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四川省眉山市仁寿县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（每小题4分，共48分）
1．（2025八下·仁寿期中）下列式子中，属于分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】A、的分母是常数3，不含有字母，所以它是整式，不是分式，A不符合题意；
B、的分母是字母，符合分式的定义，所以它是分式，B符合题意；
C、的分母是常数3，不含有字母，它是整式，不是分式，C不符合题意；
D、是一个常数，分母是3，不含有字母，它是整式，不是分式，D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题主要考查分式的概念，解题时需要掌握分式的基本定义：分母中含有字母的代数式称为分式。根据分式的判定条件，逐一分析各选项是否符合要求。
2．（2025八下·仁寿期中）下列分式中，不是最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A． 是最简分式，A不符合题意；
B． 是最简分式，B不符合题意；
C． 是最简分式，C不符合题意；
D． 不是最简分式，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查的是最简分式的概念。最简分式是指分子和分母不存在公共因式的分式形式。解题时需要根据最简分式的定义进行判断和求解。
3．（2025八下·仁寿期中）2024年9月，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知7纳米米，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法可表示为，
故选：．
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数。科学记数法的标准形式为，其中系数a()，指数n(n为整数），n的数值由原数从左边第一个非零数字前所有零的个数决定。解题时需按照科学记数法的规则进行转换。
4．（2025八下·仁寿期中）下列四个选项中，不是的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解： A：y = 2x - 7 为一次函数，每个 x 对应唯一的 y，是函数，A不符合题意。B：y =为反比例函数（x 0），每个 x 对应唯一的 y，是函数，B不符合题意。
C：y = x2 为二次函数，每个 x 对应唯一的 y，是函数，C不符合题意。
D：y =表示对于每个 x（x0），y 有两个值（正负平方根）与之对应，不满足函数定义中“唯一确定”的要求，因此 y 不是 x 的函数，D符合题意。
故选：D．
【分析】本题考查函数的基本概念，核心在于理解对于自变量的每一个确定的值，因变量有且只有一个值与之对应。
5．（2025八下·仁寿期中）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍
C．不变 D．缩小到原来的
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：同时把x，y扩大3倍得：，
即把分式的值缩小到原来的．
故选：D．
【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键。根据分式的基本性质进行分析解答。
6．（2025八下·仁寿期中）已知点A的坐标为，下列说法正确的是（　　）
A．若点A在y轴上，则
B．若点A在二四象限角平分线上，则
C．若点A到x轴的距离是3，则或
D．若点A在第四象限，则a的值可以为2
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在y轴上，则，即，故A错误，不符合题意；
在二四象限角平分线上，则，即，故B错误，不符合题意；
到x轴的距离是3，则，即或，故C正确，符合题意；
在第四象限，则，即，不等式组无解，故D错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】1. y轴上的点：横坐标为 ，列方程求 .
2. 二四象限角平分线：横、纵坐标互为相反数，列方程求 .
3. 到x轴距离：纵坐标绝对值等于距离，列绝对值方程求 .
4. 第四象限：横坐标正、纵坐标负，列不等式组判断是否有解.
