值越小则越接近标准质量，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图是：
故答案为：A.
【分析】几何体的俯视图是从物体的上方看到的图形平面图形，该小正方体组合的主视图有两行三列，从上向下各行小正方形的个数依次为3，1，从左右至，各列小正方形的个数依次为2，1，1，据此判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：149600000用科学记数法表示为.
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项原计算错误，不符合题意；
B、， 故该选项原计算错误，不符合题意；
C、， 故该选项原计算错误，不符合题意；
D、，故该选项原计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据幂的乘方，底数不变指数相乘可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠3=∠1=55°，然后根据平角可求出∠2的度数.
6．【答案】A
【知识点】折线统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：由统计图得参加体育锻炼时间为小时的人数为，且为最多，
∴众数是，
∵数据为某班40名学生一周体育锻炼的时间统计，
∴中位数为第名和第21名的平均数，
∵，
∴该班学生一周参加体育锻炼时间（单位：小时）的中位数为，
故答案为：A．
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合折线统计图提供的信息解答即可.
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：；
故答案为：B．
【分析】设该班有x名学生，准备了y块巧克力，根据“ 每位学生分3块，有7人未分到巧克力 ”可将巧克力的块数表示为3x+7，根据“ 每位学生分2块，还剩下26块 ”可将巧克力的块数表示为2x+26，然后根据巧克力的块数为y，列出方程组即可.
8．【答案】D
【知识点】切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图：连接、，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠CED=90°，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为直径画半圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：D．
【分析】连接AD、OD，由等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，则∠ODB=∠C，由同位角相等，两直线平行得出AC∥OD；由圆的切线垂直经过切点的半径得出∠ODE=90°，由二直线平行，内错角相等可推出∠CED=90°，由等角的同名三角函数值相等结合正切函数的定义得出CE=2；由直径所对的圆周角为直角可得，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出， 由等角的同名三角函数值相等结合正切函数的定义得出AE=8，最后根据AC=AE+CE即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：学校到书店速度为（千米/分钟），故①正确，符合题意；
，②正确，符合题意；
从书店到家的速度为（千米/分钟），
，
∴从书店到家的速度是学校到书店速度的倍，③不正确，不符合题意；
当小明离家的路程为0.8千米时，得，
解得，
∴经18分钟后小明离家的路程为0.8千米，
∴④正确，符合题意．
综上，正确的有3个，分别是①②④．
故答案为：C．
【分析】①根据图象提供的信息可得学校距离小明家3.5km，书店距离小明家2km，则学校到书店的距离为3.5-2=1.5km，小明从学校到书店用时10分钟，然后根据速度=路程÷时间计算即可；②小明从学校到书店用时10分钟，然后在书店购物花费5分钟，从而可得a=10+5=15；③小明从书店到家用时20-15=5分钟，书店距离小明家2km，根据速度=路程÷时间求出从书店到家的速度，从而计算从书店到家的速度是学校到书店速度的倍数即可；④根据小明距离家的距离等于书店距离家的距离减去小明从书店往家走过的路程列关于t的方程并求解即可．
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，，，
∵四边形和为正方形
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ABM≌△AEG，
∴AM=EG
∵，
∴，
∴，
则，，
在，，
在，，
即，
，
那么，，
故答案为：B．
【分析】设，，，由正方形四边相等可得，，从而利用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出；根据二直线平行，内错角相等得，则， 由等角的余角相等得出，由等角对等边可得到，根据勾股定理表示出EG，由ASA可证△ABM≌△AEG，由全等三角形的对应边相等得AM=EG，则，在Rt△BGH中利用∠GBH的余弦函数可表示出BH，在Rt△AGN中利用∠GAN的余弦函数表示出AN，进而根据MN=AM+AN表示出MN，PH=BH-BP表示出PH，即可求出AP与EG的比值是定值.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式分解即可.
