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第7章　一元一次不等式
7.4　解一元一次不等式组
初中数学华东师大版（2024）七年级下册
1.掌握一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集的概念.
2.会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.(重点)
学习目标
情境引入
之前我们学习了鲁班由丝茅草“类比”出锯子，你能通过一次方程组“类比”出不等式组吗？
一、一元一次不等式组的概念
问题1　用每分钟可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水不少于1 200 t且不超过1 500 t，那么需要多少时间能将污水抽完？
(1)依据题意，你能得出几个不等关系？
提示　积存的污水的水量≥1 200 t；积存的污水的水量≤1 500 t.
(2)根据不等关系，我们应该怎样设未知数？
提示　设需要x分钟才能将污水抽完.
(3)在这个问题中，你认为未知数x必须同时满足多少个不等式？
提示　需要满足两个不等式：30x≥1 200且30x≤1 500.
(4)类比方程组的概念，说出什么是一元一次不等式组？怎样表示？
提示　我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组.
表示为
知识梳理
把关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组.
注意点：(1)每个不等式必须为一元一次不等式；(2)不等式必须只含有同一个未知数；(3)不等式的数量是两个或者多个.
例1
下列是一元一次不等式组的是________.(填序号)
①　　　 ②
③ ④
②④
二、一元一次不等式组的解法
问题2　类比方程组的解怎样确定问题1中不等式组中x的取值范围？
提示　不等式组中各个不等式解集的公共部分就是不等式组x的取值范围.
分别求这两个不等式的解集，得
用数轴表示如图所示，
所以该不等式组的解集为40≤x≤50.
知识梳理
1.不等式组中几个不等式的解集的_________，叫做这个不等式组的解集.
解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再求出它们的公共部分.利用数轴可以帮助我们得到一元一次不等式组的解集.
公共部分
知识梳理
2.用数轴来表示一元一次不等式组的解集，可分为四种情况.
(1)的解集在数轴上的表示如图所示.
所以不等式组的解集是x>3.
简称：大大取较大.
知识梳理
(2)的解集在数轴上的表示如图所示.
所以不等式组的解集是x<1.
简称：小小取较小.
知识梳理
(3)的解集在数轴上的表示如图所示.
所以不等式组的解集是1简称：大小小大中间找.
知识梳理
(4)的解集在数轴上的表示如图所示.
所以不等式组无解.
简称：大大小小无解了.
例2
解下列不等式组，并在数轴上表示解集：
(1)
解　的解集在数轴上表示为
则不等式组的解集为x>4.
(2)
解　的解集在数轴上表示为
则不等式组的解集为x<-1.
(3)
解　的解集在数轴上表示为
则不等式组的解集为-1(4)
解　的解集在数轴上表示为
则不等式组无解.
跟踪训练1
把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是
√
A. B.
C. D.
例3
(1)(课本P71例1)解不等式组：
解　解不等式①，得x>2.
解不等式②，得x>4.
如图，在同一数轴上表示出不等式①②的解集，可知所求不等式组的解集是x>4.
(2)(课本P71例2)解不等式组：
解　解不等式①，得x<-1.
解不等式②，得x≥2.
如图，在同一数轴上表示出不等式①②的解集，容易看出，这两个不等式的解集没有公共部分.因此，这个不等式组无解.
解一元一次不等式组的一般步骤：
(1)分别解不等式组中的各个不等式；
(2)再求出这几个不等式解集的公共部分.
反思感悟
跟踪训练2
解下列不等式组：
(1)
解　
解不等式①，得x<-6，
解不等式②，得x≥2，
在同一数轴上表示出不等式①②的解集，如图所示.
所以不等式组无解.
(2)
解　
解不等式①，得x>-，
解不等式②，得x≤，
在同一数轴上表示出不等式①②的解集，如图所示.
所以不等式组的解集为-三、一元一次不等式组的应用
例4
有若干学生参加夏令营活动，晚上在一宾馆住宿时，如果每间住4人，那么还有20人住不下，相同的房间，如果每间住8人，那么还有一间住不满也不空，请问：这群学生有多少人？有多少房间供他们住？
解　设有x间房供他们住，则学生有(4x+20)人，
由题意得
解得5根据题意，x的值应是整数，所以x=6，4x+20=44(人).
即有学生44人，有6间房供他们住.
用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：
(1)审题：认真审题，分清已知量、未知量；
(2)设未知数：设出适当的未知数；
(3)找出题中的不等关系：抓住题中的关键词，列出相关代数式；
(4)列不等式组：根据题中的不等关系列出不等式组；
(5)解不等式组(可以借助数轴也可以用“口诀”)；
(6)答：检验是否符合题意，写出答案.
反思感悟
跟踪训练3
(1)把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩余3个；若每人分6个，则最后一个学生最多分2个，求学生人数和苹果个数分别是多少？
解　设学生有x人，则苹果有(4x+3)个，根据题意，得
解得3.5≤x≤4.5.
∵x取整数，
∴x=4，则4x+3=19.
即学生有4人，苹果有19个.
(2)某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球(每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同).经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元.
①求每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
解　设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元.
根据题意得解得
∴每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元.
②该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3 200元，且购买气排球的个数小于30，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
解　设购买气排球a个，则购买篮球(50-a)个.
根据题意得
解得26≤a<30，
∴购买气排球的个数可以为27，28，29，
∵气排球比较便宜，∴购买气排球越多，总费用越低.
即当购买气排球29个，篮球21个时，总费用最低，
最低为29×50+21×80=1 450+1 680=3 130(元).
1.下列选项中，是一元一次不等式组的是
A. B.
C. D.
√
2.把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是
√
解析　解不等式x+2>1，得x>-1，
解不等式2x-1≤3，得x≤2，
∴不等式组的解集为-1∴数轴上表示不等式组的解集如图所示.
3.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是
A.a≤-3 B.a<-3
C.-3√
解析　∵不等式组无解，
∴a-4≥3a+2，解得a≤-3.
4.利用数轴求下列不等式组的解集.
(1)
解　
解不等式①，得x>，
解不等式②，得x<6，
把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图.
因此，原不等式组的解集为(2)
解　
由①得x>1，由②得x≥-4，
把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图.
故不等式组的解集为x>1.
(3)
解　
由①得x>，由②得x≤4，
把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图.
故不等式组的解集为5.幼儿园老师给30个小朋友发糖果，每人发5个，结果小明哭了；其他人都有5个，只有他虽然有但不够5个，请问老师拿来多少糖果？
解　设共有x个糖果，
可列出下列不等式组
解得145因为x只能取整数，故x可取146，147，148，149.
即老师可能拿了146，147，148或149个糖果.
谢谢

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