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浙江省杭州市滨江区江南实验学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题.（每小题3分，共10小题)
1．（2025九上·滨江期中）已知 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：令a，b分别等于13和5，
∵ ，
∴a=13，b=5
∴ = = ；
故选D．
【分析】先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案．
2．（2025九上·滨江期中）若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长l=
=2π．
故选B．
【分析】根据弧长公式进行求解即可．
3．（2025九上·滨江期中） 已知点A （1， y1)， B （2， y2) 在抛物线. 上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C．2>y1>y2 D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当x=1时，y1=-(x+1)2+2=-(1+1)2+2=-2；
当x=2时，y2=-(x+1)2+2=-(2+1)2+2=-7；
∴2>y1>y2.
故答案为：C.
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断.
4．（2025九上·滨江期中）二次函数 写成形如 的形式，则m，n的值分别是 （　　）
A． B．m=-2， n=-6
C．m=2， n=6 D．m=2， n=-2
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x-2=(x-2)2-6.
∴将二次函数y=x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式后，m，n的值分别是-2、-6；
故答案为：B.
【分析】配方法：加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式.
5．（2025九上·滨江期中） 如图， AB∥CD∥EF， 则下列线段的比中， 与 相等的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF
∴
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可求解.
6．（2025九上·滨江期中） 如图， 平行四边形ABCD中， AB=9， AD=6， 点E， F分别在AD，AB上， 若DE=3， △BCF∽△DCE， 则BF= （　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△BCF~△DCE
∴
∵AB=9=DC，AD=6=BC，DE=3，
∴BF=2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质可得边的比相等，将线段的长代入比例式即可求得.
7．（2025九上·滨江期中）已知圆O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则圆O的半径为（　　）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理，先求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求出.
8．（2025九上·滨江期中） 如图， OA、OB、OC都是⊙O的半径， 连结AC，∠AOC=140°，∠ACB=50°， 则∠BAC的度数 （　　)
A．50° B．45° C．30° D．20°
【答案】D
【知识点】角的运算；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=50°
∴∠AOB=2∠ACB=100°
∵∠AOC=140°
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=40°
∴
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理、角的和差即可求得答案.
9．（2025九上·滨江期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， O为BC边上一点， 以O为圆心的圆经过A、C两点，与AB 交于点D，若D为AB的中点，则 的值为（　　）
A．3：4 B．2：3 C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点
∴AB=AC=2BD，
设OB与圆O交于点E，连接DE，OA，
则∠OAC=∠OCA，
又∵∠BDE+∠ADE=∠C+∠ADE=180°，
∴∠BDE=∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∴∠B=∠C=∠BDE=∠OAC，
∴△BDE~△ACO，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角和圆内接四边形的性质得到∠B=∠C=∠BDE=∠OAC，即可得到是△BDE~△ACO，根据对应边成比例得到，进而解答即可.
10．（2025九上·滨江期中）二次函数 的图象经过（t-1， - 3)， （t+1， - 3) 两点， 若-6≤y≤-2时， 总有p≤x≤q， 则q-p的取值范围是（　　）
A．1≤q-p≤3 B．2≤q-p≤3 C．2≤q-p≤4 D．0≤q-p≤4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(t-1，-3)，(t+1，-3)两点，-1<0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
，整理得
∴抛物线解析式可表示为：y=-x2+2tx-t2-2，
∵y=-x2+2tx-t2-2=-(x-t)2-2，
∴抛物线顶点坐标(t，-2)，
∵关于x的方程-x2+2tx-t2-2=-6，即-x2+2tx-t2+4=0，两个根满足：，x1x2=t2-4，
∴
即抛物线与直线y=-6的两个交点的横坐标之差为4，
∴若-6≤y≤-2时，总有p≤x≤q，则q-p的最大值是|x1-x2|=4，
p=t或q=t时，q-p取得最小值：
∴q-p的取值范围是：2≤q-p≤4.
故答案为：C.
【分析】根据题意将两点坐标代入解析式得到y=-x2+2tx-t2-2，再令y=-6将函数解析式转化为方程，关键一元二次方程两个根的关系，求出抛物线与直线两个交点的横坐标之差为4，再根据抛物线的对称性和增减性得出结论.
