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浙江省杭州市西湖区2025年九年级中考二模数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·西湖模拟）世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息：
地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海
最低海拔（m） -155 -154 -133 -430
其中海拔最低的是（　　）
A．阿萨勒湖 B．艾丁湖 C．盖塔拉洼地 D．死海
2．（2025·西湖模拟）以下图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·西湖模拟）2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．据悉，神舟十九号载人飞船在绕地球轨道飞行时的动能大约为228000000000焦耳．数据228000000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·西湖模拟）下列各式中，运算结果为的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·西湖模拟）据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下：
鞋号 20 21 22 23 24
频数 1 8 6 14 1
则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（　　）
A．6，14 B．22.5，14 C．22.5，23 D．22，23
6．（2025·西湖模拟）如图，在中，点D在边上，，分别交于点E，F，G，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·西湖模拟）如图，为的直径，点C在上，若，则长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·西湖模拟）反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·西湖模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（　　）
A． B．8 C．-8 D．
10．（2025·西湖模拟）已知中，，则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025·西湖模拟）因式分解： 　 　．
12．（2025·西湖模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
13．（2025·西湖模拟）一个不透明的袋子中有4个白球，2个红球和a个黑球，它们除颜色外其余都相同，从中随机摸一个球，摸到黑球的概率为，则a的值为　 　.
14．（2025·西湖模拟）如图，为的两条切线，点A，B为切点，点C在劣弧上．若，则的度数为　 　．
15．（2025·西湖模拟）如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为，若同款的7个碗叠放在一起总高度为，则一个碗的高度为　 　．
16．（2025·西湖模拟）如图，在中，，，点O为中点，连接，正方形在内部，边交于点G，连接，．若点G为中点，，，则线段的长为　 　．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·西湖模拟）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025·西湖模拟）某中学举行“垃圾分类投放和分类处理”知识竞赛，随机抽取部分学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图．（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）
抽取的学生的成绩频数表
组别/分 频数 频率
60～70 5
70～80 10
80～90
90～100 18
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，_______．
（2）补全频数分布直方图．
（3）若成绩在80分以上为优秀，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有多少名？
19．（2025·西湖模拟）如图，在中，，，．
（1）求线段的长；
（2）求的值．
20．（2025·西湖模拟）在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2．
（1）求k的值和点B的坐标．
（2）若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D．
①求m的值．
②求的面积，
21．（2025·西湖模拟）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则．
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）连接，交点为，若，，求点P到直线的距离．
22．（2025·西湖模拟）小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面．如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上．小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场．同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟．两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图2所示．（公交车的停车时间忽略不计）
（1）求公交车的平均速度．
（2）求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧．
（3）在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求的值．
23．（2025·西湖模拟）在直角坐标系中，设函数（m是常数）．
（1）当时，求该函数图象与x轴的交点坐标．
（2）若点，，都在该函数图象上，点A不与点B，C重合．
①比较，的大小．
②若，，直接写出n的取值范围．
24．（2025·西湖模拟）综合与实践
我们已经学过，在中，若，则三角形三边满足勾股定理：．
【知识应用】
（）如图，在中，于点D，若，则，请说明理由．
【拓展探究】
（）如图，在中，于点，点是的中点，连接．
求证：．
【拓展应用】
（）如图，在中，点在边上（不与点重合），点在边上（不与点重合），连接，，点为的外心，连接，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意可得：
-430<-155<-154<-133
∴海拔最低的是死海
故答案为：D
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，则本选项符合题意；
B、是中心对称图形，但它不是轴对称图形，则本选项不符合题意；
C、它是中心对称图形，但不是轴对称图形，则本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：228000000000=.
故选：B．
【分析】将数据228000000000用的形式表示出来，其中，为整数．
4．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、不是同类项，不可以合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意.
故选：D．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘单项式法则逐项排除即可，
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列后，处在最中间的两个数为22，23
∴中位数为
23码出现的次数最多，则众数为23
故答案为：C
【分析】根据中位数与众数的定义即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，，
A.，故A选项错误；
B.，故B选项正确；
C.，故C选项错误；
D.，故D选项错误.
