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人教版七（下）数学第十章 二元一次方程组 单元测试提升卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
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阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2022七下·东城期末）已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的解，
∴，解得：a=2，
∴此点的坐标为：，
即此点坐标为，
∴此点在第四象限，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先求出，再求出a=2，最后求解即可。
2．已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y满足(　　)
A．y－x＝－4 B．y－x＝4 C．y－x＝－10 D．y－x＝10
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由x-m=7得m=x-7，由y+3=m得y=m-3，
所以y=x-7-3=x-10，
即y-x=-10，
故选：C.
【分析】把第一个方程变形为m=x-7，代入第二个方程，整理解答即可.
3．（2025七下·余姚期中） 已知二元一次方程组的解是，则括号内的方程可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否为二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： 将解代入选项A：y 4x= 5，
即x= 2，y=3代入方程左边：3 4×( 2)=3+8=11，右边为 5，左边≠右边，故A不符合题意；
将解代入选项B：x=y 1
即y=3：右边=3 1=2，左边x= 2≠2，与右边相等，故B不符合题意；
将解代入选项C：y=2x+5
即代入x= 2，y=3：右边=2×( 2)+5= 4+5=1，左边y=3≠1，故C不符合题意；
将解代入选项D：2x 3y= 13
即x= 2，y=3：左边=2×( 2) 3×3= 4 9= 13，与右边相等，故D符合题意。
故答案为：D.
【分析】 题目给出一个二元一次方程组，其中第二个方程被省略，已知方程组的解为x=-2，y=3。需要从四个选项中选出可能作为第二个方程的选项。解题思路是将已知解代入每个选项的方程，验证等式是否成立，成立的即为正确选项。
4．（2026八上·深圳期末） 若关于，的方程组的解满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：对于方程组，
将①+②得：，
整理得：，两边同时除以10得：。
∵方程组的解满足，∴。
故答案为：D
【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质及求参数值，解题时观察方程组中两个方程的系数特征，发现将两个方程左右两边分别相加后，可整理出含的代数式，再通过化简得到与的等量关系，最后结合已知条件，代入后直接求出的值
5．（2026八上·贵阳期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为：（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：
第一个方程x的系数为1，y的系数为3，常数项为18，第二个方程x的系数为2，y的系数为4，常数项为26，
∴可列方程为．
故答案为：D．
【分析】第一个方程x的系数为1，y的系数为3，常数项为18，第二个方程x的系数为2，y的系数为4，常数项为26，即可列方程.
6．（2026七上·北京期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何 ”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车：如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，何人与车各多少 设共有x人，y辆车，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设共有x人，y辆车，则根据题意可列方程组为.
故答案为：C.
【分析】设共有x人，y辆车，根据每3人坐一辆车，那么有2辆空车 ，则用了辆车，坐了人，则，再根据每2人坐一辆车，那么有9人需要步行得，即可得方程组.
7．（2025七下·诸暨月考）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为 x，宽为 y，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】观察图形，根据 摆放后的两个大长方形的长相等可列出关于x、y的二元一次方程，整理即可求解．
8．用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有 m张正方形纸板和n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值可能是 (　　)
A．2 023 B．2 024 C．2 025 D．2 026
【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设 竖式和横式的两种无盖纸盒 分别为x个、y个，
则，
①+②得，5x+5y=m+n，
∴m+n的值必定是5的倍数，
据选项知 A、B、D不能被5整除，C选项2025能被5整除，
故答案为：C.
【分析】根据题意列出二元一次方程组，根据方程组知m+n的值能被5整除.
9．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④当方程组的解x，y都为自然数时，则有唯一值为0；
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得，4y=4-4a，
解得y=1-a，
将y=1-a代入②中得，x=2a+1，
则方程组的解为：，
① 当方程组的解x，y的值互为相反数时，
则x+y=0，即2a+1+1-a=0，
解得a=-2，故①正确；
② 当时，则方程组的解为：，
则x+y=3，
故②正确；
③x+2y=2a+1+2（1-a）=3，
∴ 无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④∵方程组的解x，y都为自然数，
∴方程组的自然数的解是，，
则a的值为1或0，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③；
故答案为：B.
【分析】先解出方程组，得出x，y的值用含a表示，再根据题意逐一验证即可.
