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浙江省金华市东阳市2025年中考考前对标适应性考试三模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·东阳模拟）有四个数，其中最小的数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025·东阳模拟）下列计算正确的是（　　）
A．2 B． C． D．
3．（2025·东阳模拟）如图，是由个棱长均为的正方体组成的几何体，它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·东阳模拟）2024年浙江省GDP总产值为90100亿元，数90100用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·东阳模拟）如图，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·东阳模拟）如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·东阳模拟）某公司招聘技术人员，需对应聘者进行测试，测试项目包括基础知识、操作能力、创新能力，并规定上述三项成绩依次按，，的比例计入总成绩，某应聘者的测试成绩统计如下：
项目 基础知识 操作能力 创新能力
成绩
则此应聘者的总成绩是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·东阳模拟）端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗，端午节期间，某商店对一款粽子推出优惠活动，决定每个粽子打八折，打折后120元买到的粽子数量比打折前多了6个，设粽子的原价为x（元/个），可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·东阳模拟）如图，矩形的面积为，点的坐标为，轴，轴，若反比例函数的图象过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·东阳模拟）如图，在等腰中，，点是斜边的中点，点在上，连结，作于点，连结，则点从点向点移动过程中（点不与、重合），角度的大小为（　　）
A．由小变大 B．由大变小 C．不变 D．不能确定
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·东阳模拟）因式分解： 　 　.
12．（2025·东阳模拟）一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是　 　．
13．（2025·东阳模拟）若=2，则x=　 　.
14．（2025·东阳模拟）若扇形圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为　 　．
15．（2025·东阳模拟）如图，将左边矩形纸片沿虚线剪开并拼接成了右边正方形，则　 　．
16．（2025·东阳模拟）如图，在矩形中，平分交于点，交于点，将沿折叠得到交于点，若，则　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（2025·东阳模拟）计算：．
18．（2025·东阳模拟）解不等式组：．
19．（2025·东阳模拟）如图，在菱形中，作，连结．
（1）求菱形的面积；
（2）求的长．
20．（2025·东阳模拟）为了解某校初中学生的视力情况，随机抽取了该校50名初中生进行调查，并将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．根据视力的不同水平，将视力分为正常视力、轻度近视、中度近视及重度近视四个等级分别记为“”、“”、“”、“”等级．
50名初中生视力情况人数分布表
等级 视力 人数
A 1.0及以上
B 0.9 8
0.8 10
C 0.7 6
0.6
D 0.5及以下 15
（1）请计算图表中、的值．
（2）请你估算本校4500名学生中视力正常的人数．
21．（2025·东阳模拟）尺规作图问题：已知，过点作直线，使得．
如图是小聪同学的作法：
①作的垂直平分线，交于点，交直线于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则．
（1）请说明的理由；
（2）小聪在作图时发现以为圆心，长为半径的弧会过点，若，求的度数．
22．（2025·东阳模拟）某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下：
方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元．
方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元．如图所示是日工资(元)关于生产数量(个)的函数图象，
（1）求时，方案二的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式；
（2）甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围；
（3）乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？
23．（2025·东阳模拟）已知二次函数．
（1）若二次函数经过点，
①求二次函数解析式；
②当时，求的取值范围；
（2）若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小．
24．（2025·东阳模拟）已知四边形内接于，对角线与交于点．
（1）如图1，若为直径，点是中点，．
①求证：；
②求的长；
（2）如图2，若，，且、不过点，、分别为、的中点，连接，试猜想四边形的形状，并证明你的猜想．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是.
故答案为：.
【分析】先比较实数的大小比较，进而得出答案．
2．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故本选项不符合题意；
B.不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意.
故选：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方的运算法则进行判断即可．
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：解：从左边看，底层是两个小正方形，左边一列是三层，
则选项D符合题意．
故选：D．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：90100=9.01×104.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合各选项即可求解.
5．【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵∴，
∵，
∴，
∴.
故选：D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，根据即可求解．
6．【答案】B
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：∵连接并延长相交于点，
∴位似中心是.
故选：．
【分析】连接并延长，则交点即为它们的位似中心.
7．【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：.
故选：．
【分析】根据加权平均数的求法进行求解即可．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设粽子的原价为x（元/个），
由题意得：.