故选：B．
【分析】由可得出得出，，再利用相似三角形的性质可进而判断即可．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，为的直径，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴长为.
故选：C．
【分析】先说明为等边三角形，则可得，再求出度数，最后由弧长公式求解．
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数的对称轴在轴右侧，二次函数的开口方向向下.
故选：．
【分析】首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和对称轴，进而得出答案.
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵
∴
∴
即m2-4×15=4
解得：m=
故答案为：A
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：延长至，使得，连接，由等腰三角形的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】延长至，使得，连接，则，根据等边对等角可得，进而可得，则，得到，即可由三角形外角性质得.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】此题是二项式，而且两项的符号相反，每一项都可以写成一个整式的完全平方，故直接利用平方差公式分解为两个数的和与这两个数的差的积
12．【答案】x≤2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
13．【答案】4
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=4
故答案为：4
【分析】根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：在优弧上取点，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的两条切线，点A，B为切点，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】在优弧上取点，连接，根据圆内接四边形的对角互补，求出的度数，圆周角定理求出的度数，再根据切线的性质，推出，进行求解即可．
15．【答案】7
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设一个碗的高度为，每增加一个水杯，增加的高度为，
∴，
∴，
答：一个碗的高度为.
故答案为：7．
【分析】设一个碗的高度为，每增加一个水杯，增加的高度为，根据“4个碗叠放在一起总高度为，若同款的7个碗叠放在一起总高度为”列出二元一次方程组，计算即可求解．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，作于，于，交于，
四边形是正方形，，
，，，
，，为中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，点G为中点，
，
，
，
，
，
即，
，
，
同理可求，，
，
中，，
，
中，.
故答案为：．
【分析】连接，作于，于，交于，分别证明、，则四边形是平行四边形，得，再根据SAS证明，则，根据勾股定理求得，根据及，可求，，同理可求，，在中，，在中，用勾股定理即可求的长．
17．【答案】（1）解：原式=
；

（2）解：原式
．
【知识点】分式的加减法；有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】（1）先去绝对值并计算乘方，再算乘法，最后算减法即可；
（2）先根据同分母的减法运算法则计算，再变形约分即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1），；
（2）解： 频数分布直方图 如下图：
（3）解：（名），
答：估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有560名．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：一共抽取的学生人数为：（名），
∴，
∴.
故答案为：0.1；17；0.34.
【分析】（1）用70～80这一组的频数除以频率求出参与调查的学生数，进而求出a、b、c的值即可；
（2）根据（1）所求补全统计图即可；
（3）用800乘以样本中成绩在80分以上的人数占比即可得到答案．
（1）解：名，
∴一共抽取了50名学生，
∴，
∴；
（2）解：补全统计图如下所示：
（3）解：名，
答：估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有560名．
19．【答案】（1）解：过点作于点，
∴∠AED=90°，
∵，
∴∠DAE=45°，
∴AE=DE，
∵，
∴，
∵，
∴，，
在中，
则.
（2）解：在中，
∵，，
∴．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【分析】（1）过点作于点，先求出，再根据勾股定理求解即可；
（2）在中，利用正切函数的定义求解即可．
（1）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得；
（2）解：在中，，，
∴．
20．【答案】（1）解：∵ 点A在上，
∴当时，，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴，
∴或，
∴.
（2）解：①函数的图象向下平移个单位，
∴平移后的函数解析式为，
∵在函数的图象上，
∴，
∴.
②由①可得平移后的函数解析式为，
∵点D在且在y轴上，
∴当时，，
∴，
如图所示：
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将代入中先求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再联立两函数解析式求出点B坐标即可；
（2）①先表示出平移后的直线解析式，再将点C的坐标代入中，求m的值；
②求出点D坐标，再根据列式求解即可．
（1）解：在中，当时，，
∴，
把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴；
（2）解：①函数的图象向下平移个单位后的函数解析式为，
∵函数的图象经过，
∴，
∴；
②由①可得平移后的函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接，
由作图可得，
∴四边形是菱形，
∴.
