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人教版七（下）数学第十章 二元一次方程组 单元测试培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
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阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2025·碧江模拟）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（　　）
A．78 B．87 C．88 D．89
【答案】A
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得，
，
整理得：
，
，，且都是自然数，
，
，是7的倍数，
，7，14，21，
，18，11，4；
共有4种情况：
①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；
②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；
③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；
④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只．
∴小鸡的只数可能是78，
故选：A．
【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求出答案.
2．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（　　）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
3．（2026七上·北京期末）当x取不同值时，多项式和的对应值分别如下表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
x 890 -2 -1 0 1 2 …
k1x+b1（k1≠0） … -1 0 1 2 3 …
k2x+b2（k2≠0） … -5 -3 -1 1 3 …
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否为二元一次方程的解；判断是否为二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：根据二元一次方程组解的定义，结合表格数据得的解为.
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程组的解是方程与的公共解，结合表格数据可得二元一次方程组的解.
4．（2025七下·慈溪期中）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（　　）
A．10m2 B．28m2 C．18m2 D．12m2
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形花圃的长为a m，宽为b m，根据题意，有.解得.
所以一个小长方形花圃的面积为7×4=28cm2.
故答案为：B.
【分析】设小长方形花圃的长为a m，宽为b m，根据题意列出关于a、b的二元一次方程组并求解，最后相乘得到小长方形花圃面积.
5．关于x，y的方程组 有无数组解，则a，b的值为（　　）.
A．a=0，b=0 B．a=-2，b=1 C．a=2，b=-1 D．a=2，b=1
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：关于x，y的方程组有无数组解，
∴a=-2，b=1.
故答案为：B.
【分析】根据方程组有无数组解，得到各系数对应相等，求出a与b的值即可.
6．（2025七下·南湖期中）若方程组的解为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组的解为
∴，即
又∵方程组
∴
解得
故答案为：C.
【分析】先根据方程组的解为，得到，进而得到，求解即可得到答案.
7．如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是（　　）
A．122 B．66 C．178 D．以上都错误
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解： 根据题意可得，解得
∴.
当时，代入有.
∴即标注问号的圆圈中的数应是122.
故答案为：A.
【分析】根据规律分别求出a、b，然后代入计算出标注问号的圆圈中的数即可.
8．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（　　）．
A．32元 B．33元 C．34元 D．35元
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别是x元、y元、z元，则有，②-①得x+3y=15. 而①式可变形为x+y+z+2(x+3y)=64，代入x+3y=15得x+y+z=34. 所以购买甲、乙、丙各1件，共需34元.
故答案为：C.
【分析】注意不需要求出x、y、z的具体值（实际也无法求出因为欠缺条件），根据题目所求，并运用整体代入的思维凑出题目所求的式子即可解答.
9．（2022七上·温州期末）方程的整数解的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，而是整数，是整数，且，
∴或或，
（1）当时，有①，②，
其中方程组①有整数解，②没有整数解；
(2)当时，有①，②，③，④，
其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解，方程组④没有整数解；
(3)当时，有①，②，
其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解；
综上所述，原方程组的整数有3个，
故选：C．
【分析】根据题意得出或或，据此，分为三种情况，分别判断出三种情况下，二元一次方程组的整数解的情况，即可得出答案.
10．对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（　　）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设y=ax+b，把x=3，y=3；x=2，y=2；x=1，y=-1；x=0，y=-3分别代入y=ax+b，得3a+b=3；2a+b=2；a+b=-1；0+b=-3.分别组方程组得：
；
解得：
；
解得：
解得：
∵四个结果中只有一个是错误的，
∴错误的结果是2
故答案为：B.
【分析】把x的四个值分别代入ax+b，会得到四个不同的方程。然后分别用两个组方程组解出，看有一个方程组的解与其他的不同，说明这个结果是错误的.
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．若关于x，y的二元一次方程组 的解是则关于x，y的二元一次方程组 的解是　 　
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：设x+1=X，y-2=Y，则可化为，
因为关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
所以X=2，Y=3，
所以x+1=2，y-2=3，解得x=1，y=5.
故答案为：.
【分析】设x+1=X，y-2=Y，将待求方程组，转化为求解.