二、填空题.（每小题3分，共6小题)
11．（2025九上·滨江期中） 已知⊙O的半径为3cm，， 则点P与⊙O 的位置关系是： 点P在⊙O 　 　.
【答案】外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外，
故答案为：外.
【分析】点在圆上，则 d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d12．（2025九上·滨江期中） 如图， 将△ABC绕点A 顺时针旋转130°， 得到△ADE， 这时点B， D， C恰好在同一条直线上，.则∠ADE的度数为　 　.
【答案】25°
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：设AC与DE相交于点O，
由题意得，∠BAD=∠CAE=130°，∠C=∠E，AB=AD，
∴∠ADB=25°
∵∠C=∠E，∠COD=∠AOE，∠C+∠COD+∠CDO=180°，∠E+∠AOE+∠CAE=180°，
∴∠CDO=∠CAE=130°
∴∠ADE=180°-∠CDO-∠ADB=180°-130°-25°=25°
故答案为：25°.
【分析】设AC与DE相交于点O，由题意得∠BAD=∠CAE=130°，∠C=∠E，AB=AD，则∠ADB=25°.根据∠C+∠COD+∠CDO=180°，∠E+∠AOE+∠CAE=180°，可得∠CDO=∠CAE=130°.根据∠ADE=180°-∠CDO-∠ADB可得答案.
13．（2025九上·滨江期中） 如图， 正五边形 ABCDE内接于⊙O， P为DE上的一点 （点P与点D不重合)， 则∠CPD的度数为　 　.
【答案】36°
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接 CO、DO，
∵正五边形ABCDE内接于☉O，
∴，
∴，
故答案为：36°.
【分析】连接 CO、DO，根据圆周角的性质即可求解.
14．（2025九上·滨江期中）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割比解答即可．
15．（2025九上·滨江期中） 已知t=a+b+c<0， 且a>0， c>0， 下列两个结论：
①b<0；②b-a<3.其中正确的结论是　 　（填序号)，
【答案】①②
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由a+b+c<0，且a>0，c>0，得b<-a-c，
由于-a-c<0，故b<0，结论①正确；
由b<-a-c，得b-a<-2a-c，
因a>0，c>0，故-2a-c<0，从而b-a<0<3，结论②正确；
故答案为：①②.
【分析】根据不等式的性质即可求解.
16．（2025九上·滨江期中） 如图， 在△ABC中， 以BC为直径的⊙O 分别交AB， AC于点D， E. 若AE=2EC. 过点 D 作DF∥BC交AC于点F， 则 　 　
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
∵DF//BC，
∴△ADF∽△ABC
设CE=a，则 AE=2a，
∴AC=3a.
∵△ADE∽△ACB，
∴设，
∴DE=kBC
∴，AD=3ak
∵△ADF∽△ABC
∴，即，
∴
∴
故答案为：.
【分析】证明△ADF∽△ABC，△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质对应边成比例，设，由此可得，AD=3ak，再利用△ADF∽△ABC的对应边成比例的性质可得，进而即可求解.
三、解答题.（第17,18题每题6分, 第19,20题每题8分, 第21,22题每题10分, 第23,24题每题12分)
17．（2025九上·滨江期中）已知二次函数 图象经过点A（1， 0).
（1）求二次函数解析式；
（2）补全表格，根据表格回答：当0≤x<3时，y的取值范围是　 　.
x … 0 l 2 3 4 　
y 　 　 0 - 1 　 　 　
【答案】（1）解：将点A(1，0)代入y=x2-4x+a，得0=12-4×1+a，解得a=3，
∴二次函数解析式为y=x2-4x+3
（2）解：3，0，3，-1≤y≤3
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：(2)当x=0时，y=3；
当x=3时，y=0
当x=4时，y=3，
∴当0≤x<3时，y的取值范围是-1≤y≤3.
故答案为：3，0，3，-1≤y≤3.
【分析】通过代入自变量的值求函数值来补全表格、根据表格中的点画出函数图象、从图象中获取顶点坐标以及确定自变量在一定取值范围内函数值的范围.
18．（2025九上·滨江期中） 如图， 在⊙O中， AD、BC相交于点E， OE平分∠AEC.
（1） 求证： AB=CD；
（2） 如果⊙O的半径为3， AD⊥CB， DE=1， 求AD的长.
