资源简介

浙江省杭州市锦绣育才教育集团2026年中考数学模拟测试卷（一）
1．（2026·杭州一模） -2026的绝对值是(　　)
A．- 2026 B．2026 C． D．
2．（2026·杭州一模）如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026·杭州一模） 2026年春节假期9天，杭州西湖景区总客流量约为506.31万人次，506.31万用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．（2026·杭州一模）下列运算中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．（2026·杭州一模）小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5(单位：m3)，关于这组数据，下列说法正确的是(　　)
A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是3
6．（2026·杭州一模）已知在平面直角坐标系中， △AOB的顶点分别为A(3， 1)， B(2， 0)， O(0， 0)，若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为(　　)
A．(6，2) B．(-6，-2)
C．(-6，2) D．(6，2)或(-6，-2)
7．（2026·杭州一模）如果关于x的分式方程 无解，那么实数m的值为(　　)
A．- 1 B．1或0 C．1 D．1或-1
8．（2026·杭州一模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点 O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC=4，ON=1，则DC的长为(　　)
A． B．5 C． D．
9．（2026·杭州一模）已知反比例函数 点M(x1，y1)和N(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，若对于 都有 则a的取值范围是(　　)
A．a<0或2C．23或a<0
10．（2026·杭州一模）如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作 EF⊥DE交DC的延长线于 F，交BC于M，若DE=MF，且. 则线段 CF 的长为(　　)
A．2 B． C．1 D．2
11．（2026·杭州一模）因式分解　 　 ．
12．（2026·杭州一模）一个布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中有3个红球，4个白球，从布袋里随机摸出一个球，则摸出红球的概率为　 　.
13．（2026·杭州一模）如图， AB是⊙O的直径， C为AB延长线上一点， CD切⊙O于点D.连结OD、BD.若∠BDC =30°，QA =3，则 AD的长等于　 　.
14．（2026·杭州一模）若关于x的一元二次方程 有实数根，则最小整数c =　 　.
15．（2026·杭州一模）如图，在 △ABC中， ∠ABC的平分线BD交AC边于点D，BC边上的高AE与BD交于点 F，已知∠ABC =60°，∠C =45°. CE =3 则BF的长为　 　.
16．（2026·杭州一模）某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为 4 cm，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片 先将纸片折出折痕 BD，再 在边 AD上取点 P，将 △ABP沿BP 折叠得 △A'BP.记AP与BD的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段A'P时，A'B恰好平分 ∠DBC，则AD长度应取　 　cm.
17．（2026·杭州一模）计算：
18．（2026·杭州一模）先化简，再求值： 其中a=4.
19．（2026·杭州一模）在Rt△ABC中， ∠B=90°， AB=1， AD是BC边上的中线， tan∠BAD=1，DF是△ADC 的高线.
（1）求 cosC的值.
（2）求AE的长.
20．（2026·杭州一模）随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识．某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
“你最喜爱的学习辅助软件”调查问卷 问题：在以下五个软件中，你最喜爱的是_____． （A）作业帮（B）橙果错题集 （C）小猿搜题（D）豆包（E）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图．
（2）已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱软件的学生人数．
21．（2026·杭州一模）如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由。
22．（2026·杭州一模） 2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动.为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.6小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程s(km)关于时间t(h)的变化情况如图所示.
（1）分别求出小丽和小明骑行的速度.
（2）求线段BC所在直线的函数表达式.
（3）.求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程.
23．（2026·杭州一模）已知关于x的二次函数
（1）当函数图象经过点(2，5)时.
①求该二次函数的表达式.
②若将平面内一点A (p，q)向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数 的图象上，求p的值.
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)是该函数图象上的两点，且. 求证：
24．（2026·杭州一模）如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D.连结AO， AD， CD.
（1）求证： ∠ABC=∠ADB.
（2）若∠ACB=55°，求∠OAC的度数.
（3）若 求AE的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：．
故答案为：B .
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：圆柱的俯视图是矩形，正方体的俯视图是正方形，所以它们的俯视图是左边一个矩形，右边一个圆．
故答案为：C．
【分析】根据俯视图的意义求解．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：506.31万．
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1解答即可．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：∵与a不是同类项，不能合并，原运算错误．
B：，原运算错误．
C：，运算正确．
D：，原运算错误．
故答案为：C .