10．（2025八上·龙岗月考）小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余70000元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余110000元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低15%，收入比去年高25%、设去年的收入为x元，销售成本为y元，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设去年的收入为x元，销售成本为y元
由题意可得：
故答案为：C
【分析】设去年的收入为x元，销售成本为y元，根据扣除成本后节余70000元，扣除成本后可节余110000元，建立方程组，解方程组即可求出答案.
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．方程是关于x，y的二元一次方程，则　 　 ．
【答案】或
【知识点】二元一次方程的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：方程是关于x，y的二元一次方程，
，，，
解得，，
或．
故答案为：或．
【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程，来确定m、n的值，进而求出 .
12．（2024七下·汝城期中）如果是方程的一组解，那么代数式　 　．
【答案】4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】∵是方程的一组解
∴2m-3n=2020
∴-2m+3n=-2020
∴2024-2020=4
故答案为：4.
【分析】将代入中，得到-2m+3n=-2020，再将其整体代入2024-2m+3n中，即可得到答案.
13．（2025七上·新会期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由题意得：与是相对面，与是相对面，与是相对面，
相对两面的数字之和相等，
可得：，
解得：．
故答案为： ．
【分析】根据正方体展开图的特征建立方程组，解方程组即可求出答案.
14．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为　 　元．
【答案】18
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元，
由图知，，
由①②得：，
整理得：，
第三束气球的价格为元．
故答案为：．
【分析】设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元，根据 一、二束气球列二元一次方程组，两方程相加求出4x+4y=36，即可得到第三束气球的价格.
15．（2021七下·栾城期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是　 　 cm．
【答案】20
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y=55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x=y，
据此可列：，
解得：，
因此木桶中水的深度为30×=20cm．
故填20．
【分析】考查方程思想及观察图形提取信息的能力．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．（2025七下·杭州月考）解方程组：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
由②得，③
得，
解得：
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：
由①得③
③+②得，
解得：，
将代入③得，
解得：
∴原方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先将方程组中的②方程整理成一般形式得到方程③，然后方程①×2+③消去y求出x的值，进而将x的值代入①方程求出y的值，即可得到方程组的解；
（2）先将方程组中的①方程整理成一般形式得到方程③，然后利用方程③+②消去y求出x的值，进而将x的值代入③方程求出y的值，即可得到方程组的解.
（1）解：
由②得，③
得，
解得：
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：
（2）解：
由①得③
③+②得，
解得：，
将代入③得，
解得：
∴原方程组的解为：．
17．已知==，且x+y+z=12，求x，y，z的值．
【答案】解：设===t，
则x=3t﹣4，y=2t﹣3，z=4t﹣8，
代入x+y+z=12得
3t﹣4+2t﹣3+4t﹣8=12
解得：t=3，
x=3t﹣4=5，y=2t﹣3=3，z=4t﹣8=4．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设===t，则整理得出x=3t﹣4，y=2t﹣2，z=4t﹣8，代入x+y+z=12求得t，进一步代入求得x，y，z的值．
18．（2025七下·新会期中）已知，
（1）求x，y的值
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根是；
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）
【解析】【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性，列出二元一次方程组求解x、y；
（2）将x、y的值代入表达式，先化简再求其平方根。
（1）解：∵，
∴，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根是
19．（2025七下·衡阳月考）解决下列问题，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组我们利用加减消元法，可以求得此方程组得解为______．
（2）如何解方程组呢？我们可以把分别看成一个整体，设，请写出剩余过程，求出原方程组的解．
（3）已知关于、的方程组则方程组得解为多少？请写出求解过程．
【答案】（1）
（2）解：设，
则原方程组变形为：，
解得，
∴，
解得：；

（3）解：设
则有：，
解得，
∴，
解得，

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1），
得：，即，
把代入①，得：，
解得，，
故此方程组的解为；
故答案为：；
【分析】（1）用加减消元法，求出x的值，然后把x的值代入①计算即可；
（2）设，则原方程组变形为：，解得，则，进而即可；
（3）设 则有，解得，则，进而即可；
（1）解：，
，得：，即，
把代入①，得：，
解得，，
故此方程组的解为；
故答案为：；
（2）解：设，则原方程组变形为：
，
解得，，
∴，
解得：；
（3）解：设则有：
，解得，
∴，
解得，
20．（2026七下·期中）2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录，截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一，每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼，在春节前夕，某商家购进4，B两种型号的灯笼共100对，共用去3780元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表：
型号 进价（元 / 对） 售价（元 / 对）
A 54 72
B 27 32
（1）求该商家购进A，B两种型号的灯笼各多少对？
（2）为迎接新春到来，某单位购买A，B两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买A，B两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？
【答案】（1）解：设商家购进A种型号的灯笼a对，B种型号的灯笼b对，根据题意得：
，
解得，
答：商家购进A种型号的灯笼40对，B种型号的灯笼60对
（2）解：设商家购进A种型号的灯笼x对，B种型号的灯笼y对，根据题意得：，
即9x+4y=42，
两种型号都购买，
x，y均为正整数，
当x=1时，不为整数；
当x=2时，y=6，符合题意；
当x=3时，
当x=4时，，不为整数；不符合题意；
当x=5时，，不符合题意；
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设商家购进A种型号的灯笼a对，B种型号的灯笼b对，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设商家购进A种型号的灯笼x对，B种型号的灯笼y对，根据题意可得9x+4y=42，再求出整数解即可.
