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浙江省丽水市龙泉市2025年5月中考二模数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·龙泉模拟）下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（　　）
北京 上海 天津 重庆
A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆
2．（2025·龙泉模拟）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·龙泉模拟）2025年春节假期第四天，杭州西湖景区接待客流量约为580000人次，580000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·龙泉模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2＋a＝a3 B．（-ab）2＝-ab2
C．a5÷a2＝a3 D．a5 a2＝a10
5．（2025·龙泉模拟）某市测得一周PM2.5的日均值（单位：微克每立方米)为：50，40，75，50，37，50，40。这组数据的众数是（　　）
A．75 B．50 C．40 D．37
6．（2025·龙泉模拟）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为3．则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·龙泉模拟）如图表示关于的不等式的解，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．3
8．（2025·龙泉模拟）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
9．（2025·龙泉模拟）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．或
10．（2025·龙泉模拟）在正方形中，是对角线上一动点，作于点，于点．若四边形的面积为6，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·龙泉模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·龙泉模拟）一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中有3个红球，2个白球，从布袋里随机摸出一个球，则摸出白球的概率为　 　。
13．（2025·龙泉模拟）如图，是的直径，与相切，为切点，连结．若，，则直径的长为　 　．
14．（2025·龙泉模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m=　 　。
15．（2025·龙泉模拟）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，，，则的长为　 　．
16．（2025·龙泉模拟）如图，在中，，，点是边上的中点，将沿翻折得，连结，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点．则与四边形的面积比为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．（2025·龙泉模拟）计算：
18．（2025·龙泉模拟）先化简，再求值：，其中 。
19．（2025·龙泉模拟）如图，是等边三角形的边上一点，，，，垂足为．
（1）求的长．
（2）求的值．
20．（2025·龙泉模拟）随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识．某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
“你最喜爱的学习辅助软件”调查问卷 问题：在以下五个软件中，你最喜爱的是_____． （A）作业帮（B）橙果错题集 （C）小猿搜题（D）豆包（E）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图．
（2）已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱软件的学生人数．
21．（2025·龙泉模拟）如图1，在四边形中，，．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在上作点，使得四边形是矩形．
小丽：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连结．
小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连结．
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑．
（1）请给出小丽作法中四边形是矩形的证明．
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由．
22．（2025·龙泉模拟）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示．
（1）分别求出小丽和小明骑行的速度．
（2）求线段所在直线的函数表达式．
（3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
23．（2025·龙泉模拟）已知的二次函数．
（1）当函数图象经过点时．
①求该二次函数的表达式．
②若将平面内一点向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值．
（2）设点，是该函数图象上的两点，且．求证：．
24．（2025·龙泉模拟）如图，内接于，直径交于点，已知．
（1）求证：．
（2）设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）．
（3）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴四个城市中北京的气温最低.
故选：A．
【分析】比较四个数的大小，进而得出答案.
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故答案为：D．
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示较大的数时，可表示成a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式.
A、a=0.58＜1，不符合科学记数法的表达要求，A错误；
D、a=58＞10，不符合科学记数法的表达要求，D错误；
B、与原来的数不相符，B错误.
故答案为：C.
【分析】使用科学记数法表示较大的数，应按照要求表示为a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式。用科学记数法表示后，也应与原数进行对照，看看是否与原数相等。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与a不是同类项，不能合并，故该项错误；
B、（-ab）2＝a2b2，故该项错误；
C、，该项正确；
D、，该项错误.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此即可判断A；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断D；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可判断C；根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即可判断B.
5．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。由已知条件中的数据可得，“50”出现了3次，“40”出现了2次，因此，这组数据的众数为50，B正确.
故答案为：B.
【分析】本题考查“众数”这一统计量的概念，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，根据众数的概念即可求解。
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：由已知可得，A点关于原点对称的点的坐标为（-2，1），
则-2×3=-6，1×3=3，
∴点的坐标为.
故选：A．
【分析】先求出A点关于原点对称的点的坐标，再根据位似比即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ ，
移项得，，
由数轴解集可得，
∴.