7．（2025八下·仁寿期中）关于的方程的解为正数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：由方程：，得，
∵关于的方程的解为正数，
∴，且，
∴，
解得：且；
故选：C．
【分析】本题主要考查分式方程解的取值范围问题，包含分式方程的解法以及不等式组的应用。解题时需要先求出分式方程的解，然后根据解的性质（如解为正数）结合分式有意义的条件，建立不等式组进行求解。掌握分式方程的正确解法是解决此类问题的关键。
8．（2025八下·仁寿期中）小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设走路线A的平均速度为千米/小时，则走路线B的平均速度为千米/时，
由题意得：，
故选：D．
【分析】本题考查分式方程在实际行程问题中的应用，关键是根据速度关系、路程差与时间差建立方程。设路线 A 的平均速度为 x 千米/时，则路线 B 的平均速度为 (1 + 40%)x = 1.4x 千米/时。
路线 A 路程 25 千米，所用时间为 小时；路线 B 路程 21 千米，所用时间为小时。
由“走路线 B 比路线 A 节省 20 分钟”，即路线 A 时间减去路线 B 时间等于 小时，得方程：
，对应选项 D。解题需注意单位统一（分钟化为小时）。
9．（2025八下·仁寿期中）若关于的分式方程无解，则的值是（　　）
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
因为原分式方程无解，所以有两种情况：
①当时，即时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意；
②当原分式方程最简公分母时，即，是原分式方程的增根，也符合题意，
此时，，
解得：；
∴的值是1或2，
故选：D．
【分析】本题考查分式方程无解的情况及其应用，解题时需注意"无解"与增根概念的联系。首先确定方程的最简公分母为。通过方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解。最后需要结合分式有意义的条件对结果进行分析判断。
10．（2025八下·仁寿期中）若函数，则当函数值时，自变量x的值是（　　）
A．或1.5 B． C．1.5或 D．1.5
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：当时，由得，
解得：；
当时，由得，不合题意，舍去，
综上，当函数值时，自变量的值是，
故选：B．
【分析】本题考查已知函数值求自变量的值，根据自变量对应的函数表达式分别求解即可。
11．（2025八下·仁寿期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过A和B分别作于D，于E，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点C的坐标为，点A的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴则B点的坐标是．
故选：D．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、坐标与图形的关系。解题的关键是通过AAS判定两个三角形全等，并利用坐标与线段长度的相互转换确定点的位置，需注意象限符号的影响。具体分析如下：过点A和B分别作于D，于E。根据题意，可证明。利用全等三角形的性质及已知线段长度，即可求出点B的坐标。
12．（2025八下·仁寿期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为．已知，并规定：，，．
下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题可知：，，
，
，
，
，
，
，
，，
每个数为一个循环，
，
，
，
故说法①正确；
由题意可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
每个数为一个循环，
，
，
，
故说法②正确；
由题意可知：，
，
，
，
，，，，，，，，，，每个数为一个循环，
，，，
，
，
故说法③正确；
综上，正确的说法有：，共个，
故选：．
【分析】本题考查数字规律的探索，解题关键在于通过题目给定的规则找出数列的规律性。按照题目要求，先计算数列前8项：至的值，通过观察这些数值的变化趋势，可以归纳出通项公式，从而验证说法①的正确性。接着计算到的累加和，分析其变化规律，判断说法②是否成立。最后，通过计算特殊项、和的关系，结合前面发现的规律，验证说法③的正确性。综合以上分析，最终确定所有正确说法的序号。
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（2025八下·仁寿期中）函数y＝ 的自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意3-x≥0，解得：x≤3，
故答案为：x≤3.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数不等于0，列出不等式求解即可。
14．（2025八下·仁寿期中）若分式的值为0．则x的值是　 　．
【答案】5
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x2-25=0，且x+5≠0，
解得
x=5．
故答案为：5．
【分析】本题考查分式值为零的条件。分式的值为零需同时满足两个条件：分子为零，且分母不为零，因此 x 只能取 5。解题关键在于勿遗漏分母不为零的检验。
15．（2025八下·仁寿期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点可知：点关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点"关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相等"可求解．
16．（2025八下·仁寿期中）若，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了分式的通分、约分、因式分解，整体代入思想，一元二次方程的变形. 核心思路是“先化简，再代入”：先对分式进行通分、因式分解、约分，将复杂分式化简为简洁的整式形式；再从已知一元二次方程中变形得到与化简后代数式相关的整体值，最后代入整体值完成计算，避免单独求解的繁琐过程，体现了整体思想在代数中的应用.