21．（2026七上·七星关期末）毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案：
方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元；
方案二：团体票（10人及以上）每张80元．
（1）小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？
（2）织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算；
（3）现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由．
【答案】（1）解：设成年人数为，儿童数为，根据题意得，
解得：
答：小明一家有成年人4个，儿童3个
（2）解：方案一费用：（元）
方案二费用：（元）
选择方案一最划算
（3）解：全部个人票费用：（元）
全部团体票费用：（元）
购买张团体票（元）和张儿童票（元），总费用（元）
最省钱的购票方案是购买张团体票和张儿童票，总费用元
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)本题考察二元一次方程组在实际购票问题中的应用，设成年人 人、儿童 人，根据总人数 和总费用 ，列二元一次方程组，通过代入消元或加减消元法求解；
(2)本题考察方案选择问题，分别计算两种方案的总费用：方案一费用为 元，方案二费用为 元，比较大小后选择费用较低的方案一；
(3)本题考察最优购票方案设计，需考虑三种可能：全部买个人票（ 元）、全部买团体票（ 元）、混合购票（10人买团体票，1个儿童买个人票，费用为 元），对比后选择最省钱的混合方案。
（1）解：设成年人数为，儿童数为，根据题意得，
解得：
答：小明一家有成年人4个，儿童3个
（2）解：方案一费用：（元）
方案二费用：（元）
选择方案一最划算
（3）解：全部个人票费用：（元）
全部团体票费用：（元）
购买张团体票（元）和张儿童票（元），总费用（元）
最省钱的购票方案是购买张团体票和张儿童票，总费用元
22．（2025七下·望城期末）综合与实践
【任务驱动】
某校名同学要去参观某科技展览馆，已知该展览馆分为，，三个场馆，根据以下素材，解决相应问题【素材收集】
素材：购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元场馆门票为每张元．
素材：每名同学要选择且只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票．
【问题解决】
（1）求场馆和场馆的门票价格．
（2）在出发前，大家的初步参观意向为有名同学想参观场馆，名同学想参观场馆，名同学想参观场馆，在大家的初步参观意向下，按照素材与素材的条件，所需花费的门票总金额为元，求与的值．
（3）到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观场馆的同学人数多于参观场馆的同学人数，按照素材与素材的条件，最终花费的门票总金额为元，请求出符合条件的所有购买方案．
【答案】（1）解：设场馆门票的价格为元，场馆门票的价格为元，
根据题意得：，
解得：．
答：场馆门票的价格为元，场馆门票的价格为元；
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：的值为，的值为；
（3）解：设购买张场馆门票，张场馆门票，则购买张场馆门票，
根据题意得：，
，
又，，均为正整数，
或，
共有种购买方案，
方案：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票；
方案：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)由题意分别设A、B的价格并列出二元一次方程组，求解方程组即可；
(2)根据票价与人数的关系列出关系p、t的方程组，求解方程组即可；
(3)设A、B的门票数量可得C的数量，由题意可得a、b的等量关系，由a、b为整数可得购买方案.