故选：A．
【分析】先解出不等式的解集，再根据数轴得出不等式的解集，进而得出答案.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
【分析】由菱形的性质及已知条件可得，，则，再证明，则，据此可得答案．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=-2、x=m分别代入反比例函数是常数，解析式中，
，，
，
，
∴，
∴当，可得恒成立，
当，可得，解得，
或.
故答案为：D.
【分析】将x=-2、x=m分别代入反比例函数是常数，解析式中，可得，，再根据判断，进而得出答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
在中，
∵
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
①，
矩形的面积，
②，
将②代入①可得，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
.
故选：C．
【分析】连接，，先说明四边形是矩形，由矩形的性质得出，再根据SAS说明，得出，进而得出，利用，求出，继而得出．熟练掌握上述知识是解决问题的关键．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a+5），
故答案为：a（a+5）.
【分析】先找出公因式a，然后再提公因式即可。
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵布袋里的5个球只有颜色不同
∴随机摸取一个球，每一个球被摸到的可能性相同
∴.
故答案为：.
【分析】本题考查简单事件的概率，事件发生的各种结果可能性相同且互相排斥，即布袋中每个球只有颜色不同，且随机摸出一个球，结果总数为n，布袋中有5个球，事件A包含其中结果数为m（m≤n），即布袋中有2个白球，因此可得。
13．【答案】4
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵与相切，为切点，是的直径，
∴，
∴AC2=AB2+BC2，
又∵，，
∴.
故答案为：4．
【分析】根据切线的性质得出，再根据勾股定理求解即可．
14．【答案】1
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根
∴
∵a=1，b=2，c=m
∴，解得m=1.
故答案为：1.
【分析】一元二次方程的根由代数式的值来决定，因为一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，所以，由一元二次方程的一般形式可以分别确定a、b、c，代入，可得，从而求出m的值。
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴∠EAC=90°-∠C=45°，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为： ．
【分析】先说明AE=CE，再证明，得到，由勾股定理求出的长，进而得到答案．
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；多边形的面积
【解析】【解答】解：延长，与的延长线交于点，
将沿翻折得，点B，F，E恰好在同一直线上，
，，，
在中，，，
，，，，
，，，，
，
，
，
在和中，
∵，
，
，，
点是边上的中点，
，
在和中，
∵，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设边的上的高为，
则的边上的高为，的底边上的高为，
则与四边形的面积比为=1：8.
故答案为：．
【分析】延长，与的延长线交于点，根据AAS证明，可推出，，再根据ASA证明，可得，，进而可得，，由，证明，得， 根据图形的面积即可得出答案．
17．【答案】解：
=3.
【知识点】负整数指数幂；有理数的加、减混合运算；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减即可．
18．【答案】解：原式=
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】在对分式进行化简时，应关注分母的形式，可以先对分母进行因式分解得，再进行通分，，根据分式有意义的条件，可得a≠±3，将分子分母进行约分后完成化简，再将a的值代入即可。
19．【答案】（1）解：是等边三角形，
，
∵，
，
，
，
∴.
（2）解：∵，，
∴AB=AD+BD=3，
是等边三角形，
，
，
．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）先求出，在利用含有角的直角三角形的边长关系求出AE的长度，最后根据勾股定理即可解答；
（2）利用三角函数的概念，即可解答．
（1）解：是等边三角形，
，
，，
，
，；
（2）解：是等边三角形，
，
，
．
20．【答案】（1）解：这次一共调查的学生人数为（人），
本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数为（人），
补全统计图如下：
（2）解：人，
答：估算该校最喜爱软件的学生人数为225人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）用A的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数，再用参与调查的学生人数乘以D的人数占比即可求出最喜爱豆包软件的学生人数，再补全统计图即可；
（2）用1500乘以样本中最喜爱软件的学生人数占比，即可得到答案．
（1）解：人，
∴这次一共调查的学生人数为200人，
∴本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数为人，
补全统计图如下：
（2）解：人，
∴估算该校最喜爱软件的学生人数为225人．
21．【答案】（1）证明：，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：小明的作法正确，理由如下：连结
在Rt△ABE和Rt△BAD中，
∵，
（HL），
，
，
四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）先说明，则，再根据AD=BC可得四边形是矩形；
（2）先判断为小明的作法正确，先证明，从而可得，再证明，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形，再根据它有一个角是直角，可得它是矩形．
（1）解：，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
（2）小明的作法正确
证明：连结
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
22．【答案】（1）解：小丽的速度为，
=0.5（h），
则小明的速度为.
