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浙江省杭州市之江实验2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（10小题，每题3分，共30分）
1．（2025八下·杭州期中）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·杭州期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·杭州期中）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　）
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4
C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
4．（2025八下·杭州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·杭州期中）如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·杭州期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定其为平行四边形的是(　　)
A． B．
C． D．
7．（2025八下·杭州期中）用反证法证明，“在中，对边是a、b．若，则．”第一步应假设（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·杭州期中） 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八下·杭州期中）如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·杭州期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．（2025八下·杭州期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·杭州期中）在中，，则　 　．
13．（2025八下·杭州期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为　 　．
14．（2025八下·杭州期中）已知x为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）﹣15＝0，则2x2+3的值为　 　．
15．（2025八下·杭州期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，的周长为　 　．
16．（2025八下·杭州期中）如图，已知矩形纸片，，，将B点折到的中点E，则的长度为　 　，折痕的长度为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·杭州期中）解方程：
（1）
（2）
19．（2025八下·杭州期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在格点上．
（1）在图1中，作一个各顶点均在格点上的，使得为对角线交点；
（2）在图2中，作一个各顶点均在格点上的，使其面积等于8，且该平行四边形的一条边等于其一条对角线．
20．（2025八下·杭州期中）如图，在中，，点在的延长线上，、分别平分和，交于点，，连接．求证：四边形是矩形．
21．（2025八下·杭州期中）已知关于的方程．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
22．（2025八下·杭州期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若，，当时，求的面积．
23．（2025八下·杭州期中）根据以下信息，探索完成任务．
如何设计种植方案？
素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示： 　作物作物每平方米种植株树（株）单株产量（千克）
素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加株，作物的单株产量减少千克．
素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植．
问题解决
单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克．（用含的代数式表示）
任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为千克，则每平方米应种植多少株？
分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米株种植作物，当这平方米总产量不低于千克时，则的取值范围是 　 　．
24．（2025八下·杭州期中）如图，已知在四边形中，，，连结、，与交于O点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过D点作于M，N为的中点，连接，若，，，求的值；
（3）在（2）的条件下，H在上移动，当为等腰三角形时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D中的图形不是中心对称图形，选项B的图形是中心对称图形．
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵，∴被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、∵，∴被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】在本题中，把常数项-3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．
【解答】把方程x2-2x-3=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=3+1，
配方得（x-1)2=4．
故选A．
【点评】本题考查了配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数
4．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，故不符合题意；
B、，故选项错误，故不符合题意；
C、，故选项错误，故不符合题意；
D、，故选项正确，故符合题意.
故答案为：D．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；根据二次根式的除法法则“”进行计算可判断C选项；根据二次根式乘法法则“”进行计算可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
故选：D．
【分析】
本题考查多边形内角和定理、正多边形的性质、周角的定义及角度的和差运算. 先根据多边形内角和公式，分别算出正六边形和正五边形的单个内角度数，再结合三个角组成周角（）的关系，通过减法运算求出的值.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵
∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∴不能判定四边形为平行四边形，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解题即可．
7．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设不成立，即．
故选：D．
【分析】
本题考查反证法的应用. 用反证法证明命题时，第一步需要假设命题的结论不成立，即假设“”不成立，其反面为“”，因此第一步应假设，熟悉反证法的步骤是解题的关键.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】设月平均增长率为x，根据题意可得：
故答案为：B.
【分析】根据3月份的销售量=1月份的销售量（1+月平均增长率）2即可列出关于x的一元二次方程，从而求解.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接，过点作交于点G，连接，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴是平行四边形，
∴
∵，
∴可设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】连接，过点作交于点G，连接，由二直线平行，内错角相等得∠EDG=∠EFC，结合对顶角相等，利用“ASA”证明△GED≌△CEF，由全等三角形的对应边相等得，从而由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形DGFC是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得CD∥GF，且CD=GF，CD∥AB，CD=AB，故GF=AB，GF∥AB，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABFG是平行四边形，得AG=BF，设，则，，得到，即可得到答案．
10．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴原方程为，
解得，
∴
若，则，即，则，故A正确，符合题意；
若，则，即，故B、D错误，不符合题意；
若，则不一定成立，则不一定成立，故C错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据根的判别式得到，即可得到原方程为，代入x=k得到，利用与的符号解答即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，再由二直线平行，同旁内角互补可求出∠B的度数.
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：八边形的外角和为．
故答案为：.
【分析】任意多边形的外角和都为360°，多边形的外角和与多边形的边数无关，据此可得答案.