【答案】（1）证明：作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，连接OA、OB，如图，
则AM=DM，BN=CN，
在Rt△OAM中，，
在Rt△OCN中，
∵OE平分∠AEC，
∴OM=ON，
而OA=OC，
∴AM=CN
∴AD=BC
∴，即
∴
∴AB=CD
（2）解：∵AD⊥CB，
∴∠MEN=90°
∵OE平分∠MEN，
∴∠MEO=45°
∴△MEO为等腰直角三角形
∴OM=EM.
设ME=x，则OM=x，DM=ME+DE=x+1
∴AM=DM=x+1.
在Rt△AOM中，∵OM2+AM2=OA2
∴x2+(x+1)2=32，解得，(舍去)，
∴
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，连接OA、OB，如图，由垂径定理得到AM=DM，BN=CN，由勾股定理得，，再利用角平分线性质得OM=ON，则AM=CN，所以AD=BC，根据圆心角、弧、弦的关系得到，则，于是有AB=CD；
(2)先证明△MEO为等腰直角三角形得到OM=EM，设ME=x，则OM=x，DM=ME+DE=x+1，则AM=DM=x+1，在Rt△AOM中利用勾股定理得x2+(x+1)2=32，然后解方程求出x后计算2(x+1)即可得到AD的长.
19．（2025九上·滨江期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ACD=∠B，DE∥BC.
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若DE=6，BC=10，求线段CD的长.
【答案】（1）证明：∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ADE=∠ACD，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴CD=2 .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可证∠ADE=∠B，再证明∠ADE=∠ACD，然后利用全等三角形的判定定理可证得结论。
（2）利用平行线的性质可证得∠BCD=∠EDC，再根据有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△CDE∽△BCD，然后利用相似三角形的性质，就可求出CD的长。
20．（2025九上·滨江期中）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）解：
(千克)．
答：每月销售水果450千克；
（2）解：设每千克水果售价为元，总利润为元，
由题意可得，
∵-，
∴当时，有最大值为9000，
答：每千克水果售价为70元时，利润最大为9000元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）设每千克水果售价为元，总利润为元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
21．（2025九上·滨江期中）如图，点D，E在△ABC的边BC上，点F在边 AC上，连结 AD，DF，EF，且AD=AF，∠DAF=90°，∠B=∠DEF=45°，
（1） 求证： △ABD∽△DEF；
（2） 若AB=3， CF=2 时， 求CD的长.
【答案】（1）证明：∵AD=AF，∠DAF=90°，
∴△ADF是等腰直角三角形
∴∠ADF=∠AFD=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADF+∠EDF=45°+∠EDF
∴45°+∠BAD=45°+∠EDF，
∴∠BAD=∠EDF，
∵∠B=∠DEF=45°
∴△ABD∽△DEF
（2）解：∵△ADF是等腰直角三角形，
∴，
∵△ABD~△DEF，
∴
∵AB=3
∴，
∵∠AFD=∠DEF=45°，
∴∠CDF+∠C=∠C+∠EFC，
∴∠CFE=∠CDF，
∵∠C=∠C，
∴△CEF∽△CFD，
∴
∴
解得(负根已经舍去)，
∴.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由题意可知△ADF是等腰直角三角形，再根据三角形外角的性质，利用AA定理进而即可证明△ABD∽△DEF；
(2)先根据等腰直角三角形的性质得到边的关系，再利用相似三角形的性质求出DE的长度，然后通过角的关系证明另一组三角形相似，进而求出CE的长度，最后求出CD的长度.
22．（2025九上·滨江期中） 如图， AB， CD 是⊙O 的直径， AB⊥CD， 连结AC， 点E为劣弧BD （不含端点) 上一点， 连接AE， CE， 分别交OD， OB于点 F， G.
（1） 求∠E 的度数；
（2） 求证： ∠CAF=∠AGC；
（3） 若⊙O的半径为l， 记OF=x， BG=y， 用x的代数式表示y.