23．（2026八上·深圳期末）随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表：
类别 素材内容
素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长=行驶时长+固定消耗时长）
素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．
素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼A型”和“旋翼B型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼A型：单价万元，最大载重15千克； 旋翼B型：单价万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买．
问题解决：
任务 内容
任务1 现有一份紧急文件需要从A地送往B地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省__________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
任务2 根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？
任务3 根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？最大总载重是多少？
【答案】解：任务1： 29
任务2：设使用“无人机”配送了单，“传统骑手”配送了单，根据题意得，
解得
∴使用“无人机”配送了20单；
任务3：①设购买旋翼A型台，旋翼B型台，根据题意得，
，
解得，
∵取正整数，
∴为2的正整数倍，且取奇数，
符合要求的的取值如下
或或或
∴采购方案有：
方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台；
方案二：旋翼A型5台和旋翼B型5台；
方案三：旋翼A型8台和旋翼B型3台；
方案四：旋翼A型11台和旋翼B型1台；
②方案一总载重量为：（千克）；
方案二总载重量为：（千克）；
方案三总载重量为：（千克）；
方案四总载重量为：（千克）；
∵，
∴方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台总载重量最大，最大总载重是205千克．
【知识点】二元一次方程的解；有理数混合运算的实际应用；列二元一次方程；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务1：根据题意得，
“传统骑手”用时为（分钟），
“无人机”用时为（分钟），
（分钟），
故答案为：29；
【分析】
任务1：根据配送总时长=行驶时长+固定消耗时长， “传统骑手”的用时=固定时长10+行驶时长（路程速度60分）；“无人机”的用时=固定时长5+行驶时长（路程速度60分），计算即可解答；
任务2：设使用“无人机”配送了单，“传统骑手”配送了单，根据单数为 50单 列式为x+y=50；根据总运费支出为380元列式为10x+6y=380， 解方程组，计算即可解答；
任务3：①设购买旋翼A型台，旋翼B型台，根据费用列式为，表示出，然后讨论整数解，再根据取值进行确定方案，解答即可；
②根据①中的每种方案计算总载重量，然后进行比较即可解答．
1 / 1人教版七（下）数学第十章 二元一次方程组 单元测试提升卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2022七下·东城期末）已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y满足(　　)
A．y－x＝－4 B．y－x＝4 C．y－x＝－10 D．y－x＝10
3．（2025七下·余姚期中） 已知二元一次方程组的解是，则括号内的方程可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·深圳期末） 若关于，的方程组的解满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026八上·贵阳期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为：（　　）
A． B．
C． D．
6．（2026七上·北京期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何 ”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车：如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，何人与车各多少 设共有x人，y辆车，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·诸暨月考）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为 x，宽为 y，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有 m张正方形纸板和n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值可能是 (　　)
A．2 023 B．2 024 C．2 025 D．2 026
9．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④当方程组的解x，y都为自然数时，则有唯一值为0；
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10．（2025八上·龙岗月考）小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余70000元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余110000元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低15%，收入比去年高25%、设去年的收入为x元，销售成本为y元，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．方程是关于x，y的二元一次方程，则　 　 ．
12．（2024七下·汝城期中）如果是方程的一组解，那么代数式　 　．
13．（2025七上·新会期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为　 　．
14．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为　 　元．
15．（2021七下·栾城期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是　 　 cm．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．（2025七下·杭州月考）解方程组：
（1）；
（2）
17．已知==，且x+y+z=12，求x，y，z的值．
18．（2025七下·新会期中）已知，
（1）求x，y的值
（2）求的平方根．
19．（2025七下·衡阳月考）解决下列问题，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组我们利用加减消元法，可以求得此方程组得解为______．
（2）如何解方程组呢？我们可以把分别看成一个整体，设，请写出剩余过程，求出原方程组的解．
（3）已知关于、的方程组则方程组得解为多少？请写出求解过程．
