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(共14张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.1 轴对称
9.1.1
生活中的轴对称
课时作业
A层练习
1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面四个汉字中，可以看作
是轴对称图形的是( ).
D
A. 爱 B. 国 C. 敬 D. 业
2.如图9.1.1-1所示的四个图案中，不属于轴对称图形的是( ).
D
A. B. C. D.
图9.1.1-2
3.如图9.1.1-2，两个四边形关于直线对称，则 ___
，___， 的大小为_____.
9
7
图9.1.1-3
4.如图9.1.1-3，已知点是 内一点，分别作
出点关于直线、的对称点、 ，连
结分别交于点，交于点 .若
，则的周长为____ .
10
5.如图9.1.1-4， ，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，
那么击打白球时，必须保证 的度数为多少？
图9.1.1-4
解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，必须有 .
， . .
B层练习
图9.1.1-5
6.如图9.1.1-5， ，为 上一点，点
、关于对称，点、关于对称，求 和
的大小.
图9.1.1-5
解： 点、关于 对称，
，即.
又点、关于 对称，
， .
，
.
. .
图9.1.1-6
7.如图9.1.1-6，将正五边形纸片 折叠，使点
与点重合，折痕为 ，展开后，再将纸片折叠，
使边落在线段上，点的对应点为点 ，折痕
为，求 的大小.
图9.1.1-6
解： 正五边形每个内角的度数为
，
将正五边形纸片折叠，使点与点 重合，
折痕为 ，
则 .
图9.1.1-6
将纸片折叠，使边落在线段上，点 的对应
点为点，折痕为 ，
则 ，
.
在中， .
C层练习
8.如图9.1.1-7，在三角形纸片中，, ，点 是边
上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点 处，当
时，求 的大小.#1
图9.1.1-7
解：由折叠的性质得，， .
①当点在 下方时（如图9.1.1-7T1）：
，
图9.1.1-7T1
.
.
②当点在上方时（如图9.1.1-7T2）： ，
图9.1.1-7T2
. .
综上所述，的大小为 或 .(共11张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
项目学习3
体育比赛计分
1.为迎接市中学生足球赛，某学校组织了班级足球比赛，下表是七年级
A，B，C，D四个班举行足球单循环赛的成绩：
班级 成绩 班级 A班 B班 C班 D班
A班 — ②
B班 ① —
C班 —
D班 —
表中成绩栏中的比为所有班级球队比赛的进球之比.如①表示B班与A班
的比赛中，B班以 获胜；②表示与①同一场比赛，A班输给了B班.按
规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若按得分由多到少排
名，则此次班级足球比赛的冠军是( ).
B
A. A班 B. B班 C. C班 D. D班
2.在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进
行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛.比赛规定：胜一场得3
分，平一场得1分，负一场得0分.赛季结束，积分排第1的获得冠军，积
分排第2的获得亚军， ，积分排第15和第16名的球队要降级
（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）.某赛季第27轮比赛
结束时，部分球队的积分排名如下表：#1
球队 积分 排名
甲队 42 1
乙队 40 2
… … …
A队 16 13
B队 16 13
C队 16 13
D队 16 13
（1）已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场.
①此时甲队胜、平各多少场？
解：设此时甲队胜场，平 场，
根据题意，得 解得
答：此时甲队胜13场，平3场.
②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由.
解 此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，理由如下：
设此时乙队胜场、平场、负 场.
根据题意，得
，得，即 .
若，则，即 .
，，，即 .
.为非负整数， .
将代入①、②可得， .
此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，即乙队胜13场、平1场、负
13场.
（2）在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队
之间进行，已知最后3场比赛A队得5分，B队一场未负得3分，A队胜C
队，C队胜D队，问：哪两队会被降级？为什么？
解 B、D两队被降级，理由如下：
根据最后3场比赛A队得5分可知，A队的比赛结果是1胜，2平；
根据最后3场比赛B队一场未负得3分可知，B队的比赛结果是3平.
队胜C队， 队平B队，A队平D队.
队胜D队，C队平B队，C队负A队， 队得4分.
队平B队，D队平A队，D队负C队， 队得2分.
队得分队得分队得分 队得分，
、D两队被降级.