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法的运算法则逐项判断解答即可．
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：在这组数据中，5出现了两次，最多，所以这组数据的众数是5，故选项A说法正确；
将这种数据从小到大排列：3，4，5，5，6，7，中间第3和第4个数的平均数是5，所以这组数据的中位数是5，故选项B说法错误；
这组数据的平均数，故选项C说法错误；
这组数据的极差是，故选项D说法错误；
故答案为：A .
【分析】根据众数、中位数的定义，平均数和极差的计算公式逐项判断即可得解.
6．【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点坐标为，相似比为．
∴当对应点与在原点同侧时，对应点坐标为，即．
当对应点与在原点异侧时，对应点坐标为，即．
因此点的对应点坐标为或．
故答案为：D .
【分析】原点为位似中心的位似变换，若相似比为，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘或解答即可.
7．【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题；分类讨论
【解析】【解答】解：原方程去分母得，
整理得，
当时，
无解，那么原方程无解，符合题意，
当时，
若方程无解，那么它有增根，
则，
解得：，
综上，m的值为1或，
故答案为： .
【分析】将原方程去分母整理得，分为整式方程无解或整式方程的解是分式方程的增根两种情况求出m的值解答即可．
8．【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：C .
【分析】根据菱形的性质，利用两角对应相等得到，根据相似三角形的对应边成比例求出的长，再在中根据勾股定理求出的长解答即可．
9．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设，
当，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小．
∵对任意，都有，
∴小于的最小值，的最小值为，
又∵，可得，
∵，
∴．
当时，左边，不等式恒成立，符合条件，
当时，两边同乘，得，
又∵，
∴；
情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大，
∵对任意，都有，
∴小于的最小值，代入，得，
∵，
∴，
∵，两边同乘，得，与矛盾，
∴此情况无解．
综上，的取值范围是或．
故答案为：A .
【分析】分为>0或3-a<0两种情况，根据都有，列不等式求出的取值范围即可．
10．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，于点，于点，
∵四边形是正方形，E为对角线上一点，
∴，，
∵，，，
∴，，，即，
∴四边形是矩形，四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴．
故答案为：A .
【分析】过点作于点，于点，于点，即可得到四边形是正方形，然后根据正弦的定义得到，根据AAS得到，即可得到，，再根据三角形的中位线性质解答即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】提取公因式x，x2﹣2x=x（x﹣2）．
故答案是x（x﹣2）．
【分析】提公因式法分解因式．
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，
所以从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率= .
故答案为： .
【分析】根据概率公式计算即可.
13．【答案】2π
【知识点】切线的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵切于点，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的长为：．
故答案为：2π .
【分析】根据切线的性质可得，然后根据等边对等角求出，即可得到，利用弧长公式计算即可．
14．【答案】-2
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴这个方程根的判别式，
解得，
∴最小整数．
故答案为：-2 .
【分析】根据方程根的情况得到，代入数值求出c的取值范围，再找出最小整数解即可.
15．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵是高，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
故答案为： .
【分析】先得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，再在中，根据正切的定义求出的长，利用角平分线定义求出，最后根据余弦的定义求出的长解答即可．
16．【答案】7
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，延长交BC于点E，过点P作于点F，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，
根据折叠可得，，，
平分，
，
又，
，
，
点Q平分线段，
，
，
，
，
，
设，
则，，
由勾股定理得，
，
由勾股定理得，
即，
解得（负值已舍），
．
故答案为：7 .