（2）解：连接BE、PD、CE、且PD与CE相交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
设点P到直线的距离为，
则，
∴，
∴点P到直线的距离为．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据作图可得，则可证明四边形是菱形，则；
（2）根据菱形得到对角线互相垂直，对角线互相平分，由勾股定理求出，即可得到，设点P到直线的距离为，然后由面积法得到，即可求解．
（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接，
由题意可得：，
∴四边形是菱形，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P到直线的距离为，
则，
∴，
∴点P到直线的距离为．
22．【答案】（1）解：（米），
（分钟），
∴公交车的平均速度米/分钟．
（2）解：根据题意可得，
小敏坐公交车时，设，
∵，在 上，
∴，
∴，
∴（）．
∴，
∴，
∴同时出发后，经过25分钟小敏追上小慧．
（3）解：当小敏在小慧前面400米，
，
∴；
当小敏在小慧后面400米，
，
∴，
∴t的值为23或27．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先根据图形得出坐公交车行驶的路程和坐公交车的时间，再用除法计算即可；
（2）先求出小慧出发时距离地的距离，小慧的速度已知为200米/分钟，可得到小慧距离地的路程与时间的函数关系式；再求出小敏坐公交车时距离地的路程与时间的函数关系式，然后联立两个函数关系式求解交点的横坐标，即为小敏追上小慧的时间．
（3）分小敏在小慧后面400米和小敏在小慧前面400米两种情况进行讨论即可.
（1）解：从图象可知，小敏坐公交车行驶的路程为米，坐公交车的时间是分钟．
∴公交车的平均速度米/分钟．
（2）小慧出发时距离地1800米，则有．
小敏坐公交车时，设，把，代入可得：
解得
所以小敏坐公交车时（）．
联立得，
解得：，
所以同时出发后，经过25分钟小敏追上小慧．
（3）情况一：小敏在小慧后面400米，
解得．
情况二：小敏在小慧前面400米
此时
解得，
综上，t的值 为23或27．
23．【答案】（1）解：∵当，当时，，
∴，
∴与x轴的交点坐标为.
（2）解：①∵ 函数 与x轴的交点为（m，0）、（m+2），
∴对称轴为，
∵抛物线开口向上，
∴点B为顶点坐标，函数值最小，
∴；
②当时，或，当时，或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（2）②∵，
∴，
∵点C在该函数上，
∴，
∴或，
当时，，
∵，
∴，
∴或，
当时，，
∵，
∴，
∴或，
∴当时，或，当时，或．
【分析】（1）将， 代入函数解析式，即可得出答案；
（2）①先求出对称轴，根据题意确定点B为顶点坐标，函数值最小，即可求解；
②将点C代入函数解析式得出或，然后分情况分析即可求解．
（1）解：当时，，
当时，，
解得：，
∴与x轴的交点坐标为；
（2）①，
∴对称轴为：，
∵抛物线开口向上，
∴点B为顶点坐标，函数值最小，
∴；
②当时，，
将点C代入函数解析式为：，
解得：或，
当时，，
∴，解得：或；
当时，，
∴，解得：或；
∴当时，或；当时，或．
24．【答案】（）证明：∵，
∴，
∴，，
∴
.