或用列表法：
A B C D 各队得分
A — 平 A胜C 平 A队得5分
B 平 — 平 平 B队得3分
C C负A 平 — C胜D C队得4分
D 平 平 D负C — D队得2分
队得分队得分队得分 队得分，
、D两队被降级.(共18张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.4
中心对称
课时作业
A层练习
1.在如图9.4.1-1所示的交通标志中，不属于中心对称图形的是( ).
D
A. B. C. D.
2.在如图9.4.1-2所示的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
( ).
D
A. B. C. D.
3.如图9.4.1-3，和关于点 成中心对称.#1
图9.4.1-3
（1）找出它们的对称中心 ；
图9.4.1-3
解：连接，，交于点 ，此点
即为对称中心（ 如图9.4.1-3T）.
图9.4.1-3T
（2）若 ，则 的大小是_____；
图9.4.1-3
（3）若，，， 的周长是____.
20
4.如图9.4.1-4所示，请在网格中作出关于点对称的 .
图9.4.1-4
解： 即为所求（如图9.4.1
-4T）.
图9.4.1-4T
5.如图9.4.1-5，由4个全等的正方形组成的 形图案，请按下列要求画图：
图9.4.1-5
解：如图9.4.1-5T所示.
图9.4.1-5T
（1）在图案①中添加1个正方形，使它是轴对称图形（不能是中心对称
图形）；
图9.4.1-5
解 如图①②③所示.
（2）在图案②中添加1个正方形，使它是中心对称图形（不能是轴对称
图形）；
图9.4.1-5
解 如图④所示.
（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既
是中心对称图形，又是轴对称图形.
图9.4.1-5
解 如图⑤⑥所示.
B层练习
6.我们知道：长方形是常见的中心对称图形，两条对角线的交点是它的
对称中心.如图9.4.1-6，有一块钢板，工人师傅想把它分成面积相等的两
部分，有几种分法？请在图中画出作图痕迹.
图9.4.1-6
备用图1
备用图2
解：提供如图9.4.1-6T所示的三种分法.其中图③将钢板补成一个完整长
方形，作出大长方形对称中心和补上一块长方形的对称中心，过两个对
称中心作直线即可.
图9.4.1-6T
7.用六根一样长的小棒搭成如图9.4.1-7所示的图形，试移动、 这
两根小棒，使六根小棒成为中心对称图形.若移动、 这两根，能不
能也达到要求呢？请画出图形.#2
图9.4.1-7
解：能（如图9.4.1-7T1，T2）.
图9.4.1-7T1
图9.4.1-7T2
C层练习
8.“弦图”（如图9.4.1-8①）为我国古代著名的数学发明之一，请完成如
下与弦图有关的问题.#1
图9.4.1-8
（1）这个图形的对称性是( )；
B
A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 不是轴对称图形，但是中心对称图形
C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
图9.4.1-8
（2）图9.4.1-8②，是一幅未画完的“弦图”，请仅用无刻度的直尺，画
完这幅“弦图”.（保留画图痕迹）
图9.4.1-8
解：如图9.4.1-8T所示 .
图9.4.1-8T(共15张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.3 旋转
9.3.2
旋转的特征
课时作业
A层练习
图9.3.2-1
1.如图9.3.2-1，将绕点顺时针旋转 变为
，则下列说法不一定正确的是( ).
D
A. B.
C. D.
2.如图9.3.2-2，若正方形旋转后能与正方形 重合，则图中可
以作为旋转中心的点有___个.
3
图9.3.2-2
图9.3.2-3
3.如图9.3.2-3，是长为的线段，且
于点，则图中阴影部分的面积为___ .
图9.3.2-4
4.如图9.3.2-4，在中， ，
.将绕点 按逆时针方向旋转得
到，使点落在边上的点处，点 的对应
点为点，连结，求 的大小.
图9.3.2-4
解：， ， .
绕点逆时针旋转得到，点 恰好在
上，
， ，
.
.
，
.
B层练习
图9.3.2-5
5.如图9.3.2-5，一个万花筒图案，其中平行四边形
变成平行四边形.如果看成是经过以点
为旋转中心、旋转角为 的旋转移动得到的，那么
的大小为( ).
B
A. B.
C. D. 以上答案都不对
6.观察图9.3.2-6，回答下列问题：
图9.3.2-6
（1）请简述由图①变为图②的形成过程：_________________________
____；
（2）若，，则 的面积为____.