【分析】延长交于点，过点作于点，根据翻折的性质和角平分线的定义，利用ASA得到，即可得到，然后根据平行线线得到，根据对应边成比例设，然后根据勾股定理解答即可．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】先计算绝对值，零指数次幂和负整数次幂，然后加减解答即可．
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分，然后运用同分母分数的加减合并，再约分化简，然后代入a的值解答即可．
19．【答案】（1）解：∵，，，
∴．
∵是边上的中线，
∴，．
在中，，
∴；
（2）解：∵是的高线，
∴在中，．
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先根据正切的定义求出BD长，然后根据中线的定义求出BC长，再根据勾股定理求出长，求出余弦值即可；
（2）根据余弦的定义求出长，再根据线段的和差解答即可．
20．【答案】（1）解：这次一共调查的学生人数为（人），
本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数为（人），
补全统计图如下：
（2）解：人，
答：估算该校最喜爱软件的学生人数为225人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）用A的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数，再用参与调查的学生人数乘以D的人数占比即可求出最喜爱豆包软件的学生人数，再补全统计图即可；
（2）用1500乘以样本中最喜爱软件的学生人数占比，即可得到答案．
（1）解：人，
∴这次一共调查的学生人数为200人，
∴本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数为人，
补全统计图如下：
（2）解：人，
∴估算该校最喜爱软件的学生人数为225人．
21．【答案】（1）解：∵，∴，∴
∵，∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴，∴四边形 ABED 是矩形。
（2）解：小明的作法正确
证明：连结AE，BD
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴四边形 ABED 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本题考查矩形的判定定理，已知 ∠A=∠B=90° ，可得AD//BC，小丽的作法先证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
（2）小明利用判定直角三角形全等的方法，证明，从而得到四边形ABED为平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
22．【答案】（1）解：小丽的速度：
小丽到达点A的时间为，
小明到达点A的时间为：，
小明的速度：；
（2）解：点B到点C所用时间为，
则点B的时间为，
点，
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，，
则线段的函数表达式为；
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
∴，
离山庄的路程为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象提取相关信息，利用速度=路程÷时间解答即可；
（2）先求出B点坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）用待定系数法求出小丽函数解析式，联立两函数解析式求出交点坐标解答即可．
23．【答案】（1）解：①∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
②∵，
∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为，
∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，
∴，
解得：．
（2）证明：∵，
∴，
∵点，是该函数图象上的两点，
∴，
，
∴
，
∵，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把代入，求出的值即可；
②根据平移得到平移后的两点坐标，代入①中关系式，解关于p的一元一次方程求出p的值即可；
（2）把点M，N的坐标分别代入，利用得出，然后根据二次函数的顶点坐标得到最值证明即可．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
由圆周角定理得：，
∵，
∴．
（3）解：如图，延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍），
设，则，
∴，
∴，，
由圆周角定理得：，
∴，即，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得（负值已舍），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，根据圆周角定理的推论得到，等量代换得到结论即可；
（2）连接，根据等边对等角得到∠ABC的度数，再根据圆周角定理求出，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理解答即可；
（3）延长，交于点，连接，根据圆周角定理的推论和垂直的定义，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例设，然后推理得到，根据对应边成比例求出的长，然后在中根据勾股定理解答即可．
1 / 1浙江省杭州市锦绣育才教育集团2026年中考数学模拟测试卷（一）
1．（2026·杭州一模） -2026的绝对值是(　　)
A．- 2026 B．2026 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：．
故答案为：B .
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
2．（2026·杭州一模）如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：圆柱的俯视图是矩形，正方体的俯视图是正方形，所以它们的俯视图是左边一个矩形，右边一个圆．
故答案为：C．
【分析】根据俯视图的意义求解．
3．（2026·杭州一模） 2026年春节假期9天，杭州西湖景区总客流量约为506.31万人次，506.31万用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：506.31万．
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1解答即可．
4．（2026·杭州一模）下列运算中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：∵与a不是同类项，不能合并，原运算错误．
B：，原运算错误．
C：，运算正确．
D：，原运算错误．
故答案为：C .
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法的运算法则逐项判断解答即可．
5．（2026·杭州一模）小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5(单位：m3)，关于这组数据，下列说法正确的是(　　)
A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是3
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：在这组数据中，5出现了两次，最多，所以这组数据的众数是5，故选项A说法正确；
将这种数据从小到大排列：3，4，5，5，6，7，中间第3和第4个数的平均数是5，所以这组数据的中位数是5，故选项B说法错误；
这组数据的平均数，故选项C说法错误；
这组数据的极差是，故选项D说法错误；
故答案为：A .
【分析】根据众数、中位数的定义，平均数和极差的计算公式逐项判断即可得解.
6．（2026·杭州一模）已知在平面直角坐标系中， △AOB的顶点分别为A(3， 1)， B(2， 0)， O(0， 0)，若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为(　　)
A．(6，2) B．(-6，-2)
C．(-6，2) D．(6，2)或(-6，-2)
【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点坐标为，相似比为．
∴当对应点与在原点同侧时，对应点坐标为，即．
当对应点与在原点异侧时，对应点坐标为，即．
因此点的对应点坐标为或．
故答案为：D .
【分析】原点为位似中心的位似变换，若相似比为，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘或解答即可.