12．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，解得：；
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为共有8张卡片，从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的结果有：2，4，6，8四种可能；
所以从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是；
故答案为：．
【分析】根据题意可得从8张卡片中随机抽取1张，共有8种等可能的结果数，其中抽取的卡片上的数是2的整数倍的结果有：2，4，6，8四种等可能结果数，从而根据概率公式计算即可．
14．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长为，
故答案为：．
【分析】根据弧长公式(r为弧所在圆的半径，n为弧所对圆心角度数)直接计算即可.
15．【答案】78
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：，，∠AHE=∠JHE
∴，
同理可得：，
∴四边形EHGF为矩形，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：78．
【分析】由折叠性质得，，由角的构成及平角推出∠HEF=90°，同理∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，从而根据四个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EHGF为矩形；由矩形性质得∠A=∠HEF=90°， 从而由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例建立方程求出AE的长，由勾股定理求出EH，从而看得出EF，最后由矩形面积公式计算即可得解．
16．【答案】4
【知识点】二次函数的最值；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，延长交于，
，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点在上，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，即时，的值最大为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴由菱形的对称性可得，，，
∴，
故答案为：4．
【分析】连接AC，过点P作PM⊥AD于M，延长MP交BC于E，由菱形的四边相等，对边平行得AB=BC=CD=DA=4，AD∥BC及AB∥CD，由平行线的性质推出PN⊥BC，根据菱形的轴对称性得出点P在AC上；设HD=x，则AH=4-x，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△PEC∽△PHA，由相似三角形对应边成比例求出，根据三角形面积公式表示出，再由二次函数的性质可得当时，即时，的值最大为； 由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得 △PFC∽△PGA，由相似三角形对应边成比例得出，由菱形的对称性可得，，，由此计算即可得解.
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】先根据0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、绝对值性质及二次根式性质“”分别计算，再计算有理数加减法得出答案.
18．【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】由于，据此将待求式子变形后利用同分母分式减法法则计算，然后将分子利用平方差公式分解因式后约分化简，最后将x的值代入化简结果根据有理数加法法则计算即可.
19．【答案】（1）证明：连接，，
由作图知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是边上的中线
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，BE=2BD，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接AE、CE，由作图知，，利用对边相等的四边形的是平行四边形得四边形ABCE是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分得出AD=CD，从而根据三角形中线定义可得结论；
（2）利用平行四边形的对角线互相平分得AD=CD，BE=2BD，再利用勾股定理求得BD，即可得出BE的长.
（1）证明：连接，，
由作图知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是边上的中线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：评议成员人数，
，
m=60×(1-50%-20%)=18
（2）解：甲将被录用，理由如下：
乙的总分为分，
丙笔试低于80分不录用，
，
答：甲将被录用
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用丙成员评议得分除以成员评议得分所占百分比即可求出本次参与成员评议的人数，再用本次参与成员评议的人数乘以乙成员评议得分所占的百分比即可求出乙成员评议得分n的值；同理看求出m的值；
（2）由于丙笔试低于80分不录用，故利用乙的各项成绩等分与其对应的权重乘积的和再除以各项权重的和得出乙的总分，再与甲的总分比大小即可判断得出结论.
（1）解：评议成员人数，
，
；
（2）解：乙的总分为分，
丙笔试低于80分不录用，
，
答：甲将被录用．
21．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
答：观测者到处的距离为36米
（2）解：作于点，作于点，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴无人机飞行的平均速度(米/秒)．
答：无人机飞行的平均速度为每秒米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用三角形的外角性质求得，再利用等角对等边求解即可；
（2）作于点，作于点，易得四边形EFC'C是矩形，在中由∠CBE的正弦与余弦函数分别求出CE与BE，由矩形的对边相等得出C'F=CE，由等腰直角三角形性质得出AF=C'F，然后根据线段和差，由EF=AB+BE-AF算出EF的长，再由矩形对边相等得出CC'=EF，最后根据路程、速度、时间三者关系求解即可.