（2）解：设线段的函数表达式为，
（h），（h），
则点B的坐标为，
∵和在的图象上，
∴，
∴，，
.
（3）解：设小丽的函数解析式为，
∵点在上，
∴，
，
，
∴，
∴=10×2=20，
离山庄的路程为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可；
（2）设线段的函数表达式为，先求出B点坐标，再将点B及点C的坐标代入求解即可；
（3）设小丽的函数解析式为，将点D的坐标代入可以求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解．
（1）解：小丽的速度：
小明的速度：，，
（2）解：（h），（h），
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
，
离山庄的路程为．
23．【答案】（1）解：①∵ 函数图象经过点 ，
∴，
∴，
二次函数的表达式为．
②∵点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为，
∴对称轴为，
对称轴是直线
，
∴.
（2）解：，
，
，是二次函数图象上两点，
，
，
∵，
∴，
．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）①将（2，5）代入表达式中求解，即可得出答案；
②先根据平移规则得到点平移后的坐标和 ，利用二次函数对称轴公式，根据对称轴性质列出关于的方程求解；
（2）利用得出 ，将，代入二次函数表达式求出关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，根据二次函数性质证明 ．
（1）解：①将代入，得，解得．
二次函数的表达式为．
②方法一：
由题知，点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为，
对称轴是直线
解得
②方法二：
点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为，
将这两个点代入
得
解得
（2），
，
，是二次函数图象上两点，
，
，
．
24．【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
.
（2）解：，，
，
由（1）可知，
，
，
（3）解：如图，连接，
，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
令的半径为，
则，
，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由是的直径可得，再由同角的余角相等可得，进而得证；
（2）根据三角形的内角和可求，再根据同弧所对圆周角相等即可得出；
（3）根据（2）的结论可知求出，即，进而可得是等腰直角三角形，设的半径为，可求，，即可求解．
（1）证明：如图，
是的直径，
，
，
，
，
；
（2），，，
，
，
，
（3）如图，连接，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
令的半径为，
则，
，
，
，
，
，
．
1 / 1浙江省丽水市龙泉市2025年5月中考二模数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·龙泉模拟）下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（　　）
北京 上海 天津 重庆
A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴四个城市中北京的气温最低.
故选：A．
【分析】比较四个数的大小，进而得出答案.
2．（2025·龙泉模拟）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故答案为：D．
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
3．（2025·龙泉模拟）2025年春节假期第四天，杭州西湖景区接待客流量约为580000人次，580000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示较大的数时，可表示成a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式.
A、a=0.58＜1，不符合科学记数法的表达要求，A错误；
D、a=58＞10，不符合科学记数法的表达要求，D错误；
B、与原来的数不相符，B错误.
故答案为：C.
【分析】使用科学记数法表示较大的数，应按照要求表示为a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式。用科学记数法表示后，也应与原数进行对照，看看是否与原数相等。
4．（2025·龙泉模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2＋a＝a3 B．（-ab）2＝-ab2
C．a5÷a2＝a3 D．a5 a2＝a10
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与a不是同类项，不能合并，故该项错误；
B、（-ab）2＝a2b2，故该项错误；
C、，该项正确；
D、，该项错误.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此即可判断A；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断D；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可判断C；根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即可判断B.
5．（2025·龙泉模拟）某市测得一周PM2.5的日均值（单位：微克每立方米)为：50，40，75，50，37，50，40。这组数据的众数是（　　）
A．75 B．50 C．40 D．37
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。由已知条件中的数据可得，“50”出现了3次，“40”出现了2次，因此，这组数据的众数为50，B正确.
故答案为：B.
【分析】本题考查“众数”这一统计量的概念，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，根据众数的概念即可求解。
6．（2025·龙泉模拟）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为3．则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：由已知可得，A点关于原点对称的点的坐标为（-2，1），
则-2×3=-6，1×3=3，
∴点的坐标为.
故选：A．
【分析】先求出A点关于原点对称的点的坐标，再根据位似比即可得出答案.
7．（2025·龙泉模拟）如图表示关于的不等式的解，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ ，
移项得，，
由数轴解集可得，
∴.