绕点逆时针旋转
24
图9.3.2-7
7.如图9.3.2-7，在四边形中， ，
，，点、分别是边、 上
的点，绕点逆时针旋转后到达 的位置.
（1）说明：、、 三点共线；
解：，， .
绕点逆时针旋转后到达 的位置，
. .
、、 三点共线.
图9.3.2-7
（2）若，试说明： .
解 ，
.
，
，即 .
C层练习
图9.3.2-8
8.对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段
两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 即
如图9.3.2-8，若，则点在线段 的垂
直平分线上.
图9.3.2-9
请根据以上材料，解决下列问题：
如图9.3.2-9，直线是等边三角形 的对称轴，
点在边上，点是线段 上的一个动点
（点不与点、重合），连结、， 经
顺时针旋转后与 重合.
（1）旋转中心是点___，旋转的角度是_____；
备用图
（2）当点从点向点移动时，连结，设 与
交于点 ，在备用图中将图形补全，并探究：
的大小是否保持不变？若不变，求 的大
小；若改变，说出变化情况.
图9.3.2-9T
解：补全图形如图9.3.2-9T所示.
的大小保持不变. 理由如下：
设与交于点，
直线是等边三角形 的对称轴，
， .
经顺时针旋转后与 重合，
， .
点在线段 的垂直平分线上.
， 点在线段 的垂直平分线上.
垂直平分，即 .
.
图9.3.2-9T(共14张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.5 图形的全等
课时1
图形的全等
课时作业
A层练习
1.下列说法中，不正确的是( ).
D
A. 全等三角形的周长相等
B. 全等三角形的面积相等
C. 全等三角形能够互相重合
D. 周长相等的两个三角形一定全等
图9.5.1-1
2.如图9.5.1-1，，其中和、和
是对应顶点.若，，，则 的
长为( ).
C
A. 6 B. 5 C. 4 D. 4或5
图9.5.1-2
3.如图9.5.1-2， ，下列结论错误
的是( ).
D
A. B.
C. D.
图9.5.1-3
4.如图9.5.1-3，已知 .
（1）判断与 的位置关系，并说明理由；
解： ，理由如下：
，
.
图9.5.1-3
（2）若，，求 的长.
解 ，
.
.
B层练习
5.如图9.5.1-4所示的是两个全等的五边形， ， ，指出
它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的、、、、 、
各字母所表示的值.#1
图9.5.1-4
解：对应顶点：和，和，和，和，和 ；
对应边：和，和，和，和，和 ；
对应角：和，和，和，和，和 .
两个五边形全等，
,,,,， .
图9.5.1-4
图9.5.1-5
6.如图9.5.1-5，将五边形纸片 按如图所示方
式折叠，折痕为，点、分别落在点、 处.已
知 ，求 的大小.
解： 折叠前后部分是全等的，
，
.
.
C层练习
7.我们把两个能够互相重合的图形称为全等形.
图9.5.1-6
（1）如图9.5.1-6，请你用四种方法把长和宽分别为5和3的长方形分成四
个均不全等的小长方形或正方形，且长方形或正方形的各边长均为整数；
图9.5.1-6
解：如图9.5.1-6T.所画图形如图①②③④所示.
图9.5.1-6T
（2）是否能将上述 的长方形分成五个均不全等、各边长均为整数
的长方形或正方形？若能，请画出.
图9.5.1-6
解 能，所画图形如图⑤所示.
图9.5.1-6T(共21张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.1 轴对称
9.1.3 作轴对称图形
9.1.4 设计轴对称图案
课时作业
A层练习
图9.1.3-1
1.如图9.1.3-1，、是直线两侧的点，以点 为圆
心，的长为半径作弧交直线于、 两点，再
分别以点、为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点，连结、、 ，则下列结论不
一定正确的是( ).
C
A. B. 直线
C. 点、关于直线对称 D. 点、关于直线 对称
2.如图9.1.3-2所示的是四种基本尺规作图，其中图①是作一个角的平分
线，图②是作一条线段的垂直平分线，图③是过直线外一点 作已知
直线的垂线，图④是过直线上一点 作已知直线的垂线.比较这些作图的
方法，发现有一个共同点，原图（角、线段和直线）都是轴对称图形，
而所作的图形都是原图形的________.
