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湖南省十三市州2025年初中学业水平考试阶段测试模拟预测数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·娄底模拟）立春以后我市出现冻雨天气，最低温度低于零度，若把气温零上记为，则表示气温为（　　）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵气温零上可以记为，
∴气温为表示气温为零下.
故答案为：B．
【分析】根据题意可知气温零上为正，则气温零下记为负，进而得出答案．
2．（2025·娄底模拟）如图是一个放在水平桌面上的半球体，则该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，该几何体的主视图是为
.
故选：A．
【分析】从物体正面看所得到的图形是主视图．
3．（2025·娄底模拟）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原式，故本选项不符合题意；
B、原式，故本选项不符合题意；
C、原式，故本选项符合题意；
D、原式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，单项式乘以多项式，合并同类项运知识点，逐项计算再判断即可.
4．（2025·娄底模拟）下列调查方式适合抽样调查的是（　　）
A．对鹊桥二号和嫦娥六号探测器的零部件进行检查
B．高铁站安检处检查乘客随身携带物品的安全性
C．了解某班同学每周的体育锻炼时间
D．了解长沙段湘江水质情况
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、对上述零部件进行检查，涉及安全性，适合采用全面调查方式，故该选项不符合题意；
B、安检涉及安全性，适合采用全面调查方式，故该选项不符合题意；
C、了解某班同学每周的体育锻炼时间，范围小，适合采用全面调查方式，故本选项不符合题意；
D．了解长沙段湘江水质情况，范围广，适宜采用抽样调查方式，故该选符合题意．
故选：D．
【分析】根据“一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查”逐项判断即可.
5．（2025·娄底模拟）据湖南政府工作报告，2023年湖南省粮食再获丰收，总产量达斤，将数据用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故选：B．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，先确定a的值，再根据原数到a小数移动的位数确定n的值．
6．（2025·娄底模拟）如图，将一个直尺和一个含角的直角三角板（）放在一起，使直尺的一边与直角三角板的斜边重合，直尺的另一边与直角三角板的两直角边交于两点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
∴，
，
.
故选：A．
【分析】根据平行线的性质可得，再根据三角形的内角和可得，最后根据补角的性质即可得出答案.
7．（2025·娄底模拟）用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵，
设 这个圆锥的底面半径为R，
∴.
故选：C．
【分析】利用已知条件求出对应弧长，此弧长即为圆锥底面的周长，进而得出答案.
8．（2025·娄底模拟）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴一次函数中y随x的增大而减小，
∵，
∴.
故选：D．
【分析】根据一次函数的k值判断一次函数图象的增减性，即可得出答案．
9．（2025·娄底模拟）为建设“书香校园”，某班开展了捐书活动，学生捐书情况统计如下表：
捐书数量（本 1 2 3 4 5
人数（人） 16 6 3
对于不同的x，下列关于捐书数量的统计量中不会发生改变的是（　　）
A．平均数，中位数 B．众数，中位数
C．平均数，方差 D．中位数，方差
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵（人），
∴40÷2=20，
∴中位数为第20和第21个数的平均数，
，
∴不管取何值，中位数都为3，
，
∴对于不同的，平均数也不同，
∵平均数会发生改变，
∴方差也会发生改变，
，
，
∴对于不同的，众数都为3，
∴统计量中不会发生改变的是众数，中位数.
故选：B．
【分析】先求出调查的总人数，再根据平均数、众数、中位数和方差的定义解答即可判断求解.
10．（2025·娄底模拟）“五月五日午，赠我一枝艾”．端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日．因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日．某超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉．小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：
由树状图可得共有9种等可能的结果，其中有6种结果为两人恰好得到不同馅的粽子，
∴两人恰好得到不同馅的粽子的概率是6÷9=．
故选：D．
【分析】根据题意先画出列树状图，再根据概率公式可得出答案．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·娄底模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式分解因式即可。
12．（2025·娄底模拟）正五边形的外角和等于 　 　 ．
【答案】360
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】任何n边形的外角和都等于360度.
【分析】任何多边形的外角和都等于360度。
13．（2025·娄底模拟）方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得，
移项得3x-2x=1，
合并同类项得，
经检验：是原分式方程的解.
故答案为：．
【分析】先去分母、再移项、合并同类项，求出整式方程的解，再进行检验即可得出答案．
14．（2025·娄底模拟）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴：，
∴点A的坐标为（2，1），
∴.