17．（2025八下·仁寿期中）如果，则　 　，　 　．
【答案】4；
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
∴．
∴，
解得：
∴的值为4，的值为．
故答案为：4，．
【分析】根据分式加减运算，得到关于A、B的二元一次方程组求解．
18．（2025八下·仁寿期中）若关于的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的方程的解为整数，则符合条件的整数的和为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解不等式组，得，
∵不等式组有解且至多有5个整数解，
，
解得，
∵m是整数
∴的值为，
解方程，得，
为整数，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
符合条件的整数的和为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集和分式方程的解来确定参数取值范围的问题。首先需要解给定的不等式组，然后分析其解集特征，最后结合分式方程的解的情况来确定参数m的可能取值。解题步骤如下： 解不等式组：，通过求解可以得到m的取值范围。根据题目条件"有解且至多有5个整数解"这个限制条件，可以进一步缩小m的取值范围。解分式方程：，分析其解为整数的情况。综合以上两个条件，确定m的所有可能整数值。解题的关键在于熟练掌握分式方程的解法、不等式组的解法，以及如何根据解的特征来确定参数的取值范围。注意在解分式方程时要考虑分母不为零的限制条件。
三、解答题
19．（2025八下·仁寿期中）计算．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查有理数的混合运算能力，包括算术平方根的计算、零指数幂的运算、乘方的运算、负整数指数幂的运算以及有理数的加减运算。熟练掌握相关运算法则是解决此类问题的关键。首先分别计算算术平方根、零指数幂、乘方运算以及负整数指数幂的值，然后将这些结果进行有理数的加减运算即可得到最终答案。
20．（2025八下·仁寿期中）解方程：．
【答案】解：，
，
，
，
经检验：当时，，
原分式方程无解
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题考查解分式方程的方法步骤，包括：去分母操作，去括号步骤，移项处理，合并同类项，系数化为1，掌握分式方程的正确解法是解决此类问题的核心要点。
21．（2025八下·仁寿期中）先化简，然后再从，，，这个数字中选择一个使原式有意义的数作为的值代入求值．
【答案】解：原式
，
由题意得：，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解、约分，以及分式有意义的条件。先将括号内通分，分母分解为 x(x-2) 与 (x-2)2，公分母为 x(x-2)2，合并分子后化简得约去 x-4 后得。由原式分母不为零得 x ≠0、x ≠ 2、x ≠ 4，在给定数字 0， 2， 3， 4 中只有 x = 3 符合条件，代入得值为 1。
22．（2025八下·仁寿期中）随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等．
（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料；
（2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？
【答案】（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）解：设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题综合考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题要点包括：（1）根据题意建立分式方程并求解；（2）根据约束条件建立不等式并求解。
（1）设B型机器人的工作效率为每小时搬运千克原料，则A型机器人的效率为千克/小时。根据"工作时间=工作量÷效率"的关系式，结合题目给出的A型完成1500kg与B型完成1200kg耗时相等的条件，建立关于的分式方程，求解后需验证根的合理性。
（2）设A型机器人承担千克的搬运任务，则B型机器人分担千克。根据总工作时间不超过4小时的限制条件，利用效率参数建立关于的一元一次不等式，求解时需注意取最小值。
（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
23．（2025八下·仁寿期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为，
（1）在图中画出关于轴对称的；
（2）写出的坐标；_____，_______，_______；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）
（3）解：如图所示：
．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：如图所示：
，
故答案为：；
【分析】本题主要考查图形与坐标的相关知识，包括轴对称变换作图、点的坐标表示以及网格中三角形面积的计算。解题的核心在于掌握轴对称的性质。
（1）分别找到点关于y轴的对称点，并将它们连接起来；
（2）根据第一问完成的图形，直接读取的坐标；
（3）在网格中，通过间接方法（矩形面积减去周边三角形面积）计算的面积，结合图形观察即可得出结果。
（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
，
故答案为：；
（3）解：如图所示：
．
24．（2025八下·仁寿期中）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）；
（2）当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值：
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：当时，（升），
答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
（千米），
由知他们能在汽车报警前回到家
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为：（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为：；
【分析】本题考查利用关系式表达变量间的关系，解题关键在于根据数量关系正确列出表达式。
（1）单位耗油量=总耗油量÷行驶里程；剩余油量=油箱初始油量 行驶过程中的耗油量；
（2）将代入剩余油量的表达式，直接计算可得结果；
（3）先计算剩余油量升能支持的行驶距离，再与往返总路程400千米比较，得出结论。
（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为；
（2）解：当时，（升），
答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升；
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