12．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---提高篇）若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则 的值等于　 　．
【答案】﹣13
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵4x﹣3y﹣6z=0，
∴x= y+ z，
又∵x+2y﹣7z=0，
∴x=7z﹣2y，
∴7z﹣2y= y+ z，
解得y=2z，
把它代入x=7z﹣2y，
∴x=3z，
∴ = =﹣13，
【分析】把4x﹣3y﹣6z=0和x+2y﹣7z=0化为x=几z，y=几z，然后把它代入到所求的式子中，直接把三元化为一元。
13．（2017七下·五莲期末）解方程组 时，应该正确地解得 ，小明由于看错了系数c，得到的解为 则a﹣b﹣c=　 　．
【答案】1
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把 与 代入得： ，
解得： ，
把 代入得：3c+14=8，
解得：c=﹣2，
则a﹣b﹣c=4﹣5+2=1．
故答案为：1
【分析】因为 是正确解，代入原方程组既可以求c的值 ，又可得3a 2b=2，因为看错了系数c，但a、b并没看错，因此错误解代入方程组的第一个方程可得 a + b = 1 ，进而求出a、b.
14．（2025八上·鄞州月考）已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有　 　个．
【答案】2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：解方程组 得，
∵方程组的解是非负整数
∴
即，
∵方程组的解是非负整数，且为正整数，
∴和为非负整数，
由为非负整数可知，为8的正约数，
∵为正整数，
∴，
∴可取2，4，8，
解得可取1，3，7，
当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；
综上，正整数的值有1和3，共2个
故答案为：2．
【分析】
先把当作数字解关于x和y的二元一次方程组，再取使为x和y都是正整数的m的正整数解即可．
15．（2025八上·成都期末）若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为　 　；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为　 　．
【答案】3115；8136
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴四位数．
∴，．
∴．
∴当时，a可以取得最小值3．
又，
∴；
∵，
∴
．
∵为整数，
∴为整数．
又，，
∴或．①当时．根据题意可知，，
∴，．∴．
∴．
∴不符合题意．
②当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵ K为正整数，
∴．
∴．
∴；
∴．
③当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵K为正整数，．
∴不合．
∴．
综上所述，符合条件的的最大值为8136．
故答案为：3115，8136．
【分析】当，时，可知，，则，当时， a可以取得最小值3，且，据此即可求得答案；根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．（2020七上·景德镇期末）
（1）解方程组：
（2）
【答案】（1）解：
由②可得：
两边平方化简得： ，即
代入①得： ，即
解得： 或
将 代入②得： ，解得：
将 代入②得： ，解得：
故原方程组的解为： 或 ；
（2）解：
去括号化简得： ，即
得： ，解得：
将 代入①得： ，解得：
故原方程组的解为 .
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出 ，再代入第一个方程可求出y的值，然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
17．（2025七上·江阳期末）某商场有两种旅行包，每个大旅行包进价100元，售价130元，每个小旅行包售价60元，利润率．
（1）每个大旅行包的利润率为______，每个小旅行包的进价为______；
（2）若该商场同时购进两种旅行包共50个，恰好总进价为3200元，则该商场购进两种旅行包各多少个？
（3）在“元旦”期间，该商场对两种旅行包进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠方案
不超过400元 不打折
超过400元，但不超过600元 打九折
超过600元 其中600元部分打八折，超过600元部分打七折
按上述优惠方案，若小李一次性购买两种旅行包实际付款522元，求小李此次购物打折前的总金额．
【答案】（1），40元
（2）解：设该商场购进x个大旅行包，y个小旅行包，
根据题意得：，
解得：．
答：该商场购进20个大旅行包，30个小旅行包
（3）解：设小李此次购物打折前的总金额为m元，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
答：小李此次购物打折前的总金额为580或660元
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：每个大旅行包的利润率为；
每个小旅行包的进价为（元），
故答案为：，40元；
【分析】（1）利润率（售价进价）进价，代入已知的数据可求解；
（2）设该商场购进x个大旅行包，y个小旅行包，根据两种旅行包共50个，则x+y=50，总进价为3200元，则100x+40y=3200，二元一次方程组，解方程即可；
（3）因为实际付款 522 元，所以不属于不打折方案，可设小李此次购物打折前的总金额为m元，分及两种情况考虑，列出关于m的一元一次方程，解方程即可．
（1）解：根据题意得：每个大旅行包的利润率为；
每个小旅行包的进价为（元），
故答案为：，40元；
（2）解：设该商场购进x个大旅行包，y个小旅行包，
根据题意得：，
解得：．
答：该商场购进20个大旅行包，30个小旅行包；
（3）解：设小李此次购物打折前的总金额为m元，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
答：小李此次购物打折前的总金额为580或660元．
18．（2025七下·中山期末）中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足8m-6n=5，那么就称点P（1+n，1-2m）为“中山点”
（1）判断点是否为“中山点”，并说明理由；
（2）若点B（k，3）是“中山点”，求k的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“中山点”，求p，q的值.
