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浙江省温州市瓯海区2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·瓯海模拟）某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·瓯海模拟）如图所示的4个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·瓯海模拟）估计 的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（2025·瓯海模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·瓯海模拟）一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（　　）
A．5人 B．12人 C．14人 D．17人
6．（2025·瓯海模拟）某校要举办一场教师茶话会．若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子．问该校准备的桌子和参加茶话会的教师各有多少？设该校准备了x张桌子，参加茶话会的教师有y人．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·瓯海模拟）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
8．（2025·瓯海模拟）如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
9．（2025·瓯海模拟）如图，在矩形中，E是上一点，交于点F，交对角线于点G，连接．若求阴影部分的面积，则只需要知道（　　）
A．的面积 B．的面积
C．四边形的面积 D．四边形的面积
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
10．（2025·瓯海模拟）端午节吃粽子是我国传统习俗，小瓯为全家人蒸了2个红枣粽棕，3个肉粽，妈妈随机选了一个，则妈妈吃到红枣粽的概率是　 　．
11．（2025·瓯海模拟）不等式组：的解集为　 　．
12．（2025·瓯海模拟）如图，已知，若要使得，则可添加的条件是　 　．（只需填写一个条件）
13．（2025·瓯海模拟）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为　 　。
14．（2025·瓯海模拟）如图，在中，，，点D，E把线段三等分，F是边上的中点，连接．若，则的长为　 　．
15．（2025·瓯海模拟）如图，在菱形中，点E在对角线上，，将边平移至，点A的对应点为点E，连接，若，则的长为　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
16．（2025·瓯海模拟）计算：．
17．（2025·瓯海模拟）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？
（2）请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值．
18．（2025·瓯海模拟）如图，在中，，垂直平分，分别交于点，连接．
（1）求的长．
（2）求的值．
19．（2025·瓯海模拟）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩被制成折线统计图与表格：
甲、乙两名队员射击成绩分析表
平均数/环 中位数/环 众数/环 方差/环
甲 2.36
乙 7.8 8 9 2.96
（1）表格中甲队员射击成绩三项统计量被遮挡住了，请求出甲队员射击成绩的平均数，中位数和众数．
（2）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？请根据表格中统计量，并结合折线统计图分析说明理由．
20．（2025·瓯海模拟）小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点P作已知直线l的平行线．
如图1，①在直线l上取一点A，连接并在延长线上取一点O（与l不垂直）． ②以O为圆心，为半径画弧交直线l于另一点B，连接． ③再以O为圆心，为半径画弧交线段于点Q，作直线即可．
如图2，①在直线l上取两点C，D，作的角平分线． ②以P为圆心，为半径的圆弧交于点Q，作直线即可．
（1）给出小温作法中的证明．
（2）在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹．
21．（2025·瓯海模拟）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
（1）求材料加热到的时间．
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式．
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段．
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本）
22．（2025·瓯海模拟）已知二次函数（a为常数）．
（1）若点在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当时，该二次函数有最小值，求a的值．
23．（2025·瓯海模拟）如图，点O是在内部一点，平分，以O为圆心，为半径的圆经过点B，交于点D，连接并延长交于点E，连接并延长交于点F．
（1）求证：．
（2）当时．
①求的度数．
②若F是的中点，的半径为1，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：∵ 记进货为正，出货为负，
∴当天库存变化的是，
故选：A．
【分析】根据题意可得进货2吨为吨，出货3吨为吨，再将二者相加即可．
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图为
故选：B．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
，
∴ 的值在2和3之间，
故答案为：B.
【分析】被开方数大，算术平方根就大，据此可得，从而求出结论.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意.
故选：C．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式与单项式的除法法则逐项计算，再判断即可．
5．【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：从图中可知，成绩不少于160个的频数是（人），
∴抽取的女生中跳绳能达到优秀的有17人.
故选：D．
【分析】根据频数直方图获取成绩不少于160个的数据，再通过计算这些数据对应的频数之和来求解．
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子 ，∴，
整理得.