（）证明：过点作于点，
∵点是的中点，
∴，
∵ ，
∴，
∴，，
∴，
∴
=
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）证明：连接，延长交于点，
∵点为的外心，
∴，
∴，，，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；补角
【解析】【分析】（）由可得，再利用勾股定理可得，，两式相减即可求证；
（）过点作于点，由勾股定理得，，又由点是的中点得，进而相减可得，再根据平行线等分线段定理可得，进而即可求证；
（）连接，延长交于点，由三角形外心可得，再根据三角形的内角和可得，则，利用补角性质可得，即得，即得到，再利用勾股定理解答即可求证．
1 / 1浙江省杭州市西湖区2025年九年级中考二模数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·西湖模拟）世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息：
地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海
最低海拔（m） -155 -154 -133 -430
其中海拔最低的是（　　）
A．阿萨勒湖 B．艾丁湖 C．盖塔拉洼地 D．死海
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意可得：
-430<-155<-154<-133
∴海拔最低的是死海
故答案为：D
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．（2025·西湖模拟）以下图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，则本选项符合题意；
B、是中心对称图形，但它不是轴对称图形，则本选项不符合题意；
C、它是中心对称图形，但不是轴对称图形，则本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行判断即可．
3．（2025·西湖模拟）2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．据悉，神舟十九号载人飞船在绕地球轨道飞行时的动能大约为228000000000焦耳．数据228000000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：228000000000=.
故选：B．
【分析】将数据228000000000用的形式表示出来，其中，为整数．
4．（2025·西湖模拟）下列各式中，运算结果为的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、不是同类项，不可以合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意.
故选：D．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘单项式法则逐项排除即可，
5．（2025·西湖模拟）据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下：
鞋号 20 21 22 23 24
频数 1 8 6 14 1
则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（　　）
A．6，14 B．22.5，14 C．22.5，23 D．22，23
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列后，处在最中间的两个数为22，23
∴中位数为
23码出现的次数最多，则众数为23
故答案为：C
【分析】根据中位数与众数的定义即可求出答案.
6．（2025·西湖模拟）如图，在中，点D在边上，，分别交于点E，F，G，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，，
A.，故A选项错误；
B.，故B选项正确；
C.，故C选项错误；
D.，故D选项错误.
故选：B．
【分析】由可得出得出，，再利用相似三角形的性质可进而判断即可．
7．（2025·西湖模拟）如图，为的直径，点C在上，若，则长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，为的直径，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴长为.
故选：C．
【分析】先说明为等边三角形，则可得，再求出度数，最后由弧长公式求解．
8．（2025·西湖模拟）反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数的对称轴在轴右侧，二次函数的开口方向向下.
故选：．
【分析】首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和对称轴，进而得出答案.
9．（2025·西湖模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（　　）
A． B．8 C．-8 D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵
∴
∴
即m2-4×15=4
解得：m=
故答案为：A
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式建立方程，解方程即可求出答案.
10．（2025·西湖模拟）已知中，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：延长至，使得，连接，由等腰三角形的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】延长至，使得，连接，则，根据等边对等角可得，进而可得，则，得到，即可由三角形外角性质得.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025·西湖模拟）因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】此题是二项式，而且两项的符号相反，每一项都可以写成一个整式的完全平方，故直接利用平方差公式分解为两个数的和与这两个数的差的积
12．（2025·西湖模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≤2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
13．（2025·西湖模拟）一个不透明的袋子中有4个白球，2个红球和a个黑球，它们除颜色外其余都相同，从中随机摸一个球，摸到黑球的概率为，则a的值为　 　.
【答案】4
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=4
故答案为：4
【分析】根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.
14．（2025·西湖模拟）如图，为的两条切线，点A，B为切点，点C在劣弧上．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：在优弧上取点，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的两条切线，点A，B为切点，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】在优弧上取点，连接，根据圆内接四边形的对角互补，求出的度数，圆周角定理求出的度数，再根据切线的性质，推出，进行求解即可．
15．（2025·西湖模拟）如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为，若同款的7个碗叠放在一起总高度为，则一个碗的高度为　 　．
【答案】7
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设一个碗的高度为，每增加一个水杯，增加的高度为，
∴，
∴，
答：一个碗的高度为.
故答案为：7．
【分析】设一个碗的高度为，每增加一个水杯，增加的高度为，根据“4个碗叠放在一起总高度为，若同款的7个碗叠放在一起总高度为”列出二元一次方程组，计算即可求解．
16．（2025·西湖模拟）如图，在中，，，点O为中点，连接，正方形在内部，边交于点G，连接，．若点G为中点，，，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，作于，于，交于，
四边形是正方形，，
，，，
，，为中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，点G为中点，
，
，
，
，
，
即，
，
，
同理可求，，
，
中，，
，
中，.