7．（2026·杭州一模）如果关于x的分式方程 无解，那么实数m的值为(　　)
A．- 1 B．1或0 C．1 D．1或-1
【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题；分类讨论
【解析】【解答】解：原方程去分母得，
整理得，
当时，
无解，那么原方程无解，符合题意，
当时，
若方程无解，那么它有增根，
则，
解得：，
综上，m的值为1或，
故答案为： .
【分析】将原方程去分母整理得，分为整式方程无解或整式方程的解是分式方程的增根两种情况求出m的值解答即可．
8．（2026·杭州一模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点 O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC=4，ON=1，则DC的长为(　　)
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：C .
【分析】根据菱形的性质，利用两角对应相等得到，根据相似三角形的对应边成比例求出的长，再在中根据勾股定理求出的长解答即可．
9．（2026·杭州一模）已知反比例函数 点M(x1，y1)和N(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，若对于 都有 则a的取值范围是(　　)
A．a<0或2C．23或a<0
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设，
当，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小．
∵对任意，都有，
∴小于的最小值，的最小值为，
又∵，可得，
∵，
∴．
当时，左边，不等式恒成立，符合条件，
当时，两边同乘，得，
又∵，
∴；
情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大，
∵对任意，都有，
∴小于的最小值，代入，得，
∵，
∴，
∵，两边同乘，得，与矛盾，
∴此情况无解．
综上，的取值范围是或．
故答案为：A .
【分析】分为>0或3-a<0两种情况，根据都有，列不等式求出的取值范围即可．
10．（2026·杭州一模）如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作 EF⊥DE交DC的延长线于 F，交BC于M，若DE=MF，且. 则线段 CF 的长为(　　)
A．2 B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，于点，于点，
∵四边形是正方形，E为对角线上一点，
∴，，
∵，，，
∴，，，即，
∴四边形是矩形，四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴．
故答案为：A .
【分析】过点作于点，于点，于点，即可得到四边形是正方形，然后根据正弦的定义得到，根据AAS得到，即可得到，，再根据三角形的中位线性质解答即可．
11．（2026·杭州一模）因式分解　 　 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】提取公因式x，x2﹣2x=x（x﹣2）．
故答案是x（x﹣2）．
【分析】提公因式法分解因式．
12．（2026·杭州一模）一个布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中有3个红球，4个白球，从布袋里随机摸出一个球，则摸出红球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，
所以从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率= .
故答案为： .
【分析】根据概率公式计算即可.
13．（2026·杭州一模）如图， AB是⊙O的直径， C为AB延长线上一点， CD切⊙O于点D.连结OD、BD.若∠BDC =30°，QA =3，则 AD的长等于　 　.
【答案】2π
【知识点】切线的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵切于点，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的长为：．
故答案为：2π .
【分析】根据切线的性质可得，然后根据等边对等角求出，即可得到，利用弧长公式计算即可．
14．（2026·杭州一模）若关于x的一元二次方程 有实数根，则最小整数c =　 　.
【答案】-2
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴这个方程根的判别式，
解得，
∴最小整数．
故答案为：-2 .
【分析】根据方程根的情况得到，代入数值求出c的取值范围，再找出最小整数解即可.
15．（2026·杭州一模）如图，在 △ABC中， ∠ABC的平分线BD交AC边于点D，BC边上的高AE与BD交于点 F，已知∠ABC =60°，∠C =45°. CE =3 则BF的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵是高，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
故答案为： .
【分析】先得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，再在中，根据正切的定义求出的长，利用角平分线定义求出，最后根据余弦的定义求出的长解答即可．
16．（2026·杭州一模）某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为 4 cm，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片 先将纸片折出折痕 BD，再 在边 AD上取点 P，将 △ABP沿BP 折叠得 △A'BP.记AP与BD的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段A'P时，A'B恰好平分 ∠DBC，则AD长度应取　 　cm.
【答案】7
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，延长交BC于点E，过点P作于点F，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，
根据折叠可得，，，
平分，
，
又，
，
，
点Q平分线段，
，
，
，
，
，
设，
则，，
由勾股定理得，
，
由勾股定理得，
即，
解得（负值已舍），
．
故答案为：7 .
【分析】延长交于点，过点作于点，根据翻折的性质和角平分线的定义，利用ASA得到，即可得到，然后根据平行线线得到，根据对应边成比例设，然后根据勾股定理解答即可．
17．（2026·杭州一模）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】先计算绝对值，零指数次幂和负整数次幂，然后加减解答即可．
18．（2026·杭州一模）先化简，再求值： 其中a=4.