故选：A．
【分析】根据“每桌坐8人，则有10人不能就坐”和“每桌坐10人，则空出一张桌子”找出等量关系式，再列出方程组即可.
7．【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵矩形和矩形全等，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴正方形的面积=，
∴正方形边长为.
故选：A．
【分析】根据矩形和矩形全等，四边形是正方形，可知，，，再根据， 可求出的长，进而可求出正方形的面积，再求算术平方根即可.
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 一次函数图象经过A，P，
∴，且，
∴，
A、当时，则，
当时，则，
当时，则，故本选项错误；
B、当时，则，
当时，则，
当时，则，故本选项错误；
C、当时，则，且，
∴，故本选项正确；
D、当时，则，且，
∴，故本选项错误.
故选：C．
【分析】由点P、A在一次函数的图象上，则，且，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ．
9．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴∠ABE=∠BAF=∠FDC=∠DCE=90°，
∵，
∴∠FEB=∠FEC=90°，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
∴若求阴影部分的面积，只需要知道四边形的面积.
故选：D．
【分析】根据有3个直角的四边形为矩形说明四边形是矩形、四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形为正方形，则，，再根据平行线的性质，推出，得到，进而得到，即阴影部分的面积为，即可得出结论．
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：妈妈吃到红枣粽的概率为2÷3=．
故答案为：．
【分析】根据概率公式，即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①得，x>-1，
解②得，x≤6，
∴不等式组的解集为-1故答案为：-1【分析】先分别求出各不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”，即可得出不等式组的解集.
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：可添加的条件是，
在△ABD和△ACD中，
∵，
∴.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】利用证明即可．
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据弧长公式： ，
故答案为： ．
【分析】利用弧长公式：，代入计算可求解。
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，
∵点D，E把线段三等分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵F是边上的中点
∴．
故答案为：．
【分析】连接，根据线段的三等分点及AC=6可得，然后根据等腰三角形三线合一的性质得到，求出，勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边中线性质求解即可．
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，且交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由平移的性质可得，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴或（舍去）.
故答案为：．
【分析】连接且交于点O，则由菱形的性质可得，再由平移的性质可证明四边形是平行四边形，再根据可得四边形是矩形，则，再证明，利用相似三角形的性质建立比例式求解即可．
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；算术平方根的实际应用；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先计算乘方，零指数幂，立方根，再进行加减法计算即可．
17．【答案】（1）解：小明的解法：①错误，原因是直接去掉了分母；
小红的解法：②错误，原因是合并时分子减分子，符号错误．
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；异分母分式的加、减法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据异分母分式减法运算法则判断即可；
（2）根据异分母分式减法法则进行计算，再代入即可得出答案.
（1）解：小明的解法：①错误，原因是直接去掉了分母；
小红的解法：②错误，原因是合并时分子减分子，符号错误．
（2）解：原式
；
当时，原式．
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
，
，
在中，．
（2）解：垂直平分，
，
设，
∵BE=BC-CE，BC=8，
∴，
在中，
∵，
，
∴，
．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长；线段垂直平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据锐角三角形函数的计算，再根据勾股定理得到；
（2）根据垂直平分线的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程式得到，再结合正切值的计算即可求解．
（1）解：，
，
在中，．
（2）解：垂直平分，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
．
19．【答案】（1）解：甲平均成绩：（环），
甲中位数：环，
∵甲队员射击成绩出现次数最多的是8环，
∴甲队员射击成绩众数是8环.
（2）解：挑选甲，理由如下：
根据折线统计图的趋势看，甲状态持续上升，
又由于甲射击成绩方差小于乙射击成绩方差，说明甲比乙更稳定，
综上所述，选甲比较稳定.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的求解方法进行解答即可；
（2）根据方差及折线统计图进行分析即可．
（1）解：甲队员射击成绩：，
乙队员射击成绩：，
甲平均成绩：（环）
甲中位数：环；甲队员射击成绩出现次数最多的是8环，即甲队员射击成绩众数是8环：
（2）挑选甲，理由如下：
根据折线统计图的趋势看，甲状态持续上升；
甲射击成绩方差小于乙射击成绩方差，说明甲比乙更稳定；
20．【答案】（1）证明：∵，
，
，
∵，
∴，
，
．
（2）解：PQ即为所求.
