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宏图大地中学2025-2026 学年度（下）高一年级第三次段考
数 学 参 考 答 案
一、单选题
1. 已知点 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2. （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
3. ， 是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】C
4. 已知向量 满足 ， ，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
5. 已知向量 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
6. 如图，在△ABC中， ，点 是 的中点，设 ，则 （ ）
A． B．
参考答案第 1页，共 3页
C． D．
【答案】D
7. 已知平面向量 ， 是单位向量，则“ ， 是相等向量”是“ ， 的方向相同”的（
）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
8. 如图，△ABC中， ， ，P为 CD上一点，且满足
，若 AC＝3，AB＝4，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
二、多选题
9. 已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
10. 已知向量 满足 ， ，则（ ）
A. 与 的夹角为 B. 与 的夹角为
C. D.
【答案】ACD
11. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
参考答案第 1页，共 3页
A.
B. 的单位向量为
C. 若 ，则实数 的值为
D. 若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
【答案】AC
三、填空题
12. 已知向量 的夹角为 ， ，则 ________．
【答案】
13. 已知 是两个不共线的向量，向量 共线，则实数 ________.
【答案】
14. 已知向量 ，向量 在 上的投影向量的坐标为 ，则 ______.
【答案】
四、解答题
15. （13分）已知向量 与 的夹角为 ，且 ，求
(1) ；
(2) ；
(3)设向量 与 的夹角为 ，求 的值.
【答案】(1)4
(2)
(3)
16. 已知点 ， ， .
参考答案第 1页，共 3页
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，其中 为坐标原点，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【小问 1详解】
由题意可得： ， ，
因为
所以 ，
化简得 ，
所以 .
【小问 2详解】
由题意可得： ， ，
所以 ，
得： .
17. 已知向量 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求向量 与 夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解答过程】（1）因为 ， ，所以
，
又 ，所以 ，解得 ；
参考答案第 1页，共 3页
（2）因为 ，
所以 ，解得 ， ，所以 ，
所以 ，
即向量 与 夹角的余弦值为 .
18. 如图，在△ABC中 ，点 E是 CD的中点，AE与 BC相交于 F，设 ，
.
（1）用 ， 表示 ， ；
（2）若在平面直角坐标系 xOy中，已知点 ， ， ，求 .
【答案】（1） ； （2）5
【解析】
【小问 1详解】
在△ABC中 ，点 E是 CD的中点，AE与 BC相交于 F，
【小问 2详解】
在平面直角坐标系 xOy中，已知点 ， ， ，
则 ， ，
则
参考答案第 1页，共 3页
设 ，则
由 ，可得 ，解之得
则 ，则
19. 如图，已知 满足 ， ， 、 、 是
线段 上的分点，且满足 .
(1)判断 的形状；
(2)当 时，求 的值；
(3)当 时，若 为线段 上的动点，求 的最小值，并指出当 取最小值
时点 的位置.
【答案】(1)等边三角形
(2)
(3)最小值 ，
【解题思路】（1）根据数量积求出 后可判断三角形形状；
（2）结合向量的线性运算可得 ，故可求向量和的模；
（3）设 ，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求 的最小值.
【解答过程】（1） ， ，
则 ，即 ，
故 为等边三角形.
参考答案第 1页，共 3页
（2）当 时， 、 为边 的三等分点，
设 为 中点，且 ，
所以 ，
故 .
（3）设 ，
当 时， 、 、 为边 的四等分点，
，
设 ，其中 ，则 ，
，
所以
，
当且仅当 即 时， 取最小值 .
参考答案第 1页，共 3页2025-2026 学年度（下）高一年级第一次段考
数 学 试 卷
考试时间：120 分钟 试卷分值：150 分
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）
1. 已知点 ， ，则 【 】
A． B． C． D．
2. 【 】
A． B．0 C． D．
3. ， 是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是 【 】
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
4. 已知向量 ， 满足 ， ，则 【 】
A．4 B．3 C．2 D．0
5. 已知向量 ，若 ，则实数 的值为 【 】
A. 2 B. C. D.
6. 如图，在△ABC中， ，点 是 的中点，设 ，则 【 】
A． B．
C． D．
7. 已知平面向量 ， 是单位向量，则“ ， 是相等向量”是“ ， 的方向相同”的 【 】
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
数学试卷 第 1页--共 3页
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，△ABC中， ， ，P为 CD上一点，且满足 ，若 AC＝3，
AB＝4，则 的值为 【 】
A． B． C． D．
二、多选题（每题 6 分，共 18 分，错选或多选不得分，少选得部分分）
9. 已知向量 ，则下列说法正确的是 【 】
A． B．
C． D．
10. 已知向量 满足 ， ，则 【 】
A. 与 的夹角为 B. 与 的夹角为
C. D.
11. 已知向量 ，则下列结论正确的是 【 】
A.
B. 的单位向量为
C. 若 ，则实数 的值为
D. 若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
12. 已知向量 的夹角为 ， ，则 ________．
13. 已知 是两个不共线的向量，向量 共线，则实数 ________.
14. 已知向量 ，向量 在 上的投影向量的坐标为 ，则 ______.
数学试卷 第 1页--共 3页
四、解答题
15. （13分）已知向量 与 的夹角为 ，且 ，求
(1) ；
(2) ；
(3)设向量 与 的夹角为 ，求 的值.
16. （15 分）已知点 ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，其中 为坐标原点，求 的值.
17.（15分）已知向量 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求向量 与 夹角的余弦值.
数学试卷 第 1页--共 3页
18. （17分）如图，在△ABC中 ，点 E是 CD的中点，AE与 BC相交于 F，设 ，
.
（1）用 ， 表示 ， ；
（2）若在平面直角坐标系 xOy中，已知点 ， ， ，求 .
19.（17分）如图，已知 满足 ， ， 、 、 是线段
上的分点，且满足 .
(1)判断 的形状；
(2)当 时，求 的值；
数学试卷 第 1页--共 3页
(3)当 时，若 为线段 上的动点，求 的最小值，并指出当 取最小值时点 的位置.
数学试卷 第 1页--共 3页

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