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
答：观测者到处的距离为36米；
（2）解：作于点，作于点，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴无人机飞行的平均速度(米/秒)．
答：无人机飞行的平均速度为每秒米．
22．【答案】（1）解：∵，
∴当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
设曲线的函数表达式为，
则：，
∴
（2）解：能，理由如下：
当时，对于，
解得：；
对于，解得：，
，
∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；猜想与证明
【解析】【分析】（1）把代入 算出对应的x的值就是m的值，然后根据n=m+10求出n，从而求出点坐标，然后利用待定系数法求出曲线CD的函数表达式即可；
（2）把y=32分别代入 与（2）所求的反比例函数解析式求出自变量的值，求出两个自变量的差值与18进行比较即可得出结论．
（1）解：∵，
∴当时，，解得：，
∴，
∴，
∴，
设曲线的函数表达式为，
则：，
∴；
（2）能，理由如下：
当时，对于，解得：；
对于，解得：，
，
∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题；
23．【答案】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为
（2）解：①∵二次函数的解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵该二次函数图象上有两点，，
∴点、点关于直线对称，
∴，
∴；
②∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵当时，函数最大值与最小值的差为，
∴当时，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
∴，
由①可得，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，此时；
当时，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
∴，
∴；
当时，当时取得最大值为，当时，取得最小值为，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将点(0，2)与(1，5)分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到所求的函数解析式；
（2）利用抛物线对称轴直线公式求出二次函数的对称轴为x=2，根据题意得出点A、点B两点纵坐标相同可得A、B两点关于直线x=2对称，从而根据中点坐标公式即可建立出关于字母m、t的方程，求解即可；
②将抛物线的解析式配成顶点式求出二次函数的顶点坐标为（2，6），由抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的对称轴为 ，当a＞0时，图象开口向上，当时，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，当a＜0时，图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而增大，据此结合m的取值范围，再分三种情况：当时；当时；当时，分别利用二次函数的性质求出函数的最大及最小值，由 函数最大值与最小值的差为2t建立方程，求解即可.
（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：①∵二次函数的解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵该二次函数图象上有两点，，
∴点、点关于直线对称，
∴，
∴；
②∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵当时，函数最大值与最小值的差为，
∴当时，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
∴，
由①可得，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，此时；
当时，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
∴，
∴；
当时，当时取得最大值为，当时，取得最小值为，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为或．
24．【答案】（1）解：劣弧的度数为，
．
，
，
，，
四边形是平行四边形．
；
（2）证明：连接、．
，
，．
，
．
．
，
．
，
，
（3）解：过点E作于Q，交于P，于M．
，
，．
，
，．
，
．
，
．
．
，，
．
．
．
，，
．
设，．
．
，，．
∵，，，
，，．
，
．
，．
，，，．
，
．
，
，．
，，
四边形是平行四边形．
．
，
，解得．
，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）由圆心角、弧、弦的关系及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得， 由等边对等角及三角形内角和定理可求出 ；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ACFD是平行四边形，由平行四边形的对角相等得；
（2）连接、，由等边对等角及二直线平行，内错角相等推出∠FCE=∠B=∠BAC=∠GCA，由同弧所对的圆周角相等得，则，由同圆中相等的圆周角所对的弧相等得出结论；
（3）过点E作PQ⊥AB于Q，交GF于P，CM⊥AB于M；由平行线的性质及圆周角定理推出，，由邻补角及等角的补角相等推出，从而由有两组角相等的三角形相似证，由相似三角形对应边成比例得出；求出∠BAC的正弦、余弦、正切函数值，证得 ，由等角的同名三角函数值相等得，，，得出、；由平行四边形对边相等得，进而求出DQ、EQ，最后由勾股定理求AE的长．
（1）解：劣弧的度数为，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
，
．
，
，
．
（2）证明：连接、．
，
，．
，
．
．
，
．
，
，
．
（3）解：过点E作于Q，交于P，于M．
，
，．
，
，．
，
．
，
．
．
，，
．
．
．
，，
．
设，．
．
，，．
∵，，，
，，．
，
．
，．
，，，．
，
．
，
，．
，，
四边形是平行四边形．
．
，
，解得．
，．
1 / 1浙江省温州龙湾区2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·龙湾模拟）排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴最接近标准质量的是，
故答案为：C．
【分析】要确定最接近标准质量的样品，需要比较各样品与标准质量差值的绝对值，绝对值越小则越接近标准质量，据此解答即可.