【答案】（1）解：点A是“中山点”，理由如下：
，
点A是“中山点”。
（2）解：点B(k，3)是“中山点”，
，又，
解得.
（3）解：解方程组得
点C(x，y)是“中山点”，满足可求得
又，
.
整理得.
∵p，q是有理数，
∴，.
【知识点】解二元一次方程；二元一次方程组的其他应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先根据点A的坐标，求出m，n的值，然后把m，n的值代入 8m-6n=5，进行验证即可；
（2）根据“中山点”的定义，可得出方程组，解方程组，即可得出k的值；
(3)首先解 关于x，y的方程组 解得再根据“中山点”的定义，可求得，进一步根据m，n满足，可得出，再根据p，q是有理数，可求得p，q的值。
19．（2025七下·浙江期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价／（元／个） 售价／（元／个）
款 120
款 90
若该商场购进4个款足球和11个款足球需980元；购进2个款足球和3个款足球需340元．
（1）求和的值．
（2）某校在该商场一次性购买款足球个和款足球个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：＂买足球送跳绳＂的促销活动：＂买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳＂，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
【答案】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
∴m的值为80，n的值为60
（2）解：根据题意得：120x+90y=3000，
∴40x+30y=1000，
∴(120-80)x+(90-60)y=40x+30y=1000
答：该商场可获利1000元
（3）解：设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：(120-80-10)a+(90×3-60×3-10×2)b=600，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据“该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元”可得出关于m，n的二元一次方程组，解出即可得出m，n的值；
(2)利用销售总价=销售单价×销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论；
(3)设该日商场销售a个A款足球，36个B款足球，利用总利润=每个的销售利润×销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论.
20．（2024七下·奉化期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格200ml的甲品牌消毒液和规格500ml的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元．
（1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格；
（2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案；
（3）若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，现我校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？
【答案】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，
根据题意得：，
解得，
答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元.
（2）解：设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，
200a+500b=4000，
整理得，a=20-b，
当b=2时，a=15，
当b=4时，a=10，
当b=6时，a=5，
∴共有三种方案：方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液；
方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；
方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液；
（3）解：设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶， 设使用t天，
则，
由①得m=③，
把③代入②得：200×+500n=10000t，
解得t=5，
答：这批消毒液可使用5天.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据“ 购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元 ”列出方程组并解之即可；
（2）设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，根据“ 购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml”列出方程并求出整数解即可；
（3）设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶， 设使用t天，根据“ 采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元 ， 现我校在校师生共1000人 ，平均每人每天都需要使用10mL的消毒液”列出方程组并解之即可.