【知识点】三角形内角和定理；作图-平行线；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可证明及，则，再由平行线的判定定理可证明结论；
（2）根据题意结合角平分线的尺规作图方法作图即可．
（1）证明：由作图可知：，
；
，
，
．
（2）解：作图如下：
21．【答案】（1）解：设材料加热到的的图象的解析式为，
∵点，在图象上，
∴，
∴，
∴关于的函数解析式为，
∴当时，，
∴，
∴第一次加热到时间为分钟.
（2）解：设加热后关于的表达式为，
∵在此图象上，
∴，
∴，
∴关于的表达式为.
（3）解：∵加热时长为分钟，
∴恒温阶段（分钟），
∴费用为（元），
间歇加热工作：对于，
当，
即，
∴，
除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，
∴一天小时中，加热时间为（分钟），
∴费用为（元），
∵，
∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（）设材料加热到的的图象的解析式为，将点，代入表达式中，即可得出答案；
（）设加热后关于的表达式为，将代入即可；
（）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解．
（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数，
∴可设解析式为，
将点，代入，得
，解得，
∴关于的函数解析式为，
当时，，解得，
∴第一次加热到时间为分钟；
（2）解：由题意可设加热后关于的表达式为，
将代入，得，
∴关于的表达式为；
（3）解：由题意可知，加热时长为分钟．
恒温阶段（分钟），
费用为：（元），
间歇加热工作：对于，令，得，
除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟），
费用为：（元），
∵，
∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
22．【答案】（1）解：将代入，得
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为.
（2）解：当y=0时，即，
∵，
二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：若时，
当时，函数有最小值为，
∴与矛盾，
∴不符合题意，舍去；
若时，
当时，函数有最小值为，
∴，符合题意；
（Ⅲ）若时，
当时，函数有最小值为，
∴（舍去），
∴综上所述满足条件的a的值为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将代入求解，确定函数表达式；
（2）当y=0时，即，根据判别式与0的大小关系证明函数图象与轴的交点情况；
（3）先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分对称轴在给定区间左侧、内部、右侧三种情况，根据函数单调性求出最小值，进而求得的值．
（1）解：方法一：
由题意可知关于对称轴直线对称，
，
∴该二次函数的解析式为．
方法二：
将代入，得
，
解得，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：由判别式，
二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：如图1，
（Ⅰ）若时，当时，函数有最小值为，
得（舍去）；
如图2，
（Ⅱ）若时，当时，函数有最小值为，
解得；
如图3，
（Ⅲ）若时，当时，函数有最小值为，
解得（舍去），
∴综上所述满足条件的a的值为．
23．【答案】（1）解：，
，
平分，
．
，
，
．
（2）①设，，
，
．，
，
，
∵，
，
∴，
∴，
，
∴．
②连接，延长交于点R，交于点N，
设，
是的直径，
，
∴，
，
，，
，
∴，
．
是的中点，
，
∴，
∴，
，
，
，
∴在中，，
∴，
∴（舍去），
．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得到，再由角平分线、等边对等角得出，再根据内错角相等即可得证；
（2）①设，，三角形的外角求出，再根据圆周角定理求出，利用三角形的内角和定理求得，即可得出结果；
②连接，延长交于点R，交于点N，设，圆周角定理结合含30度角的直角三角形的性质，得到，平行线的性质结合垂径定理，求出平行线分线段成比例，得到中位线定理，得到，证明，求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可．
（1）解：如图1
平分，
．
，
．
，
，
．
（2）①由（1）可设，
设，
．
，
，
，
∴在中，，即，
，即．
②如图2，
连接，延长交于点R，交于点N，
设，
是的直径，
，即．
，
．，
，
∴，
．
是的中点，
，
∴，
∴，
，
．
，
∴在中，，
即，解得（舍去），
．
1 / 1浙江省温州市瓯海区2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·瓯海模拟）某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：∵ 记进货为正，出货为负，
∴当天库存变化的是，
故选：A．
【分析】根据题意可得进货2吨为吨，出货3吨为吨，再将二者相加即可．
2．（2025·瓯海模拟）如图所示的4个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图为
故选：B．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
3．（2025·瓯海模拟）估计 的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
，
∴ 的值在2和3之间，
故答案为：B.