2．（2025·龙湾模拟）如图是由5个完全相同的小立方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图是：
故答案为：A.
【分析】几何体的俯视图是从物体的上方看到的图形平面图形，该小正方体组合的主视图有两行三列，从上向下各行小正方形的个数依次为3，1，从左右至，各列小正方形的个数依次为2，1，1，据此判断得出答案.
3．（2025·龙湾模拟）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即149600000千米．数149600000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：149600000用科学记数法表示为.
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025·龙湾模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项原计算错误，不符合题意；
B、， 故该选项原计算错误，不符合题意；
C、， 故该选项原计算错误，不符合题意；
D、，故该选项原计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据幂的乘方，底数不变指数相乘可判断D选项.
5．（2025·龙湾模拟）如图，直线，将一把三角尺的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠3=∠1=55°，然后根据平角可求出∠2的度数.
6．（2025·龙湾模拟）某班40名学生一周体育锻炼的时间统计如图所示，那么该班学生一周参加体育锻炼时间（单位：小时）的众数和中位数分别是（　　）
A．9，9 B．14，9 C．14，8.5 D．9，8.5
【答案】A
【知识点】折线统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：由统计图得参加体育锻炼时间为小时的人数为，且为最多，
∴众数是，
∵数据为某班40名学生一周体育锻炼的时间统计，
∴中位数为第名和第21名的平均数，
∵，
∴该班学生一周参加体育锻炼时间（单位：小时）的中位数为，
故答案为：A．
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合折线统计图提供的信息解答即可.
7．（2025·龙湾模拟）在一次体育模拟测试前，某班准备了若干块巧克力，若每位学生分3块，有7人未分到巧克力；若每位学生分2块．还剩下26块．问该班有多少名学生？准备了多少块巧克力？设该班有名学生，准备了块巧克力，则根据题意，可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：；
故答案为：B．
【分析】设该班有x名学生，准备了y块巧克力，根据“ 每位学生分3块，有7人未分到巧克力 ”可将巧克力的块数表示为3x+7，根据“ 每位学生分2块，还剩下26块 ”可将巧克力的块数表示为2x+26，然后根据巧克力的块数为y，列出方程组即可.
8．（2025·龙湾模拟）如图，在中，，．以为直径画半圆，交于点，过点作半圆的切线交于点，若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．10
【答案】D
【知识点】切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图：连接、，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠CED=90°，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为直径画半圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：D．
【分析】连接AD、OD，由等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，则∠ODB=∠C，由同位角相等，两直线平行得出AC∥OD；由圆的切线垂直经过切点的半径得出∠ODE=90°，由二直线平行，内错角相等可推出∠CED=90°，由等角的同名三角函数值相等结合正切函数的定义得出CE=2；由直径所对的圆周角为直角可得，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出， 由等角的同名三角函数值相等结合正切函数的定义得出AE=8，最后根据AC=AE+CE即可得出答案.