20．（2026七下·期中）2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录，截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一，每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼，在春节前夕，某商家购进4，B两种型号的灯笼共100对，共用去3780元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表：
型号 进价（元 / 对） 售价（元 / 对）
A 54 72
B 27 32
（1）求该商家购进A，B两种型号的灯笼各多少对？
（2）为迎接新春到来，某单位购买A，B两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买A，B两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？
21．（2026七上·七星关期末）毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案：
方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元；
方案二：团体票（10人及以上）每张80元．
（1）小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？
（2）织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算；
（3）现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由．
22．（2025七下·望城期末）综合与实践
【任务驱动】
某校名同学要去参观某科技展览馆，已知该展览馆分为，，三个场馆，根据以下素材，解决相应问题【素材收集】
素材：购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元场馆门票为每张元．
素材：每名同学要选择且只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票．
【问题解决】
（1）求场馆和场馆的门票价格．
（2）在出发前，大家的初步参观意向为有名同学想参观场馆，名同学想参观场馆，名同学想参观场馆，在大家的初步参观意向下，按照素材与素材的条件，所需花费的门票总金额为元，求与的值．
（3）到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观场馆的同学人数多于参观场馆的同学人数，按照素材与素材的条件，最终花费的门票总金额为元，请求出符合条件的所有购买方案．
23．（2026八上·深圳期末）随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表：
类别 素材内容
素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长=行驶时长+固定消耗时长）
素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．
素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼A型”和“旋翼B型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼A型：单价万元，最大载重15千克； 旋翼B型：单价万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买．
问题解决：
任务 内容
任务1 现有一份紧急文件需要从A地送往B地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省__________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
任务2 根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？
任务3 根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？最大总载重是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的解，
∴，解得：a=2，
∴此点的坐标为：，
即此点坐标为，
∴此点在第四象限，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先求出，再求出a=2，最后求解即可。
2．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由x-m=7得m=x-7，由y+3=m得y=m-3，
所以y=x-7-3=x-10，
即y-x=-10，
故选：C.
【分析】把第一个方程变形为m=x-7，代入第二个方程，整理解答即可.
3．【答案】D
【知识点】判断是否为二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： 将解代入选项A：y 4x= 5，
即x= 2，y=3代入方程左边：3 4×( 2)=3+8=11，右边为 5，左边≠右边，故A不符合题意；
将解代入选项B：x=y 1
即y=3：右边=3 1=2，左边x= 2≠2，与右边相等，故B不符合题意；
将解代入选项C：y=2x+5
即代入x= 2，y=3：右边=2×( 2)+5= 4+5=1，左边y=3≠1，故C不符合题意；
将解代入选项D：2x 3y= 13
即x= 2，y=3：左边=2×( 2) 3×3= 4 9= 13，与右边相等，故D符合题意。
故答案为：D.
【分析】 题目给出一个二元一次方程组，其中第二个方程被省略，已知方程组的解为x=-2，y=3。需要从四个选项中选出可能作为第二个方程的选项。解题思路是将已知解代入每个选项的方程，验证等式是否成立，成立的即为正确选项。
4．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：对于方程组，
将①+②得：，
整理得：，两边同时除以10得：。
∵方程组的解满足，∴。
故答案为：D
【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质及求参数值，解题时观察方程组中两个方程的系数特征，发现将两个方程左右两边分别相加后，可整理出含的代数式，再通过化简得到与的等量关系，最后结合已知条件，代入后直接求出的值
5．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：
第一个方程x的系数为1，y的系数为3，常数项为18，第二个方程x的系数为2，y的系数为4，常数项为26，
∴可列方程为．
故答案为：D．
【分析】第一个方程x的系数为1，y的系数为3，常数项为18，第二个方程x的系数为2，y的系数为4，常数项为26，即可列方程.
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设共有x人，y辆车，则根据题意可列方程组为.
故答案为：C.
【分析】设共有x人，y辆车，根据每3人坐一辆车，那么有2辆空车 ，则用了辆车，坐了人，则，再根据每2人坐一辆车，那么有9人需要步行得，即可得方程组.
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】观察图形，根据 摆放后的两个大长方形的长相等可列出关于x、y的二元一次方程，整理即可求解．
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设 竖式和横式的两种无盖纸盒 分别为x个、y个，
则，
①+②得，5x+5y=m+n，
∴m+n的值必定是5的倍数，
据选项知 A、B、D不能被5整除，C选项2025能被5整除，
故答案为：C.
【分析】根据题意列出二元一次方程组，根据方程组知m+n的值能被5整除.