故答案为：A.
【分析】设粽子的原价为x元/个，根据题中的相等关系“ 打折后120元买到的粽子数量=打折前120元买到的粽子数量+6”可列方程.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点，，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∵矩形的面积为，
∴，
整理，得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴.
故选：．
【分析】设点，，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，由矩形面积可得，再代入计算求出的值即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当点E在上时，连接，
∵点是斜边的中点，点O为AC的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，，
∴点D在以的中点为圆心，以为半径的半圆上，
∵，
∴点F的运动轨迹是以的中点为圆心，以为半径的半圆上，
∴四点共圆，
∴；
当点E在上时，
∴，
综上所述：的大小保持不变.
故选：C．
【分析】连接，先判断点F与点D的运动轨迹，则四点共圆，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质解答即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为，
∴；
故答案为：．
【分析】先得到红色区域所对的圆心角为，再利用概率公式解题即可．
13．【答案】2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x=2(2x-3)，
去括号得：x=4x-6，
解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解，
∴原方程的解为：x=2.
故答案为：2.
【分析】根据分式方程的解题步骤“去分母、解整式方程、检验”可求解.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】直接利用扇形的面积公式求解即可．
15．【答案】5
【知识点】矩形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设四个直角三角形的两条直角边的长为，
则小正方形的边长为，
由图可得a-b=b，
∴，
∴，，
∴.
故答案为：5．
【分析】设四个直角三角形的两条直角边的长为据由图可得a-b=b，推出，再根据，进行求解即可．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在上截取，连接，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H为FC的中点，
∵四边形是矩形，
∴
∵交于点，
∴，，
∵点H为FC的中点，
∴，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∴，
∵将沿折叠得到交于点，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】先证明四边形是菱形，则是等边三角形，进而得出，最后根据特殊角的三角函数值求出答案即可．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】分别计算算术平方根、特殊角三角函数值、零指数幂，然后再进行加减运算即可．
18．【答案】解：由第一个不等式，
由第二个不等式得，
不等式组的解为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
19．【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴菱形的面积.
（2）解：由（1）得，，
∵
∴，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质得，结合，，则，即可作答．
（2）根据勾股定理先求出，再根据线段的和差可得，再运用勾股定理列式代入数值，进而得出答案.
（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴菱形的面积；
（2）解：由（1）得，，
∵
∴，
则，
∴．
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴6+m=12，
∴．
（2）解：（人），
（人），
答：本校4500名学生中视力正常的人数为450人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）乘以D等级占总体的比例即可求出的值；
C等级的人数等于扇形统计图中C等级占总体的百分比乘以50，即可求得m的值；
（2）先求出样本中视力正常的人数，用4500乘以此值，即可求解．
（1）解：，
即．
∵，
∴．
（2）解：样本中视力正常的人数有（人），
估算本校4500名学生中视力正常的人数为（人）．
21．【答案】（1）证明：为中垂线，
，
，
∵，，
，
，
；
（2）解：∵ 以为圆心，长为半径的弧会过点，
∴，
∵，
，
．

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）由中垂线的性质可得，则，结合，，证明，进一步可得结论；
（2）由，，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案．
（1）证明：如图，
为中垂线，
，
，
由作图可得，，
，
，
；
（2）解：据题意，，
，
．
22．【答案】（1）解：设时，方案二的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式 为，
每超过一个加计4元，
，
将(100，100)代入，
则，
函数表达式为.
（2）解：∵ 基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元，
∴方案一的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式为，
令，
解得，
令，
解得，
由图象可得时，方案一的工资比选择方案二的工资多，
∴ 甲员工生产的零件个数的范围.

（3）解：当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
答：这位员工生产了30或170个零件.