9．（2025·龙湾模拟）小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论：
①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15；
③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米．
其中，正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：学校到书店速度为（千米/分钟），故①正确，符合题意；
，②正确，符合题意；
从书店到家的速度为（千米/分钟），
，
∴从书店到家的速度是学校到书店速度的倍，③不正确，不符合题意；
当小明离家的路程为0.8千米时，得，
解得，
∴经18分钟后小明离家的路程为0.8千米，
∴④正确，符合题意．
综上，正确的有3个，分别是①②④．
故答案为：C．
【分析】①根据图象提供的信息可得学校距离小明家3.5km，书店距离小明家2km，则学校到书店的距离为3.5-2=1.5km，小明从学校到书店用时10分钟，然后根据速度=路程÷时间计算即可；②小明从学校到书店用时10分钟，然后在书店购物花费5分钟，从而可得a=10+5=15；③小明从书店到家用时20-15=5分钟，书店距离小明家2km，根据速度=路程÷时间求出从书店到家的速度，从而计算从书店到家的速度是学校到书店速度的倍数即可；④根据小明距离家的距离等于书店距离家的距离减去小明从书店往家走过的路程列关于t的方程并求解即可．
10．（2025·龙湾模拟）如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，．连接，过点作于点，过点作分别交，，于点，，，则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，，，
∵四边形和为正方形
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ABM≌△AEG，
∴AM=EG
∵，
∴，
∴，
则，，
在，，
在，，
即，
，
那么，，
故答案为：B．
【分析】设，，，由正方形四边相等可得，，从而利用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出；根据二直线平行，内错角相等得，则， 由等角的余角相等得出，由等角对等边可得到，根据勾股定理表示出EG，由ASA可证△ABM≌△AEG，由全等三角形的对应边相等得AM=EG，则，在Rt△BGH中利用∠GBH的余弦函数可表示出BH，在Rt△AGN中利用∠GAN的余弦函数表示出AN，进而根据MN=AM+AN表示出MN，PH=BH-BP表示出PH，即可求出AP与EG的比值是定值.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·龙湾模拟）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式分解即可.
12．（2025·龙湾模拟）二次根式中的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，解得：；
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
13．（2025·龙湾模拟）有8张卡片，上面分别写着数，，，，，，，．从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为共有8张卡片，从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的结果有：2，4，6，8四种可能；
所以从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是；
故答案为：．
【分析】根据题意可得从8张卡片中随机抽取1张，共有8种等可能的结果数，其中抽取的卡片上的数是2的整数倍的结果有：2，4，6，8四种等可能结果数，从而根据概率公式计算即可．
14．（2025·龙湾模拟）在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长为，
故答案为：．
【分析】根据弧长公式(r为弧所在圆的半径，n为弧所对圆心角度数)直接计算即可.
15．（2025·龙湾模拟）如图，点，，，分别在矩形纸片的边，，，上，将矩形的四个角分别沿着，，，向内折，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．若，，则四边形的面积为　 　．
【答案】78
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：，，∠AHE=∠JHE
∴，
同理可得：，
∴四边形EHGF为矩形，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：78．
【分析】由折叠性质得，，由角的构成及平角推出∠HEF=90°，同理∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，从而根据四个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EHGF为矩形；由矩形性质得∠A=∠HEF=90°， 从而由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例建立方程求出AE的长，由勾股定理求出EH，从而看得出EF，最后由矩形面积公式计算即可得解．
16．（2025·龙湾模拟）如图，点是边长为4的菱形内一点，，点，分别在，上，且，分别连结，并延长交，于点，．记四边形，的面积分别为，，与的面积之比为．当的值达到最大时，的值为　 　．
【答案】4
【知识点】二次函数的最值；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，延长交于，
，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点在上，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，即时，的值最大为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴由菱形的对称性可得，，，
∴，
故答案为：4．
【分析】连接AC，过点P作PM⊥AD于M，延长MP交BC于E，由菱形的四边相等，对边平行得AB=BC=CD=DA=4，AD∥BC及AB∥CD，由平行线的性质推出PN⊥BC，根据菱形的轴对称性得出点P在AC上；设HD=x，则AH=4-x，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△PEC∽△PHA，由相似三角形对应边成比例求出，根据三角形面积公式表示出，再由二次函数的性质可得当时，即时，的值最大为； 由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得 △PFC∽△PGA，由相似三角形对应边成比例得出，由菱形的对称性可得，，，由此计算即可得解.
三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·龙湾模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】先根据0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、绝对值性质及二次根式性质“”分别计算，再计算有理数加减法得出答案.