图9.1.3-2
对称轴
图9.1.3-3
3.如图9.1.3-3所示的是一个的方格图，点、、
都在格点上，在图中确定格点，并作出以、、 、
为顶点的四边形，使其为轴对称图形.（一个即可）
解：所作图形如图9.1.3-3T1、 所示.
图9.1.3-3T1
图9.1.3-3T2
4.如图9.1.3-4，已知和直线，作出关于直线 的对称图形.
图9.1.3-4
解：所作图形如图9.1.3-4T所示.
图9.1.3-4T
图9.1.3-5
5.如图9.1.3-5，是的角平分线，是
边上的高.
（1）用尺规作图，作出与 （保留作图痕迹，
不写作法）；
解：如图9.1.3-5T.
图9.1.3-5T
（2）若 ， ，求和 的大小.
图9.1.3-5
图9.1.3-5
解 是 的高，
.
.
， ，
.
平分 ，
.
.
B层练习
6.在 的方格内选五个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在
图9.1.3-6中画出你的四种方案.每个 的方格内限画一种，要求：
图9.1.3-6
① 五个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）；
② 将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形（若两个方案的
图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）.
解：如图9.1.3-6T.
图9.1.3-6T
7.如图9.1.3-7， ，为内部一点，连结 .
图9.1.3-7
（1）作线段关于直线、对称的线段，分别是、
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
解：图形如图9.1.3-7T所示.
图9.1.3-7T
图9.1.3-7
（2）求证：、、 三点在同一条直线上.
证明：、关于 对称，
.
、关于对称， .
， .
，即 .
、、 三点在同一条直线上.
C层练习
图9.1.3-8
8.如图9.1.3-8，、 两村在一条小河的同一侧，要
在河边建一座自来水厂向、 两村供水.
图9.1.3-8
（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选
在哪个位置？说明理由；
解：如图9.1.3-8T1，作线段的垂直平分线交河岸于点，则点 到
、 两村的距离相等.
图9.1.3-8T1
图9.1.3-8
（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂
址应选在哪个位置？说明理由.
图9.1.3-8T2
解 如图9.1.3-8T2，作点关于河岸的对称点 ，连结
，交河岸于点，则点 就是所要找的点.
理由如下：连结 ，
点和点 关于河岸对称,
（轴对称图形的基本特征）.
.
两点之间线段最短，
是最小的.(共17张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.2 平移
9.2.2
平移的特征
课时作业
A层练习
1.已知为数轴上表示的点，将点 沿着数轴向右平移4个单位长度
得到点，则点 所表示的数为( ).
B
A. 0 B. 1 C. 2 D.
2.如图9.2.2-1，将面积为5的沿方向平移至 的位置，平
移的距离是边长的2倍，则四边形 的面积为( ).
图9.2.2-1
B
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
图9.2.2-2
3.如图9.2.2-2，将沿直线 向右平移后到达
的位置，若 ， ，
则 的大小为_____.
图9.2.2-3
4.如图9.2.2-3，已知及外一点 ，平移
，使点移动到点 ，并保留画图痕迹.
解：如图9.2.2-3 所示.
图9.2.2-3T
5.如图9.2.2-4，将沿的方向平移得到 .
图9.2.2-4
（1）若 ， ，求 的大小；
解：由图形平移特征可知和 的形状、大小相同，对应角相等，
. ，
.
图9.2.2-4
图9.2.2-4
（2）若， ，求
平移的距离.
解 ， ，
.
平移的距离为 .
B层练习
图9.2.2-5
6.如图9.2.2-5，将沿方向平移 得到
，若的周长为 ，求四边形
的周长.
图9.2.2-5
解：根据题意，得 ，
， .
又 ，
四边形的周长 .
图9.2.2-6
7.如图9.2.2-6，小亮打算在一块长、宽
的长方形空地上种蔬菜，为了行走方便，他要设计
三条宽度都为 的小路.
（1）请帮小亮求出用于种菜部分的面积
（用含 的代数式表示）；
解：由图可得小路的总面积 ，
故种菜部分（即空白部分）的面积
.
图9.2.2-6
（2）当 时，求种菜部分的面积.
解 当 时，种菜部分（即空白部分）的面积
.