【知识点】一元一次方程的其他应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设时，方案二的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式 为，先求出k的值，再将(100，100)代入，求解即可；
（2）先求出方案一的函数表达式，再求出工资一致的两个生产数量的值，再根据图象可知当生产数量介于这两个数值之间时，方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，从而得解；
（3）分当当时和时两种情况，列出方程求解即可．
（1）设函数表达式为
每超过一个加计4元，
把(100，100)代入
解得
函数表达式为
（2）方案一的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式为
令，解得
又令，解得
由图象可得时，方案一的工资比选择方案二的工资多
（3）当时，依题意得：，
解得
当时，依题意得：，
解得
综上所述：这位员工生产了30或170个零件
23．【答案】（1）解：①∵ 二次函数经过点，
∴，
∴，
二次函数解析式为；
②由①中的解析式可得对称轴为直线x=2，
∵二次项系数为，
抛物线的开口向上，
当时，，
当时，，
当时，，
；
（2）解：当时，，
∵a>1，
∴>1，
当时，
，
∵，当时，
，
当时，，
．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①把代入，求出，就可得二次函数解析式；
②先求出二次函数的最小值，再在自变量范围内求出最大值即可；
（2）先分别求得，，，判断各自的符号，再比较的大小．
（1）解：①把代入，得：，解得，
二次函数解析式为；
②在“”范围内，
，
对称轴为直线，二次项系数为，
抛物线的开口向上，
当时，，
当时，，
当时，，
；
（2）当时，
当时，
，
，当时，
，
当时，，
．
24．【答案】（1）证明：①∵点是中点，
∴，
∴，
又∵，
；
②作，垂足为，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
为等腰直角三角形，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
连接，，，，
∵分别为的中点，
，
，
，
，
∴，
，
，
∴、为直角三角形，
∴，，
，
在中，
∵，
∴（SSS），
，
，
∴，
∵，
，
∵点P为的中点，
∴，
同理，
，
四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；圆周角定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）①先证明，再根据两个角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；
②作，垂足为，证明为等腰直角三角形，求出，根据，得出，求出结果即可；
（2）连接，，，，先证明、为直角三角形，得出，，在根据SSS，得出，则，同理，即可证明结论．
（1）证明：①∵点是中点，
∴，
∴，
∵，
②作，垂足为，如图所示：
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
为等腰直角三角形
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（2）解：四边形为菱形，证明如下：
连接，，，，如图所示：
，
，
，
即，
，
∵分别为的中点，
，
，
∴、为直角三角形，
∴，，
，
∵，，，
∴，
，
，
∴，
∵，
，
∵点P为的中点，
∴，
同理，
，
四边形为菱形．
1 / 1浙江省金华市东阳市2025年中考考前对标适应性考试三模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·东阳模拟）有四个数，其中最小的数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是.
故答案为：.
【分析】先比较实数的大小比较，进而得出答案．
2．（2025·东阳模拟）下列计算正确的是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故本选项不符合题意；
B.不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意.
故选：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方的运算法则进行判断即可．
3．（2025·东阳模拟）如图，是由个棱长均为的正方体组成的几何体，它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：解：从左边看，底层是两个小正方形，左边一列是三层，
则选项D符合题意．
故选：D．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
4．（2025·东阳模拟）2024年浙江省GDP总产值为90100亿元，数90100用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：90100=9.01×104.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合各选项即可求解.
5．（2025·东阳模拟）如图，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵∴，
∵，
∴，
∴.
故选：D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，根据即可求解．
6．（2025·东阳模拟）如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：∵连接并延长相交于点，
∴位似中心是.
故选：．
【分析】连接并延长，则交点即为它们的位似中心.
7．（2025·东阳模拟）某公司招聘技术人员，需对应聘者进行测试，测试项目包括基础知识、操作能力、创新能力，并规定上述三项成绩依次按，，的比例计入总成绩，某应聘者的测试成绩统计如下：
项目 基础知识 操作能力 创新能力
成绩
则此应聘者的总成绩是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：.
故选：．
【分析】根据加权平均数的求法进行求解即可．
8．（2025·东阳模拟）端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗，端午节期间，某商店对一款粽子推出优惠活动，决定每个粽子打八折，打折后120元买到的粽子数量比打折前多了6个，设粽子的原价为x（元/个），可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设粽子的原价为x（元/个），
由题意得：.
故答案为：A.
【分析】设粽子的原价为x元/个，根据题中的相等关系“ 打折后120元买到的粽子数量=打折前120元买到的粽子数量+6”可列方程.
9．（2025·东阳模拟）如图，矩形的面积为，点的坐标为，轴，轴，若反比例函数的图象过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点，，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∵矩形的面积为，
∴，
整理，得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴.