21．（2024九上·兰州期末）对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．
（1）已知点，，，．
①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________；
②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________；
③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值．
（2）如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：①A，C；
②或；
③∵点在第二象限，点在第四象限，
∴，，，，
∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，
∴，即
解得；
（2）解：．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系；二元一次方程组的应用-几何问题；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】（1）①∵，，，
∴点A到两坐标轴的距离之和为，
点B到两坐标轴的距离之和为，
点C到两坐标轴的距离之和为，
点D到两坐标轴的距离之和为，
∵点到两坐标轴的距离之和为，
∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C．
故答案为：A，C；
②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上，
∴设
∴点G到两坐标轴的距离之和为
∵A、G两点为“和合点”
∴，解得
∴点G的坐标为或；
故答案为：或；
（2）解：∵点是线段上的一动点，且满足，∴
∴点R到两坐标轴的距离之和为
∵R，S两点为“和合点”，
∴．
【分析】（1）①分别计算出四点到两坐标轴的距离之和，进而再求出点E到两坐标轴的距离之和，再根据“和合点”的定义，即可得出答案；
②设，根据“和合点”定义，得出，解得，进而即可得出点G的坐标；
③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，可得出方程组，求解即可；
（2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可．
（1）①∵，，，
∴点A到两坐标轴的距离之和为，
点B到两坐标轴的距离之和为，
点C到两坐标轴的距离之和为，
点D到两坐标轴的距离之和为，
∵点到两坐标轴的距离之和为，
∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C．
故答案为：A，C；
②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上，
∴设
∴点G到两坐标轴的距离之和为
∵A、G两点为“和合点”
∴，解得
∴点G的坐标为或；
③∵点在第二象限，点在第四象限，
∴，，，，
∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，
∴，即
解得；
（2）∵点是线段上的一动点，且满足，
∴
∴点R到两坐标轴的距离之和为
∵R，S两点为“和合点”，
∴．
22．（2025七下·义乌期中）根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖a人，二等奖32人，三等奖b人，且． （3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则　　，　　．
【答案】解：任务1：设一盒水笔元，一包笔记本元，
由题意得：，
解得：，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
任务2：设购买水笔盒，笔记本包，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
或或，
有3种购买方案：
①购买水笔2盒，笔记本8包；
②购买水笔4盒，笔记本5包；
③购买水笔6盒，笔记本2包；
答：将880元全部用完，可以购买水笔2盒，笔记本8包或水笔4盒，笔记本5包或水笔6盒，笔记本2包；
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务3：由题意可知，共需笔记本为本，水笔支，
方案①中，水笔为：(支，笔记本为：(本，
由题意得：，
解得：(不符合题意，舍去)；
方案②中，水笔为：(支，笔记本为：(本，
由题意得：，
解得：，符合题意；
方案③中，水笔为：(支，笔记本为：(本，
由题意得：，
解得：(不符合题意，舍去)；
综上所述，，，
故答案为：16，64
【分析】任务1：根据总费用=单价×数量列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买水笔盒，笔记本包，根据总费用=单价×数量列出二元一次方程，求出正整数解即可；
任务3：由题意可知，共需笔记本为本，水笔支，根据任务2中购买的奖品刚好全部发完，分别列出二元一次方程组，求解即可．
23．（2024七下·义乌期末）
素材1 某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ， 竖杠长为 8 dm ， 一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立， 劳动实践小组打算自己购买材料， 制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ， 价格为 50 元/根.
（1）【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢 (余料作废)】
方法①： 当只裁剪 8 dm 长的用料时， 最多可裁剪　 　根.
方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料　 　根.
方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料　 　根.
（2）【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏， 需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算： 分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料， 才能恰好得到所需要的相应数量的用料
（3）【任务三：劳动实践小组准备优化围栏： 将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ， 再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问： 购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余， 请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）
【答案】（1）7；5；2
（2）解：设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题意得，
方法②的裁剪 6 根， 方法③的裁剪 5 根.
（3）解：由题意可得：，
∵a、b为正整数，
∴，
∵搭建 10 副围栏共需 20 根 16 dm 的， 20 根 10 dm 的， 30 根 8 dm 的. 买 10 根 60 dm 的材料可得 20 根 根 10 dm ， 则少 20 根 8 dm ， 再买 3 根 60 dm 的， 每根可得 7 根 8 dm 的用料，
剩余材料的长度为： .
∴至少需要的费用为： （元）.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）方法①：60÷8=7…4，
∴当裁剪8dm长的用料时，最多可剪裁7根；
故答案为：7.
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，
∴当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料5根；
故答案为：5.
方法③：（60-2×20）÷8=20÷8=2…4，
∴当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料2根；
故答案为：2.
【分析】（1）方法①：由题意，用60除以8，所得商的整数值即为所求；
方法②：由题意，先用60减去20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
方法③：由题意，先用60减去2倍20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
（2）设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（3）根据相等关系“每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) ”可列关于a、b的二元一次方程，由a、b为正整数可求得a、b的值；根据题意求出剩余材料以及费用.
