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浙江省舟山市2026年3月九年级下学期学科素养监测数学试题卷（一模）
1．（2026九下·舟山一模）2026 的相反数是(　　)
A．-2026 B．2026 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．（2026九下·舟山一模）如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体左视图的小正方形有两排，左边一排是三层，右边一排是一层，
故答案为：B．
【分析】根据从左面看立体图形得到的平面图形判断即可．
3．（2026九下·舟山一模）我国的北斗卫星导航系统(BDS)星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是13400000米.数据13400000可用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为小数点向左移动位数，据此解答即可．
4．（2026九下·舟山一模）下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误；
B、，原计算错误；
C、与不是同类项，不能合并，原计算错误；
D、，计算正确，
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项法则逐项判断解答即可.
5．（2026九下·舟山一模）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为．
故选：B．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
6．（2026九下·舟山一模）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少.设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设哪吒有x个，夜叉有y个，
根据题意列方程为：，
故答案为：D.
【分析】设哪吒有x个，夜叉有y个，根据“ 共有36个头，108只手 ”列二元一次方程组解答即可.
7．（2026九下·舟山一模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是(　　)
A．32 B．28 C．24 D．20
【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第个图案中有个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是个，
故选：C．
【分析】根据前几个图案中黑点的个数总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n=6计算即可．
8．（2026九下·舟山一模）如图，平行于x轴的直线交反比例函数 的图象于点A(2， 3)．当y<3时，x的取值范围是(　　)
A．x>2或x<0 B．x>2 C．0【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
在第一象限时，当时，，
在第三象限时，恒成立，符合题意，
∴当时，的取值范围是或．
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象和性质性质得到x的取值范围解答即可．
9．（2026九下·舟山一模）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处， A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C'处，下列结论一定正确的是(　　)
A． B．∠1=α C． D．∠2=2α
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，即，
∴，故A不正确；
∵，
∴，故B不正确；
∵折叠，
∴ ，
∵，故C不正确，D选项正确；
故选：D．
【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，进而根据折叠的性质得出，，然后逐一判断解答即可．
10．（2026九下·舟山一模）如图，在四边形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=CD=2，AB=4，点E从点 D 向点C运动，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，设DE=x， △AEF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴四边形是正方形，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，，
∴与之间函数关系的图象是开口向上的抛物线，且最大值为，与轴交点坐标为，
∴C选项符合题意．
故答案为：C.
【分析】过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，即可得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，进而得到，设，然后推理得到，根据对应边成比例求出m=x，即可得出，然后根据三角形面积公式求出，再根据二次函数的图象判断即可．
11．（2026九下·舟山一模）因式分解：m2-9=　 　
【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：m2-9= m2-32=（m+3）（m-3） ；
故答案为：（m+3）（m-3） .
【分析】原式变形后符合a2-b2形式，根据平方差公式直接分解因式即可。
12．（2026九下·舟山一模）若代数式 的值是2，则x=　 　．
【答案】5
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得：，
解方程得，
检验当时，，
因此是原分式方程的解．
故答案为：5.
【分析】列出分式方程求出的值，检验解答即可．
13．（2026九下·舟山一模）一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是　 　．
【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解；把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，6，6，7，处在最中间的两个数分别为4，6，
∴中位数为，
故答案为：5．
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
14．（2026九下·舟山一模）已知关于x的方程 的一个根为x=1，则另一个根为　 　．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为a，根据题意得1·a=-3，
解得a=-3．
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系得到1·a=-3，求出a的值解答即可．
15．（2026九下·舟山一模）如图，在△ABC中，点O在AC上，以点O为圆心，OC长为半径作圆与AB 相切于点B．若∠A=50°，OC=3，则弧BC 的长为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，根据切线的性质得到，即可求出，进而得到，再根据弧长公式计算即可．
16．（2026九下·舟山一模） 如图，在正方形ABCD 的对角线AC上取一点E，使得∠EDC=15°，连接BE并延长交DC于点 F，则 　 　，　 　．
【答案】；
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
延长到，使，连接，作于点，
设正方形的边长为1，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：，．
【分析】根据外角性质可得，延长到，使，连接，作于点，设正方形的边长为1，得到是等腰直角三角形，然后解直角三角形求出HE，DE长，即可得到是等边三角形，求得，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
17．（2026九下·舟山一模） 计算： ．
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算负整数指数幂和绝对值，代入三角函数值，然后加减解答即可．
18．（2026九下·舟山一模）解一元一次不等式组 并在数轴上表示．
解： 由不等式①得：____ ，
由不等式②得：____ ，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为____．
【答案】解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：，
故答案为：；；.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可.
