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18.1 课时1 勾股定理
沪科版八年级数学下册
第18章 勾股定理
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：
观察图 (1)，并填写：
S1＝__________个单位面积；
S2＝__________个单位面积；
S3＝__________个单位面积.
9
9
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如图,在行距、列距都是1个单位长度的方格网中,Rt△ABC的顶点都是格点，∠ACB=，分别以△ABC的各边为正方形的一边，向形外作正方形,并用S1，S2与S3表示这三个正方形的面积.
观察图 (2)，并填写：
S1＝__________个单位面积；
S2＝__________个单位面积；
S3＝__________个单位面积.
9
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图(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：_______________________.
a2＋b2＝c2
定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理.
如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为
a2+b2=c2
已知：如图（1），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b.
求证：a2 + b2 = c2.
证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形,把它们拼成如图所示的边长为a+b的正方形EFGH.
由题意,得A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.
因为∠B1A1E+∠A1B1E=90°，∠A1B1E=∠D1A1H,
所以∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°,
同理:∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°,
则四边形 A1B1C1D1是边长为c的正方形.
分别记正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面积
为S正方形EFGH和S正方形A1B1C1D1则S正方形EFGH-4S△ABC
=S正方形A1B1C1D1
即
化简,得.
你还有其他的方法证明吗？
b
b
a
a
S=a2+b2
a
c
b
a
c
b
小正方形的面积= (a-b)2
即c2=a2+b2.
=c2-4× ab
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
（a、b、c为正数）
如果直角三角形的两直角边用a,b表示,斜边用c表示,那么勾股定理可以表示为a2+b2=c2.
公式变形：
勾股定理
a
b
c
例1 如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=5，BC=12.求:
(1)AB的长;
(2)斜边上的高 CD 的长.
解：(1)在Rt△ABC中，
AB2=AC2+BC2=52+122=169.
则AB =13.
(2)∵S△ABC=AC·BC=AB·CD，
∴CD = = = .
【变式题】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图①，
当BC为斜边时，如图②，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图①
图②
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
1.如图，在 中， ，，，则 的长为( )
D
A. B. C. D.
2.下列不能用来证明勾股定理的是( )
D
A. B. C. D.
3. 在中， .
(1)若，，则 ____；
(2)若，，则 ___；
(3)若 ，，则 _____.
17
4
2
4. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1) a ＝ 6，b ＝ 8，求c；
∵在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°，
BC ＝ a ＝ 6，AC ＝ b ＝ 8，
∴ c ＝ AB ＝＝＝10.
(2) a ＝ 8，c ＝ 17，求b.
∵ 在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°，
BC ＝ a ＝ 8，AB ＝ c ＝ 17，
∴ b ＝ AC ＝ ＝＝15.

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