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得，4y=4-4a，
解得y=1-a，
将y=1-a代入②中得，x=2a+1，
则方程组的解为：，
① 当方程组的解x，y的值互为相反数时，
则x+y=0，即2a+1+1-a=0，
解得a=-2，故①正确；
② 当时，则方程组的解为：，
则x+y=3，
故②正确；
③x+2y=2a+1+2（1-a）=3，
∴ 无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④∵方程组的解x，y都为自然数，
∴方程组的自然数的解是，，
则a的值为1或0，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③；
故答案为：B.
【分析】先解出方程组，得出x，y的值用含a表示，再根据题意逐一验证即可.
10．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设去年的收入为x元，销售成本为y元
由题意可得：
故答案为：C
【分析】设去年的收入为x元，销售成本为y元，根据扣除成本后节余70000元，扣除成本后可节余110000元，建立方程组，解方程组即可求出答案.
11．【答案】或
【知识点】二元一次方程的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：方程是关于x，y的二元一次方程，
，，，
解得，，
或．
故答案为：或．
【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程，来确定m、n的值，进而求出 .
12．【答案】4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】∵是方程的一组解
∴2m-3n=2020
∴-2m+3n=-2020
∴2024-2020=4
故答案为：4.
【分析】将代入中，得到-2m+3n=-2020，再将其整体代入2024-2m+3n中，即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由题意得：与是相对面，与是相对面，与是相对面，
相对两面的数字之和相等，
可得：，
解得：．
故答案为： ．
【分析】根据正方体展开图的特征建立方程组，解方程组即可求出答案.
14．【答案】18
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元，
由图知，，
由①②得：，
整理得：，
第三束气球的价格为元．
故答案为：．
【分析】设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元，根据 一、二束气球列二元一次方程组，两方程相加求出4x+4y=36，即可得到第三束气球的价格.
15．【答案】20
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y=55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x=y，
据此可列：，
解得：，
因此木桶中水的深度为30×=20cm．
故填20．
【分析】考查方程思想及观察图形提取信息的能力．
16．【答案】（1）解：
由②得，③
得，
解得：
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：
由①得③
③+②得，
解得：，
将代入③得，
解得：
∴原方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先将方程组中的②方程整理成一般形式得到方程③，然后方程①×2+③消去y求出x的值，进而将x的值代入①方程求出y的值，即可得到方程组的解；
（2）先将方程组中的①方程整理成一般形式得到方程③，然后利用方程③+②消去y求出x的值，进而将x的值代入③方程求出y的值，即可得到方程组的解.
（1）解：
由②得，③
得，
解得：
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：
（2）解：
由①得③
③+②得，
解得：，
将代入③得，
解得：
∴原方程组的解为：．
17．【答案】解：设===t，
则x=3t﹣4，y=2t﹣3，z=4t﹣8，
代入x+y+z=12得
3t﹣4+2t﹣3+4t﹣8=12
解得：t=3，
x=3t﹣4=5，y=2t﹣3=3，z=4t﹣8=4．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设===t，则整理得出x=3t﹣4，y=2t﹣2，z=4t﹣8，代入x+y+z=12求得t，进一步代入求得x，y，z的值．
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根是；
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）
【解析】【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性，列出二元一次方程组求解x、y；
（2）将x、y的值代入表达式，先化简再求其平方根。
（1）解：∵，
∴，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根是
19．【答案】（1）
（2）解：设，
则原方程组变形为：，
解得，
∴，
解得：；

（3）解：设
则有：，
解得，
∴，
解得，

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1），
得：，即，
把代入①，得：，
解得，，
故此方程组的解为；
故答案为：；
【分析】（1）用加减消元法，求出x的值，然后把x的值代入①计算即可；
（2）设，则原方程组变形为：，解得，则，进而即可；
（3）设 则有，解得，则，进而即可；
（1）解：，
，得：，即，
把代入①，得：，
解得，，
故此方程组的解为；
故答案为：；
（2）解：设，则原方程组变形为：
，
解得，，
∴，
解得：；
（3）解：设则有：
，解得，
∴，
解得，
20．【答案】（1）解：设商家购进A种型号的灯笼a对，B种型号的灯笼b对，根据题意得：
，
解得，
答：商家购进A种型号的灯笼40对，B种型号的灯笼60对
（2）解：设商家购进A种型号的灯笼x对，B种型号的灯笼y对，根据题意得：，
即9x+4y=42，
两种型号都购买，
x，y均为正整数，
当x=1时，不为整数；
当x=2时，y=6，符合题意；
当x=3时，
当x=4时，，不为整数；不符合题意；
当x=5时，，不符合题意；
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设商家购进A种型号的灯笼a对，B种型号的灯笼b对，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设商家购进A种型号的灯笼x对，B种型号的灯笼y对，根据题意可得9x+4y=42，再求出整数解即可.