【分析】被开方数大，算术平方根就大，据此可得，从而求出结论.
4．（2025·瓯海模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意.
故选：C．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式与单项式的除法法则逐项计算，再判断即可．
5．（2025·瓯海模拟）一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（　　）
A．5人 B．12人 C．14人 D．17人
【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：从图中可知，成绩不少于160个的频数是（人），
∴抽取的女生中跳绳能达到优秀的有17人.
故选：D．
【分析】根据频数直方图获取成绩不少于160个的数据，再通过计算这些数据对应的频数之和来求解．
6．（2025·瓯海模拟）某校要举办一场教师茶话会．若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子．问该校准备的桌子和参加茶话会的教师各有多少？设该校准备了x张桌子，参加茶话会的教师有y人．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子 ，∴，
整理得.
故选：A．
【分析】根据“每桌坐8人，则有10人不能就坐”和“每桌坐10人，则空出一张桌子”找出等量关系式，再列出方程组即可.
7．（2025·瓯海模拟）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵矩形和矩形全等，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴正方形的面积=，
∴正方形边长为.
故选：A．
【分析】根据矩形和矩形全等，四边形是正方形，可知，，，再根据， 可求出的长，进而可求出正方形的面积，再求算术平方根即可.
8．（2025·瓯海模拟）如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 一次函数图象经过A，P，
∴，且，
∴，
A、当时，则，
当时，则，
当时，则，故本选项错误；
B、当时，则，
当时，则，
当时，则，故本选项错误；
C、当时，则，且，
∴，故本选项正确；
D、当时，则，且，
∴，故本选项错误.
故选：C．
【分析】由点P、A在一次函数的图象上，则，且，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ．
9．（2025·瓯海模拟）如图，在矩形中，E是上一点，交于点F，交对角线于点G，连接．若求阴影部分的面积，则只需要知道（　　）
A．的面积 B．的面积
C．四边形的面积 D．四边形的面积
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴∠ABE=∠BAF=∠FDC=∠DCE=90°，
∵，
∴∠FEB=∠FEC=90°，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
∴若求阴影部分的面积，只需要知道四边形的面积.
故选：D．
【分析】根据有3个直角的四边形为矩形说明四边形是矩形、四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形为正方形，则，，再根据平行线的性质，推出，得到，进而得到，即阴影部分的面积为，即可得出结论．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
10．（2025·瓯海模拟）端午节吃粽子是我国传统习俗，小瓯为全家人蒸了2个红枣粽棕，3个肉粽，妈妈随机选了一个，则妈妈吃到红枣粽的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：妈妈吃到红枣粽的概率为2÷3=．
故答案为：．
【分析】根据概率公式，即可得出答案．
11．（2025·瓯海模拟）不等式组：的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①得，x>-1，
解②得，x≤6，
∴不等式组的解集为-1故答案为：-1【分析】先分别求出各不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”，即可得出不等式组的解集.
12．（2025·瓯海模拟）如图，已知，若要使得，则可添加的条件是　 　．（只需填写一个条件）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：可添加的条件是，
在△ABD和△ACD中，
∵，
∴.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】利用证明即可．
13．（2025·瓯海模拟）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为　 　。
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据弧长公式： ，
故答案为： ．
【分析】利用弧长公式：，代入计算可求解。
14．（2025·瓯海模拟）如图，在中，，，点D，E把线段三等分，F是边上的中点，连接．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，
∵点D，E把线段三等分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵F是边上的中点
∴．
故答案为：．
【分析】连接，根据线段的三等分点及AC=6可得，然后根据等腰三角形三线合一的性质得到，求出，勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边中线性质求解即可．
15．（2025·瓯海模拟）如图，在菱形中，点E在对角线上，，将边平移至，点A的对应点为点E，连接，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，且交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由平移的性质可得，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴或（舍去）.