（千米），
由知他们能在汽车报警前回到家．
25．（2025八下·仁寿期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式， ， ，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
（3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
【答案】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下：∵，，
∴
．
∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”；
（2）解：①∵，，∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）解：由题意可得：，∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
【知识点】分式的加减法；解分式方程；分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【分析】本题以新定义“和整分式”为背景，考查分式加法、代数式恒等变形、分式值为整数的条件，以及分式方程无解的分类讨论。（1）计算 = 2，结果为常数 2，故互为“和整分式”，“和整值” k = 2。考查分式加法与化简。
（2）①由 C + D = 3，通分后分子相等得，解得 G = -2x - 4。考查恒等变形。
②代入得 D =。由 D 为正整数，x 为正整数，得 x - 2 为 -2 的负因数，即 x - 2 = -1 或 x - 2 = -2，解得 x = 1（x = 0 舍去）。考查分式化简与整数条件。
（3）由（2）得 t = D = 2，代入 P + Q = 2，化简得 (1 - m)x = -4。方程无解分两种情况：① 1 - m = 0 时 0 x = -4 无解，得 m = 1；② 1 - m 0 时有解 x =，若该解为增根 x = 3，代入得，解得。综上 m = 1 或。考查分式方程无解的分类讨论。
（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下：
∵，，
∴
．
∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”；
（2）解：①∵，，
∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
26．（2025八下·仁寿期中）如图1，长方形中，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，同时，点Q从点B出发，沿B→C→D运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．已知点P每秒比点Q每秒多运动，当其中一点到达点D时，另一点停止运动．
（1）求P、Q两点的运动速度；
（2）当其中一点到达点D时，另一点距离D点__________（直接写答案）；
（3）设点P、Q的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示的面积S，并写出t的取值范围．
【答案】（1）解：设点Q每秒运动，则点P每秒运动，由题意得：，
解得：，
当时，，
所以是原方程的解，且符合题意；
∴；
答：P、Q两点的运动速度分别为；
（2）1.5
（3）解：①点P在上，点Q在上，此时，如图1；∵，
∴；
②点P在上，点Q在上，此时，如图2；
则，，
∴；
∴
；
③点P、点Q都在上，此时，如图3；
则，
∴，
∴
综上，
【知识点】三角形的面积；四边形-动点问题；用代数式表示几何图形的数量关系；分式方程的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：点P到达终点所需的时间为：，点Q到达终点所需的时间为：，
所以点Q先到达终点D，此时点P离终点D的距离为；
故答案为：；
【分析】本题以长方形中动点运动为背景，考查分式方程、行程问题、分段函数面积表示，体现分类讨论与数形结合思想。
（1）设点 Q 速度为 x cm/s，则点 P 速度为（x + 1 ）cm/s。由“点 P 到达 B 时点 Q 恰好到达 C”得 P 走 AB = 9 cm 与 Q 走 BC = 6 cm 所用时间相等，列方程，解得 x = 2，故 P 速度 3 cm/s，Q 速度 2 cm/s。考查分式方程建模。
（2）分别计算两点到达 D 所需时间：P 从 A 到 D 路程 9 + 6 + 9 = 24 cm，时间 24 3 = 8 s；Q 从 B 到 D 路程 6 + 9 = 15 cm，时间 152 = 7.5 s。故 Q 先到 D，此时 P 运动 7.5 s，路程 3 7.5 = 22.5 cm，距 D 点 24 - 22.5 = 1.5 cm。考查运动时间与路程计算。
（3）根据 P、Q 位置分三种情况：
① 0 < t < 3：P 在 AB，Q 在 BC，S ==。
② 3 < t < 5：P 在 BC，Q 在 CD，面积用割补法表示为。
③ 5 < t < 7.5：P、Q 均在 CD 上，PQ = 9 - t，S =
考查分段函数建模与几何面积计算。
（1）解：设点Q每秒运动，则点P每秒运动，
由题意得：，
解得：，
当时，，
所以是原方程的解，且符合题意；
∴；
答：P、Q两点的运动速度分别为；
（2）解：点P到达终点所需的时间为：，点Q到达终点所需的时间为：，
所以点Q先到达终点D，此时点P离终点D的距离为；
故答案为：；
（3）解：①点P在上，点Q在上，此时，如图1；
∵，
∴；
②点P在上，点Q在上，此时，如图2；
则，，
∴；
∴
；
③点P、点Q都在上，此时，如图3；
则，
∴，
∴
综上，
1 / 1四川省眉山市仁寿县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（每小题4分，共48分）
1．（2025八下·仁寿期中）下列式子中，属于分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·仁寿期中）下列分式中，不是最简分式是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·仁寿期中）2024年9月，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知7纳米米，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·仁寿期中）下列四个选项中，不是的函数的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·仁寿期中）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍
C．不变 D．缩小到原来的
6．（2025八下·仁寿期中）已知点A的坐标为，下列说法正确的是（　　）
A．若点A在y轴上，则
B．若点A在二四象限角平分线上，则
C．若点A到x轴的距离是3，则或
D．若点A在第四象限，则a的值可以为2
7．（2025八下·仁寿期中）关于的方程的解为正数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