故答案为：．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可．
15．（2025·娄底模拟）如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
且过圆心，
，
∵，
∵AB=10，
在中，
在中，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
在中，．
故答案为：．
【分析】由且过圆心，得到再根据勾股定理即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
16．（2025·娄底模拟）中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则　 　．
【答案】6
【知识点】矩形的判定与性质；多边形的面积
【解析】【解答】解：过点作，交于点，
∵四边形是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠HAE=∠B=∠D=∠DCB=90°，
∵，，
∴四边形、是矩形，
∵
∴，
∵点 M是矩形的对角线上一点，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】过点作，交于点，根据四边形是矩形，得出AD∥BC，AB∥CD，∠HAE=∠B=∠D=∠DCB=90°，进而得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·娄底模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的概念；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先去绝对值、开算术平方根、零次幂和特殊角三角函数值计算即可．
18．（2025·娄底模拟）先化简，再求值，，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类项，最后代入即可．
19．（2025·娄底模拟）某中学数学社团开展数学社会实践研究活动，利用数学课堂上所学的三角函数知识结合传 感器制作出一个能够测量车辆在某段路面的行驶速度的装置．如图，在距离地面高8米（即米）的A 处放有该传感器装置，在A处测得点C的俯角是，测得点D的俯角是．当汽车从公路上的M处由东向西行驶时经过点C时传感器会开始计时，当汽车到达点D时会停止计时，通过计算出的长度和汽车通过的时间可计算出汽车的行驶速度
（1）求的长；
（2）已知该路段限速，一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒，请通过计算判断这辆汽车是否超速通过？（不考虑传感器反应时间，）
【答案】（1）解：∵，
∴，
在中，
米.
（2）解：∵，
∴BC=AB，
∵AB=8米，
∴米，
∴米，
∵一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒，
∴这辆汽车通过该路段的速度为，
∴这辆汽车没有超速通过．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和先求出∠DAB，再根据三角函数值算出即可；
（2）先求出米，再求出，即可求出速度，比较即可.
（1）解：根据题意可得：，
在中，米；
（2）解：在中，，
∴米，
∴米，
∵一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒，
∴这辆汽车通过该路段的速度为，
故这辆汽车没有超速通过．
20．（2025·娄底模拟）《2024年春节联欢晚会》辽宁沈阳、湖南长沙、新疆喀什、陕西西安四地作为分会场和北京 主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来了一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．通过春晚 分会场的展示，大家更加了解这四所城市，向往着到这些城市旅游打卡．为了解学生对这四 所城市的喜爱程度，某校数学兴趣小组制作了《2024年我最想要打卡的春晚分会场》问卷 调查表，分别用A，B，C，D表示沈阳、长沙、喀什、西安，在学校随机抽选了部分学生进行调查，根据调查数据绘制了以下两幅不完整的统计图．结合图中所给信息回答问题：
（1）此次抽样调查的人数是 人；
（2）两幅图表中的未知数分别为 ， ；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）该校共有学生2400人，准备在暑期社会实践活动中组织学生去到这四所城市打卡．根据调查情况估计选择去C新疆喀什的有多少人？
【答案】（1）；
（2），；
（3）解：（人），
（4）解：（人），
答： 估计选择去C新疆喀什的有360人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人）.
故答案为：.
（2），
∴，
（人）.
故答案为：；.