18．（2025·龙湾模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】由于，据此将待求式子变形后利用同分母分式减法法则计算，然后将分子利用平方差公式分解因式后约分化简，最后将x的值代入化简结果根据有理数加法法则计算即可.
19．（2025·龙湾模拟）小明和小丽在探究尺规作图问题：如图1，在中，用尺规作边上的中线．
小明：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧交的右侧于点，连接交于点，则是边上的中线．
小丽：为什么？
小明：可以连接，，因为……
（1）请补充小明的推理过程．
（2）如图2，若，，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，
由作图知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是边上的中线
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，BE=2BD，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接AE、CE，由作图知，，利用对边相等的四边形的是平行四边形得四边形ABCE是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分得出AD=CD，从而根据三角形中线定义可得结论；
（2）利用平行四边形的对角线互相平分得AD=CD，BE=2BD，再利用勾股定理求得BD，即可得出BE的长.
（1）证明：连接，，
由作图知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是边上的中线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．（2025·龙湾模拟）某广播站要招聘一名小记者，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试以及成员评议（每人必须投一票，每票记1分），其成绩如下：
笔试 面试 成员评议
甲 80 90
乙 85 80
丙 70 90 12
成员评议得分扇形统计图
（1）求、的值；
（2）根据招聘要求，笔试低于80分不录用，“笔试”“面试”“成员评议”按照、、折算计入总分，总分最高者将被录用．已求得甲的总分为77.8分，那么谁将被录用？请说明理由．
【答案】（1）解：评议成员人数，
，
m=60×(1-50%-20%)=18
（2）解：甲将被录用，理由如下：
乙的总分为分，
丙笔试低于80分不录用，
，
答：甲将被录用
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用丙成员评议得分除以成员评议得分所占百分比即可求出本次参与成员评议的人数，再用本次参与成员评议的人数乘以乙成员评议得分所占的百分比即可求出乙成员评议得分n的值；同理看求出m的值；
（2）由于丙笔试低于80分不录用，故利用乙的各项成绩等分与其对应的权重乘积的和再除以各项权重的和得出乙的总分，再与甲的总分比大小即可判断得出结论.
（1）解：评议成员人数，
，
；
（2）解：乙的总分为分，
丙笔试低于80分不录用，
，
答：甲将被录用．
21．（2025·龙湾模拟）如图，地面上点，，在一条直线上，两个观察者从，两地观测空中处一个无人机，分别测得其仰角为和，已知，两地相距36米．
（1）求观测者到处的距离；
（2）当无人机沿着与平行的路线飞行6秒后达到，在处测得该无人机的仰角为，求无人机飞行的平均速度．（结果保留根号）
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
答：观测者到处的距离为36米
（2）解：作于点，作于点，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴无人机飞行的平均速度(米/秒)．
答：无人机飞行的平均速度为每秒米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用三角形的外角性质求得，再利用等角对等边求解即可；
（2）作于点，作于点，易得四边形EFC'C是矩形，在中由∠CBE的正弦与余弦函数分别求出CE与BE，由矩形的对边相等得出C'F=CE，由等腰直角三角形性质得出AF=C'F，然后根据线段和差，由EF=AB+BE-AF算出EF的长，再由矩形对边相等得出CC'=EF，最后根据路程、速度、时间三者关系求解即可.