故选：．
【分析】设点，，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，由矩形面积可得，再代入计算求出的值即可.
10．（2025·东阳模拟）如图，在等腰中，，点是斜边的中点，点在上，连结，作于点，连结，则点从点向点移动过程中（点不与、重合），角度的大小为（　　）
A．由小变大 B．由大变小 C．不变 D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当点E在上时，连接，
∵点是斜边的中点，点O为AC的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，，
∴点D在以的中点为圆心，以为半径的半圆上，
∵，
∴点F的运动轨迹是以的中点为圆心，以为半径的半圆上，
∴四点共圆，
∴；
当点E在上时，
∴，
综上所述：的大小保持不变.
故选：C．
【分析】连接，先判断点F与点D的运动轨迹，则四点共圆，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质解答即可．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·东阳模拟）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．（2025·东阳模拟）一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为，
∴；
故答案为：．
【分析】先得到红色区域所对的圆心角为，再利用概率公式解题即可．
13．（2025·东阳模拟）若=2，则x=　 　.
【答案】2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x=2(2x-3)，
去括号得：x=4x-6，
解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解，
∴原方程的解为：x=2.
故答案为：2.
【分析】根据分式方程的解题步骤“去分母、解整式方程、检验”可求解.
14．（2025·东阳模拟）若扇形圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】直接利用扇形的面积公式求解即可．
15．（2025·东阳模拟）如图，将左边矩形纸片沿虚线剪开并拼接成了右边正方形，则　 　．
【答案】5
【知识点】矩形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设四个直角三角形的两条直角边的长为，
则小正方形的边长为，
由图可得a-b=b，
∴，
∴，，
∴.
故答案为：5．
【分析】设四个直角三角形的两条直角边的长为据由图可得a-b=b，推出，再根据，进行求解即可．
16．（2025·东阳模拟）如图，在矩形中，平分交于点，交于点，将沿折叠得到交于点，若，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在上截取，连接，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H为FC的中点，
∵四边形是矩形，
∴
∵交于点，
∴，，
∵点H为FC的中点，
∴，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∴，
∵将沿折叠得到交于点，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】先证明四边形是菱形，则是等边三角形，进而得出，最后根据特殊角的三角函数值求出答案即可．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（2025·东阳模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】分别计算算术平方根、特殊角三角函数值、零指数幂，然后再进行加减运算即可．
18．（2025·东阳模拟）解不等式组：．
【答案】解：由第一个不等式，
由第二个不等式得，
不等式组的解为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
19．（2025·东阳模拟）如图，在菱形中，作，连结．
（1）求菱形的面积；
（2）求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴菱形的面积.
（2）解：由（1）得，，
∵
∴，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质得，结合，，则，即可作答．
（2）根据勾股定理先求出，再根据线段的和差可得，再运用勾股定理列式代入数值，进而得出答案.
（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴菱形的面积；
（2）解：由（1）得，，
∵
∴，
则，
∴．
20．（2025·东阳模拟）为了解某校初中学生的视力情况，随机抽取了该校50名初中生进行调查，并将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．根据视力的不同水平，将视力分为正常视力、轻度近视、中度近视及重度近视四个等级分别记为“”、“”、“”、“”等级．
50名初中生视力情况人数分布表
等级 视力 人数
A 1.0及以上
B 0.9 8
0.8 10
C 0.7 6
0.6
D 0.5及以下 15
（1）请计算图表中、的值．
（2）请你估算本校4500名学生中视力正常的人数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴6+m=12，
∴．
（2）解：（人），
（人），
答：本校4500名学生中视力正常的人数为450人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）乘以D等级占总体的比例即可求出的值；
C等级的人数等于扇形统计图中C等级占总体的百分比乘以50，即可求得m的值；
（2）先求出样本中视力正常的人数，用4500乘以此值，即可求解．
（1）解：，
即．
∵，
∴．
（2）解：样本中视力正常的人数有（人），
估算本校4500名学生中视力正常的人数为（人）．
21．（2025·东阳模拟）尺规作图问题：已知，过点作直线，使得．
如图是小聪同学的作法：
①作的垂直平分线，交于点，交直线于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则．
（1）请说明的理由；
（2）小聪在作图时发现以为圆心，长为半径的弧会过点，若，求的度数．
【答案】（1）证明：为中垂线，
，
，
∵，，
，
，
；
（2）解：∵ 以为圆心，长为半径的弧会过点，
∴，
∵，
，
．

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）由中垂线的性质可得，则，结合，，证明，进一步可得结论；
（2）由，，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案．
（1）证明：如图，
为中垂线，
，
，
由作图可得，，
，
，
；
（2）解：据题意，，
，
．
22．（2025·东阳模拟）某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下：
方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元．
方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元．如图所示是日工资(元)关于生产数量(个)的函数图象，
（1）求时，方案二的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式；
（2）甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围；
（3）乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？
【答案】（1）解：设时，方案二的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式 为，
每超过一个加计4元，
，
将(100，100)代入，
则，
函数表达式为.