C层练习
8.如图9.2.2-7，在长方形中， ，第1次平移时将长方形
沿方向向右平移5个单位长度，得到长方形 ，第2次
平移时将长方形沿 方向向右平移5个单位长度，得到长
方形， ，第次平移时将长方形 沿
方向向右平移5个单位长度，得到长方形 .#1
图9.2.2-7
（1）求和 的长；
图9.2.2-7
解：，第1次向右平移5个单位长度，得到长方形 ，
第2次再向右平移5个单位长度，得到长方形， ，
，， .
.
.
图9.2.2-7
图9.2.2-7
（2）若的长为56，求 的值.
解 ， ，
，解得 .(共13张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
项目学习4
生活中的密铺
1.阅读与解答：
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形不留空隙、不重叠地拼接
在一起，就叫做图形的密铺.其中只用一种图形是单独密铺，使用多种
图形是组合密铺.密铺现象在我们的生活中随处可见，那为什么有的图
形可以，有的图形不可以密铺呢？我们一起来研究一下.
（1）观察三角形密铺的规律，列式说明正方形和普通四边形可以密铺
的理由，完成表格；
名称 正三角形 普通三角形 正方形 普通四边形
图形
密铺的 理由 _______________ ___________
___________
_______
（2）观察上表可以发现当图形中每个拼接点周围各个角的度数之和是
______时一定可以密铺；
（3）下面图形中不可以单独密铺的是_________（填字母序号）；
A. 直角三角形 B. 梯形 C. 正五边形
D. 正六边形 E.正八边形 F.正十边形
C、、
图X4-1
（4）如图X4-1是两种平行四边形的组合密铺，请用密铺
的知识分别求出：的大小为_____， 的大小为_____，
的大小为______.
2.在生活中，瓷砖是常见的装饰材料，用瓷砖铺地，要求砖与砖严丝合
缝，不留空隙，把地面全部铺满.从数学的角度看，这些工作就是用一
些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，或者说是用形状、大
小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重
叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称为平面图形的密铺.
【探究一】 只用如图X4-2所示的同一种类型的多边形地砖进行密铺，
可选择________（填写下列所有可选择的序号）；
图X4-2
①②④
【探究二】 共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺.
某中学新科技馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，
现打算购买其他种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三
角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，
并列方程说明理由.
解：①正三角形与正方形可以共顶点组合密铺.
设有个正三角形， 个正方形.
正三角形的每一个内角为 ，正方形的每一个内角为 ，
若想用个 与个 围成 ，
则，即 ，
这个二元一次方程的正整数解是
正三角形与正方形可以共顶点组合密铺.
②正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺.
设有个正三角形， 个正六边形.
正三角形的每一个内角为 ，正六边形的每一个内角为 ，若
想用个与个围成 ，
则，即 ，这个二元一次方程的正整数解
是或
正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺.
③正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合密铺；
设有个正三角形，个正方形， 个正六边形，
正三角形的每一个内角为 ，正方形的每一个内角为 ，正六
边形的每一个内角为 ，
若想用个 、个 与个 围成 ，
则，即 ，
这个三元一次方程的正整数解是
正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合密铺.
【探究三】 若我们可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面.镶嵌时每
个顶点处的正多边形有个，设这个正多边形的边数分别为， ，
， ，，请说明：与，，， ， 应满足什么关系？
解 正边形的每个内角为 ，
边数分别为，，， ， 的正多边形的每个内角为
,，, , .
.
.
.
与，，， ，应满足： .(共20张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.1 轴对称
9.1.2
轴对称的再认识
课时作业
A层练习
图9.1.2-1
1.如图9.1.2-1，正方形的边长为 ，则图中
阴影部分的面积为( ).
B
A. B. C. D.
图9.1.2-2
2.如图9.1.2-2，，以点 为圆心，适当长为
半径作弧，分别交、于点、 ，再分别以
点、为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相
交于点，作射线，交于点.若 ，
则 的大小为( ).
B
A. B. C. D.
3.如图9.1.2-3所示的是民间双喜图，它是一个轴对称图形，请画出它的
对称轴.
图9.1.2-3
解：如图9.1.2-3T，直线 即为所求.
图9.1.2-3T
图9.1.2-4
4.如图9.1.2-4，四边形 是长方形，
，依据尺规作图的痕迹，计算
的大小为_____.
5.如图9.1.2-5，已知，要使四边形 成为一个轴对称图形，
还需添加一个条件，你添加的条件是____________________________.
