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2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题 二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
（多选）9．（6分）若 a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的 a，b恒成立的是
一．单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
（ ）
符合题目要求的。
1．已知集合 M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（ M）∩N＝（ ） A．ab≤1 B． C．a
3+b3≥2 D．a2+b2≥2
R
A．{0，1，2} B．{1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{2，3} （多选）10．（6分）已知事件 A，B发生的概率分别为 ， ，则（ ）
2．若复数 为纯虚数，则实数 a＝（ ）
A．若 A与 B互斥，则
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
B．若 A与 B相互独立，则
3．不等式 的解集为（ ）
C．若 A与 B相互独立，则
A．{x|﹣2 x＜1} B．{x|﹣2＜x 1}
C．{x|x ﹣2或 x＞1} D．{x|x＜﹣2或 x 1} D．若 A与 B相互独立，则
4．数据 68，70，80，88，89，90，96，98的第 30百分位数为（ ） （多选）11．（6分）设数列{an}的前 n项和为 Sn，an+1＝an+1，S5＝﹣35，则（ ）
A．70 B．75 C．80 D．88 A．a7＝﹣3
5．抛物线 x2＝8y的准线方程为（ ） B．S3＝S12
A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2 C．对任意的 n∈N+，Sn≥S9
6．已知函数 f（x）＝logax与 g（x）＝ax（a＞0，a≠1）互为反函数．若 f（x）＝lnx的反函数 D．对任意的 m∈N+，3Sm+S3m＝3S2m
为 g（x），则 g（2）＝（ ） 三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
A．ln2 B．2e C．e2 D．2 12．△ABC中，角 A，B，C满足 cos2A﹣cos2B＝2sinC（sinB﹣sinC），则 的最小
7．设直线 l：3x﹣4y+m＝0，圆 C：（x﹣2）2+y2＝8，若在直线 l上存在一点M，使得过M的圆
值为 ．
C的切线 MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ＝90°，则 m的取值范围是（ ）
13．二项式 的展开式中 x2的系数为 （用数字作答）．
A．[﹣18，6] B．[﹣16，4] C．[﹣26，14] D．[﹣6，14]
14．已知正三棱台 ABC﹣A B C 的上、下底面边长分别为 1和 3，侧棱长为 2．记该棱台内能
8．若直线 y＝kx+b 1 1 1是曲线 y＝ln（2x+1）的切线，也是曲线 y＝ln（4x+1）的切线，则 k＝（ ）
容纳的最大的球为球 O ，在该棱台内且在球 O 外能容纳的最大的球为球 O ，则球 O 的体
A．2ln2 B．3 C．4ln2 D 4 1 1 2 2．
积为 ．
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四．解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知 Sn是数列{an}的前 n项和， ．
（1）求{an}的通项公式．
（2）已知 Tn是等差数列{bn}的前 n项和，且数列{Tn﹣an}也是等差数列．
（i）求{bn}的公差；
（ii）数列{cn}满足 bn+2cn+1＝bncn，b1，c1＞0，证明：c1+c2+…+cn＜b2c1．
18．（17分）已知椭圆 的长轴长为 4，离心率为 ．
（1）求椭圆 C的方程．
16．（ 15分 ） 已 知 向 量 ， ， 函 数 （2）设 F1，F2分别为椭圆 C的上、下焦点，P为椭圆 C上除上、下顶点外的一点，直线 PF1，
． PF2分别与椭圆 C交于另一点 D和 E，直线 DF2与椭圆 C交于另一点 G．
（i）求△PDF2面积的最大值；
（1）求函数 f（x）的解析式，并求当 时，f（x）的值域；
（ii）证明：直线 EG过定点．
（2）若 ，且α∈（0，π），求 的值．
（3）将函数 y＝f（x）的图象横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，且图象向左平移 个单
19．（17分）已知 f（x）＝ln（x+1）．
位得到 y＝g（x）的图象，若函数 y＝g（x）﹣k在 上恰有一个零点，求实数 k的
（1）设 h（x）＝xf（x﹣1），求 h（x）的极值．
取值范围．
（2）若 f（x）≤ax在[0，+∞）上恒成立，求 a的取值范围．
（3）若存在常数 M，使得对任意 x∈I，f（x）≤M恒成立，则称 f（x）在 I上有上界 M，函
数 f（x）称为有上界函数．如 y＝ex是在 R上没有上界的函数，y＝lnx是在（0，+∞）上没
17．（15分）已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝A1A＝3，AD＝6，点M在棱 A1A上，点 N
有上界的函数；y＝﹣ex，y＝﹣x2都是在R上有上界的函数．若 g（n）＝1
在棱 A1D1上，且 A1M＝2MA，D1N＝2NA1，P为棱 AD中点．
（n∈N*），则 g（n）是否在 N*上有上界？若有，求出上界；若没有，给出证明．
（1）求证：D1P∥平面 BMN；
（2）求平面 ADD1A1与平面 BMN夹角的余弦值；
（3）平面 BMN把长方体 ABCD﹣A1B1C1D1分割成两部分，求较小部分几何体的体积．