【答案】（1）解：∵AB⊥CD
∴∠AOC=90°
∴
（2）解：∵AB⊥CD，
∴∠COG=90°，
∵，
∴，
∵∠CAF=∠CAG+∠GAE=45°+∠GAE
∠AGC=∠E+∠GAE=45°+∠GAE，
∴∠CAF=∠AGC
（3）解：如图，
∵⊙O的半径为1，
∴CO=AO=1， AB=2，
∵OF=x， BG=y，
∴AG=AB-BG=2-y， CF=CO+OF=1+x，，
∵OA=OC， ∠AOC=90°，
∴∠ACO=∠CAO=45°，
∵∠CAF=∠AGC
∴△AGC~△CAF，
∴
∴AC2=AG×CF
∴，
整理可得：
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可求解；
(2)利用等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质求解即可；
(3)根据勾股定理求出AC的长度，进而证明出△AGC~△CAF，得，再利用比值关系列式求解即可.
23．（2025九上·滨江期中）已知二次函数 的图象经过点A （2， - 3)
（1）求二次函数的图象的对称轴；
（2） 若 的最小值为-4，将该函数的图象向右平移 1 个单位长度，得到新的二次函数y'， 当0（3）若该二次函数图象与x轴的交点分别为（x1，0)， （x2，0)， 且 若 求a的取值范围.
【答案】（1）解：将A(2，-3)代入y=ax2+bx-3得-3=4a+2b-3，
整理得，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=1
（2）解：由(1)得，即b=-2a
将x=1代入y=ax2+bx-3得，a+b-3=-4
将b=-2a代入a+b-3=-4得，a=1，b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，即y=(x-1)2-4
又∵该函数的图象向右平移1个单位长度，
∴新的二次函数的解析式为y'=(x-1-1)2-4=(x-2)2-4
当x=2时，y'=-4，当x=5时，y'=(5-2)2-4=5
∴当0（3）解：由抛物线的对称轴得，变形可得x2=2-x1，代入21.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)将点的坐标代入解析式，整理解析式即可得出，即可求出抛物线的对称轴；
(2)根据对称轴和给出点的坐标即可求出抛物线的解析式为y=x2-2x-3，然后再利用函数图象平移的性质即可求出新的抛物线的解析式，进一步求得当0(3)根据对称轴得出x2=2-x1，代入224．（2025九上·滨江期中） 数学课本126页第5题是这样的：“如图1， 在△ABC中， D 是 BC上一点， EG∥BC， 分别交AB， AD， AC 于点 E， F， G， 求证： AE： AF： AG=BE： DF： CG.”缪老师批改学生作业后，将所求证内容改为“EF： BD=FG： DC.”
（1）请证明缪老师提出的结论是正确的；
（2） 如图2， 已知在菱形ABCD中， AD=12， O是BC上一点， 连结AO， BD 交于T， 点S在AT上，连结SB，SD，过S作PQ∥BD，交AB于P，交AD于Q，且△BPS∽△SQD，相似比是 求BO的长.
（3） 如图3， 点E， H在AB上， AH=HE=EB， DM∥AC， 且DM与BC， CE， CH分别交于点D，N， M， 求ND： NM的值.
【答案】（1）证明：∵EG//BC，
∴△AEF~△ABD， △AFG~△ADC，
∴，
∴EF：BD=FG：DC；
（2）解：∵△BPS~△SQD，相似比是
∴，∠BPS=∠SQD，∠DSQ=∠PBS，
∵∠BSQ=∠DSQ+∠BSD=∠BPS+∠PBS
∴∠BPS=∠DSB=∠SQD，
∵PQ//BD，
∴∠QSD=∠SDB，
∴△SQD~△DSB~△BPS，
∴
设， 则PB=2a，
∵
∴
∴
由(1)可知，
∵AD//BO，
∴△BOT~△DAT，
∴
∵AD=12，
∴BO=9
（3）解：如图，过H作HF//AC交EC于点G，交BC于点F，
则
设AC=6a，
∵DM//AC，
∴HF//AC，
∴△BHF~△BAC，△EHG~△EAC，
∴，，
∴HF=4a，HG=3a，
∴FG=HF-HG=a，
∴ND：NM=FG：HG=1：3
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)易得△AEF~△ABD，△AFG~△ADC，利用AF：AD这组公共边即可得证；
(2)易证△SQD~△DSB~△BPS，可得，根据(1)得，，再证△BOT~△DAT ，即可得解；
(3)过H作HF//AC交EC于点G，交BC于点F，易，，则得ND：NM=FG：HG=1：3.