故答案为：．
【分析】连接且交于点O，则由菱形的性质可得，再由平移的性质可证明四边形是平行四边形，再根据可得四边形是矩形，则，再证明，利用相似三角形的性质建立比例式求解即可．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
16．（2025·瓯海模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；算术平方根的实际应用；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先计算乘方，零指数幂，立方根，再进行加减法计算即可．
17．（2025·瓯海模拟）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？
（2）请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值．
【答案】（1）解：小明的解法：①错误，原因是直接去掉了分母；
小红的解法：②错误，原因是合并时分子减分子，符号错误．
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；异分母分式的加、减法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据异分母分式减法运算法则判断即可；
（2）根据异分母分式减法法则进行计算，再代入即可得出答案.
（1）解：小明的解法：①错误，原因是直接去掉了分母；
小红的解法：②错误，原因是合并时分子减分子，符号错误．
（2）解：原式
；
当时，原式．
18．（2025·瓯海模拟）如图，在中，，垂直平分，分别交于点，连接．
（1）求的长．
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
，
，
在中，．
（2）解：垂直平分，
，
设，
∵BE=BC-CE，BC=8，
∴，
在中，
∵，
，
∴，
．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长；线段垂直平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据锐角三角形函数的计算，再根据勾股定理得到；
（2）根据垂直平分线的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程式得到，再结合正切值的计算即可求解．
（1）解：，
，
在中，．
（2）解：垂直平分，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
．
19．（2025·瓯海模拟）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩被制成折线统计图与表格：
甲、乙两名队员射击成绩分析表
平均数/环 中位数/环 众数/环 方差/环
甲 2.36
乙 7.8 8 9 2.96
（1）表格中甲队员射击成绩三项统计量被遮挡住了，请求出甲队员射击成绩的平均数，中位数和众数．
（2）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？请根据表格中统计量，并结合折线统计图分析说明理由．
【答案】（1）解：甲平均成绩：（环），
甲中位数：环，
∵甲队员射击成绩出现次数最多的是8环，
∴甲队员射击成绩众数是8环.
（2）解：挑选甲，理由如下：
根据折线统计图的趋势看，甲状态持续上升，
又由于甲射击成绩方差小于乙射击成绩方差，说明甲比乙更稳定，
综上所述，选甲比较稳定.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的求解方法进行解答即可；
（2）根据方差及折线统计图进行分析即可．
（1）解：甲队员射击成绩：，
乙队员射击成绩：，
甲平均成绩：（环）
甲中位数：环；甲队员射击成绩出现次数最多的是8环，即甲队员射击成绩众数是8环：
（2）挑选甲，理由如下：
根据折线统计图的趋势看，甲状态持续上升；
甲射击成绩方差小于乙射击成绩方差，说明甲比乙更稳定；
20．（2025·瓯海模拟）小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点P作已知直线l的平行线．
如图1，①在直线l上取一点A，连接并在延长线上取一点O（与l不垂直）． ②以O为圆心，为半径画弧交直线l于另一点B，连接． ③再以O为圆心，为半径画弧交线段于点Q，作直线即可．
如图2，①在直线l上取两点C，D，作的角平分线． ②以P为圆心，为半径的圆弧交于点Q，作直线即可．
（1）给出小温作法中的证明．
（2）在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹．
【答案】（1）证明：∵，
，
，
∵，
∴，
，
．
（2）解：PQ即为所求.
【知识点】三角形内角和定理；作图-平行线；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可证明及，则，再由平行线的判定定理可证明结论；
（2）根据题意结合角平分线的尺规作图方法作图即可．
（1）证明：由作图可知：，
；
，
，
．
（2）解：作图如下：
21．（2025·瓯海模拟）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
（1）求材料加热到的时间．
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式．
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段．
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本）
【答案】（1）解：设材料加热到的的图象的解析式为，
∵点，在图象上，
∴，
∴，
∴关于的函数解析式为，
∴当时，，
∴，
∴第一次加热到时间为分钟.