故答案为：．
【分析】连接，作于，于，交于，分别证明、，则四边形是平行四边形，得，再根据SAS证明，则，根据勾股定理求得，根据及，可求，，同理可求，，在中，，在中，用勾股定理即可求的长．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·西湖模拟）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
；

（2）解：原式
．
【知识点】分式的加减法；有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】（1）先去绝对值并计算乘方，再算乘法，最后算减法即可；
（2）先根据同分母的减法运算法则计算，再变形约分即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025·西湖模拟）某中学举行“垃圾分类投放和分类处理”知识竞赛，随机抽取部分学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图．（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）
抽取的学生的成绩频数表
组别/分 频数 频率
60～70 5
70～80 10
80～90
90～100 18
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，_______．
（2）补全频数分布直方图．
（3）若成绩在80分以上为优秀，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有多少名？
【答案】（1），；
（2）解： 频数分布直方图 如下图：
（3）解：（名），
答：估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有560名．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：一共抽取的学生人数为：（名），
∴，
∴.
故答案为：0.1；17；0.34.
【分析】（1）用70～80这一组的频数除以频率求出参与调查的学生数，进而求出a、b、c的值即可；
（2）根据（1）所求补全统计图即可；
（3）用800乘以样本中成绩在80分以上的人数占比即可得到答案．
（1）解：名，
∴一共抽取了50名学生，
∴，
∴；
（2）解：补全统计图如下所示：
（3）解：名，
答：估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有560名．
19．（2025·西湖模拟）如图，在中，，，．
（1）求线段的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：过点作于点，
∴∠AED=90°，
∵，
∴∠DAE=45°，
∴AE=DE，
∵，
∴，
∵，
∴，，
在中，
则.
（2）解：在中，
∵，，
∴．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【分析】（1）过点作于点，先求出，再根据勾股定理求解即可；
（2）在中，利用正切函数的定义求解即可．
（1）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得；
（2）解：在中，，，
∴．
20．（2025·西湖模拟）在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2．
（1）求k的值和点B的坐标．
（2）若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D．
①求m的值．
②求的面积，
【答案】（1）解：∵ 点A在上，
∴当时，，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴，
∴或，
∴.
（2）解：①函数的图象向下平移个单位，
∴平移后的函数解析式为，
∵在函数的图象上，
∴，
∴.
②由①可得平移后的函数解析式为，
∵点D在且在y轴上，
∴当时，，
∴，
如图所示：
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将代入中先求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再联立两函数解析式求出点B坐标即可；
（2）①先表示出平移后的直线解析式，再将点C的坐标代入中，求m的值；
②求出点D坐标，再根据列式求解即可．
（1）解：在中，当时，，
∴，
把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴；
（2）解：①函数的图象向下平移个单位后的函数解析式为，
∵函数的图象经过，
∴，
∴；
②由①可得平移后的函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴．
21．（2025·西湖模拟）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则．
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）连接，交点为，若，，求点P到直线的距离．
【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接，
由作图可得，
∴四边形是菱形，
∴.