1 / 1浙江省杭州市滨江区江南实验学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题.（每小题3分，共10小题)
1．（2025九上·滨江期中）已知 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·滨江期中）若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
3．（2025九上·滨江期中） 已知点A （1， y1)， B （2， y2) 在抛物线. 上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C．2>y1>y2 D．
4．（2025九上·滨江期中）二次函数 写成形如 的形式，则m，n的值分别是 （　　）
A． B．m=-2， n=-6
C．m=2， n=6 D．m=2， n=-2
5．（2025九上·滨江期中） 如图， AB∥CD∥EF， 则下列线段的比中， 与 相等的是 （　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·滨江期中） 如图， 平行四边形ABCD中， AB=9， AD=6， 点E， F分别在AD，AB上， 若DE=3， △BCF∽△DCE， 则BF= （　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
7．（2025九上·滨江期中）已知圆O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则圆O的半径为（　　）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
8．（2025九上·滨江期中） 如图， OA、OB、OC都是⊙O的半径， 连结AC，∠AOC=140°，∠ACB=50°， 则∠BAC的度数 （　　)
A．50° B．45° C．30° D．20°
9．（2025九上·滨江期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， O为BC边上一点， 以O为圆心的圆经过A、C两点，与AB 交于点D，若D为AB的中点，则 的值为（　　）
A．3：4 B．2：3 C． D．
10．（2025九上·滨江期中）二次函数 的图象经过（t-1， - 3)， （t+1， - 3) 两点， 若-6≤y≤-2时， 总有p≤x≤q， 则q-p的取值范围是（　　）
A．1≤q-p≤3 B．2≤q-p≤3 C．2≤q-p≤4 D．0≤q-p≤4
二、填空题.（每小题3分，共6小题)
11．（2025九上·滨江期中） 已知⊙O的半径为3cm，， 则点P与⊙O 的位置关系是： 点P在⊙O 　 　.
12．（2025九上·滨江期中） 如图， 将△ABC绕点A 顺时针旋转130°， 得到△ADE， 这时点B， D， C恰好在同一条直线上，.则∠ADE的度数为　 　.
13．（2025九上·滨江期中） 如图， 正五边形 ABCDE内接于⊙O， P为DE上的一点 （点P与点D不重合)， 则∠CPD的度数为　 　.
14．（2025九上·滨江期中）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为　 　．
15．（2025九上·滨江期中） 已知t=a+b+c<0， 且a>0， c>0， 下列两个结论：
①b<0；②b-a<3.其中正确的结论是　 　（填序号)，
16．（2025九上·滨江期中） 如图， 在△ABC中， 以BC为直径的⊙O 分别交AB， AC于点D， E. 若AE=2EC. 过点 D 作DF∥BC交AC于点F， 则 　 　
三、解答题.（第17,18题每题6分, 第19,20题每题8分, 第21,22题每题10分, 第23,24题每题12分)
17．（2025九上·滨江期中）已知二次函数 图象经过点A（1， 0).
（1）求二次函数解析式；
（2）补全表格，根据表格回答：当0≤x<3时，y的取值范围是　 　.
x … 0 l 2 3 4 　
y 　 　 0 - 1 　 　 　
18．（2025九上·滨江期中） 如图， 在⊙O中， AD、BC相交于点E， OE平分∠AEC.
（1） 求证： AB=CD；
（2） 如果⊙O的半径为3， AD⊥CB， DE=1， 求AD的长.
19．（2025九上·滨江期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ACD=∠B，DE∥BC.
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若DE=6，BC=10，求线段CD的长.
20．（2025九上·滨江期中）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
21．（2025九上·滨江期中）如图，点D，E在△ABC的边BC上，点F在边 AC上，连结 AD，DF，EF，且AD=AF，∠DAF=90°，∠B=∠DEF=45°，
（1） 求证： △ABD∽△DEF；
（2） 若AB=3， CF=2 时， 求CD的长.
22．（2025九上·滨江期中） 如图， AB， CD 是⊙O 的直径， AB⊥CD， 连结AC， 点E为劣弧BD （不含端点) 上一点， 连接AE， CE， 分别交OD， OB于点 F， G.
（1） 求∠E 的度数；
（2） 求证： ∠CAF=∠AGC；
（3） 若⊙O的半径为l， 记OF=x， BG=y， 用x的代数式表示y.
