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浙江嘉兴市2025-2026学年八年级下学期3月素养测试数学试卷
一、填空题(每小题4分，总分40分)
1．（2026八下·嘉兴月考）若 则 　 　.
【答案】2
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴
．
故答案为：2.
【分析】先将分母有理化，再将变形为，然后代入计算即可．
2．（2026八下·嘉兴月考）已知△ABC的周长是12， AB=2AC，则边AC的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设，由可得，
又∵的周长为，
∴．
则，解得：，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可列不等式组：
，
解第一个不等式得，
解第二个不等式得，
解第三个不等式得，
综上得，，
即．
故答案为：．
【分析】设，用的式子表示出和的长，然后利用三角形三边关系列不等式组，求出AC的取值范围解答即可．
3．（2026八下·嘉兴月考）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答、经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程 进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方　 　5元(填“涨价”或“优惠”)，结果比上次　 　买了10个(填“多”或“少”)．
【答案】优惠；少
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵设第一次购买了x个魔方，
∴方程中表示第二次购买魔方的数量，
∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个，
∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且，
∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元，
∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个．
故答案为：优惠；少.
【分析】根据题意可得出表示第二次购买魔方的数量，根据“第二次比第一次少买 10 个”列分式方程解答即可．
4．（2026八下·嘉兴月考）若 则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：根据完全平方公式得：
，
，
，
∴．
故答案为：.
【分析】先利用完全平方公式的变形求出(a+b)2，(a-b)2，然后求出商，再开方解答即可．
5．（2026八下·嘉兴月考）已知不等式 ax+3≥0的自然数解有4个，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元一次不等式的含参问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）当时，不等式的解集为：，
自然数解一定有无数个，故不满足条件．
（2）当时，不等式恒成立，其自然数解有无数个，不满足题意；
（3）当时，不等式的解集为：，
∵不等式的自然数解有4个，
∴不等式的自然数解是0，1，2，3，
，
解得：．
故的取值范围是．
故答案为：．
【分析】分为，，三种情况求得的取值范围，再根据题意求出a的取值范围解答即可．
6．（2026八下·嘉兴月考）已知关于x，y的二元一次方程组 下列结论正确的是　 　.(填序号)
①当这个方程的解x，y的值互为相反数时，a=-2；
②当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4+2a的解；
③无论a取什么实数时，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则 ．
【答案】①③④
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
当这个方程组的解，的值互为相反数时，
即，
两方程相加，得，
，
解得；故正确；
当时，原方程组可化简为
解得
方程，
左边可化为：，
右边可化为：，
所以左边右边，
故错误；
可得：，
即，
所以无论取什么实数，的值始终为，故正确；
由知，
，故正确；
故答案为．
【分析】两方程相加，根据x+y=0求出a的值判断①；把a=1代入解方程求出x，y的值，代入方程检验判断②；根据得到判断③；把③中方程变形解答判断④解答即可．
7．（2026八下·嘉兴月考）已知∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心， OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，则∠OAC的度数为　 　.
【答案】100°或20°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：连接，，．
由作图可知：，．
是等边三角形
．
在中，，
．
分两种情况：
① 当点在靠近点一侧时．
．
② 当点在远离点一侧时．
．
故答案为：100°或20°.
【分析】根据作图得到为等边三角形．然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠OAB的度数，再分为点 在靠近点一侧或点在远离点一侧两种情况利用角的和差解答即可．
8．（2026八下·嘉兴月考）如图，在△ABC中， AB=AC=5， BC=6，点D为边AC上一动点，将△BCD沿BD折叠得到△BED， BE与AC交于点 F，则EF的最大值为　 　.
【答案】1.2
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：过A点作于H点，如图，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最短时，最大，
此时，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】过A点作于H点，根据三线合一得到，然后根据勾股定理求出AH长，再根据折叠的性质可得，即可得到，进而可得最短时，最大，利用垂线段最短可得，再根据面积法求出的长解答即可．
9．（2026八下·嘉兴月考）如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，.分别以Rt△ABC的三边为边在AB 的同侧作三个正方形，顶点 H恰为DE的中点，若阴影部分(四边形KNCM)的面积为9，则正方形ABHK的面积为　 　.