故选：A．
【分析】先解出不等式的解集，再根据数轴得出不等式的解集，进而得出答案.
8．（2025·龙泉模拟）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
【分析】由菱形的性质及已知条件可得，，则，再证明，则，据此可得答案．
9．（2025·龙泉模拟）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=-2、x=m分别代入反比例函数是常数，解析式中，
，，
，
，
∴，
∴当，可得恒成立，
当，可得，解得，
或.
故答案为：D.
【分析】将x=-2、x=m分别代入反比例函数是常数，解析式中，可得，，再根据判断，进而得出答案.
10．（2025·龙泉模拟）在正方形中，是对角线上一动点，作于点，于点．若四边形的面积为6，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
在中，
∵
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
①，
矩形的面积，
②，
将②代入①可得，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
.
故选：C．
【分析】连接，，先说明四边形是矩形，由矩形的性质得出，再根据SAS说明，得出，进而得出，利用，求出，继而得出．熟练掌握上述知识是解决问题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·龙泉模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a+5），
故答案为：a（a+5）.
【分析】先找出公因式a，然后再提公因式即可。
12．（2025·龙泉模拟）一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中有3个红球，2个白球，从布袋里随机摸出一个球，则摸出白球的概率为　 　。
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵布袋里的5个球只有颜色不同
∴随机摸取一个球，每一个球被摸到的可能性相同
∴.
故答案为：.
【分析】本题考查简单事件的概率，事件发生的各种结果可能性相同且互相排斥，即布袋中每个球只有颜色不同，且随机摸出一个球，结果总数为n，布袋中有5个球，事件A包含其中结果数为m（m≤n），即布袋中有2个白球，因此可得。
13．（2025·龙泉模拟）如图，是的直径，与相切，为切点，连结．若，，则直径的长为　 　．
【答案】4
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵与相切，为切点，是的直径，
∴，
∴AC2=AB2+BC2，
又∵，，
∴.
故答案为：4．
【分析】根据切线的性质得出，再根据勾股定理求解即可．
14．（2025·龙泉模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m=　 　。
【答案】1
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根
∴
∵a=1，b=2，c=m
∴，解得m=1.
故答案为：1.
【分析】一元二次方程的根由代数式的值来决定，因为一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，所以，由一元二次方程的一般形式可以分别确定a、b、c，代入，可得，从而求出m的值。
15．（2025·龙泉模拟）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴∠EAC=90°-∠C=45°，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为： ．
【分析】先说明AE=CE，再证明，得到，由勾股定理求出的长，进而得到答案．
16．（2025·龙泉模拟）如图，在中，，，点是边上的中点，将沿翻折得，连结，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点．则与四边形的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；多边形的面积
【解析】【解答】解：延长，与的延长线交于点，
将沿翻折得，点B，F，E恰好在同一直线上，
，，，
在中，，，
，，，，
，，，，
，
，
，
在和中，
∵，
，
，，
点是边上的中点，
，
在和中，
∵，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设边的上的高为，
则的边上的高为，的底边上的高为，
则与四边形的面积比为=1：8.
故答案为：．
【分析】延长，与的延长线交于点，根据AAS证明，可推出，，再根据ASA证明，可得，，进而可得，，由，证明，得， 根据图形的面积即可得出答案．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．（2025·龙泉模拟）计算：
【答案】解：
=3.
【知识点】负整数指数幂；有理数的加、减混合运算；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减即可．
18．（2025·龙泉模拟）先化简，再求值：，其中 。
【答案】解：原式=
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】在对分式进行化简时，应关注分母的形式，可以先对分母进行因式分解得，再进行通分，，根据分式有意义的条件，可得a≠±3，将分子分母进行约分后完成化简，再将a的值代入即可。
19．（2025·龙泉模拟）如图，是等边三角形的边上一点，，，，垂足为．
（1）求的长．
（2）求的值．
【答案】（1）解：是等边三角形，
，
∵，
，
，
，
∴.