8．（2025八下·仁寿期中）小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八下·仁寿期中）若关于的分式方程无解，则的值是（　　）
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
10．（2025八下·仁寿期中）若函数，则当函数值时，自变量x的值是（　　）
A．或1.5 B． C．1.5或 D．1.5
11．（2025八下·仁寿期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
12．（2025八下·仁寿期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为．已知，并规定：，，．
下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（2025八下·仁寿期中）函数y＝ 的自变量x的取值范围是　 　．
14．（2025八下·仁寿期中）若分式的值为0．则x的值是　 　．
15．（2025八下·仁寿期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　 　．
16．（2025八下·仁寿期中）若，则代数式的值为　 　．
17．（2025八下·仁寿期中）如果，则　 　，　 　．
18．（2025八下·仁寿期中）若关于的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的方程的解为整数，则符合条件的整数的和为　 　．
三、解答题
19．（2025八下·仁寿期中）计算．
20．（2025八下·仁寿期中）解方程：．
21．（2025八下·仁寿期中）先化简，然后再从，，，这个数字中选择一个使原式有意义的数作为的值代入求值．
22．（2025八下·仁寿期中）随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等．
（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料；
（2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？
23．（2025八下·仁寿期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为，
（1）在图中画出关于轴对称的；
（2）写出的坐标；_____，_______，_______；
（3）求的面积．
24．（2025八下·仁寿期中）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）；
（2）当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值：
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
25．（2025八下·仁寿期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式， ， ，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
（3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
26．（2025八下·仁寿期中）如图1，长方形中，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，同时，点Q从点B出发，沿B→C→D运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．已知点P每秒比点Q每秒多运动，当其中一点到达点D时，另一点停止运动．
（1）求P、Q两点的运动速度；
（2）当其中一点到达点D时，另一点距离D点__________（直接写答案）；
（3）设点P、Q的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示的面积S，并写出t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】A、的分母是常数3，不含有字母，所以它是整式，不是分式，A不符合题意；
B、的分母是字母，符合分式的定义，所以它是分式，B符合题意；
C、的分母是常数3，不含有字母，它是整式，不是分式，C不符合题意；
D、是一个常数，分母是3，不含有字母，它是整式，不是分式，D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题主要考查分式的概念，解题时需要掌握分式的基本定义：分母中含有字母的代数式称为分式。根据分式的判定条件，逐一分析各选项是否符合要求。
2．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A． 是最简分式，A不符合题意；
B． 是最简分式，B不符合题意；
C． 是最简分式，C不符合题意；
D． 不是最简分式，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查的是最简分式的概念。最简分式是指分子和分母不存在公共因式的分式形式。解题时需要根据最简分式的定义进行判断和求解。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法可表示为，
故选：．
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数。科学记数法的标准形式为，其中系数a()，指数n(n为整数），n的数值由原数从左边第一个非零数字前所有零的个数决定。解题时需按照科学记数法的规则进行转换。
4．【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解： A：y = 2x - 7 为一次函数，每个 x 对应唯一的 y，是函数，A不符合题意。B：y =为反比例函数（x 0），每个 x 对应唯一的 y，是函数，B不符合题意。
C：y = x2 为二次函数，每个 x 对应唯一的 y，是函数，C不符合题意。
D：y =表示对于每个 x（x0），y 有两个值（正负平方根）与之对应，不满足函数定义中“唯一确定”的要求，因此 y 不是 x 的函数，D符合题意。
故选：D．
【分析】本题考查函数的基本概念，核心在于理解对于自变量的每一个确定的值，因变量有且只有一个值与之对应。
5．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：同时把x，y扩大3倍得：，
即把分式的值缩小到原来的．
故选：D．
【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键。根据分式的基本性质进行分析解答。
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在y轴上，则，即，故A错误，不符合题意；
在二四象限角平分线上，则，即，故B错误，不符合题意；
到x轴的距离是3，则，即或，故C正确，符合题意；
在第四象限，则，即，不等式组无解，故D错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】1. y轴上的点：横坐标为 ，列方程求 .