1 / 1人教版七（下）数学第十章 二元一次方程组 单元测试培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2025·碧江模拟）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（　　）
A．78 B．87 C．88 D．89
2．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（　　）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2026七上·北京期末）当x取不同值时，多项式和的对应值分别如下表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
x 890 -2 -1 0 1 2 …
k1x+b1（k1≠0） … -1 0 1 2 3 …
k2x+b2（k2≠0） … -5 -3 -1 1 3 …
A． B． C． D．
4．（2025七下·慈溪期中）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（　　）
A．10m2 B．28m2 C．18m2 D．12m2
5．关于x，y的方程组 有无数组解，则a，b的值为（　　）.
A．a=0，b=0 B．a=-2，b=1 C．a=2，b=-1 D．a=2，b=1
6．（2025七下·南湖期中）若方程组的解为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是（　　）
A．122 B．66 C．178 D．以上都错误
8．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（　　）．
A．32元 B．33元 C．34元 D．35元
9．（2022七上·温州期末）方程的整数解的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（　　）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．若关于x，y的二元一次方程组 的解是则关于x，y的二元一次方程组 的解是　 　
12．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---提高篇）若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则 的值等于　 　．
13．（2017七下·五莲期末）解方程组 时，应该正确地解得 ，小明由于看错了系数c，得到的解为 则a﹣b﹣c=　 　．
14．（2025八上·鄞州月考）已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有　 　个．
15．（2025八上·成都期末）若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为　 　；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为　 　．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．（2020七上·景德镇期末）
（1）解方程组：
（2）
17．（2025七上·江阳期末）某商场有两种旅行包，每个大旅行包进价100元，售价130元，每个小旅行包售价60元，利润率．
（1）每个大旅行包的利润率为______，每个小旅行包的进价为______；
（2）若该商场同时购进两种旅行包共50个，恰好总进价为3200元，则该商场购进两种旅行包各多少个？
（3）在“元旦”期间，该商场对两种旅行包进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠方案
不超过400元 不打折
超过400元，但不超过600元 打九折
超过600元 其中600元部分打八折，超过600元部分打七折
按上述优惠方案，若小李一次性购买两种旅行包实际付款522元，求小李此次购物打折前的总金额．
18．（2025七下·中山期末）中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足8m-6n=5，那么就称点P（1+n，1-2m）为“中山点”
（1）判断点是否为“中山点”，并说明理由；
（2）若点B（k，3）是“中山点”，求k的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“中山点”，求p，q的值.
19．（2025七下·浙江期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价／（元／个） 售价／（元／个）
款 120
款 90
若该商场购进4个款足球和11个款足球需980元；购进2个款足球和3个款足球需340元．
（1）求和的值．
（2）某校在该商场一次性购买款足球个和款足球个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：＂买足球送跳绳＂的促销活动：＂买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳＂，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
20．（2024七下·奉化期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格200ml的甲品牌消毒液和规格500ml的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元．
（1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格；
（2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案；
（3）若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，现我校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？
21．（2024九上·兰州期末）对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．
（1）已知点，，，．
①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________；
②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________；
③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值．
（2）如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．
22．（2025七下·义乌期中）根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖a人，二等奖32人，三等奖b人，且． （3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则　　，　　．
23．（2024七下·义乌期末）
素材1 某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ， 竖杠长为 8 dm ， 一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立， 劳动实践小组打算自己购买材料， 制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ， 价格为 50 元/根.
（1）【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢 (余料作废)】
方法①： 当只裁剪 8 dm 长的用料时， 最多可裁剪　 　根.
方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料　 　根.
方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料　 　根.
（2）【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏， 需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算： 分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料， 才能恰好得到所需要的相应数量的用料
（3）【任务三：劳动实践小组准备优化围栏： 将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ， 再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问： 购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余， 请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得，
，
整理得：
，
，，且都是自然数，
，
，是7的倍数，
，7，14，21，
，18，11，4；
共有4种情况：
①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；
②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；
③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；
④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只．
∴小鸡的只数可能是78，
故选：A．
【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
3．【答案】C
【知识点】判断是否为二元一次方程的解；判断是否为二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：根据二元一次方程组解的定义，结合表格数据得的解为.
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程组的解是方程与的公共解，结合表格数据可得二元一次方程组的解.