23．（2025九上·滨江期中）已知二次函数 的图象经过点A （2， - 3)
（1）求二次函数的图象的对称轴；
（2） 若 的最小值为-4，将该函数的图象向右平移 1 个单位长度，得到新的二次函数y'， 当0（3）若该二次函数图象与x轴的交点分别为（x1，0)， （x2，0)， 且 若 求a的取值范围.
24．（2025九上·滨江期中） 数学课本126页第5题是这样的：“如图1， 在△ABC中， D 是 BC上一点， EG∥BC， 分别交AB， AD， AC 于点 E， F， G， 求证： AE： AF： AG=BE： DF： CG.”缪老师批改学生作业后，将所求证内容改为“EF： BD=FG： DC.”
（1）请证明缪老师提出的结论是正确的；
（2） 如图2， 已知在菱形ABCD中， AD=12， O是BC上一点， 连结AO， BD 交于T， 点S在AT上，连结SB，SD，过S作PQ∥BD，交AB于P，交AD于Q，且△BPS∽△SQD，相似比是 求BO的长.
（3） 如图3， 点E， H在AB上， AH=HE=EB， DM∥AC， 且DM与BC， CE， CH分别交于点D，N， M， 求ND： NM的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：令a，b分别等于13和5，
∵ ，
∴a=13，b=5
∴ = = ；
故选D．
【分析】先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案．
2．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长l=
=2π．
故选B．
【分析】根据弧长公式进行求解即可．
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当x=1时，y1=-(x+1)2+2=-(1+1)2+2=-2；
当x=2时，y2=-(x+1)2+2=-(2+1)2+2=-7；
∴2>y1>y2.
故答案为：C.
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断.
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x-2=(x-2)2-6.
∴将二次函数y=x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式后，m，n的值分别是-2、-6；
故答案为：B.
【分析】配方法：加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式.
5．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF
∴
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△BCF~△DCE
∴
∵AB=9=DC，AD=6=BC，DE=3，
∴BF=2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质可得边的比相等，将线段的长代入比例式即可求得.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理，先求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求出.
8．【答案】D
【知识点】角的运算；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=50°
∴∠AOB=2∠ACB=100°
∵∠AOC=140°
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=40°
∴
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理、角的和差即可求得答案.
9．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点
∴AB=AC=2BD，
设OB与圆O交于点E，连接DE，OA，
则∠OAC=∠OCA，
又∵∠BDE+∠ADE=∠C+∠ADE=180°，
∴∠BDE=∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∴∠B=∠C=∠BDE=∠OAC，
∴△BDE~△ACO，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角和圆内接四边形的性质得到∠B=∠C=∠BDE=∠OAC，即可得到是△BDE~△ACO，根据对应边成比例得到，进而解答即可.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(t-1，-3)，(t+1，-3)两点，-1<0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
，整理得
∴抛物线解析式可表示为：y=-x2+2tx-t2-2，
∵y=-x2+2tx-t2-2=-(x-t)2-2，
∴抛物线顶点坐标(t，-2)，
∵关于x的方程-x2+2tx-t2-2=-6，即-x2+2tx-t2+4=0，两个根满足：，x1x2=t2-4，
∴
即抛物线与直线y=-6的两个交点的横坐标之差为4，
∴若-6≤y≤-2时，总有p≤x≤q，则q-p的最大值是|x1-x2|=4，
p=t或q=t时，q-p取得最小值：
∴q-p的取值范围是：2≤q-p≤4.
故答案为：C.
【分析】根据题意将两点坐标代入解析式得到y=-x2+2tx-t2-2，再令y=-6将函数解析式转化为方程，关键一元二次方程两个根的关系，求出抛物线与直线两个交点的横坐标之差为4，再根据抛物线的对称性和增减性得出结论.
11．【答案】外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外，
故答案为：外.
【分析】点在圆上，则 d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d12．【答案】25°
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：设AC与DE相交于点O，
由题意得，∠BAD=∠CAE=130°，∠C=∠E，AB=AD，
∴∠ADB=25°
∵∠C=∠E，∠COD=∠AOE，∠C+∠COD+∠CDO=180°，∠E+∠AOE+∠CAE=180°，
∴∠CDO=∠CAE=130°
∴∠ADE=180°-∠CDO-∠ADB=180°-130°-25°=25°
故答案为：25°.