2. 二四象限角平分线：横、纵坐标互为相反数，列方程求 .
3. 到x轴距离：纵坐标绝对值等于距离，列绝对值方程求 .
4. 第四象限：横坐标正、纵坐标负，列不等式组判断是否有解.
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：由方程：，得，
∵关于的方程的解为正数，
∴，且，
∴，
解得：且；
故选：C．
【分析】本题主要考查分式方程解的取值范围问题，包含分式方程的解法以及不等式组的应用。解题时需要先求出分式方程的解，然后根据解的性质（如解为正数）结合分式有意义的条件，建立不等式组进行求解。掌握分式方程的正确解法是解决此类问题的关键。
8．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设走路线A的平均速度为千米/小时，则走路线B的平均速度为千米/时，
由题意得：，
故选：D．
【分析】本题考查分式方程在实际行程问题中的应用，关键是根据速度关系、路程差与时间差建立方程。设路线 A 的平均速度为 x 千米/时，则路线 B 的平均速度为 (1 + 40%)x = 1.4x 千米/时。
路线 A 路程 25 千米，所用时间为 小时；路线 B 路程 21 千米，所用时间为小时。
由“走路线 B 比路线 A 节省 20 分钟”，即路线 A 时间减去路线 B 时间等于 小时，得方程：
，对应选项 D。解题需注意单位统一（分钟化为小时）。
9．【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
因为原分式方程无解，所以有两种情况：
①当时，即时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意；
②当原分式方程最简公分母时，即，是原分式方程的增根，也符合题意，
此时，，
解得：；
∴的值是1或2，
故选：D．
【分析】本题考查分式方程无解的情况及其应用，解题时需注意"无解"与增根概念的联系。首先确定方程的最简公分母为。通过方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解。最后需要结合分式有意义的条件对结果进行分析判断。
10．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：当时，由得，
解得：；
当时，由得，不合题意，舍去，
综上，当函数值时，自变量的值是，
故选：B．
【分析】本题考查已知函数值求自变量的值，根据自变量对应的函数表达式分别求解即可。
11．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过A和B分别作于D，于E，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点C的坐标为，点A的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴则B点的坐标是．
故选：D．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、坐标与图形的关系。解题的关键是通过AAS判定两个三角形全等，并利用坐标与线段长度的相互转换确定点的位置，需注意象限符号的影响。具体分析如下：过点A和B分别作于D，于E。根据题意，可证明。利用全等三角形的性质及已知线段长度，即可求出点B的坐标。
12．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题可知：，，
，
，
，
，
，
，
，，
每个数为一个循环，
，
，
，
故说法①正确；
由题意可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
每个数为一个循环，
，
，
，
故说法②正确；
由题意可知：，
，
，
，
，，，，，，，，，，每个数为一个循环，
，，，
，
，
故说法③正确；
综上，正确的说法有：，共个，
故选：．
【分析】本题考查数字规律的探索，解题关键在于通过题目给定的规则找出数列的规律性。按照题目要求，先计算数列前8项：至的值，通过观察这些数值的变化趋势，可以归纳出通项公式，从而验证说法①的正确性。接着计算到的累加和，分析其变化规律，判断说法②是否成立。最后，通过计算特殊项、和的关系，结合前面发现的规律，验证说法③的正确性。综合以上分析，最终确定所有正确说法的序号。
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意3-x≥0，解得：x≤3，
故答案为：x≤3.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数不等于0，列出不等式求解即可。
14．【答案】5
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x2-25=0，且x+5≠0，
解得
x=5．
故答案为：5．
【分析】本题考查分式值为零的条件。分式的值为零需同时满足两个条件：分子为零，且分母不为零，因此 x 只能取 5。解题关键在于勿遗漏分母不为零的检验。
15．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点可知：点关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点"关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相等"可求解．
16．【答案】
【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了分式的通分、约分、因式分解，整体代入思想，一元二次方程的变形. 核心思路是“先化简，再代入”：先对分式进行通分、因式分解、约分，将复杂分式化简为简洁的整式形式；再从已知一元二次方程中变形得到与化简后代数式相关的整体值，最后代入整体值完成计算，避免单独求解的繁琐过程，体现了整体思想在代数中的应用.