【答案】45
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，阴影部分（四边形）的面积为9，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：45.
【分析】根据正方形的性质，利用HL得到，即可得到，进而可得，然后推理可得，即可得到，进而可得求出AC2，再根据勾股定理解答即可．
10．（2026八下·嘉兴月考）已知一次函数 和正比例函数 过点A(t，0)作平行于y轴的直线分别交直线l1，l2于点B和点 C，若在0≤t≤4的范围内，恒有BC≤5成立，则k的取值范围为　 　.
【答案】且k≠0
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：过点作平行于轴的直线为．
将代入，得．
将代入，得．
∴．
由题意，时，恒成立，
即，化简得．
情况1：当时，，不等式恒成立．
情况2：当时，，
不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得，
对于在范围内恒成立，
∵，越大，越大，当时，取得最大值，
∴，解得．
对于在范围内恒成立，解得．
又∵是一次函数，，
∴的取值范围为且．
【分析】先求出点、的坐标，即可得到长，即可得得到，再分为或两种情况，得到关于k的不等式，求出k的取值范围即可解答．
二、解答题(每小题10分，总分60分)
11．（2026八下·嘉兴月考）风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的 AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
【答案】解：设胸腹高为 xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为(5x-10) cm， ，AB=CD=x，
头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，
由AD=AB+BC+CD，可得：
解得： x=20；
所以这只风筝的骨架的总高4x=80cm.
答：这只风筝的骨架的总高80cm.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设胸腹高为，则单根膀条长为，便是AD和BC的长，得到这只风筝的骨架的总高为，然后列方程求出x的值解答即可．
12．（2026八下·嘉兴月考）如图，直线 与x， y轴分别交于A， B两点，点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，此时点B恰好落在点B'(a，0)处.
（1）求a的值；
（2）求直线AM 的解析式；
（3）若点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，请直接写出点C的坐标.
【答案】（1）解：当时，，即，，
当时，，即，，
∴，
∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
∴，
即；
（2）解：设，则，
将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
在中，在中，
∴，
解得：，
即，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得，
解得：，
∴直线的解析式为；

（3）、、、、、．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图：
∵，
∴，，
即点C的坐标为、；
以为腰，点A为顶角顶点，如图：
同理可得点C的坐标为、；
以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于，
设
∵，
∴，
解得：，
即，
设，
∵，
∴，解得，
∴；
综上所述，点C的坐标为、、、、、．
故答案为：、、、、、．
【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点坐标，利用勾股定理求出AB长，然后根据折叠的性质可得，再根据线段的和差解答即可；
（2）设，在中，根据勾股定理求出的值，即可得到点M的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解答即可；
（3）分为点B为顶角顶点，点A为顶角顶点，为底三种情况，根据勾股定理解答即可．
13．（2026八下·嘉兴月考）如图，在等腰Rt△ABD中， ∠ADB=90°，点F在线段AD上，点C在BD的延长线上，连结AC， BF，并延长BF交AC于点E，且BF=AC.
（1）求证： BE⊥AC；
（2）过点F作FG∥BD，交AB 于点 G，猜想线段GF、DC、BD满足的数量关系，并证明；
（3）若E为AC中点，求AF ： DF的值.
【答案】（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．

【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（）根据等腰直角三角形的性质，利用HL得到，即可得到，进而得到，证明结论即可；
（）先得到是等腰直角三角形，即可得到，再根据全等三角形的对应边相等可得，利用线段的和差解答即可；
（）连接，根据勾股定理可得，利用线段垂直平分线的性质可得，求出解答即可.
14．（2026八下·嘉兴月考）【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的.
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验.