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参考答案 由数列{Tn﹣an}是等差数列，可得 T1﹣a1，T2﹣a2，T3﹣a3为等差数列，
一．选择题 即有 b1 ，2b1+d﹣2，3b1+3d 为等差数列，可得 2（2b1+d﹣2）＝b1 3b1+3d
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 ，
A A D C B C C C 解得公差 d＝1；答案
（ii）证明：由 bn+2cn+1＝bncn，可得 ，
二．多选题
则 cn＝c1 ... c1 ... ，
题号 9 10 11
c1+c2+…+cn＝c1（1 ... ）
答案 ACD ACD ACD
＝b1b2c1（ ... ）
三．填空题 ＝b1b2c1（ ）＝b2c1（1 ），
12． ． 由 b1，c1＞0，可得 c1+c2+…+cn＜b2c1．
13．45． 16．解：（ 1）已知向量 ， ，函数
14． ． ，
根据平面向量数量积的坐标运算可得
四．解答题
15．解：（1）由 ，可得 n＝1时，a1 ；
当 n≥2时，由 ，可得 a1 ... ，
，
相减可得 n，
当 时，则 ，所以 ，
即有 an n2（符合首项），
所以 f（x）的值域为 ；
则 a n2n （n∈N*）；
（2）若 ，且α∈（0，π），
（2）（i）设等差数列{bn}的公差为 d，
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由（1）， ，即 ，
又α∈（0，π），则 ，又 ，
则 B（6，3，0），A（6，0，0），A1（6，0，3），B1（6，3，3），C1（0，3，3），D （0，0，所以 ，故 ， 1
3），
所以根据二倍角的正弦公式可得 ，
M（6，0，1），N（4，0，3）， ， ，
根据二倍角的余弦公式可得 ，
设平面 BMN的法向量为 ，
根据两角和的正弦公式可得 ；
（3 则 ，由 ，）由题意，可得 ，
∵ ，∴ ，所以 ， 取 ，
且 g（x）在 上单调递增，在 上单调递减， ， 又平面 ADD1A1的一个法向量为 ，
平面 ADD1A1与平面 BMN夹角为θ，， ，
若函数 y＝g（x）﹣k在 上恰有一个零点，即方程 g（x）＝k恰有一根， 则 ，
即平面 ADD1A1与平面 BMN夹角的余弦值为 ；
所以 k的取值范围为 ．
（3）取 B1C1中点 R，由（1）知 BR∥MN，所以 B，M，N，R四点共面，
17．解：（1）证明：取 A1D1中点 Q，连接 AQ， ，
所以四边形 BMNR为梯形，
则 MN∥AQ，
设 BM∩QN＝S，则 S∈平面 A1B1C1D1，S∈平面 ABB1A1，
因为 QD1∥AP，QD1＝AP，
所以 S∈平面 A1B1C1D1∩平面 ABB1A1，
所以四边形 APD1Q为平行四边形，所以 D1P∥AQ，
所以 S∈直线 B1A1，所以直线 B1A1，直线 BM，直线 QN共点 S，
则 D1P∥MN，又 D1P 平面 BMN，MN 平面 BMN，
所以 A1MN﹣B1BR为三棱台，显然为体积较小部分，
所以 D1P∥平面 BMN；
因为 ， ，高 A1B1＝3，
（2）以 D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
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所以其体积为：
．
18．解：（1）设椭圆 C的半焦距为 c（c＞0），
由题可知 ，解得 ，
（ii）证明：由上知直线 ，
因此椭圆 C的方程为 ；
（2）（i）如图，由（1）可知 ． 联立直线 PF2与椭圆 C的方程，即 ，
由题可知直线 PD的斜率存在，设直线 ，
消去 y，可得 ，
联 立 直 线 PD与 椭 圆 C的 方 程 ， 即 ， 消 去 y， 可 得
因为 ，因此 ，
，
设 E（x3，y3），G（x4，y4），因此 ，
因此 ，由 ，可得 x1，x2异号，
又 x1≠0，因此 ，
因此
即 ，
，
当且仅当 ，即 k2＝2时“＝”成立， 同理可得 ，
又△PDF2的面积 ，
直线 PF1的方程为 ，
因此△PDF2的面积 ，
即△PDF2面积的最大值为 2； 联立直线 PF1与椭圆 C的方程，即 ，
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m′（x） a，
消去 y，可得 ，
当 a≤0时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，m（x）≥0，显然不满足．
当 0＜a＜1时，令 m′（x） ＝0， x0使 m′（x0）＝0，
因此 ，因此 ，
在（0，x0）上，m（x）单调递增；在（ x0，+∞）上，m（x）单调递减，显然不成立；
直线 EG的方程为 ， 当 a≥1时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，m（x）≤m（0）＝0；
由对称性可知：若直线 EG过定点，因此定点必在 y轴上， 综上：a≥1，即 a的取值范围是[1，+∞）．
令 x＝0，得 （3）没有上界，证明如下：
由（1）可知，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，
令 x ，则 ln（ 1） ，
所以 ln（ 1） ，ln（ 1） ，ln（ 1） ，…，ln（ 1） ，
将上式相加，ln（n+1）＜1 g（n）
由于 ln（n+1）没有上界，故 g（n）也没有上界．
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，
因此直线 EG过定点 ．
19．解：（1）h（x）＝xf（x﹣1）＝xlnx，x＞0，
h′（x）＝lnx+1，
令 h′（x）＝0，则 x ，
所以在（0， ）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
在（ ，+∞）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
所以函数 h（x）有极小值 h（ ） ，没有极大值．
（2）设 m（x）＝ln（x+1）﹣ax（x≥0），m（0）＝0，
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