14．【答案】3
【知识点】偶次方的非负性；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设2x2+3＝t，且t≥3，
∴原方程化为：t2+2t﹣15＝0，
∴t＝3或t＝﹣5（舍去），
∴2x2+3＝3，
故答案为：3
【分析】设2x2+3＝t，且t≥3，根据一元二次方程的解法即可求出答案．
15．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ，，，
∴，，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长．
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质，求出AD，AB，再利用垂直平分线的性质，证明AE=CE，然后求出三角形CDE的周长，通过转换为已知线段求解．
16．【答案】4；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过M作于H，延长、交于点P，则，
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
由折叠性质得，，
∴，则，
∵E为的中点，
∴，又，
∴在中，由得，
∴，
∵，，，
∴，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：4，．
【分析】
本题围绕矩形折叠的几何综合问题展开，融合了矩形性质、折叠变换、全等三角形与勾股定理等多个核心知识点. 解题时，可通过作辅助线构造矩形与全等三角形，结合折叠的轴对称性与勾股定理，先求出线段AM的长度，再进一步计算折痕MN的长度，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的核心．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式除法法则计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式展开括号，再根据积的乘方运算、二次根式乘法法则计算，最后计算加减法运算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：，
因式分解，得，
∴或，
解得，
（2）解：，
因式分解，得，
∴或，
解得，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此题的一元二次方程是一元二次方程的一般形式，且常数项为0，故利用因式分解法求解较为简单；首先将方程的左边利用提取公因式法分解因式，然后根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零可将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此题的一元二次方程是一元二次方程的一般形式，首先方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零可将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：，
因式分解，得，
∴或，
解得，；
（2）解：，
因式分解，得，
∴或，
解得，．
19．【答案】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求作．
（2）如图2中， A1B1C1D1即为所求作．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形作图即可．
（2）作底边长为4，高为2，的平行四边形解题．
20．【答案】证明：∵在中，，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴∠CAF=2∠FAE，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得∠ADC=90°，由等边对等角得∠B=∠ACB，由三角形外角性质可得∠CAF=2∠B，由角平分线的定义得∠CAF=2∠FAE，则∠FAE=∠B，由同位角相等，两直线平行推出AE∥BC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE是平行四边形，最后再根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形可得结论.
21．【答案】（1）证明：∵，∴无论取何值，方程总有实数根.
（2）解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根，∴，，（）
∵斜边长，
∴，
∴，即，
整理得（负值舍去），
∴，
∴的周长为；
∴的周长为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）、勾股定理、完全平方公式．
（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明其恒非负，从而得出方程总有实数根；
（2）结合韦达定理得到两根之和与两根之积，再利用勾股定理与完全平方公式，建立关于参数k的方程，求解后计算三角形的周长，熟练掌握判别式、韦达定理与勾股定理是解题的核心.
22．【答案】（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质得到，再由垂线的定义得到，再由AAS证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据，由中点的定义求出，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度；
（3）先求出，根据平行四边形的性质求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式计算即可求解．
（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
．
23．【答案】解：任务一：，；
任务二：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
∴或，
答：每平方米应种植株或株；
任务三：
【知识点】一元一次不等式的应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】
任务一：设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有株，单株产量为千克，故答案为：，；
任务三：设种植作物每平方米的产量为千克，
根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴种植作物每平方米最大产量为千克，
根据题意得：，
解得，
则的取值范围是，
故答案为：．
【分析】任务一：设每平方米增加株作物，则每平方米有株，单株产量为千克；
任务二：由等量关系“单株产量每平米的株数等于4.8千克”，列出方程并解方程即可；
任务三：由于总产量y是每平方米株数x的二次函数，可根据二次函数的性质求出其最大值，再根据不等关系“平米种植作物和作物的产量之和”列出不等式并解不等式即可．
24．【答案】（1）证明：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
.