实验Ⅰ：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间t(分钟)的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间t(分钟) 0 10 30 60
增加的电量y(%) 0 10 30 60
实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量e(%)与行驶里程s(千米)的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s(千米) 0 160 200 280
显示剩余电量e(%) 100 60 50 30
（1）【建立模型】请结合表1、表2的数据，直接写出：y关于t的函数表达式　 　；e关于s的函数表达式　 　；
（2）【解决问题】某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点480千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数(s)和显示剩余电量(e)函数关系如图所示：
①该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为 ▲ ；
②该车中途充电用了 ▲ 分钟；
③当汽车显示剩余电量e的值为50时，该车距出发点A地多少千米
【答案】（1）y=t；
（2）解：①40
② 30
③当汽车显示剩余电量的值为时，
即：，
解得：；
当汽车离开服务区时，剩余电量为时，
进入服务区充电前显示剩余电量的值为，增加的电量为，
离开服务区时剩余电量为，
汽车剩余电量为的时候，耗电量为，
每行驶千米，需要消耗的电量为，
耗电行驶的路程为：（千米），
故此时该车距离出发点地：（千米）．
答：当汽车显示剩余电量的值为时，该车距出发点地千米或者千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，两个函数都为一次函数，设，
将代入得：
解得：，
函数解析式为：；
将代入得：
，
，
函数解析式为：；
故答案为：；．
（2）①由图可知，，
将代入，得：．
故答案为：．
②由表2可知，行驶千米时，耗电为，
，
故每行驶千米，需要消耗的电量为，
所以离开服务区走完剩余路程千米时，耗电量为，
该车到达时，显示剩余电量为，
所以增加的电量为：，
即，
所以．
故答案为．③
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）①把直接代入求出e的值即可；
②先求出耗电量，然后求出增加的电量解答即可；
③当进服务区前的电量为时，代入函数解析式求出s的值；当出服务区再行驶后电量为时，求出耗电量，得到行驶路程，再加上到达服务区的距离解答即可．
15．（2026八下·嘉兴月考）小浙、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值.已知 ab=1.
小浙： 的值始终等于1.
小江：尽管 的值不能被确定，但能求出最小值.其说理过程如下：
由 知，当a=b时， 存在最小值2，
（1）试判断小浙的说法是否正确，并说明理由．
（2）在 ab=1的条件下，下列代数式：
n为整数).
(i)值始终保持不变的代数式有： ▲ (填序号)；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式 ▲ .
(ii)上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大(或最小)值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∵，
∴
，
∴小滨的说法正确；
（2）解：(i)①②④；
（ii）
；
，
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为9，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最小值，最小值为；
∵无最大值，
∴无最小值，即没有最大值，
∴有最小值，没有最大值．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（2）解：（i）①∵，
∴
；
②
；
③当时，，
当时，，
∴的值不是定值；
④
；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为，证明如下：
；
故答案为：①②④；.
【分析】（1）把所求分式变形为，然后约分化简解答即可；
（2）（i）把①变形为，约分化简；把②变形为，把两个分式约分，然后相加解答；分别求出和时③的结果解答；④中通分合并，再约分解答；
（ii）吧原式化为；再根据得到当时，有最小值为9，解答即可．
16．（2026八下·嘉兴月考）
（1）如图1，在△ABC和△DBC中， ∠BAC=∠BDC=90°，点O为BC边的中点，连结AO， DO， AD.求证： △AOD为等腰三角形.
（2）在(1)的条件下，若DB=DC，求证： AD平分∠BAC.
（3）如图2，在△ABC中， ∠ABC=90°，点D在AC边上， BC=BD， EB⊥BD，EB=AB，点M， N分别为线段ED， AB的中点，连结AE， MN.若CD=6， AE=8，求线段MN的长.
【答案】（1）在中，，点为边的中点，
∴，
同理，可证，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
（3）连接，，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，，
令，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
令，则，
在中，，
即，
解得，
即，，
∵点为中点，
∴，
同理，可得
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点为中点，
∴，
故为直角三角形，
∴，
故线段的长为．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，即可得到结论；
（2）根据等边对等角和三角形的内角和推理得到，进而求出，证明结论即；
（3）连接，，过点作交于点，过点作交于点，先根据SAS得到，即可得到，，，然后推理得到为直角三角形，在中根据勾股定理求出，的长，再证明，得到KD=FC，利用勾股定理求出、、的长，得到为直角三角形解答即可．
1 / 1浙江嘉兴市2025-2026学年八年级下学期3月素养测试数学试卷
一、填空题(每小题4分，总分40分)
1．（2026八下·嘉兴月考）若 则 　 　.