（2）解：连接BE、PD、CE、且PD与CE相交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
设点P到直线的距离为，
则，
∴，
∴点P到直线的距离为．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据作图可得，则可证明四边形是菱形，则；
（2）根据菱形得到对角线互相垂直，对角线互相平分，由勾股定理求出，即可得到，设点P到直线的距离为，然后由面积法得到，即可求解．
（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接，
由题意可得：，
∴四边形是菱形，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P到直线的距离为，
则，
∴，
∴点P到直线的距离为．
22．（2025·西湖模拟）小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面．如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上．小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场．同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟．两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图2所示．（公交车的停车时间忽略不计）
（1）求公交车的平均速度．
（2）求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧．
（3）在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求的值．
【答案】（1）解：（米），
（分钟），
∴公交车的平均速度米/分钟．
（2）解：根据题意可得，
小敏坐公交车时，设，
∵，在 上，
∴，
∴，
∴（）．
∴，
∴，
∴同时出发后，经过25分钟小敏追上小慧．
（3）解：当小敏在小慧前面400米，
，
∴；
当小敏在小慧后面400米，
，
∴，
∴t的值为23或27．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先根据图形得出坐公交车行驶的路程和坐公交车的时间，再用除法计算即可；
（2）先求出小慧出发时距离地的距离，小慧的速度已知为200米/分钟，可得到小慧距离地的路程与时间的函数关系式；再求出小敏坐公交车时距离地的路程与时间的函数关系式，然后联立两个函数关系式求解交点的横坐标，即为小敏追上小慧的时间．
（3）分小敏在小慧后面400米和小敏在小慧前面400米两种情况进行讨论即可.
（1）解：从图象可知，小敏坐公交车行驶的路程为米，坐公交车的时间是分钟．
∴公交车的平均速度米/分钟．
（2）小慧出发时距离地1800米，则有．
小敏坐公交车时，设，把，代入可得：
解得
所以小敏坐公交车时（）．
联立得，
解得：，
所以同时出发后，经过25分钟小敏追上小慧．
（3）情况一：小敏在小慧后面400米，
解得．
情况二：小敏在小慧前面400米
此时
解得，
综上，t的值 为23或27．
23．（2025·西湖模拟）在直角坐标系中，设函数（m是常数）．
（1）当时，求该函数图象与x轴的交点坐标．
（2）若点，，都在该函数图象上，点A不与点B，C重合．
①比较，的大小．
②若，，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：∵当，当时，，
∴，
∴与x轴的交点坐标为.
（2）解：①∵ 函数 与x轴的交点为（m，0）、（m+2），
∴对称轴为，
∵抛物线开口向上，
∴点B为顶点坐标，函数值最小，
∴；
②当时，或，当时，或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（2）②∵，
∴，
∵点C在该函数上，
∴，
∴或，
当时，，
∵，
∴，
∴或，
当时，，
∵，
∴，
∴或，
∴当时，或，当时，或．
【分析】（1）将， 代入函数解析式，即可得出答案；
（2）①先求出对称轴，根据题意确定点B为顶点坐标，函数值最小，即可求解；
②将点C代入函数解析式得出或，然后分情况分析即可求解．
（1）解：当时，，
当时，，
解得：，
∴与x轴的交点坐标为；
（2）①，
∴对称轴为：，
∵抛物线开口向上，
∴点B为顶点坐标，函数值最小，
∴；
②当时，，
将点C代入函数解析式为：，
解得：或，
当时，，
∴，解得：或；
当时，，
∴，解得：或；
∴当时，或；当时，或．
24．（2025·西湖模拟）综合与实践
我们已经学过，在中，若，则三角形三边满足勾股定理：．
【知识应用】
（）如图，在中，于点D，若，则，请说明理由．
【拓展探究】
（）如图，在中，于点，点是的中点，连接．
求证：．
【拓展应用】
（）如图，在中，点在边上（不与点重合），点在边上（不与点重合），连接，，点为的外心，连接，求证：．
【答案】（）证明：∵，
∴，
∴，，
∴
.
（）证明：过点作于点，
∵点是的中点，
∴，
∵ ，
∴，
∴，，
∴，
∴
=
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）证明：连接，延长交于点，
∵点为的外心，
∴，
∴，，，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；补角
【解析】【分析】（）由可得，再利用勾股定理可得，，两式相减即可求证；
（）过点作于点，由勾股定理得，，又由点是的中点得，进而相减可得，再根据平行线等分线段定理可得，进而即可求证；
（）连接，延长交于点，由三角形外心可得，再根据三角形的内角和可得，则，利用补角性质可得，即得，即得到，再利用勾股定理解答即可求证．
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