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兆麟中学 2025—2026年度下学期第一次月考
高一学年 数学 学科试题
考试用时：150分钟 总分：150分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．复数 满足 （ 为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
2．如图，设 是平面内相交成 角的两条数轴， 分别是与 轴， 轴正方向同
向的单位向量.若向量 ，则有序实数对 叫做向量 在坐标系 中的坐
标.若在该坐标系 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．0
3．如图，长方体 中被截去一部分，其中 ， ，则剩下的
几何体是（ ）
A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱
4．在 中，内角 的对边分别为 ，则 一
定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
5．如图所示，已知 ，点 ， 满足 ， ， 与 交于点
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， 交 于点 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点 为 所在平面内一点，若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
7．在 中，已知 ， ， ， 为线段 上的一
点，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角 中， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．若复数 ，则下列选项正确的有（ ）
A． B． 的共轭复数为
C． 为实数 D． 在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知 为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则
D．若 ，则 的最小值为
11．已知点 在 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
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A．若 为 的垂心，且 ，则
B．若 ，则 的面积与 的面积之比为
C．若 ，则动点 的轨迹经过 的外心
D．若 ，且 ，则 的面积是 面积的
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．已知向量 是单位向量， ，若 ，则 在 上的投影向量为______.
13．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上
有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度 ，一研究小组选取了
与该楼底部 B在同一水平面内的两个测量基点 C与 D，现测得 ， ，
，在 C点处测得该楼顶端 A的仰角为 60°，则该楼的高度 为______m.
14．已知 的外接圆半径为 2，三个角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若
，且 ，则 的最大值为________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分）已知复数 ，其中 i为虚数单位， ．
(1)若 是纯虚数，求 的值；
(2) 在复平面内对应的点在第二象限，求 的取值范围．
16．已知平面直角坐标系中， ， ， ．
(1)若 A，B，P三点共线，求实数 t的值．
(2)若 ，求实数 t的值．
(3)若 是锐角，求实数 t的取值范围．
17．在 中， .
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(1)求 ；
(2)再从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求
的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分.
18．对于平面向量 ，定义“ 变换”：
，
(1)若向量 ， ，求 ；
(2)求证： ；
(3)已知 ， ，且 与 不平行， ， ，
判断 与 的大小，并证明.
19．已知 中，角 的对边分别是 ，且 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 且 B为钝角.
（i）若 ，求 的面积.
（ii）若 D为线段 上一点，且满足 ，求 的值.
试卷第 1页，共 3页第一次月考答案
1。C
解：由题意可得：：1-2-1=--1=3-i,所以：-3+1，所以：的共轭复数的虚部为1
-1
2。D
解：由平面向量数量积的定义可得6g-cos60=,由题意可知oA=2g+8,o丽=-4g+5名，
所以OA0丽-(2g+e)(4e+5e)=-83°+6 e,+5e,--8+3+5=0
3。C
解：】依题意，ADIIA'D IIEHIIFGIIBC,且AD=AD=EH=FG=BC,
又平面A4EB/平面DDHGC，所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱。
4。A
解：在vABc中，inC+b=2次aw+,则sinC+b=2bx1os4+co,即sinC=bcos1+aoB,
2
则sin AsinC=sin BcosA-+sinAcosB=simA+,即得sin AsinC=sinC,由于Ce(0,),sinC≠0，故sinA=l,
结合AE(0,m),可得A=,即vABC一定为直角三角形，
5。D
解：对于A,由C,P,M共线，存在使AP=MM+1-2)MC=2AB+A-2AC，由B,P,N共线，
存在使亚=+1-=丽+C,联立系数相等：
5
3
因此：币+c，故选项A错误；
对于B,丽=币-丽-（丽+c西=号+c,丽-丽-西-4c-=+4c
若驴-丽，则：西+C-引丽+C丽+C,显然系数不相等，选项B错误，
对于C,由于AP=tAD,且D在BC上，故设AD=AB+Q-k)AC,则AP=AD=kAB+-)AC,
结合币-西+c,得：
-){'解每1-号，选项C错误，
于D,由m-d-4c-(+4c4c-丽-ac,所以-@-)-专c-C+号丽，D对
答案第1页，共7页
B
6.B
解：过点A作孤-孤丽-c,则而=西+C=孤+，
以AE,AF为邻边作平行四边形AEPF，所以S=2SAa=2SAm,
尽-3S,可得9心6心S4S远1所以8-8=晶另
7.D
解：VABC中设AB=c,Bc=a,AC=b,因为sinB=cosA·sinC,sinB=sin(A+C),所以sin(A+C)=sin CcosA,
即sin AcosC+sin CcosA=sinCcosA，所以sin AcosC=0,因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosC=0,
又Ce(0,,所以c=,又因为a.AC=9,所以becoA=-9,又besinA=6,
所以nA-音，在R△MBC中，s血A=手，csA-,bc=15,根据cosA-名，
。,所
以b=3,c=5,a=VC2-b=4,以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为
y轴建立直角坐标系，可得C(0,0),46,o),,4),所以cA=6,0)，CB=0,4)，C
P为线段AB上的一点，则存在实数2使得CP=CA+1-2)cB=(3元，4-4)(0≤2≤1)，
设后4，爱，则=a0,G-0,所以-合筒0咖w,则，
CB
所以=，，则+=，所以是a0整月，
当且仅当是：，即=2-63，=85-12时，等号成立，此时=4-25，
所以+上的最小值为7+45
12
8.B
解：由正弦定理可知，gim2B-im2A=sin AsinC,又sin2B-sin2A=sin2B-sin2Bsin2A+im2Bsin2A-sin2A
sin2B(1-sin2A)-sin2A(1-sin2B)=sin2 Bcos2 A-sin2 AcosB
=(sin B cosA+sin Acos B)(sin B cos A-sin AcosB)=sin(B+A)sin(B-A);sin(B+A)sin(B-A)=sin AsinC.
又A+B+C=元，所以si血(B+A)=sin(-C)=si血C,又0因为vABC是锐角三角形，所以-答案第2页，共7页

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