2．（2026八下·嘉兴月考）已知△ABC的周长是12， AB=2AC，则边AC的取值范围是　 　.
3．（2026八下·嘉兴月考）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答、经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程 进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方　 　5元(填“涨价”或“优惠”)，结果比上次　 　买了10个(填“多”或“少”)．
4．（2026八下·嘉兴月考）若 则 的值为　 　.
5．（2026八下·嘉兴月考）已知不等式 ax+3≥0的自然数解有4个，则a的取值范围是　 　.
6．（2026八下·嘉兴月考）已知关于x，y的二元一次方程组 下列结论正确的是　 　.(填序号)
①当这个方程的解x，y的值互为相反数时，a=-2；
②当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4+2a的解；
③无论a取什么实数时，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则 ．
7．（2026八下·嘉兴月考）已知∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心， OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，则∠OAC的度数为　 　.
8．（2026八下·嘉兴月考）如图，在△ABC中， AB=AC=5， BC=6，点D为边AC上一动点，将△BCD沿BD折叠得到△BED， BE与AC交于点 F，则EF的最大值为　 　.
9．（2026八下·嘉兴月考）如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，.分别以Rt△ABC的三边为边在AB 的同侧作三个正方形，顶点 H恰为DE的中点，若阴影部分(四边形KNCM)的面积为9，则正方形ABHK的面积为　 　.
10．（2026八下·嘉兴月考）已知一次函数 和正比例函数 过点A(t，0)作平行于y轴的直线分别交直线l1，l2于点B和点 C，若在0≤t≤4的范围内，恒有BC≤5成立，则k的取值范围为　 　.
二、解答题(每小题10分，总分60分)
11．（2026八下·嘉兴月考）风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的 AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
12．（2026八下·嘉兴月考）如图，直线 与x， y轴分别交于A， B两点，点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，此时点B恰好落在点B'(a，0)处.
（1）求a的值；
（2）求直线AM 的解析式；
（3）若点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，请直接写出点C的坐标.
13．（2026八下·嘉兴月考）如图，在等腰Rt△ABD中， ∠ADB=90°，点F在线段AD上，点C在BD的延长线上，连结AC， BF，并延长BF交AC于点E，且BF=AC.
（1）求证： BE⊥AC；
（2）过点F作FG∥BD，交AB 于点 G，猜想线段GF、DC、BD满足的数量关系，并证明；
（3）若E为AC中点，求AF ： DF的值.
14．（2026八下·嘉兴月考）【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的.
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验.
实验Ⅰ：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间t(分钟)的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间t(分钟) 0 10 30 60
增加的电量y(%) 0 10 30 60
实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量e(%)与行驶里程s(千米)的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s(千米) 0 160 200 280
显示剩余电量e(%) 100 60 50 30
（1）【建立模型】请结合表1、表2的数据，直接写出：y关于t的函数表达式　 　；e关于s的函数表达式　 　；
（2）【解决问题】某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点480千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数(s)和显示剩余电量(e)函数关系如图所示：
①该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为 ▲ ；
②该车中途充电用了 ▲ 分钟；
③当汽车显示剩余电量e的值为50时，该车距出发点A地多少千米
15．（2026八下·嘉兴月考）小浙、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值.已知 ab=1.
小浙： 的值始终等于1.
小江：尽管 的值不能被确定，但能求出最小值.其说理过程如下：
由 知，当a=b时， 存在最小值2，
（1）试判断小浙的说法是否正确，并说明理由．
（2）在 ab=1的条件下，下列代数式：
n为整数).
(i)值始终保持不变的代数式有： ▲ (填序号)；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式 ▲ .
(ii)上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大(或最小)值；若没有，请说明理由.
16．（2026八下·嘉兴月考）
（1）如图1，在△ABC和△DBC中， ∠BAC=∠BDC=90°，点O为BC边的中点，连结AO， DO， AD.求证： △AOD为等腰三角形.
（2）在(1)的条件下，若DB=DC，求证： AD平分∠BAC.