（写一个即可）
平分（答案不唯一）
图9.1.2-5
6.如图9.1.2-6，已知图中两个三角形关于直线 成轴对称，请利用尺规作
图作出对称轴 .（不写作法，保留作图痕迹）
图9.1.2-6
解：如图9.1.2-6T，对称轴 即为所求.
图9.1.2-6T
B层练习
图9.1.2-7
7.研究一类几何图形，我们首先需要给出这类图形的
定义.如图9.1.2-7，有这样一类凸四边形 ，它满
足， ，这时，我们习惯上将这样
的图形称为筝形.请你用文字语言给筝形下个定义：_
_____________________________________________
_____________________________.
有一条对角线所在的直线为对称轴的四边形是筝形（根据轴对称图形的定义解答）
图9.1.2-8
8.如图9.1.2-8，在中， ， .
（1）用尺规作图法作 的平分线，且该角平分线交
于点 （保留作图痕迹，不用写作法）；
解：如图9.1.2-8T， 为所求作的.
图9.1.2-8T
（2）点是边上的一点，当 时，求 的大小.
图9.1.2-8
图9.1.2-8
解 ， ，
.
平分 ，
.
，
即 .
， .
9.如图9.1.2-9，在中，将和按如图所示方式折叠，点、
均落于边上一点处，线段、为折痕.若 ，求
的大小.#2
图9.1.2-9
解： 线段、为折痕，， .
， .
.
.
图9.1.2-9
C层练习
10.如图9.1.2-10，在综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”
为主题开展数学探究活动.
图9.1.2-10
（1）操作判断：
操作一：把长方形对折，折痕交于点，交于点 ，再把纸
片展平；
操作二：将对折，点落在直线上的点处，得折痕 ；
操作三：将对折，点落在直线上的点处，得折痕 ，如图①.
图9.1.2-10
根据以上操作直接写出 的大小：_____.
图9.1.2-10
解：对折，点落在直线上，得折痕， .
对折，点落在直线上，得折痕， .
，
.
.
图9.1.2-10
（2）问题探究：
若操作一中的点为上（不与点、 重合）的任意一点，如图②，
问： 的大小是否改变？请说明理由；
图9.1.2-10
解 点在 上，不论位置如何变化，一边折叠后得两个角都相等，两
边得到的四个角相加都为平角，那么中间两个角的和肯定为直角 .
（3）拓展延伸：
按照操作二、操作三，使与重合，折痕为；与 重合，折
痕为.如图③，请直接写出 的大小.
图9.1.2-10
解 两边再次折叠后相当于把上次折叠产生的中间的两个角分成四份，
同样的道理，最中间的两个角等于四个角的和的一半，那么就是 .(共20张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.3 旋转
9.3.1
图形的旋转
课时作业
A层练习
图9.3.1-1
1.如图9.3.1-1，正方形 通过旋转得到正方形
，则旋转角度为( ).
C
A. B. C. D.
图9.3.1-2
2.如图9.3.1-2，在中，，将 逆
时针旋转到的位置.若 ，则旋转
中心是点___，旋转角度是_____.
图9.3.1-3
3.如图9.3.1-3， 是直角三角形，
，将绕点 逆时针旋转后，能
与重合，连结，则 的类型是
_________________.
等腰直角三角形
图9.3.1-4
4.如图9.3.1-4，是边长为 的等边三角
形，点是的中点，绕点 顺时针旋转
后到达 的位置，则旋转角度是_____，
___ .
1
图9.3.1-5
5.如图9.3.1-5，在由边长为1个单位长度的小正方形
组成的网格中， 的顶点分别在格点上，将
以点为中心，顺时针旋转 ，请在网格图
中画出旋转后的 .
解：略.
B层练习
图9.3.1-6
6.如图9.3.1-6，点是等边三角形 内一点，连结
、、，绕点 顺时针旋转后到达
的位置，则旋转角度是_____.
图9.3.1-7
7.如图9.3.1-7，在中， ，现
将绕点顺时针旋转角 后得到
，边交于点 .
（1）若 为锐角，则当 ____度时，
；
30
（2）当 时，，则 的大小为_____.
图9.3.1-8
8.如图9.3.1-8，点E、分别是正方形 的边
、上的点， ，绕点 逆时
针旋转后到达 的位置.
（1） 旋转了多少度？
解：旋转了 .