【分析】设AC与DE相交于点O，由题意得∠BAD=∠CAE=130°，∠C=∠E，AB=AD，则∠ADB=25°.根据∠C+∠COD+∠CDO=180°，∠E+∠AOE+∠CAE=180°，可得∠CDO=∠CAE=130°.根据∠ADE=180°-∠CDO-∠ADB可得答案.
13．【答案】36°
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接 CO、DO，
∵正五边形ABCDE内接于☉O，
∴，
∴，
故答案为：36°.
【分析】连接 CO、DO，根据圆周角的性质即可求解.
14．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割比解答即可．
15．【答案】①②
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由a+b+c<0，且a>0，c>0，得b<-a-c，
由于-a-c<0，故b<0，结论①正确；
由b<-a-c，得b-a<-2a-c，
因a>0，c>0，故-2a-c<0，从而b-a<0<3，结论②正确；
故答案为：①②.
【分析】根据不等式的性质即可求解.
16．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
∵DF//BC，
∴△ADF∽△ABC
设CE=a，则 AE=2a，
∴AC=3a.
∵△ADE∽△ACB，
∴设，
∴DE=kBC
∴，AD=3ak
∵△ADF∽△ABC
∴，即，
∴
∴
故答案为：.
【分析】证明△ADF∽△ABC，△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质对应边成比例，设，由此可得，AD=3ak，再利用△ADF∽△ABC的对应边成比例的性质可得，进而即可求解.
17．【答案】（1）解：将点A(1，0)代入y=x2-4x+a，得0=12-4×1+a，解得a=3，
∴二次函数解析式为y=x2-4x+3
（2）解：3，0，3，-1≤y≤3
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：(2)当x=0时，y=3；
当x=3时，y=0
当x=4时，y=3，
∴当0≤x<3时，y的取值范围是-1≤y≤3.
故答案为：3，0，3，-1≤y≤3.
【分析】通过代入自变量的值求函数值来补全表格、根据表格中的点画出函数图象、从图象中获取顶点坐标以及确定自变量在一定取值范围内函数值的范围.
18．【答案】（1）证明：作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，连接OA、OB，如图，
则AM=DM，BN=CN，
在Rt△OAM中，，
在Rt△OCN中，
∵OE平分∠AEC，
∴OM=ON，
而OA=OC，
∴AM=CN
∴AD=BC
∴，即
∴
∴AB=CD
（2）解：∵AD⊥CB，
∴∠MEN=90°
∵OE平分∠MEN，
∴∠MEO=45°
∴△MEO为等腰直角三角形
∴OM=EM.
设ME=x，则OM=x，DM=ME+DE=x+1
∴AM=DM=x+1.
在Rt△AOM中，∵OM2+AM2=OA2
∴x2+(x+1)2=32，解得，(舍去)，
∴
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，连接OA、OB，如图，由垂径定理得到AM=DM，BN=CN，由勾股定理得，，再利用角平分线性质得OM=ON，则AM=CN，所以AD=BC，根据圆心角、弧、弦的关系得到，则，于是有AB=CD；
(2)先证明△MEO为等腰直角三角形得到OM=EM，设ME=x，则OM=x，DM=ME+DE=x+1，则AM=DM=x+1，在Rt△AOM中利用勾股定理得x2+(x+1)2=32，然后解方程求出x后计算2(x+1)即可得到AD的长.