（3）如图2，在△ABC中， ∠ABC=90°，点D在AC边上， BC=BD， EB⊥BD，EB=AB，点M， N分别为线段ED， AB的中点，连结AE， MN.若CD=6， AE=8，求线段MN的长.
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴
．
故答案为：2.
【分析】先将分母有理化，再将变形为，然后代入计算即可．
2．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设，由可得，
又∵的周长为，
∴．
则，解得：，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可列不等式组：
，
解第一个不等式得，
解第二个不等式得，
解第三个不等式得，
综上得，，
即．
故答案为：．
【分析】设，用的式子表示出和的长，然后利用三角形三边关系列不等式组，求出AC的取值范围解答即可．
3．【答案】优惠；少
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵设第一次购买了x个魔方，
∴方程中表示第二次购买魔方的数量，
∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个，
∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且，
∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元，
∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个．
故答案为：优惠；少.
【分析】根据题意可得出表示第二次购买魔方的数量，根据“第二次比第一次少买 10 个”列分式方程解答即可．
4．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：根据完全平方公式得：
，
，
，
∴．
故答案为：.
【分析】先利用完全平方公式的变形求出(a+b)2，(a-b)2，然后求出商，再开方解答即可．
5．【答案】
【知识点】一元一次不等式的含参问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）当时，不等式的解集为：，
自然数解一定有无数个，故不满足条件．
（2）当时，不等式恒成立，其自然数解有无数个，不满足题意；
（3）当时，不等式的解集为：，
∵不等式的自然数解有4个，
∴不等式的自然数解是0，1，2，3，
，
解得：．
故的取值范围是．
故答案为：．
【分析】分为，，三种情况求得的取值范围，再根据题意求出a的取值范围解答即可．
6．【答案】①③④
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
当这个方程组的解，的值互为相反数时，
即，
两方程相加，得，
，
解得；故正确；
当时，原方程组可化简为
解得
方程，
左边可化为：，
右边可化为：，
所以左边右边，
故错误；
可得：，
即，
所以无论取什么实数，的值始终为，故正确；
由知，
，故正确；
故答案为．
【分析】两方程相加，根据x+y=0求出a的值判断①；把a=1代入解方程求出x，y的值，代入方程检验判断②；根据得到判断③；把③中方程变形解答判断④解答即可．
7．【答案】100°或20°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：连接，，．
由作图可知：，．
是等边三角形
．
在中，，
．
分两种情况：
① 当点在靠近点一侧时．
．
② 当点在远离点一侧时．
．
故答案为：100°或20°.
【分析】根据作图得到为等边三角形．然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠OAB的度数，再分为点 在靠近点一侧或点在远离点一侧两种情况利用角的和差解答即可．
8．【答案】1.2
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：过A点作于H点，如图，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最短时，最大，
此时，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】过A点作于H点，根据三线合一得到，然后根据勾股定理求出AH长，再根据折叠的性质可得，即可得到，进而可得最短时，最大，利用垂线段最短可得，再根据面积法求出的长解答即可．
9．【答案】45
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，阴影部分（四边形）的面积为9，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：45.
【分析】根据正方形的性质，利用HL得到，即可得到，进而可得，然后推理可得，即可得到，进而可得求出AC2，再根据勾股定理解答即可．
10．【答案】且k≠0
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：过点作平行于轴的直线为．
将代入，得．
将代入，得．
∴．
由题意，时，恒成立，
即，化简得．
情况1：当时，，不等式恒成立．
情况2：当时，，
不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得，
对于在范围内恒成立，
∵，越大，越大，当时，取得最大值，
∴，解得．
对于在范围内恒成立，解得．
又∵是一次函数，，
∴的取值范围为且．
【分析】先求出点、的坐标，即可得到长，即可得得到，再分为或两种情况，得到关于k的不等式，求出k的取值范围即可解答．
11．【答案】解：设胸腹高为 xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为(5x-10) cm， ，AB=CD=x，
头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，
由AD=AB+BC+CD，可得：
解得： x=20；
所以这只风筝的骨架的总高4x=80cm.