（2）解：∵，，
∴AB=AD+BD=3，
是等边三角形，
，
，
．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）先求出，在利用含有角的直角三角形的边长关系求出AE的长度，最后根据勾股定理即可解答；
（2）利用三角函数的概念，即可解答．
（1）解：是等边三角形，
，
，，
，
，；
（2）解：是等边三角形，
，
，
．
20．（2025·龙泉模拟）随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识．某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
“你最喜爱的学习辅助软件”调查问卷 问题：在以下五个软件中，你最喜爱的是_____． （A）作业帮（B）橙果错题集 （C）小猿搜题（D）豆包（E）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图．
（2）已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱软件的学生人数．
【答案】（1）解：这次一共调查的学生人数为（人），
本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数为（人），
补全统计图如下：
（2）解：人，
答：估算该校最喜爱软件的学生人数为225人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）用A的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数，再用参与调查的学生人数乘以D的人数占比即可求出最喜爱豆包软件的学生人数，再补全统计图即可；
（2）用1500乘以样本中最喜爱软件的学生人数占比，即可得到答案．
（1）解：人，
∴这次一共调查的学生人数为200人，
∴本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数为人，
补全统计图如下：
（2）解：人，
∴估算该校最喜爱软件的学生人数为225人．
21．（2025·龙泉模拟）如图1，在四边形中，，．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在上作点，使得四边形是矩形．
小丽：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连结．
小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连结．
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑．
（1）请给出小丽作法中四边形是矩形的证明．
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：小明的作法正确，理由如下：连结
在Rt△ABE和Rt△BAD中，
∵，
（HL），
，
，
四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）先说明，则，再根据AD=BC可得四边形是矩形；
（2）先判断为小明的作法正确，先证明，从而可得，再证明，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形，再根据它有一个角是直角，可得它是矩形．
（1）解：，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
（2）小明的作法正确
证明：连结
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
22．（2025·龙泉模拟）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示．
（1）分别求出小丽和小明骑行的速度．
（2）求线段所在直线的函数表达式．
（3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
【答案】（1）解：小丽的速度为，
=0.5（h），
则小明的速度为.
（2）解：设线段的函数表达式为，
（h），（h），
则点B的坐标为，
∵和在的图象上，
∴，
∴，，
.
（3）解：设小丽的函数解析式为，
∵点在上，
∴，
，
，
∴，
∴=10×2=20，
离山庄的路程为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可；
（2）设线段的函数表达式为，先求出B点坐标，再将点B及点C的坐标代入求解即可；
（3）设小丽的函数解析式为，将点D的坐标代入可以求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解．
（1）解：小丽的速度：
小明的速度：，，
（2）解：（h），（h），
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
，
离山庄的路程为．
23．（2025·龙泉模拟）已知的二次函数．
（1）当函数图象经过点时．
①求该二次函数的表达式．
②若将平面内一点向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值．
（2）设点，是该函数图象上的两点，且．求证：．
【答案】（1）解：①∵ 函数图象经过点 ，
∴，
∴，
二次函数的表达式为．
②∵点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为，
∴对称轴为，
对称轴是直线
，
∴.
（2）解：，
，
，是二次函数图象上两点，
，
，
∵，
∴，
．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）①将（2，5）代入表达式中求解，即可得出答案；
②先根据平移规则得到点平移后的坐标和 ，利用二次函数对称轴公式，根据对称轴性质列出关于的方程求解；
（2）利用得出 ，将，代入二次函数表达式求出关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，根据二次函数性质证明 ．
（1）解：①将代入，得，解得．
二次函数的表达式为．
②方法一：
由题知，点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为，
对称轴是直线
解得
②方法二：
点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为，
将这两个点代入
得
解得
（2），
，
，是二次函数图象上两点，
，
，
．
24．（2025·龙泉模拟）如图，内接于，直径交于点，已知．
（1）求证：．
（2）设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）．
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
.
（2）解：，，
，
由（1）可知，
，
，
（3）解：如图，连接，
，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
令的半径为，
则，
，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由是的直径可得，再由同角的余角相等可得，进而得证；
（2）根据三角形的内角和可求，再根据同弧所对圆周角相等即可得出；
（3）根据（2）的结论可知求出，即，进而可得是等腰直角三角形，设的半径为，可求，，即可求解．
（1）证明：如图，
是的直径，
，
，
，
，
；
（2），，，
，
，
，
（3）如图，连接，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
令的半径为，
则，
，
，
，
，
，
．
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