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
答：观测者到处的距离为36米；
（2）解：作于点，作于点，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴无人机飞行的平均速度(米/秒)．
答：无人机飞行的平均速度为每秒米．
22．（2025·龙湾模拟）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分．
（1）求的值及曲线的函数表达式．
（2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
设曲线的函数表达式为，
则：，
∴
（2）解：能，理由如下：
当时，对于，
解得：；
对于，解得：，
，
∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；猜想与证明
【解析】【分析】（1）把代入 算出对应的x的值就是m的值，然后根据n=m+10求出n，从而求出点坐标，然后利用待定系数法求出曲线CD的函数表达式即可；
（2）把y=32分别代入 与（2）所求的反比例函数解析式求出自变量的值，求出两个自变量的差值与18进行比较即可得出结论．
（1）解：∵，
∴当时，，解得：，
∴，
∴，
∴，
设曲线的函数表达式为，
则：，
∴；
（2）能，理由如下：
当时，对于，解得：；
对于，解得：，
，
∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题；
23．（2025·龙湾模拟）已知二次函数（，为常数）的图象经过点和．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）该二次函数图象上有两点，，其中点在点左边．
①用含的代数式表示．
②当时，函数最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为
（2）解：①∵二次函数的解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵该二次函数图象上有两点，，
∴点、点关于直线对称，
∴，
∴；
②∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵当时，函数最大值与最小值的差为，
∴当时，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
∴，
由①可得，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，此时；
当时，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
∴，
∴；
当时，当时取得最大值为，当时，取得最小值为，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将点(0，2)与(1，5)分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到所求的函数解析式；
（2）利用抛物线对称轴直线公式求出二次函数的对称轴为x=2，根据题意得出点A、点B两点纵坐标相同可得A、B两点关于直线x=2对称，从而根据中点坐标公式即可建立出关于字母m、t的方程，求解即可；
②将抛物线的解析式配成顶点式求出二次函数的顶点坐标为（2，6），由抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的对称轴为 ，当a＞0时，图象开口向上，当时，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，当a＜0时，图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而增大，据此结合m的取值范围，再分三种情况：当时；当时；当时，分别利用二次函数的性质求出函数的最大及最小值，由 函数最大值与最小值的差为2t建立方程，求解即可.
（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：①∵二次函数的解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵该二次函数图象上有两点，，
∴点、点关于直线对称，
∴，
∴；
②∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵当时，函数最大值与最小值的差为，
∴当时，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
∴，
由①可得，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，此时；
当时，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
∴，
∴；
当时，当时取得最大值为，当时，取得最小值为，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为或．
24．（2025·龙湾模拟）如图，在等腰中，，点为上一点，过点作交于点，过点作交的延长线于点．连接，作的外接圆交的延长线于点．
（1）若劣弧的度数为，求的度数．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
【答案】（1）解：劣弧的度数为，
．
，
，
，，
四边形是平行四边形．
；
（2）证明：连接、．
，
，．
，
．
．
，
．
，
，
（3）解：过点E作于Q，交于P，于M．
，
，．
，
，．
，
．
，
．
．
，，
．
．
．
，，
．
设，．
．
，，．
∵，，，
，，．
，
．
，．
，，，．
，
．
，
，．
，，
四边形是平行四边形．
．
，
，解得．
，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）由圆心角、弧、弦的关系及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得， 由等边对等角及三角形内角和定理可求出 ；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ACFD是平行四边形，由平行四边形的对角相等得；
（2）连接、，由等边对等角及二直线平行，内错角相等推出∠FCE=∠B=∠BAC=∠GCA，由同弧所对的圆周角相等得，则，由同圆中相等的圆周角所对的弧相等得出结论；
（3）过点E作PQ⊥AB于Q，交GF于P，CM⊥AB于M；由平行线的性质及圆周角定理推出，，由邻补角及等角的补角相等推出，从而由有两组角相等的三角形相似证，由相似三角形对应边成比例得出；求出∠BAC的正弦、余弦、正切函数值，证得 ，由等角的同名三角函数值相等得，，，得出、；由平行四边形对边相等得，进而求出DQ、EQ，最后由勾股定理求AE的长．
（1）解：劣弧的度数为，
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，，
四边形是平行四边形．
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，
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，
，
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（2）证明：连接、．
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，．
，
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，
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，
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（3）解：过点E作于Q，交于P，于M．
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，，
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设，．
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，，．
∵，，，
，，．
，
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，．
，，，．
，
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，
，．
，，
四边形是平行四边形．
．
，
，解得．
，．
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