【分析】（1）用A的人数除以所占的比例，即可求解；
（2）用1减去A、C、D所占的比例即可求出m的值，用抽样调查的人数乘以C所占的比例可得n；
（3）先求得B的人数，再补全条形统计图即可；
（4）用总人数乘以C所占的比例即可求解．
（1）解：此次抽样调查的人数是：（人），
故答案为：；
（2）解：，
∴，
（人）
故答案为：，；
（3）解：去B地长沙的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（4）解：估计选择去C新疆喀什的有：
（人）．
21．（2025·娄底模拟）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：是的角平分线，，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵由（1）可知，AC=4，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再根据HL证明，进而得证；
（2）先求出AE=4，再根据勾股定理求得，设，则，，再应用勾股定理即可求解．
（1）解：是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
∴的长为．
22．（2025·娄底模拟）长沙第一条地铁线路于2014年4月开通，随后十年相继开通了多条地铁线路及磁悬浮快线．某地铁建设公司租赁大、小挖掘机共20台进行地铁建设．
（1）已知每台大挖掘机1小时可挖土80立方米，每台小挖掘机1小时可挖土60立方米，若所租大、小挖掘机同时施工2小时恰好可以挖土3000立方米，求租赁的大、小挖掘机各多少台？
（2）已知大挖掘机租赁费为每小时600元，小挖掘机租赁费为每小时400元，若公司预算每小时的租赁费不超过10000元，求最多可以租赁多少台大挖掘机？
【答案】（1）解：设租赁大、小挖掘机分别为台、台，
，
解得：，
答：租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台．
（2）解：设租赁大挖掘机台，
，
∴，
答：最多可以租赁10台大挖掘机．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设租赁大、小挖掘机分别为台、台，列出二元一次方程组，求解即可得出答案；
（2）设租赁大挖掘机台，列出不等式，进而得出答案．
（1）解：设租赁大、小挖掘机分别为台、台，
根据题意得：，
解得：，
故租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台．
（2）解：设租赁大挖掘机台，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以租赁10台大挖掘机．
23．（2025·娄底模拟）如图，在菱形中，对角线相交于点O，以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的周长和面积．
【答案】（1）证明：∵以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
（2）解：∵四边形是菱形，
∴AB=BC，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，，
∴
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据作图可得，再根据菱形的性质得到，，进而可得，接着证明四边形是平行四边形，进而得证；
（2）先说明△ABC是等边三角形，再根据菱形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而求得的三边长即可求解．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，即，
∵以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长，
．
24．（2025·娄底模拟）如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）记的面积分别为，若，求的值；
（3）若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∵
又∵是的直径，
∴是 的切线.
（2）解：由（1）得
∴
∴
设
∵
∴AB2=AC2-BC2，
∴
∵为的直径，
∵
.
（3）解：连接，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°可得又由得到即可得出结论；
（2）由得到进而得到设根据勾股定理再根据AA证明最后根据相似三角形的面积之比等于对应边比的平方，即可得出答案；
（3）连接，根据AA证明、，则，，从而，设，则，列出方程式，求出进而得出结论．
（1）证明：如图，记
∵是的直径，
∵由题意得：
又∵是的直径，
∴是 的切线；
（2）解：由（1）得
∴在中，
即
设
在中，
∵为的直径，
∵由题意得
；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴．
25．（2025·娄底模拟）已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，
（1）若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值；
（2）若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值；
（3）已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系．
【答案】（1）解：设点是抛物线上的一点，则点在抛物线上，
∴，
∴ .
（2）解：：是抛物线：的“和谐抛物线”，
∵点在上，
∴，
∴，
∴，
设，
∵
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值，
∴的最小值为；
（3）姐：∵是抛物线的“和谐抛物线”，
∴点P、点C、点D和点Q、点E、点F的坐标分别为，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点P和点Q关于原点O对称，点C和点F关于原点O对称，
∴四边形是平行四边形，
当平行四边形是矩形时，，
过点P作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴代入，得
∴再将代入上式得，
∴（舍去），（舍去），，
∴将代入得，
∴当四边形为矩形时，，．
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）分别将，代入对应抛物线解析式，解方程组即可得解；
（2）根据“和谐抛物线”的定义，结合抛物线的“和谐抛物线”过点，可得，设，得出，进而即可得解，
（3）根据“和谐抛物线”的定义，抛物线的“和谐抛物线”的解析式为，求出点的坐标，根据矩形的性质可得，得出，将，，代入得出，再将代入上式，可得方程，解方程即可求解．
（1）设点是抛物线上的一点，则点在抛物线上，分别将，代入对应抛物线解析式，得，
解得；
（2）由题意可得，抛物线：的“和谐抛物线”为：，将点代入中，得，
∴，
∴，
设，
∵
∴，即，
∴，
∴时，取得最小值，
∴的最小值为；
（3）∵抛物线的“和谐抛物线”的解析式为，