19．【答案】（1）证明：∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ADE=∠ACD，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴CD=2 .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可证∠ADE=∠B，再证明∠ADE=∠ACD，然后利用全等三角形的判定定理可证得结论。
（2）利用平行线的性质可证得∠BCD=∠EDC，再根据有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△CDE∽△BCD，然后利用相似三角形的性质，就可求出CD的长。
20．【答案】（1）解：
(千克)．
答：每月销售水果450千克；
（2）解：设每千克水果售价为元，总利润为元，
由题意可得，
∵-，
∴当时，有最大值为9000，
答：每千克水果售价为70元时，利润最大为9000元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）设每千克水果售价为元，总利润为元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵AD=AF，∠DAF=90°，
∴△ADF是等腰直角三角形
∴∠ADF=∠AFD=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADF+∠EDF=45°+∠EDF
∴45°+∠BAD=45°+∠EDF，
∴∠BAD=∠EDF，
∵∠B=∠DEF=45°
∴△ABD∽△DEF
（2）解：∵△ADF是等腰直角三角形，
∴，
∵△ABD~△DEF，
∴
∵AB=3
∴，
∵∠AFD=∠DEF=45°，
∴∠CDF+∠C=∠C+∠EFC，
∴∠CFE=∠CDF，
∵∠C=∠C，
∴△CEF∽△CFD，
∴
∴
解得(负根已经舍去)，
∴.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由题意可知△ADF是等腰直角三角形，再根据三角形外角的性质，利用AA定理进而即可证明△ABD∽△DEF；
(2)先根据等腰直角三角形的性质得到边的关系，再利用相似三角形的性质求出DE的长度，然后通过角的关系证明另一组三角形相似，进而求出CE的长度，最后求出CD的长度.
22．【答案】（1）解：∵AB⊥CD
∴∠AOC=90°
∴
（2）解：∵AB⊥CD，
∴∠COG=90°，
∵，
∴，
∵∠CAF=∠CAG+∠GAE=45°+∠GAE
∠AGC=∠E+∠GAE=45°+∠GAE，
∴∠CAF=∠AGC
（3）解：如图，
∵⊙O的半径为1，
∴CO=AO=1， AB=2，
∵OF=x， BG=y，
∴AG=AB-BG=2-y， CF=CO+OF=1+x，，
∵OA=OC， ∠AOC=90°，
∴∠ACO=∠CAO=45°，
∵∠CAF=∠AGC
∴△AGC~△CAF，
∴
∴AC2=AG×CF
∴，
整理可得：
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可求解；
(2)利用等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质求解即可；
(3)根据勾股定理求出AC的长度，进而证明出△AGC~△CAF，得，再利用比值关系列式求解即可.
23．【答案】（1）解：将A(2，-3)代入y=ax2+bx-3得-3=4a+2b-3，
整理得，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=1
（2）解：由(1)得，即b=-2a
将x=1代入y=ax2+bx-3得，a+b-3=-4
将b=-2a代入a+b-3=-4得，a=1，b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，即y=(x-1)2-4
又∵该函数的图象向右平移1个单位长度，
∴新的二次函数的解析式为y'=(x-1-1)2-4=(x-2)2-4
当x=2时，y'=-4，当x=5时，y'=(5-2)2-4=5
∴当0（3）解：由抛物线的对称轴得，变形可得x2=2-x1，代入21.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)将点的坐标代入解析式，整理解析式即可得出，即可求出抛物线的对称轴；
(2)根据对称轴和给出点的坐标即可求出抛物线的解析式为y=x2-2x-3，然后再利用函数图象平移的性质即可求出新的抛物线的解析式，进一步求得当0(3)根据对称轴得出x2=2-x1，代入224．【答案】（1）证明：∵EG//BC，
∴△AEF~△ABD， △AFG~△ADC，
∴，
∴EF：BD=FG：DC；
（2）解：∵△BPS~△SQD，相似比是
∴，∠BPS=∠SQD，∠DSQ=∠PBS，
∵∠BSQ=∠DSQ+∠BSD=∠BPS+∠PBS
∴∠BPS=∠DSB=∠SQD，
∵PQ//BD，
∴∠QSD=∠SDB，
∴△SQD~△DSB~△BPS，
∴
设， 则PB=2a，
∵
∴
∴
由(1)可知，
∵AD//BO，
∴△BOT~△DAT，
∴
∵AD=12，
∴BO=9
（3）解：如图，过H作HF//AC交EC于点G，交BC于点F，
则
设AC=6a，
∵DM//AC，
∴HF//AC，
∴△BHF~△BAC，△EHG~△EAC，
∴，，
∴HF=4a，HG=3a，
∴FG=HF-HG=a，
∴ND：NM=FG：HG=1：3
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)易得△AEF~△ABD，△AFG~△ADC，利用AF：AD这组公共边即可得证；
(2)易证△SQD~△DSB~△BPS，可得，根据(1)得，，再证△BOT~△DAT ，即可得解；
(3)过H作HF//AC交EC于点G，交BC于点F，易，，则得ND：NM=FG：HG=1：3.
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