19．（2026九下·舟山一模） 如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，点D是边BC上的一点，过点D作 交BA延长线于点E，连接CE，若DE=AC=12， AB=5．
（1） 求证： △BDE≌△BAC；
（2） 求tan∠CEB．
【答案】（1）证明： ∵DE⊥BC，
∴∠BDE=∠BAC=90°，
在 和 中，
∴△BDE≌△BAC(AAS)；
（2）解：由(1) 得
∴AB=DB=5，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=∠BAC=90°，
∴
，
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠BDE=∠BAC=90°，然后根据AAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AB=DB=5，再根据勾股定理求出BE长，进而根据线段的和差求出AE长，利用正切的定义解答即可.
20．（2026九下·舟山一模）为了解九年级学生的体重情况，某校随机抽取了九年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表．
体重情况统计表
组别 体重x(kg) 频数(人数)
A类 x<49.5 10
B类 49.5≤x<59.5 a
C类 59.5≤x<69.5 8
D类 x≥69.5 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1） a=　 　， b=　 　；
（2）在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数是　 　°；
（3）若该校九年级共有1200名学生，估计体重在59.5kg及以上的学生有多少人
【答案】（1）20；2
（2）72
（3）解：(人)
答：体重在59.5kg及以上的学生大约有300人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得被抽取的总人数为（人），
∴类的频数为（人），
∴类的频数为（人），
故答案为：，；
（2）类所对应的圆心角度数是，
故答案为：；
【分析】（1）利用类的频数除以它的占比求出被抽取的总人数，再利用类的占比乘以总人数求出类的频数，再用总人数减去其它组人数求出D类的人数即可；
（2）利用类的占比乘以解答即可；
（3）运用1200乘以 体重在59.5kg及以上的学生的占比解答即可．
21．（2026九下·舟山一模）已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD．
小亮的作法：如图1，连接BD，分别以D、B为圆心大于 的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点A，C，连接AB，CD，则四边形ABCD 即为菱形．
（1）判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗 请你在图2中作出图形(保留作图痕迹)．
【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
设与交于点．
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，即．
，
∴，
∴，
∴
四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明是菱形，
∴小丽的作法不正确．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）设与交于点，由作图可知垂直平分，即可得到，然后根据平行四边形的性质，利用AAS得到，得到AD=BC，然后根据四条边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图，根据平行四边形的性质得到∠BAF=∠FCE，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，得到，同理可得，即可得到，进而得到是平行四边形，无法证明是菱形，据此解答即可．
22．（2026九下·舟山一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶4h至距离A地160km的C地时发生故障原地维修，2.4h后维修完毕，于是甲车匀速行驶1.6h到达 B地.乙车匀速行驶4h到达距离A地240km的B地，接着花费 h卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达 B地.在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离y(单位： km)与它们离开A地的时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示.
请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填表：
甲车离开A地的时间 (单位：h) 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离(单位： km) 　 160 　 　
（2）请直接写出乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式.
（3） ①图中b的值为 ▲ ；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距50km时x的值.