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形花圃的长为a m，宽为b m，根据题意，有.解得.
所以一个小长方形花圃的面积为7×4=28cm2.
故答案为：B.
【分析】设小长方形花圃的长为a m，宽为b m，根据题意列出关于a、b的二元一次方程组并求解，最后相乘得到小长方形花圃面积.
5．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：关于x，y的方程组有无数组解，
∴a=-2，b=1.
故答案为：B.
【分析】根据方程组有无数组解，得到各系数对应相等，求出a与b的值即可.
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组的解为
∴，即
又∵方程组
∴
解得
故答案为：C.
【分析】先根据方程组的解为，得到，进而得到，求解即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解： 根据题意可得，解得
∴.
当时，代入有.
∴即标注问号的圆圈中的数应是122.
故答案为：A.
【分析】根据规律分别求出a、b，然后代入计算出标注问号的圆圈中的数即可.
8．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别是x元、y元、z元，则有，②-①得x+3y=15. 而①式可变形为x+y+z+2(x+3y)=64，代入x+3y=15得x+y+z=34. 所以购买甲、乙、丙各1件，共需34元.
故答案为：C.
【分析】注意不需要求出x、y、z的具体值（实际也无法求出因为欠缺条件），根据题目所求，并运用整体代入的思维凑出题目所求的式子即可解答.
9．【答案】C
【知识点】绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，而是整数，是整数，且，
∴或或，
（1）当时，有①，②，
其中方程组①有整数解，②没有整数解；
(2)当时，有①，②，③，④，
其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解，方程组④没有整数解；
(3)当时，有①，②，
其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解；
综上所述，原方程组的整数有3个，
故选：C．
【分析】根据题意得出或或，据此，分为三种情况，分别判断出三种情况下，二元一次方程组的整数解的情况，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设y=ax+b，把x=3，y=3；x=2，y=2；x=1，y=-1；x=0，y=-3分别代入y=ax+b，得3a+b=3；2a+b=2；a+b=-1；0+b=-3.分别组方程组得：
；
解得：
；
解得：
解得：
∵四个结果中只有一个是错误的，
∴错误的结果是2
故答案为：B.
【分析】把x的四个值分别代入ax+b，会得到四个不同的方程。然后分别用两个组方程组解出，看有一个方程组的解与其他的不同，说明这个结果是错误的.
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：设x+1=X，y-2=Y，则可化为，
因为关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
所以X=2，Y=3，
所以x+1=2，y-2=3，解得x=1，y=5.
故答案为：.
【分析】设x+1=X，y-2=Y，将待求方程组，转化为求解.
12．【答案】﹣13
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵4x﹣3y﹣6z=0，
∴x= y+ z，
又∵x+2y﹣7z=0，
∴x=7z﹣2y，
∴7z﹣2y= y+ z，
解得y=2z，
把它代入x=7z﹣2y，
∴x=3z，
∴ = =﹣13，
【分析】把4x﹣3y﹣6z=0和x+2y﹣7z=0化为x=几z，y=几z，然后把它代入到所求的式子中，直接把三元化为一元。
13．【答案】1
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把 与 代入得： ，
解得： ，
把 代入得：3c+14=8，
解得：c=﹣2，
则a﹣b﹣c=4﹣5+2=1．
故答案为：1
【分析】因为 是正确解，代入原方程组既可以求c的值 ，又可得3a 2b=2，因为看错了系数c，但a、b并没看错，因此错误解代入方程组的第一个方程可得 a + b = 1 ，进而求出a、b.