答：的值为
（3）解：如图，连接，
，
若时，则，
若时，
，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
答：的长为或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的概念可知，因为已知，只需证明即可，显然可利用平行线的性质与判定定理予以证明；
（2）由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，当MN已知时，DC可知，欲求BM与MC的比值，由于平行四边形的对边平行且则可证为等腰直角三角形且BM＝DM，由于平行四边形的对角线互相平分，则BD等于OD的2倍，所以BM可利用勾股定理求得，则在中可求得CM的值；
（3）由于不清楚等腰三角形的腰是哪两条边，所以可分三种情况讨论，有即或或，分别计算即可．
（1）证明：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
；
（3）解：如图，连接，
，
若时，则，
若时，
，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
1 / 1浙江省杭州市之江实验2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（10小题，每题3分，共30分）
1．（2025八下·杭州期中）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D中的图形不是中心对称图形，选项B的图形是中心对称图形．
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．（2025八下·杭州期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵，∴被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、∵，∴被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
3．（2025八下·杭州期中）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　）
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4
C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】在本题中，把常数项-3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．
【解答】把方程x2-2x-3=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=3+1，
配方得（x-1)2=4．
故选A．
【点评】本题考查了配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数
4．（2025八下·杭州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，故不符合题意；
B、，故选项错误，故不符合题意；
C、，故选项错误，故不符合题意；
D、，故选项正确，故符合题意.
故答案为：D．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；根据二次根式的除法法则“”进行计算可判断C选项；根据二次根式乘法法则“”进行计算可判断D选项.
5．（2025八下·杭州期中）如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
故选：D．
【分析】
本题考查多边形内角和定理、正多边形的性质、周角的定义及角度的和差运算. 先根据多边形内角和公式，分别算出正六边形和正五边形的单个内角度数，再结合三个角组成周角（）的关系，通过减法运算求出的值.
6．（2025八下·杭州期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定其为平行四边形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵
∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∴不能判定四边形为平行四边形，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解题即可．
7．（2025八下·杭州期中）用反证法证明，“在中，对边是a、b．若，则．”第一步应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设不成立，即．
故选：D．
【分析】
本题考查反证法的应用. 用反证法证明命题时，第一步需要假设命题的结论不成立，即假设“”不成立，其反面为“”，因此第一步应假设，熟悉反证法的步骤是解题的关键.
8．（2025八下·杭州期中） 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】设月平均增长率为x，根据题意可得：
故答案为：B.
【分析】根据3月份的销售量=1月份的销售量（1+月平均增长率）2即可列出关于x的一元二次方程，从而求解.
9．（2025八下·杭州期中）如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接，过点作交于点G，连接，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴是平行四边形，
∴
∵，
∴可设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】连接，过点作交于点G，连接，由二直线平行，内错角相等得∠EDG=∠EFC，结合对顶角相等，利用“ASA”证明△GED≌△CEF，由全等三角形的对应边相等得，从而由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形DGFC是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得CD∥GF，且CD=GF，CD∥AB，CD=AB，故GF=AB，GF∥AB，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABFG是平行四边形，得AG=BF，设，则，，得到，即可得到答案．
10．（2025八下·杭州期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴原方程为，
解得，
∴
若，则，即，则，故A正确，符合题意；
若，则，即，故B、D错误，不符合题意；
若，则不一定成立，则不一定成立，故C错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据根的判别式得到，即可得到原方程为，代入x=k得到，利用与的符号解答即可．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．（2025八下·杭州期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
12．（2025八下·杭州期中）在中，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，再由二直线平行，同旁内角互补可求出∠B的度数.
13．（2025八下·杭州期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：八边形的外角和为．
故答案为：.
【分析】任意多边形的外角和都为360°，多边形的外角和与多边形的边数无关，据此可得答案.
14．（2025八下·杭州期中）已知x为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）﹣15＝0，则2x2+3的值为　 　．
【答案】3
【知识点】偶次方的非负性；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设2x2+3＝t，且t≥3，
∴原方程化为：t2+2t﹣15＝0，
∴t＝3或t＝﹣5（舍去），
∴2x2+3＝3，
故答案为：3
【分析】设2x2+3＝t，且t≥3，根据一元二次方程的解法即可求出答案．
15．（2025八下·杭州期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ，，，
∴，，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长．
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质，求出AD，AB，再利用垂直平分线的性质，证明AE=CE，然后求出三角形CDE的周长，通过转换为已知线段求解．
16．（2025八下·杭州期中）如图，已知矩形纸片，，，将B点折到的中点E，则的长度为　 　，折痕的长度为　 　．
【答案】4；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过M作于H，延长、交于点P，则，
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
由折叠性质得，，
∴，则，
∵E为的中点，
∴，又，
∴在中，由得，
∴，
∵，，，
∴，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：4，．