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分，然后运用同分母分数的加减合并，再约分化简，然后代入a的值解答即可．
19．（2026·杭州一模）在Rt△ABC中， ∠B=90°， AB=1， AD是BC边上的中线， tan∠BAD=1，DF是△ADC 的高线.
（1）求 cosC的值.
（2）求AE的长.
【答案】（1）解：∵，，，
∴．
∵是边上的中线，
∴，．
在中，，
∴；
（2）解：∵是的高线，
∴在中，．
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先根据正切的定义求出BD长，然后根据中线的定义求出BC长，再根据勾股定理求出长，求出余弦值即可；
（2）根据余弦的定义求出长，再根据线段的和差解答即可．
20．（2026·杭州一模）随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识．某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
“你最喜爱的学习辅助软件”调查问卷 问题：在以下五个软件中，你最喜爱的是_____． （A）作业帮（B）橙果错题集 （C）小猿搜题（D）豆包（E）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图．
（2）已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱软件的学生人数．
【答案】（1）解：这次一共调查的学生人数为（人），
本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数为（人），
补全统计图如下：
（2）解：人，
答：估算该校最喜爱软件的学生人数为225人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）用A的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数，再用参与调查的学生人数乘以D的人数占比即可求出最喜爱豆包软件的学生人数，再补全统计图即可；
（2）用1500乘以样本中最喜爱软件的学生人数占比，即可得到答案．
（1）解：人，
∴这次一共调查的学生人数为200人，
∴本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数为人，
补全统计图如下：
（2）解：人，
∴估算该校最喜爱软件的学生人数为225人．
21．（2026·杭州一模）如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由。
【答案】（1）解：∵，∴，∴
∵，∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴，∴四边形 ABED 是矩形。
（2）解：小明的作法正确
证明：连结AE，BD
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴四边形 ABED 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本题考查矩形的判定定理，已知 ∠A=∠B=90° ，可得AD//BC，小丽的作法先证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
（2）小明利用判定直角三角形全等的方法，证明，从而得到四边形ABED为平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
22．（2026·杭州一模） 2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动.为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.6小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程s(km)关于时间t(h)的变化情况如图所示.
（1）分别求出小丽和小明骑行的速度.
（2）求线段BC所在直线的函数表达式.
（3）.求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程.
【答案】（1）解：小丽的速度：
小丽到达点A的时间为，
小明到达点A的时间为：，
小明的速度：；
（2）解：点B到点C所用时间为，
则点B的时间为，
点，
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，，
则线段的函数表达式为；
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
∴，
离山庄的路程为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象提取相关信息，利用速度=路程÷时间解答即可；
（2）先求出B点坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）用待定系数法求出小丽函数解析式，联立两函数解析式求出交点坐标解答即可．
23．（2026·杭州一模）已知关于x的二次函数
（1）当函数图象经过点(2，5)时.
①求该二次函数的表达式.
②若将平面内一点A (p，q)向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数 的图象上，求p的值.
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)是该函数图象上的两点，且. 求证：
【答案】（1）解：①∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
②∵，
∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为，
∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，
∴，
解得：．
（2）证明：∵，
∴，
∵点，是该函数图象上的两点，
∴，
，
∴
，
∵，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把代入，求出的值即可；
②根据平移得到平移后的两点坐标，代入①中关系式，解关于p的一元一次方程求出p的值即可；
（2）把点M，N的坐标分别代入，利用得出，然后根据二次函数的顶点坐标得到最值证明即可．
24．（2026·杭州一模）如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D.连结AO， AD， CD.
（1）求证： ∠ABC=∠ADB.
（2）若∠ACB=55°，求∠OAC的度数.
（3）若 求AE的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
由圆周角定理得：，
∵，
∴．
（3）解：如图，延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍），
设，则，
∴，
∴，，
由圆周角定理得：，
∴，即，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得（负值已舍），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，根据圆周角定理的推论得到，等量代换得到结论即可；
（2）连接，根据等边对等角得到∠ABC的度数，再根据圆周角定理求出，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理解答即可；
（3）延长，交于点，连接，根据圆周角定理的推论和垂直的定义，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例设，然后推理得到，根据对应边成比例求出的长，然后在中根据勾股定理解答即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