17．【答案】4；
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
∴．
∴，
解得：
∴的值为4，的值为．
故答案为：4，．
【分析】根据分式加减运算，得到关于A、B的二元一次方程组求解．
18．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解不等式组，得，
∵不等式组有解且至多有5个整数解，
，
解得，
∵m是整数
∴的值为，
解方程，得，
为整数，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
符合条件的整数的和为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集和分式方程的解来确定参数取值范围的问题。首先需要解给定的不等式组，然后分析其解集特征，最后结合分式方程的解的情况来确定参数m的可能取值。解题步骤如下： 解不等式组：，通过求解可以得到m的取值范围。根据题目条件"有解且至多有5个整数解"这个限制条件，可以进一步缩小m的取值范围。解分式方程：，分析其解为整数的情况。综合以上两个条件，确定m的所有可能整数值。解题的关键在于熟练掌握分式方程的解法、不等式组的解法，以及如何根据解的特征来确定参数的取值范围。注意在解分式方程时要考虑分母不为零的限制条件。
19．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查有理数的混合运算能力，包括算术平方根的计算、零指数幂的运算、乘方的运算、负整数指数幂的运算以及有理数的加减运算。熟练掌握相关运算法则是解决此类问题的关键。首先分别计算算术平方根、零指数幂、乘方运算以及负整数指数幂的值，然后将这些结果进行有理数的加减运算即可得到最终答案。
20．【答案】解：，
，
，
，
经检验：当时，，
原分式方程无解
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题考查解分式方程的方法步骤，包括：去分母操作，去括号步骤，移项处理，合并同类项，系数化为1，掌握分式方程的正确解法是解决此类问题的核心要点。
21．【答案】解：原式
，
由题意得：，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解、约分，以及分式有意义的条件。先将括号内通分，分母分解为 x(x-2) 与 (x-2)2，公分母为 x(x-2)2，合并分子后化简得约去 x-4 后得。由原式分母不为零得 x ≠0、x ≠ 2、x ≠ 4，在给定数字 0， 2， 3， 4 中只有 x = 3 符合条件，代入得值为 1。
22．【答案】（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）解：设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题综合考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题要点包括：（1）根据题意建立分式方程并求解；（2）根据约束条件建立不等式并求解。
（1）设B型机器人的工作效率为每小时搬运千克原料，则A型机器人的效率为千克/小时。根据"工作时间=工作量÷效率"的关系式，结合题目给出的A型完成1500kg与B型完成1200kg耗时相等的条件，建立关于的分式方程，求解后需验证根的合理性。
（2）设A型机器人承担千克的搬运任务，则B型机器人分担千克。根据总工作时间不超过4小时的限制条件，利用效率参数建立关于的一元一次不等式，求解时需注意取最小值。
（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
23．【答案】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）
（3）解：如图所示：
．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：如图所示：
，
故答案为：；
【分析】本题主要考查图形与坐标的相关知识，包括轴对称变换作图、点的坐标表示以及网格中三角形面积的计算。解题的核心在于掌握轴对称的性质。
（1）分别找到点关于y轴的对称点，并将它们连接起来；
（2）根据第一问完成的图形，直接读取的坐标；
（3）在网格中，通过间接方法（矩形面积减去周边三角形面积）计算的面积，结合图形观察即可得出结果。
（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
，
故答案为：；
（3）解：如图所示：
．
24．【答案】（1）
（2）解：当时，（升），
答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
（千米），
由知他们能在汽车报警前回到家
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为：（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为：；
【分析】本题考查利用关系式表达变量间的关系，解题关键在于根据数量关系正确列出表达式。
（1）单位耗油量=总耗油量÷行驶里程；剩余油量=油箱初始油量 行驶过程中的耗油量；