【答案】（1）解：
甲车离开A地的时间 (单位：h) 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离(单位： km) 40 160 160 240
（2）解：乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式为：
（3）解：①144；
②令，
解得，
当时，两车相遇，
当时，甲车的速度为，
根据题意得：，
解得：
当时，甲、乙两车相距；
当时，
根据题意得：，
解得；
当时，
根据题意得：，
解得
综上所述，当或或时，两车相距．
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，当时，甲车的速度为，
∴甲车离开A地时，离A地的距离为，
由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和；
∴填表如下：
甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240
故答案为：40；160；240；
（2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为，
代入，得，则；
∵，
则当时，此时；
当，设乙车的与的函数关系式为，
代入和，得，
解得，
综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为；
故答案为：；
（3）①解：①由（2）可知，；
故答案为：144；
【分析】（1）根求出时甲车的速度，进而得到x=1时行进路程，根据图象的到x=6.4和x=8时的函数值；
（2）分为，，三种情况，利用打定系数法求出函数的解析式即可；
（3）先求处两车相遇时的时间，然后分，，，四种情况，根据题意列方程求出x的值解答即可．
23．（2026九下·舟山一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (b，c为常数)的对称轴为直线x=2，且过点(0， 1)．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值；
（3）当自变量x满足t≤x≤5时， y的最大值为m，最小值为n，且m+n=4，求t的值．
【答案】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点，
∴，，则，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为，
∵所得图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
（3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，，
∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为，
∴当时，最大值，最小值，
由得，
解得，（舍去）；
当时，最大值，最小值，
∴不满足，不符合题意；
当时，最大值为，最小值为，
由得，
解得，（舍去），
综上，t的值为3或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）利用函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再根据题意得到，求出m的值解答即可；
（3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求出最大值和最小值，然后根据 m+n=4列方程求出t的值解答即可 ．
24．（2026九下·舟山一模）如图1，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，连结AC、AD，弦CG平分分别交AB、AD于点 E， F， AG与CD的延长线交于点 H.
（1）求证：
（2）如图1，当HG=HD时，求
（3）如图2，当EF=FG时，求
【答案】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，
∴∠AGC=∠ACD.
∵∠CAG=∠HAC，
∴△ACG∽△AHC；
（2）解：连接，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
为的黄金分割点，
；
（3）解：连结，如图，
∵直径垂直弦，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴
∴四边形为菱形，
∴，
∴垂直平分，
∴，为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，再根据∠CAG=∠HAC即可得到两三角形相似即可；
（2）连接，利用圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到，再根据即可得到，进而得到，再根据相似三角形的对应边成比例求出，，即可得到结论；
（3）连结，先根据AAS得到△AFG≌△DFE，即可得到AF=DF，进而得到四边形为菱形，得到垂直平分，即可得到，根据正切的定义得到，然后证明，根据面积比等于相似比的平方解答即可．
1 / 1浙江省舟山市2026年3月九年级下学期学科素养监测数学试题卷（一模）
1．（2026九下·舟山一模）2026 的相反数是(　　)
A．-2026 B．2026 C． D．
2．（2026九下·舟山一模）如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026九下·舟山一模）我国的北斗卫星导航系统(BDS)星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是13400000米.数据13400000可用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．（2026九下·舟山一模）下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．（2026九下·舟山一模）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是(　　)
A． B． C． D．
6．（2026九下·舟山一模）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少.设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
7．（2026九下·舟山一模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是(　　)
A．32 B．28 C．24 D．20
8．（2026九下·舟山一模）如图，平行于x轴的直线交反比例函数 的图象于点A(2， 3)．当y<3时，x的取值范围是(　　)
A．x>2或x<0 B．x>2 C．09．（2026九下·舟山一模）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处， A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C'处，下列结论一定正确的是(　　)
A． B．∠1=α C． D．∠2=2α
10．（2026九下·舟山一模）如图，在四边形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=CD=2，AB=4，点E从点 D 向点C运动，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，设DE=x， △AEF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是(　　)
A． B．
C． D．
11．（2026九下·舟山一模）因式分解：m2-9=　 　
12．（2026九下·舟山一模）若代数式 的值是2，则x=　 　．
13．（2026九下·舟山一模）一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是　 　．
14．（2026九下·舟山一模）已知关于x的方程 的一个根为x=1，则另一个根为　 　．
15．（2026九下·舟山一模）如图，在△ABC中，点O在AC上，以点O为圆心，OC长为半径作圆与AB 相切于点B．若∠A=50°，OC=3，则弧BC 的长为　 　．
16．（2026九下·舟山一模） 如图，在正方形ABCD 的对角线AC上取一点E，使得∠EDC=15°，连接BE并延长交DC于点 F，则 　 　，　 　．
17．（2026九下·舟山一模） 计算： ．
18．（2026九下·舟山一模）解一元一次不等式组 并在数轴上表示．
解： 由不等式①得：____ ，
由不等式②得：____ ，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为____．
19．（2026九下·舟山一模） 如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，点D是边BC上的一点，过点D作 交BA延长线于点E，连接CE，若DE=AC=12， AB=5．
（1） 求证： △BDE≌△BAC；
（2） 求tan∠CEB．
20．（2026九下·舟山一模）为了解九年级学生的体重情况，某校随机抽取了九年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表．
体重情况统计表
组别 体重x(kg) 频数(人数)
A类 x<49.5 10
B类 49.5≤x<59.5 a
C类 59.5≤x<69.5 8
D类 x≥69.5 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1） a=　 　， b=　 　；
（2）在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数是　 　°；
（3）若该校九年级共有1200名学生，估计体重在59.5kg及以上的学生有多少人
21．（2026九下·舟山一模）已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD．
小亮的作法：如图1，连接BD，分别以D、B为圆心大于 的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点A，C，连接AB，CD，则四边形ABCD 即为菱形．
（1）判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗 请你在图2中作出图形(保留作图痕迹)．
22．（2026九下·舟山一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶4h至距离A地160km的C地时发生故障原地维修，2.4h后维修完毕，于是甲车匀速行驶1.6h到达 B地.乙车匀速行驶4h到达距离A地240km的B地，接着花费 h卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达 B地.在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离y(单位： km)与它们离开A地的时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示.