∴点P、点C、点D和点Q、点E、点F的坐标分别为，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点P和点Q关于原点O对称，点C和点F关于原点O对称，
∴四边形是平行四边形，
当平行四边形是矩形时，，
如图，过点P作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴代入，得
∴再将代入上式得，解得（舍去），（舍去），，
∴将代入得，
∴当四边形为矩形时，，．
1 / 1湖南省十三市州2025年初中学业水平考试阶段测试模拟预测数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·娄底模拟）立春以后我市出现冻雨天气，最低温度低于零度，若把气温零上记为，则表示气温为（　　）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
2．（2025·娄底模拟）如图是一个放在水平桌面上的半球体，则该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·娄底模拟）下列运算正确的是
A． B． C． D．
4．（2025·娄底模拟）下列调查方式适合抽样调查的是（　　）
A．对鹊桥二号和嫦娥六号探测器的零部件进行检查
B．高铁站安检处检查乘客随身携带物品的安全性
C．了解某班同学每周的体育锻炼时间
D．了解长沙段湘江水质情况
5．（2025·娄底模拟）据湖南政府工作报告，2023年湖南省粮食再获丰收，总产量达斤，将数据用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·娄底模拟）如图，将一个直尺和一个含角的直角三角板（）放在一起，使直尺的一边与直角三角板的斜边重合，直尺的另一边与直角三角板的两直角边交于两点，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·娄底模拟）用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．3
8．（2025·娄底模拟）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·娄底模拟）为建设“书香校园”，某班开展了捐书活动，学生捐书情况统计如下表：
捐书数量（本 1 2 3 4 5
人数（人） 16 6 3
对于不同的x，下列关于捐书数量的统计量中不会发生改变的是（　　）
A．平均数，中位数 B．众数，中位数
C．平均数，方差 D．中位数，方差
10．（2025·娄底模拟）“五月五日午，赠我一枝艾”．端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日．因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日．某超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉．小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·娄底模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·娄底模拟）正五边形的外角和等于 　 　 ．
13．（2025·娄底模拟）方程的解为　 　．
14．（2025·娄底模拟）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值为　 　．
15．（2025·娄底模拟）如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为　 　．
16．（2025·娄底模拟）中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·娄底模拟）计算：．
18．（2025·娄底模拟）先化简，再求值，，其中．
19．（2025·娄底模拟）某中学数学社团开展数学社会实践研究活动，利用数学课堂上所学的三角函数知识结合传 感器制作出一个能够测量车辆在某段路面的行驶速度的装置．如图，在距离地面高8米（即米）的A 处放有该传感器装置，在A处测得点C的俯角是，测得点D的俯角是．当汽车从公路上的M处由东向西行驶时经过点C时传感器会开始计时，当汽车到达点D时会停止计时，通过计算出的长度和汽车通过的时间可计算出汽车的行驶速度
（1）求的长；
（2）已知该路段限速，一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒，请通过计算判断这辆汽车是否超速通过？（不考虑传感器反应时间，）
20．（2025·娄底模拟）《2024年春节联欢晚会》辽宁沈阳、湖南长沙、新疆喀什、陕西西安四地作为分会场和北京 主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来了一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．通过春晚 分会场的展示，大家更加了解这四所城市，向往着到这些城市旅游打卡．为了解学生对这四 所城市的喜爱程度，某校数学兴趣小组制作了《2024年我最想要打卡的春晚分会场》问卷 调查表，分别用A，B，C，D表示沈阳、长沙、喀什、西安，在学校随机抽选了部分学生进行调查，根据调查数据绘制了以下两幅不完整的统计图．结合图中所给信息回答问题：
（1）此次抽样调查的人数是 人；
（2）两幅图表中的未知数分别为 ， ；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）该校共有学生2400人，准备在暑期社会实践活动中组织学生去到这四所城市打卡．根据调查情况估计选择去C新疆喀什的有多少人？
21．（2025·娄底模拟）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（2025·娄底模拟）长沙第一条地铁线路于2014年4月开通，随后十年相继开通了多条地铁线路及磁悬浮快线．某地铁建设公司租赁大、小挖掘机共20台进行地铁建设．
（1）已知每台大挖掘机1小时可挖土80立方米，每台小挖掘机1小时可挖土60立方米，若所租大、小挖掘机同时施工2小时恰好可以挖土3000立方米，求租赁的大、小挖掘机各多少台？
（2）已知大挖掘机租赁费为每小时600元，小挖掘机租赁费为每小时400元，若公司预算每小时的租赁费不超过10000元，求最多可以租赁多少台大挖掘机？
23．（2025·娄底模拟）如图，在菱形中，对角线相交于点O，以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的周长和面积．
24．（2025·娄底模拟）如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）记的面积分别为，若，求的值；
（3）若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式．
25．（2025·娄底模拟）已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，
（1）若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值；
（2）若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值；
（3）已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵气温零上可以记为，
∴气温为表示气温为零下.