（2）解：∵ 基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元，
∴方案一的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式为，
令，
解得，
令，
解得，
由图象可得时，方案一的工资比选择方案二的工资多，
∴ 甲员工生产的零件个数的范围.

（3）解：当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
答：这位员工生产了30或170个零件.
【知识点】一元一次方程的其他应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设时，方案二的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式 为，先求出k的值，再将(100，100)代入，求解即可；
（2）先求出方案一的函数表达式，再求出工资一致的两个生产数量的值，再根据图象可知当生产数量介于这两个数值之间时，方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，从而得解；
（3）分当当时和时两种情况，列出方程求解即可．
（1）设函数表达式为
每超过一个加计4元，
把(100，100)代入
解得
函数表达式为
（2）方案一的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式为
令，解得
又令，解得
由图象可得时，方案一的工资比选择方案二的工资多
（3）当时，依题意得：，
解得
当时，依题意得：，
解得
综上所述：这位员工生产了30或170个零件
23．（2025·东阳模拟）已知二次函数．
（1）若二次函数经过点，
①求二次函数解析式；
②当时，求的取值范围；
（2）若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小．
【答案】（1）解：①∵ 二次函数经过点，
∴，
∴，
二次函数解析式为；
②由①中的解析式可得对称轴为直线x=2，
∵二次项系数为，
抛物线的开口向上，
当时，，
当时，，
当时，，
；
（2）解：当时，，
∵a>1，
∴>1，
当时，
，
∵，当时，
，
当时，，
．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①把代入，求出，就可得二次函数解析式；
②先求出二次函数的最小值，再在自变量范围内求出最大值即可；
（2）先分别求得，，，判断各自的符号，再比较的大小．
（1）解：①把代入，得：，解得，
二次函数解析式为；
②在“”范围内，
，
对称轴为直线，二次项系数为，
抛物线的开口向上，
当时，，
当时，，
当时，，
；
（2）当时，
当时，
，
，当时，
，
当时，，
．
24．（2025·东阳模拟）已知四边形内接于，对角线与交于点．
（1）如图1，若为直径，点是中点，．
①求证：；
②求的长；
（2）如图2，若，，且、不过点，、分别为、的中点，连接，试猜想四边形的形状，并证明你的猜想．
【答案】（1）证明：①∵点是中点，
∴，
∴，
又∵，
；
②作，垂足为，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
为等腰直角三角形，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
连接，，，，
∵分别为的中点，
，
，
，
，
∴，
，
，
∴、为直角三角形，
∴，，
，
在中，
∵，
∴（SSS），
，
，
∴，
∵，
，
∵点P为的中点，
∴，
同理，
，
四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；圆周角定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）①先证明，再根据两个角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；
②作，垂足为，证明为等腰直角三角形，求出，根据，得出，求出结果即可；
（2）连接，，，，先证明、为直角三角形，得出，，在根据SSS，得出，则，同理，即可证明结论．
（1）证明：①∵点是中点，
∴，
∴，
∵，
②作，垂足为，如图所示：
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
为等腰直角三角形
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（2）解：四边形为菱形，证明如下：
连接，，，，如图所示：
，
，
，
即，
，
∵分别为的中点，
，
，
∴、为直角三角形，
∴，，
，
∵，，，
∴，
，
，
∴，
∵，
，
∵点P为的中点，
∴，
同理，
，
四边形为菱形．
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