（2）将代入剩余油量的表达式，直接计算可得结果；
（3）先计算剩余油量升能支持的行驶距离，再与往返总路程400千米比较，得出结论。
（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为；
（2）解：当时，（升），
答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升；
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
（千米），
由知他们能在汽车报警前回到家．
25．【答案】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下：∵，，
∴
．
∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”；
（2）解：①∵，，∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）解：由题意可得：，∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
【知识点】分式的加减法；解分式方程；分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【分析】本题以新定义“和整分式”为背景，考查分式加法、代数式恒等变形、分式值为整数的条件，以及分式方程无解的分类讨论。（1）计算 = 2，结果为常数 2，故互为“和整分式”，“和整值” k = 2。考查分式加法与化简。
（2）①由 C + D = 3，通分后分子相等得，解得 G = -2x - 4。考查恒等变形。
②代入得 D =。由 D 为正整数，x 为正整数，得 x - 2 为 -2 的负因数，即 x - 2 = -1 或 x - 2 = -2，解得 x = 1（x = 0 舍去）。考查分式化简与整数条件。
（3）由（2）得 t = D = 2，代入 P + Q = 2，化简得 (1 - m)x = -4。方程无解分两种情况：① 1 - m = 0 时 0 x = -4 无解，得 m = 1；② 1 - m 0 时有解 x =，若该解为增根 x = 3，代入得，解得。综上 m = 1 或。考查分式方程无解的分类讨论。
（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下：
∵，，
∴
．
∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”；
（2）解：①∵，，
∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
26．【答案】（1）解：设点Q每秒运动，则点P每秒运动，由题意得：，
解得：，
当时，，
所以是原方程的解，且符合题意；
∴；
答：P、Q两点的运动速度分别为；
（2）1.5
（3）解：①点P在上，点Q在上，此时，如图1；∵，
∴；
②点P在上，点Q在上，此时，如图2；
则，，
∴；
∴
；
③点P、点Q都在上，此时，如图3；
则，
∴，
∴
综上，
【知识点】三角形的面积；四边形-动点问题；用代数式表示几何图形的数量关系；分式方程的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：点P到达终点所需的时间为：，点Q到达终点所需的时间为：，
所以点Q先到达终点D，此时点P离终点D的距离为；
故答案为：；
【分析】本题以长方形中动点运动为背景，考查分式方程、行程问题、分段函数面积表示，体现分类讨论与数形结合思想。
（1）设点 Q 速度为 x cm/s，则点 P 速度为（x + 1 ）cm/s。由“点 P 到达 B 时点 Q 恰好到达 C”得 P 走 AB = 9 cm 与 Q 走 BC = 6 cm 所用时间相等，列方程，解得 x = 2，故 P 速度 3 cm/s，Q 速度 2 cm/s。考查分式方程建模。
（2）分别计算两点到达 D 所需时间：P 从 A 到 D 路程 9 + 6 + 9 = 24 cm，时间 24 3 = 8 s；Q 从 B 到 D 路程 6 + 9 = 15 cm，时间 152 = 7.5 s。故 Q 先到 D，此时 P 运动 7.5 s，路程 3 7.5 = 22.5 cm，距 D 点 24 - 22.5 = 1.5 cm。考查运动时间与路程计算。
（3）根据 P、Q 位置分三种情况：
① 0 < t < 3：P 在 AB，Q 在 BC，S ==。
② 3 < t < 5：P 在 BC，Q 在 CD，面积用割补法表示为。
③ 5 < t < 7.5：P、Q 均在 CD 上，PQ = 9 - t，S =
考查分段函数建模与几何面积计算。
（1）解：设点Q每秒运动，则点P每秒运动，
由题意得：，
解得：，
当时，，
所以是原方程的解，且符合题意；
∴；
答：P、Q两点的运动速度分别为；
（2）解：点P到达终点所需的时间为：，点Q到达终点所需的时间为：，
所以点Q先到达终点D，此时点P离终点D的距离为；
故答案为：；
（3）解：①点P在上，点Q在上，此时，如图1；
∵，
∴；
②点P在上，点Q在上，此时，如图2；
则，，
∴；
∴
；
③点P、点Q都在上，此时，如图3；
则，
∴，
∴
综上，
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