【分析】
本题围绕矩形折叠的几何综合问题展开，融合了矩形性质、折叠变换、全等三角形与勾股定理等多个核心知识点. 解题时，可通过作辅助线构造矩形与全等三角形，结合折叠的轴对称性与勾股定理，先求出线段AM的长度，再进一步计算折痕MN的长度，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的核心．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式除法法则计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式展开括号，再根据积的乘方运算、二次根式乘法法则计算，最后计算加减法运算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025八下·杭州期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
因式分解，得，
∴或，
解得，
（2）解：，
因式分解，得，
∴或，
解得，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此题的一元二次方程是一元二次方程的一般形式，且常数项为0，故利用因式分解法求解较为简单；首先将方程的左边利用提取公因式法分解因式，然后根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零可将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此题的一元二次方程是一元二次方程的一般形式，首先方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零可将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：，
因式分解，得，
∴或，
解得，；
（2）解：，
因式分解，得，
∴或，
解得，．
19．（2025八下·杭州期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在格点上．
（1）在图1中，作一个各顶点均在格点上的，使得为对角线交点；
（2）在图2中，作一个各顶点均在格点上的，使其面积等于8，且该平行四边形的一条边等于其一条对角线．
【答案】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求作．
（2）如图2中， A1B1C1D1即为所求作．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形作图即可．
（2）作底边长为4，高为2，的平行四边形解题．
20．（2025八下·杭州期中）如图，在中，，点在的延长线上，、分别平分和，交于点，，连接．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵在中，，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴∠CAF=2∠FAE，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得∠ADC=90°，由等边对等角得∠B=∠ACB，由三角形外角性质可得∠CAF=2∠B，由角平分线的定义得∠CAF=2∠FAE，则∠FAE=∠B，由同位角相等，两直线平行推出AE∥BC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE是平行四边形，最后再根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形可得结论.
21．（2025八下·杭州期中）已知关于的方程．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】（1）证明：∵，∴无论取何值，方程总有实数根.
（2）解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根，∴，，（）
∵斜边长，
∴，
∴，即，
整理得（负值舍去），
∴，
∴的周长为；
∴的周长为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）、勾股定理、完全平方公式．
（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明其恒非负，从而得出方程总有实数根；
（2）结合韦达定理得到两根之和与两根之积，再利用勾股定理与完全平方公式，建立关于参数k的方程，求解后计算三角形的周长，熟练掌握判别式、韦达定理与勾股定理是解题的核心.
22．（2025八下·杭州期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若，，当时，求的面积．
【答案】（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质得到，再由垂线的定义得到，再由AAS证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据，由中点的定义求出，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度；
（3）先求出，根据平行四边形的性质求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式计算即可求解．
（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
．
23．（2025八下·杭州期中）根据以下信息，探索完成任务．
如何设计种植方案？
素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示： 　作物作物每平方米种植株树（株）单株产量（千克）
素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加株，作物的单株产量减少千克．
素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植．
问题解决
单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克．（用含的代数式表示）
任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为千克，则每平方米应种植多少株？
分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米株种植作物，当这平方米总产量不低于千克时，则的取值范围是 　 　．
【答案】解：任务一：，；
任务二：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
∴或，
答：每平方米应种植株或株；
任务三：
【知识点】一元一次不等式的应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】
任务一：设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有株，单株产量为千克，故答案为：，；
任务三：设种植作物每平方米的产量为千克，
根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴种植作物每平方米最大产量为千克，
根据题意得：，
解得，
则的取值范围是，
故答案为：．
【分析】任务一：设每平方米增加株作物，则每平方米有株，单株产量为千克；
任务二：由等量关系“单株产量每平米的株数等于4.8千克”，列出方程并解方程即可；
任务三：由于总产量y是每平方米株数x的二次函数，可根据二次函数的性质求出其最大值，再根据不等关系“平米种植作物和作物的产量之和”列出不等式并解不等式即可．
24．（2025八下·杭州期中）如图，已知在四边形中，，，连结、，与交于O点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过D点作于M，N为的中点，连接，若，，，求的值；
（3）在（2）的条件下，H在上移动，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
.
答：的值为
（3）解：如图，连接，
，
若时，则，
若时，
，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
答：的长为或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的概念可知，因为已知，只需证明即可，显然可利用平行线的性质与判定定理予以证明；
（2）由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，当MN已知时，DC可知，欲求BM与MC的比值，由于平行四边形的对边平行且则可证为等腰直角三角形且BM＝DM，由于平行四边形的对角线互相平分，则BD等于OD的2倍，所以BM可利用勾股定理求得，则在中可求得CM的值；
（3）由于不清楚等腰三角形的腰是哪两条边，所以可分三种情况讨论，有即或或，分别计算即可．
（1）证明：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
；
（3）解：如图，连接，
，
若时，则，
若时，
，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
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