请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填表：
甲车离开A地的时间 (单位：h) 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离(单位： km) 　 160 　 　
（2）请直接写出乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式.
（3） ①图中b的值为 ▲ ；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距50km时x的值.
23．（2026九下·舟山一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (b，c为常数)的对称轴为直线x=2，且过点(0， 1)．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值；
（3）当自变量x满足t≤x≤5时， y的最大值为m，最小值为n，且m+n=4，求t的值．
24．（2026九下·舟山一模）如图1，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，连结AC、AD，弦CG平分分别交AB、AD于点 E， F， AG与CD的延长线交于点 H.
（1）求证：
（2）如图1，当HG=HD时，求
（3）如图2，当EF=FG时，求
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体左视图的小正方形有两排，左边一排是三层，右边一排是一层，
故答案为：B．
【分析】根据从左面看立体图形得到的平面图形判断即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为小数点向左移动位数，据此解答即可．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误；
B、，原计算错误；
C、与不是同类项，不能合并，原计算错误；
D、，计算正确，
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项法则逐项判断解答即可.
5．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为．
故选：B．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设哪吒有x个，夜叉有y个，
根据题意列方程为：，
故答案为：D.
【分析】设哪吒有x个，夜叉有y个，根据“ 共有36个头，108只手 ”列二元一次方程组解答即可.
7．【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第个图案中有个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是个，
故选：C．
【分析】根据前几个图案中黑点的个数总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n=6计算即可．
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
在第一象限时，当时，，
在第三象限时，恒成立，符合题意，
∴当时，的取值范围是或．
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象和性质性质得到x的取值范围解答即可．
9．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，即，
∴，故A不正确；
∵，
∴，故B不正确；
∵折叠，
∴ ，
∵，故C不正确，D选项正确；
故选：D．
【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，进而根据折叠的性质得出，，然后逐一判断解答即可．
10．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴四边形是正方形，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，，
∴与之间函数关系的图象是开口向上的抛物线，且最大值为，与轴交点坐标为，
∴C选项符合题意．
故答案为：C.
【分析】过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，即可得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，进而得到，设，然后推理得到，根据对应边成比例求出m=x，即可得出，然后根据三角形面积公式求出，再根据二次函数的图象判断即可．
11．【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：m2-9= m2-32=（m+3）（m-3） ；
故答案为：（m+3）（m-3） .
【分析】原式变形后符合a2-b2形式，根据平方差公式直接分解因式即可。
12．【答案】5
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得：，
解方程得，
检验当时，，
因此是原分式方程的解．
故答案为：5.
【分析】列出分式方程求出的值，检验解答即可．
13．【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解；把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，6，6，7，处在最中间的两个数分别为4，6，
∴中位数为，
故答案为：5．
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
14．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为a，根据题意得1·a=-3，
解得a=-3．
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系得到1·a=-3，求出a的值解答即可．
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，根据切线的性质得到，即可求出，进而得到，再根据弧长公式计算即可．
16．【答案】；
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
延长到，使，连接，作于点，
设正方形的边长为1，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：，．
【分析】根据外角性质可得，延长到，使，连接，作于点，设正方形的边长为1，得到是等腰直角三角形，然后解直角三角形求出HE，DE长，即可得到是等边三角形，求得，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算负整数指数幂和绝对值，代入三角函数值，然后加减解答即可．
18．【答案】解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：，
故答案为：；；.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可.