故答案为：B．
【分析】根据题意可知气温零上为正，则气温零下记为负，进而得出答案．
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，该几何体的主视图是为
.
故选：A．
【分析】从物体正面看所得到的图形是主视图．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原式，故本选项不符合题意；
B、原式，故本选项不符合题意；
C、原式，故本选项符合题意；
D、原式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，单项式乘以多项式，合并同类项运知识点，逐项计算再判断即可.
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、对上述零部件进行检查，涉及安全性，适合采用全面调查方式，故该选项不符合题意；
B、安检涉及安全性，适合采用全面调查方式，故该选项不符合题意；
C、了解某班同学每周的体育锻炼时间，范围小，适合采用全面调查方式，故本选项不符合题意；
D．了解长沙段湘江水质情况，范围广，适宜采用抽样调查方式，故该选符合题意．
故选：D．
【分析】根据“一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查”逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故选：B．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，先确定a的值，再根据原数到a小数移动的位数确定n的值．
6．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
∴，
，
.
故选：A．
【分析】根据平行线的性质可得，再根据三角形的内角和可得，最后根据补角的性质即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵，
设 这个圆锥的底面半径为R，
∴.
故选：C．
【分析】利用已知条件求出对应弧长，此弧长即为圆锥底面的周长，进而得出答案.
8．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴一次函数中y随x的增大而减小，
∵，
∴.
故选：D．
【分析】根据一次函数的k值判断一次函数图象的增减性，即可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵（人），
∴40÷2=20，
∴中位数为第20和第21个数的平均数，
，
∴不管取何值，中位数都为3，
，
∴对于不同的，平均数也不同，
∵平均数会发生改变，
∴方差也会发生改变，
，
，
∴对于不同的，众数都为3，
∴统计量中不会发生改变的是众数，中位数.
故选：B．
【分析】先求出调查的总人数，再根据平均数、众数、中位数和方差的定义解答即可判断求解.
10．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：
由树状图可得共有9种等可能的结果，其中有6种结果为两人恰好得到不同馅的粽子，
∴两人恰好得到不同馅的粽子的概率是6÷9=．
故选：D．
【分析】根据题意先画出列树状图，再根据概率公式可得出答案．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式分解因式即可。
12．【答案】360
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】任何n边形的外角和都等于360度.
【分析】任何多边形的外角和都等于360度。
13．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得，
移项得3x-2x=1，
合并同类项得，
经检验：是原分式方程的解.
故答案为：．
【分析】先去分母、再移项、合并同类项，求出整式方程的解，再进行检验即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴：，
∴点A的坐标为（2，1），
∴.
故答案为：．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可．
15．【答案】
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
且过圆心，
，
∵，
∵AB=10，
在中，
在中，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
在中，．
故答案为：．
【分析】由且过圆心，得到再根据勾股定理即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
16．【答案】6
【知识点】矩形的判定与性质；多边形的面积
【解析】【解答】解：过点作，交于点，
∵四边形是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠HAE=∠B=∠D=∠DCB=90°，
∵，，
∴四边形、是矩形，
∵
∴，
∵点 M是矩形的对角线上一点，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】过点作，交于点，根据四边形是矩形，得出AD∥BC，AB∥CD，∠HAE=∠B=∠D=∠DCB=90°，进而得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的概念；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先去绝对值、开算术平方根、零次幂和特殊角三角函数值计算即可．
18．【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类项，最后代入即可．
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
在中，
米.
（2）解：∵，
∴BC=AB，
∵AB=8米，
∴米，
∴米，
∵一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒，
∴这辆汽车通过该路段的速度为，
∴这辆汽车没有超速通过．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和先求出∠DAB，再根据三角函数值算出即可；
（2）先求出米，再求出，即可求出速度，比较即可.
（1）解：根据题意可得：，
在中，米；
（2）解：在中，，
∴米，
∴米，
∵一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒，
∴这辆汽车通过该路段的速度为，
故这辆汽车没有超速通过．
20．【答案】（1）；
（2），；
（3）解：（人），
（4）解：（人），
答： 估计选择去C新疆喀什的有360人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人）.
故答案为：.