图9.3.1-8
（2）试说明： .
解 四边形是正方形， .
， .
，
，即 .
.
C层练习
9.如图9.3.1-9①，将一副三角尺的直角重合放置，其中 ，
.#1
图9.3.1-9
（1）求 的大小；
图9.3.1-9
解： ， ，
， .
.
图9.3.1-9
（2）若三角尺的位置保持不动，将三角尺绕其直角顶点 顺
时针旋转.
图9.3.1-9
图9.3.1-9
①当三角尺 旋转至如图9.3.1-9②所示位置时，
恰好，则 的大小为_____；
解析 ， .
，
，
.
②若将三角尺继续绕点 旋转，直至又回到如图9.3.1-9①所示的位置.
在这一过程中，是否还存在其中一边与 平行的情况？如果存在，
画出示意图，求出相应的 的大小；如果不存在，请说明理由.
图9.3.1-9
图9.3.1-9 T1
解 存在，具体情况如下：
如图9.3.1-91，时， ，
.
图9.3.1-9 T2
如图9.3.1-92，时，延长交于点 ，
则 .
在 中，
，
.
图9.3.1-9T3
如图9.3.1-93，时， ，
.
如图9.3.1-9T4，时， .
图9.3.1-9T4(共13张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.3 旋转
9.3.3
旋转对称图形
课时作业
A层练习
1.给出下列图形：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；
⑤梯形.其中属于旋转对称图形的有( ).
D
A. ①②③④⑤ B. ①②④⑤ C. ②③⑤ D. ①②④
2.在如图9.3.3-1所示的图形中，不属于旋转对称图形的是( ).
B
A. B. C. D.
图9.3.3-2
3.如图9.3.3-2，中华人民共和国香港特别行政区区旗
中紫荆花图案绕中心旋转 后能与原来的图案互相
重合，则 的最小值为____.
72
图9.3.3-3
4.如图9.3.3-3，在正方形中，是 边上一
点，连结，并将绕点 顺时针旋转到
的位置.
（1）填空： 的旋转角度是_____；
（2）直线与 有何位置关系？请说明理由.
图9.3.3-3
图9.3.3-3T
解：直线与 互相垂直.理由如下：
如图9.3.3-3T，延长交于点 .
是由旋转后得到， .
， .
.
.
B层练习
图9.3.3-4
5.如图9.3.3-4，在中，以点 为旋转中心，将
旋转到的位置，其中点、 分别是
点、的对应点，且点在 边上，按照上述方法
旋转， ，这样共旋转四次恰好构成一个旋
转对称图形，则的大小为_____， 的大
小为______.
6.如图9.3.3-5，将图形①以点为旋转中心，每次旋转 ，则第2 026
次旋转后的图形是____（填序号），并说明理由.
图9.3.3-5
③
解：观察图形，将图形①以点为旋转中心，每次旋转 ，得到下一
个图形，每旋转4次回到原来的位置，
而 ，所以第2 026次旋转后的图形与图形③一样.
图9.3.3-5
C层练习
图9.3.3-6
7.如图9.3.3-6，在中，， ，
，以为边向外作等边三角形 ，
将绕点顺时针旋转到 的位置.
（1） 旋转的角度是_____；
（2）求 的长.
图9.3.3-6
图9.3.3-6
解：根据题意，得， .
是等边三角形， .
.
（四边形的内角和等于 ），
.
.
、、三点共线. .(共15张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.2 平移
9.2.1
图形的平移
课时作业
A层练习
1.在如图9.2.1-1所示的四个图形中，不是由平移设计而来的是( ).
C
A. B. C. D.
2.如图9.2.1-2，四根火柴棒形象地摆出一个“口”字，现只通过平移火柴
棒，原图形能变成图9.2.1-3中的( ).
B
图9.2.1-2
A. B. C. D.
3.如图9.2.1-4，每个小正方形的边长都是1个单位长度，若 移到了
的位置，则平移的方向是________的方向，平移的距离是___
个单位长度.
射线
4
图9.2.1-4
4.如图9.2.1-5，将沿方向平移到 的位置，量得
，，则平移距离是___ .
3
图9.2.1-5
图9.2.1-6
5.如图9.2.1-6，某住宅小区内有一长方形地块，想
在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下
部分做绿化，若道路的宽为 ，则绿化部分的面
积为_____ .