（2）解：设加热后关于的表达式为，
∵在此图象上，
∴，
∴，
∴关于的表达式为.
（3）解：∵加热时长为分钟，
∴恒温阶段（分钟），
∴费用为（元），
间歇加热工作：对于，
当，
即，
∴，
除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，
∴一天小时中，加热时间为（分钟），
∴费用为（元），
∵，
∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（）设材料加热到的的图象的解析式为，将点，代入表达式中，即可得出答案；
（）设加热后关于的表达式为，将代入即可；
（）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解．
（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数，
∴可设解析式为，
将点，代入，得
，解得，
∴关于的函数解析式为，
当时，，解得，
∴第一次加热到时间为分钟；
（2）解：由题意可设加热后关于的表达式为，
将代入，得，
∴关于的表达式为；
（3）解：由题意可知，加热时长为分钟．
恒温阶段（分钟），
费用为：（元），
间歇加热工作：对于，令，得，
除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟），
费用为：（元），
∵，
∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
22．（2025·瓯海模拟）已知二次函数（a为常数）．
（1）若点在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当时，该二次函数有最小值，求a的值．
【答案】（1）解：将代入，得
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为.
（2）解：当y=0时，即，
∵，
二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：若时，
当时，函数有最小值为，
∴与矛盾，
∴不符合题意，舍去；
若时，
当时，函数有最小值为，
∴，符合题意；
（Ⅲ）若时，
当时，函数有最小值为，
∴（舍去），
∴综上所述满足条件的a的值为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将代入求解，确定函数表达式；
（2）当y=0时，即，根据判别式与0的大小关系证明函数图象与轴的交点情况；
（3）先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分对称轴在给定区间左侧、内部、右侧三种情况，根据函数单调性求出最小值，进而求得的值．
（1）解：方法一：
由题意可知关于对称轴直线对称，
，
∴该二次函数的解析式为．
方法二：
将代入，得
，
解得，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：由判别式，
二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：如图1，
（Ⅰ）若时，当时，函数有最小值为，
得（舍去）；
如图2，
（Ⅱ）若时，当时，函数有最小值为，
解得；
如图3，
（Ⅲ）若时，当时，函数有最小值为，
解得（舍去），
∴综上所述满足条件的a的值为．
23．（2025·瓯海模拟）如图，点O是在内部一点，平分，以O为圆心，为半径的圆经过点B，交于点D，连接并延长交于点E，连接并延长交于点F．
（1）求证：．
（2）当时．
①求的度数．
②若F是的中点，的半径为1，求的长．
【答案】（1）解：，
，
平分，
．
，
，
．
（2）①设，，
，
．，
，
，
∵，
，
∴，
∴，
，
∴．
②连接，延长交于点R，交于点N，
设，
是的直径，
，
∴，
，
，，
，
∴，
．
是的中点，
，
∴，
∴，
，
，
，
∴在中，，
∴，
∴（舍去），
．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得到，再由角平分线、等边对等角得出，再根据内错角相等即可得证；
（2）①设，，三角形的外角求出，再根据圆周角定理求出，利用三角形的内角和定理求得，即可得出结果；
②连接，延长交于点R，交于点N，设，圆周角定理结合含30度角的直角三角形的性质，得到，平行线的性质结合垂径定理，求出平行线分线段成比例，得到中位线定理，得到，证明，求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可．
（1）解：如图1
平分，
．
，
．
，
，
．
（2）①由（1）可设，
设，
．
，
，
，
∴在中，，即，
，即．
②如图2，
连接，延长交于点R，交于点N，
设，
是的直径，
，即．
，
．，
，
∴，
．
是的中点，
，
∴，
∴，
，
．
，
∴在中，，
即，解得（舍去），
．
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