（2），
∴，
（人）.
故答案为：；.
【分析】（1）用A的人数除以所占的比例，即可求解；
（2）用1减去A、C、D所占的比例即可求出m的值，用抽样调查的人数乘以C所占的比例可得n；
（3）先求得B的人数，再补全条形统计图即可；
（4）用总人数乘以C所占的比例即可求解．
（1）解：此次抽样调查的人数是：（人），
故答案为：；
（2）解：，
∴，
（人）
故答案为：，；
（3）解：去B地长沙的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（4）解：估计选择去C新疆喀什的有：
（人）．
21．【答案】（1）证明：是的角平分线，，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵由（1）可知，AC=4，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再根据HL证明，进而得证；
（2）先求出AE=4，再根据勾股定理求得，设，则，，再应用勾股定理即可求解．
（1）解：是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
∴的长为．
22．【答案】（1）解：设租赁大、小挖掘机分别为台、台，
，
解得：，
答：租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台．
（2）解：设租赁大挖掘机台，
，
∴，
答：最多可以租赁10台大挖掘机．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设租赁大、小挖掘机分别为台、台，列出二元一次方程组，求解即可得出答案；
（2）设租赁大挖掘机台，列出不等式，进而得出答案．
（1）解：设租赁大、小挖掘机分别为台、台，
根据题意得：，
解得：，
故租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台．
（2）解：设租赁大挖掘机台，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以租赁10台大挖掘机．
23．【答案】（1）证明：∵以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
（2）解：∵四边形是菱形，
∴AB=BC，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，，
∴
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据作图可得，再根据菱形的性质得到，，进而可得，接着证明四边形是平行四边形，进而得证；
（2）先说明△ABC是等边三角形，再根据菱形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而求得的三边长即可求解．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，即，
∵以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长，
．
24．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∵
又∵是的直径，
∴是 的切线.
（2）解：由（1）得
∴
∴
设
∵
∴AB2=AC2-BC2，
∴
∵为的直径，
∵
.
（3）解：连接，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°可得又由得到即可得出结论；
（2）由得到进而得到设根据勾股定理再根据AA证明最后根据相似三角形的面积之比等于对应边比的平方，即可得出答案；
（3）连接，根据AA证明、，则，，从而，设，则，列出方程式，求出进而得出结论．
（1）证明：如图，记
∵是的直径，
∵由题意得：
又∵是的直径，
∴是 的切线；
（2）解：由（1）得
∴在中，
即
设
在中，
∵为的直径，
∵由题意得
；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：设点是抛物线上的一点，则点在抛物线上，
∴，
∴ .
（2）解：：是抛物线：的“和谐抛物线”，
∵点在上，
∴，
∴，
∴，
设，
∵
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值，
∴的最小值为；
（3）姐：∵是抛物线的“和谐抛物线”，
∴点P、点C、点D和点Q、点E、点F的坐标分别为，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点P和点Q关于原点O对称，点C和点F关于原点O对称，
∴四边形是平行四边形，
当平行四边形是矩形时，，
过点P作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴代入，得
∴再将代入上式得，
∴（舍去），（舍去），，
∴将代入得，
∴当四边形为矩形时，，．
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）分别将，代入对应抛物线解析式，解方程组即可得解；
（2）根据“和谐抛物线”的定义，结合抛物线的“和谐抛物线”过点，可得，设，得出，进而即可得解，
（3）根据“和谐抛物线”的定义，抛物线的“和谐抛物线”的解析式为，求出点的坐标，根据矩形的性质可得，得出，将，，代入得出，再将代入上式，可得方程，解方程即可求解．
（1）设点是抛物线上的一点，则点在抛物线上，分别将，代入对应抛物线解析式，得，
解得；
（2）由题意可得，抛物线：的“和谐抛物线”为：，将点代入中，得，
∴，
∴，
设，
∵
∴，即，
∴，
∴时，取得最小值，
∴的最小值为；
（3）∵抛物线的“和谐抛物线”的解析式为，
∴点P、点C、点D和点Q、点E、点F的坐标分别为，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点P和点Q关于原点O对称，点C和点F关于原点O对称，
∴四边形是平行四边形，
当平行四边形是矩形时，，
如图，过点P作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴代入，得
∴再将代入上式得，解得（舍去），（舍去），，
∴将代入得，
∴当四边形为矩形时，，．
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