14．【答案】2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：解方程组 得，
∵方程组的解是非负整数
∴
即，
∵方程组的解是非负整数，且为正整数，
∴和为非负整数，
由为非负整数可知，为8的正约数，
∵为正整数，
∴，
∴可取2，4，8，
解得可取1，3，7，
当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；
综上，正整数的值有1和3，共2个
故答案为：2．
【分析】
先把当作数字解关于x和y的二元一次方程组，再取使为x和y都是正整数的m的正整数解即可．
15．【答案】3115；8136
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴四位数．
∴，．
∴．
∴当时，a可以取得最小值3．
又，
∴；
∵，
∴
．
∵为整数，
∴为整数．
又，，
∴或．①当时．根据题意可知，，
∴，．∴．
∴．
∴不符合题意．
②当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵ K为正整数，
∴．
∴．
∴；
∴．
③当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵K为正整数，．
∴不合．
∴．
综上所述，符合条件的的最大值为8136．
故答案为：3115，8136．
【分析】当，时，可知，，则，当时， a可以取得最小值3，且，据此即可求得答案；根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案．
16．【答案】（1）解：
由②可得：
两边平方化简得： ，即
代入①得： ，即
解得： 或
将 代入②得： ，解得：
将 代入②得： ，解得：
故原方程组的解为： 或 ；
（2）解：
去括号化简得： ，即
得： ，解得：
将 代入①得： ，解得：
故原方程组的解为 .
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出 ，再代入第一个方程可求出y的值，然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
17．【答案】（1），40元
（2）解：设该商场购进x个大旅行包，y个小旅行包，
根据题意得：，
解得：．
答：该商场购进20个大旅行包，30个小旅行包
（3）解：设小李此次购物打折前的总金额为m元，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
答：小李此次购物打折前的总金额为580或660元
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：每个大旅行包的利润率为；
每个小旅行包的进价为（元），
故答案为：，40元；
【分析】（1）利润率（售价进价）进价，代入已知的数据可求解；
（2）设该商场购进x个大旅行包，y个小旅行包，根据两种旅行包共50个，则x+y=50，总进价为3200元，则100x+40y=3200，二元一次方程组，解方程即可；
（3）因为实际付款 522 元，所以不属于不打折方案，可设小李此次购物打折前的总金额为m元，分及两种情况考虑，列出关于m的一元一次方程，解方程即可．
（1）解：根据题意得：每个大旅行包的利润率为；
每个小旅行包的进价为（元），
故答案为：，40元；
（2）解：设该商场购进x个大旅行包，y个小旅行包，
根据题意得：，
解得：．
答：该商场购进20个大旅行包，30个小旅行包；
（3）解：设小李此次购物打折前的总金额为m元，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
答：小李此次购物打折前的总金额为580或660元．
18．【答案】（1）解：点A是“中山点”，理由如下：
，
点A是“中山点”。
（2）解：点B(k，3)是“中山点”，
，又，
解得.
（3）解：解方程组得
点C(x，y)是“中山点”，满足可求得
又，
.
整理得.
∵p，q是有理数，
∴，.
【知识点】解二元一次方程；二元一次方程组的其他应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先根据点A的坐标，求出m，n的值，然后把m，n的值代入 8m-6n=5，进行验证即可；
（2）根据“中山点”的定义，可得出方程组，解方程组，即可得出k的值；
(3)首先解 关于x，y的方程组 解得再根据“中山点”的定义，可求得，进一步根据m，n满足，可得出，再根据p，q是有理数，可求得p，q的值。
19．【答案】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
∴m的值为80，n的值为60
（2）解：根据题意得：120x+90y=3000，
∴40x+30y=1000，
∴(120-80)x+(90-60)y=40x+30y=1000
答：该商场可获利1000元
（3）解：设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：(120-80-10)a+(90×3-60×3-10×2)b=600，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据“该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元”可得出关于m，n的二元一次方程组，解出即可得出m，n的值；
(2)利用销售总价=销售单价×销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论；
(3)设该日商场销售a个A款足球，36个B款足球，利用总利润=每个的销售利润×销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论.
20．【答案】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，
根据题意得：，
解得，
答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元.
（2）解：设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，
200a+500b=4000，
整理得，a=20-b，
当b=2时，a=15，
当b=4时，a=10，
当b=6时，a=5，
∴共有三种方案：方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液；
方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；
方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液；
（3）解：设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶， 设使用t天，
则，
由①得m=③，
把③代入②得：200×+500n=10000t，
解得t=5，
答：这批消毒液可使用5天.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据“ 购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元 ”列出方程组并解之即可；
（2）设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，根据“ 购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml”列出方程并求出整数解即可；
（3）设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶， 设使用t天，根据“ 采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元 ， 现我校在校师生共1000人 ，平均每人每天都需要使用10mL的消毒液”列出方程组并解之即可.