540
图9.2.1-7
6.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个
单位长度， 三个顶点的位置如图9.2.1-7所
示，现将平移，使点移动到点 ，点
、分别是、 的对应点.
（1）请作出平移后的 ；
图9.2.1-7
解：如图9.2.1-7所示， 即为所求作的.
图9.2.1-7 T
图9.2.1-7
（2）连结、 ，通过观察或测量，直接写出
线段与 的位置关系与数量关系；
解 连结、，线段与 的位置关系是平
行，数量关系是相等.
图9.2.1-7
（3）求 的面积.
解 的面积为 .
B层练习
7.如图9.2.1-8，面积为的纸片沿方向平移至 的位
置，平移距离是长的2倍，求 纸片扫过的面积.
图9.2.1-8
图9.2.1-8
解： 平移距离是长的2倍， .
四边形的面积是 面积的3倍.
四边形的面积 .
纸片扫过的面积 .
C层练习
图9.2.1-9
8.如图9.2.1-9，在梯形中， ，
，，， 的长为奇数，试说
明： .
图9.2.1-9T
解：如图9.2.1-9T，将沿射线方向平移到 位
置，交于点 .
由图形平移的特征可得 ，
，
.
在中， ，即
.
的长为奇数， .(共25张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.5 图形的全等
课时2
轴对称、平移与旋转的
综合应用
课时作业
A层练习
图9.5.2-1
1.如图9.5.2-1所示的是一个标准的五角星，若将它绕
旋转中心旋转一定角度后，它能与自身重合，则至
少应旋转( ).
B
A. B. C. D.
图9.5.2-2
2.如图9.5.2-2，是正三角形内一点，若将
绕点旋转到，则 的大小为_____.
3.如图9.5.2-3，将沿方向平移得到 ，若四边形
的周长为，则的周长为____ .
16
图9.5.2-3
图9.5.2-4
4.如图9.5.2-4，已知和直线及直线上一点 .
（1）画出关于直线对称的 ；
解：如图9.5.2-4T， 即为所求.
图9.5.2-4T
（2）画出以点为对称中心的中心对称图形 ；
图9.5.2-4
解 如图9.5.2-4T， 即为所
求.
图9.5.2-4T
（3）与 是否关于某条直线对称？如果对称，请画
出对称轴.
图9.5.2-4
解 如图9.5.2-4T，直线 即为所求.
图9.5.2-4T
B层练习
图9.5.2-5
5.如图9.5.2-5，在中，是 边上的一点，
， ，将沿 折叠
得到，与交于点 .
（1）填空： 的大小为______；
图9.5.2-5
（2）求 的大小.
解： ， ，
.
是由 折叠得到的，
.
.
图9.5.2-6
6.如图9.5.2-6，已知， 于
点 .
（1）已知，，求 的长；
解：，， .
.
.
图9.5.2-6
（2）判断与 的位置关系，并说明理由.
解 ，理由如下：
， .
， .
.
，
，即 .
图9.5.2-7
7.如图9.5.2-7，直线是 的对称轴.
（1）尺规作图：作出中边上的高，
与交于点 ；（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图9.5.2-7T， 即为所求.
图9.5.2-7T
图9.5.2-7
（2）试说明 ；
解 直线是 的对称轴，
， .
. .
， . .
.
图9.5.2-7
（3）若 ，求和 的大小.
解 在 中，
，
.
在中， ，
.
C层练习
8.如图9.5.2-8，将两块全等的含 角的直角三角尺按图①所示方式放
置，已知 ， .
图9.5.2-8
（1）固定三角尺，然后将三角尺绕点 顺时针旋转至图②所
示的位置，与、分别交于点、，与交于点 .
图9.5.2-8
①填空：当旋转角等于 时， 的大小为______；
图9.5.2-8
②当旋转角等于多少度时，与 垂直？请说明理由；
图9.5.2-8
图9.5.2-8
解： 当与 垂直时，
，
由已知易得 ，
.
.
.
，即当旋转角等于 时，与 垂直.
图9.5.2-8
（2）将图②中的三角尺绕点 顺时针旋转至图③所示的位置，使
，与交于点，试说明： .
图9.5.2-8
解 ， ， ，即是 的高.
设，，则， .
，即 ，
，即 .
图9.5.2-8

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