19．【答案】（1）证明： ∵DE⊥BC，
∴∠BDE=∠BAC=90°，
在 和 中，
∴△BDE≌△BAC(AAS)；
（2）解：由(1) 得
∴AB=DB=5，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=∠BAC=90°，
∴
，
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠BDE=∠BAC=90°，然后根据AAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AB=DB=5，再根据勾股定理求出BE长，进而根据线段的和差求出AE长，利用正切的定义解答即可.
20．【答案】（1）20；2
（2）72
（3）解：(人)
答：体重在59.5kg及以上的学生大约有300人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得被抽取的总人数为（人），
∴类的频数为（人），
∴类的频数为（人），
故答案为：，；
（2）类所对应的圆心角度数是，
故答案为：；
【分析】（1）利用类的频数除以它的占比求出被抽取的总人数，再利用类的占比乘以总人数求出类的频数，再用总人数减去其它组人数求出D类的人数即可；
（2）利用类的占比乘以解答即可；
（3）运用1200乘以 体重在59.5kg及以上的学生的占比解答即可．
21．【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
设与交于点．
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，即．
，
∴，
∴，
∴
四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明是菱形，
∴小丽的作法不正确．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）设与交于点，由作图可知垂直平分，即可得到，然后根据平行四边形的性质，利用AAS得到，得到AD=BC，然后根据四条边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图，根据平行四边形的性质得到∠BAF=∠FCE，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，得到，同理可得，即可得到，进而得到是平行四边形，无法证明是菱形，据此解答即可．
22．【答案】（1）解：
甲车离开A地的时间 (单位：h) 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离(单位： km) 40 160 160 240
（2）解：乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式为：
（3）解：①144；
②令，
解得，
当时，两车相遇，
当时，甲车的速度为，
根据题意得：，
解得：
当时，甲、乙两车相距；
当时，
根据题意得：，
解得；
当时，
根据题意得：，
解得
综上所述，当或或时，两车相距．
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，当时，甲车的速度为，
∴甲车离开A地时，离A地的距离为，
由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和；
∴填表如下：
甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240
故答案为：40；160；240；
（2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为，
代入，得，则；
∵，
则当时，此时；
当，设乙车的与的函数关系式为，
代入和，得，
解得，
综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为；
故答案为：；
（3）①解：①由（2）可知，；
故答案为：144；
【分析】（1）根求出时甲车的速度，进而得到x=1时行进路程，根据图象的到x=6.4和x=8时的函数值；
（2）分为，，三种情况，利用打定系数法求出函数的解析式即可；
（3）先求处两车相遇时的时间，然后分，，，四种情况，根据题意列方程求出x的值解答即可．
23．【答案】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点，
∴，，则，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为，
∵所得图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
（3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，，
∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为，
∴当时，最大值，最小值，
由得，
解得，（舍去）；
当时，最大值，最小值，
∴不满足，不符合题意；
当时，最大值为，最小值为，
由得，
解得，（舍去），
综上，t的值为3或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）利用函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再根据题意得到，求出m的值解答即可；
（3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求出最大值和最小值，然后根据 m+n=4列方程求出t的值解答即可 ．
24．【答案】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，
∴∠AGC=∠ACD.
∵∠CAG=∠HAC，
∴△ACG∽△AHC；
（2）解：连接，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
为的黄金分割点，
；
（3）解：连结，如图，
∵直径垂直弦，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴
∴四边形为菱形，
∴，
∴垂直平分，
∴，为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，再根据∠CAG=∠HAC即可得到两三角形相似即可；
（2）连接，利用圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到，再根据即可得到，进而得到，再根据相似三角形的对应边成比例求出，，即可得到结论；
（3）连结，先根据AAS得到△AFG≌△DFE，即可得到AF=DF，进而得到四边形为菱形，得到垂直平分，即可得到，根据正切的定义得到，然后证明，根据面积比等于相似比的平方解答即可．
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