21．【答案】（1）解：①A，C；
②或；
③∵点在第二象限，点在第四象限，
∴，，，，
∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，
∴，即
解得；
（2）解：．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系；二元一次方程组的应用-几何问题；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】（1）①∵，，，
∴点A到两坐标轴的距离之和为，
点B到两坐标轴的距离之和为，
点C到两坐标轴的距离之和为，
点D到两坐标轴的距离之和为，
∵点到两坐标轴的距离之和为，
∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C．
故答案为：A，C；
②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上，
∴设
∴点G到两坐标轴的距离之和为
∵A、G两点为“和合点”
∴，解得
∴点G的坐标为或；
故答案为：或；
（2）解：∵点是线段上的一动点，且满足，∴
∴点R到两坐标轴的距离之和为
∵R，S两点为“和合点”，
∴．
【分析】（1）①分别计算出四点到两坐标轴的距离之和，进而再求出点E到两坐标轴的距离之和，再根据“和合点”的定义，即可得出答案；
②设，根据“和合点”定义，得出，解得，进而即可得出点G的坐标；
③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，可得出方程组，求解即可；
（2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可．
（1）①∵，，，
∴点A到两坐标轴的距离之和为，
点B到两坐标轴的距离之和为，
点C到两坐标轴的距离之和为，
点D到两坐标轴的距离之和为，
∵点到两坐标轴的距离之和为，
∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C．
故答案为：A，C；
②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上，
∴设
∴点G到两坐标轴的距离之和为
∵A、G两点为“和合点”
∴，解得
∴点G的坐标为或；
③∵点在第二象限，点在第四象限，
∴，，，，
∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，
∴，即
解得；
（2）∵点是线段上的一动点，且满足，
∴
∴点R到两坐标轴的距离之和为
∵R，S两点为“和合点”，
∴．
22．【答案】解：任务1：设一盒水笔元，一包笔记本元，
由题意得：，
解得：，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
任务2：设购买水笔盒，笔记本包，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
或或，
有3种购买方案：
①购买水笔2盒，笔记本8包；
②购买水笔4盒，笔记本5包；
③购买水笔6盒，笔记本2包；
答：将880元全部用完，可以购买水笔2盒，笔记本8包或水笔4盒，笔记本5包或水笔6盒，笔记本2包；
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务3：由题意可知，共需笔记本为本，水笔支，
方案①中，水笔为：(支，笔记本为：(本，
由题意得：，
解得：(不符合题意，舍去)；
方案②中，水笔为：(支，笔记本为：(本，
由题意得：，
解得：，符合题意；
方案③中，水笔为：(支，笔记本为：(本，
由题意得：，
解得：(不符合题意，舍去)；
综上所述，，，
故答案为：16，64
【分析】任务1：根据总费用=单价×数量列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买水笔盒，笔记本包，根据总费用=单价×数量列出二元一次方程，求出正整数解即可；
任务3：由题意可知，共需笔记本为本，水笔支，根据任务2中购买的奖品刚好全部发完，分别列出二元一次方程组，求解即可．
23．【答案】（1）7；5；2
（2）解：设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题意得，
方法②的裁剪 6 根， 方法③的裁剪 5 根.
（3）解：由题意可得：，
∵a、b为正整数，
∴，
∵搭建 10 副围栏共需 20 根 16 dm 的， 20 根 10 dm 的， 30 根 8 dm 的. 买 10 根 60 dm 的材料可得 20 根 根 10 dm ， 则少 20 根 8 dm ， 再买 3 根 60 dm 的， 每根可得 7 根 8 dm 的用料，
剩余材料的长度为： .
∴至少需要的费用为： （元）.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）方法①：60÷8=7…4，
∴当裁剪8dm长的用料时，最多可剪裁7根；
故答案为：7.
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，
∴当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料5根；
故答案为：5.
方法③：（60-2×20）÷8=20÷8=2…4，
∴当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料2根；
故答案为：2.
【分析】（1）方法①：由题意，用60除以8，所得商的整数值即为所求；
方法②：由题意，先用60减去20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
方法③：由题意，先用60减去2倍20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
（2）设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（3）根据相等关系“每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) ”可列关于a、b的二元一次方程，由a、b为正整数可求得a、b的值；根据题意求出剩余材料以及费用.
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