21．【答案】（1）解：设成年人数为，儿童数为，根据题意得，
解得：
答：小明一家有成年人4个，儿童3个
（2）解：方案一费用：（元）
方案二费用：（元）
选择方案一最划算
（3）解：全部个人票费用：（元）
全部团体票费用：（元）
购买张团体票（元）和张儿童票（元），总费用（元）
最省钱的购票方案是购买张团体票和张儿童票，总费用元
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)本题考察二元一次方程组在实际购票问题中的应用，设成年人 人、儿童 人，根据总人数 和总费用 ，列二元一次方程组，通过代入消元或加减消元法求解；
(2)本题考察方案选择问题，分别计算两种方案的总费用：方案一费用为 元，方案二费用为 元，比较大小后选择费用较低的方案一；
(3)本题考察最优购票方案设计，需考虑三种可能：全部买个人票（ 元）、全部买团体票（ 元）、混合购票（10人买团体票，1个儿童买个人票，费用为 元），对比后选择最省钱的混合方案。
（1）解：设成年人数为，儿童数为，根据题意得，
解得：
答：小明一家有成年人4个，儿童3个
（2）解：方案一费用：（元）
方案二费用：（元）
选择方案一最划算
（3）解：全部个人票费用：（元）
全部团体票费用：（元）
购买张团体票（元）和张儿童票（元），总费用（元）
最省钱的购票方案是购买张团体票和张儿童票，总费用元
22．【答案】（1）解：设场馆门票的价格为元，场馆门票的价格为元，
根据题意得：，
解得：．
答：场馆门票的价格为元，场馆门票的价格为元；
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：的值为，的值为；
（3）解：设购买张场馆门票，张场馆门票，则购买张场馆门票，
根据题意得：，
，
又，，均为正整数，
或，
共有种购买方案，
方案：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票；
方案：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)由题意分别设A、B的价格并列出二元一次方程组，求解方程组即可；
(2)根据票价与人数的关系列出关系p、t的方程组，求解方程组即可；
(3)设A、B的门票数量可得C的数量，由题意可得a、b的等量关系，由a、b为整数可得购买方案.
23．【答案】解：任务1： 29
任务2：设使用“无人机”配送了单，“传统骑手”配送了单，根据题意得，
解得
∴使用“无人机”配送了20单；
任务3：①设购买旋翼A型台，旋翼B型台，根据题意得，
，
解得，
∵取正整数，
∴为2的正整数倍，且取奇数，
符合要求的的取值如下
或或或
∴采购方案有：
方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台；
方案二：旋翼A型5台和旋翼B型5台；
方案三：旋翼A型8台和旋翼B型3台；
方案四：旋翼A型11台和旋翼B型1台；
②方案一总载重量为：（千克）；
方案二总载重量为：（千克）；
方案三总载重量为：（千克）；
方案四总载重量为：（千克）；
∵，
∴方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台总载重量最大，最大总载重是205千克．
【知识点】二元一次方程的解；有理数混合运算的实际应用；列二元一次方程；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务1：根据题意得，
“传统骑手”用时为（分钟），
“无人机”用时为（分钟），
（分钟），
故答案为：29；
【分析】
任务1：根据配送总时长=行驶时长+固定消耗时长， “传统骑手”的用时=固定时长10+行驶时长（路程速度60分）；“无人机”的用时=固定时长5+行驶时长（路程速度60分），计算即可解答；
任务2：设使用“无人机”配送了单，“传统骑手”配送了单，根据单数为 50单 列式为x+y=50；根据总运费支出为380元列式为10x+6y=380， 解方程组，计算即可解答；
任务3：①设购买旋翼A型台，旋翼B型台，根据费用列式为，表示出，然后讨论整数解，再根据取值进行确定方案，解答即可；
②根据①中的每种方案计算总载重量，然后进行比较即可解答．
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