答：这只风筝的骨架的总高80cm.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设胸腹高为，则单根膀条长为，便是AD和BC的长，得到这只风筝的骨架的总高为，然后列方程求出x的值解答即可．
12．【答案】（1）解：当时，，即，，
当时，，即，，
∴，
∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
∴，
即；
（2）解：设，则，
将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
在中，在中，
∴，
解得：，
即，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得，
解得：，
∴直线的解析式为；

（3）、、、、、．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图：
∵，
∴，，
即点C的坐标为、；
以为腰，点A为顶角顶点，如图：
同理可得点C的坐标为、；
以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于，
设
∵，
∴，
解得：，
即，
设，
∵，
∴，解得，
∴；
综上所述，点C的坐标为、、、、、．
故答案为：、、、、、．
【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点坐标，利用勾股定理求出AB长，然后根据折叠的性质可得，再根据线段的和差解答即可；
（2）设，在中，根据勾股定理求出的值，即可得到点M的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解答即可；
（3）分为点B为顶角顶点，点A为顶角顶点，为底三种情况，根据勾股定理解答即可．
13．【答案】（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．

【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（）根据等腰直角三角形的性质，利用HL得到，即可得到，进而得到，证明结论即可；
（）先得到是等腰直角三角形，即可得到，再根据全等三角形的对应边相等可得，利用线段的和差解答即可；
（）连接，根据勾股定理可得，利用线段垂直平分线的性质可得，求出解答即可.
14．【答案】（1）y=t；
（2）解：①40
② 30
③当汽车显示剩余电量的值为时，
即：，
解得：；
当汽车离开服务区时，剩余电量为时，
进入服务区充电前显示剩余电量的值为，增加的电量为，
离开服务区时剩余电量为，
汽车剩余电量为的时候，耗电量为，
每行驶千米，需要消耗的电量为，
耗电行驶的路程为：（千米），
故此时该车距离出发点地：（千米）．
答：当汽车显示剩余电量的值为时，该车距出发点地千米或者千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，两个函数都为一次函数，设，
将代入得：
解得：，
函数解析式为：；
将代入得：
，
，
函数解析式为：；
故答案为：；．
（2）①由图可知，，
将代入，得：．
故答案为：．
②由表2可知，行驶千米时，耗电为，
，
故每行驶千米，需要消耗的电量为，
所以离开服务区走完剩余路程千米时，耗电量为，
该车到达时，显示剩余电量为，
所以增加的电量为：，
即，
所以．
故答案为．③
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）①把直接代入求出e的值即可；
②先求出耗电量，然后求出增加的电量解答即可；
③当进服务区前的电量为时，代入函数解析式求出s的值；当出服务区再行驶后电量为时，求出耗电量，得到行驶路程，再加上到达服务区的距离解答即可．
15．【答案】（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∵，
∴
，
∴小滨的说法正确；
（2）解：(i)①②④；
（ii）
；
，
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为9，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最小值，最小值为；
∵无最大值，
∴无最小值，即没有最大值，
∴有最小值，没有最大值．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（2）解：（i）①∵，
∴
；
②
；
③当时，，
当时，，
∴的值不是定值；
④
；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为，证明如下：
；
故答案为：①②④；.
【分析】（1）把所求分式变形为，然后约分化简解答即可；
（2）（i）把①变形为，约分化简；把②变形为，把两个分式约分，然后相加解答；分别求出和时③的结果解答；④中通分合并，再约分解答；
（ii）吧原式化为；再根据得到当时，有最小值为9，解答即可．
16．【答案】（1）在中，，点为边的中点，
∴，
同理，可证，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
（3）连接，，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，，
令，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
令，则，
在中，，
即，
解得，
即，，
∵点为中点，
∴，
同理，可得
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点为中点，
∴，
故为直角三角形，
∴，
故线段的长为．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，即可得到结论；
（2）根据等边对等角和三角形的内角和推理得到，进而求出，证明结论即；
（3）连接，，过点作交于点，过点作交于点，先根据SAS得到，即可得到，，，然后推理得到为直角三角形，在中根据勾股定理求出，的长，再证明，得到KD=FC，利用勾股定理求出、、的长，得到为直角三角形解答即可．
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