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18.2 课时2 勾股定理的
逆定理的实际应用
沪科版八年级数学下册
第18章 勾股定理
1.能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（重点）
2.能灵活运用勾股定理和逆定理解决实际问题.（难点）
例2 已知:在△ABC中,三边长分别为a=n2-1，b=2n，c=n2+1(n>1).
求证:△ABC为直角三角形.
证明：∵a2+b2 =(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n2
=n4+2n2 +1
=(n2 +1)2
=c2
∴ △ABC 为直角三角形.
例3 如图,营地A与哨所B相距10km,东侧有条南北走向的河流PQ、哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6km到达河边C处让马饮水,再走8km到达哨所B处执勤,最后返回营地A、你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗
解 由题意,得AB=10km，AC=6km，BC=8km
∵ 62+82=102,
∴ AC2+BC2 =AB2
∴ ∠ACB =90°
又∵ AD∥PQ
∴ ∠ACP=∠DAC =34°.
∴ ∠BCQ=180°- 90°- 34°= 56°
答:哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达哨所B处.
解决实际问题的步骤：
构建几何模型(从整体到局部)；
标注有用信息,明确已知和所求；
应用数学知识求解.
【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
东
北
P
A
B
C
Q
D
分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.
东
北
P
A
B
C
Q
D
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.
解：∵AC=10，AB=6，BC=8，
∴AC2=AB2+BC2，
即△ABC是直角三角形.
设PQ与AC相交于点D，根据
三角形面积公式有 BC·AB= AC·BD，
即6×8=10BD，解得BD=
在Rt△BCD中，
例4 一个零件的形状如图 所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 所示,这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图
图
在△BCD中，
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
∴这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
图
1.在中，，若 ，则 ( )
B
A. B. C. D.
证明：∵ AD⊥BC，
∴∠ADC =∠ADB = 90°．
∴ CD = = 1，BD = = 3.
∴ BC = CD + BD = 4．
则有 AB2 + AC2 = 12 + 4 = 16 = BC2，
∴△ABC 是直角三角形，其中∠BAC = 90°.
2．已知：如图，在△ABC 中，AB = 2 ，AC = 2，高 AD = ．
求证：∠BAC = 90°．
3．已知：AD 为△ABC 的高．求证：AB2 – AC2 = BD2 – CD2．
证明：如图，∵ AD 为△ABC 的高，
∴∠ADB =∠ADC = 90°．
在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
由勾股定理，得 AB2 = AD2 + BD2，AC2 = AD2 + CD2，
将两式相减，得 AB2 – AC2 = BD2 – CD2．
4.如图，在四边形 中，已知 ， ， ，
， .
（1）求证： 是直角三角形；
【证明】在中， ， ，
， .
在中，，， ，
.
是直角三角形.
（2）求四边形 的面积.
【解】在中， ，
， ，
.
的面积为
.
又的面积为 ，
四边形的面积为 .
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
将实际问题转化为几何图形问题，利用勾股定理的逆定理证明是直角转化为我们熟悉的直角三角形等图形.

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