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广西壮族自治区柳州市柳城县中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·柳城期中） 已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高二下·柳城期中）抛物线y2=4x的焦点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），
故选：D
【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案；本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
3．（2025高二下·柳城期中）已知，则（　　）
A．2 B．4 C． D．6
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：复数，则.
故答案为：C.
【分析】直接根据复数模的计算公式求解即可.
4．（2025高二下·柳城期中）若直线：与直线：平行，则（　　）
A．4 B． C．1或 D．或4
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：若直线：与直线：平行，
则，
整理可得，解得或，
若，直线：与直线：平行，符合题意；
若，直线：与直线：平行，符合题意，
综上所述：或.
故答案为：D.
【分析】根据直线一般方程的平行关系求出的值，再代入检验得出满足要求的m的值.
5．（2025高二下·柳城期中） 双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，则双曲线的渐近线为.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的标准方程直接写渐近线方程即可.
6．（2025高二下·柳城期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”，
由题意可得：，
则.
故答案为：A.
【分析】先记事件，再根据条件概率公式求解即可.
7．（2025高二下·柳城期中）一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（　　）
A．0.8 B．0.5 C．0.23 D．0.32
【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：依题意，教授迟到的概率为.
故答案为：C
【分析】代入全概率公式 P(D) = P(D|A) P(A) + P(D|B) P(B) + P(D|C) P(C) 得解.
8．（2025高二下·柳城期中）已知点是直线上的动点，点是曲线上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设曲线上切点为，
，求导可得，
则，解得，即 ，
点到直线的距离为，则的最小值为.
故答案为：B.
【分析】设曲线上切点为，平移直线，当与直线平行的直线与曲线相切时，切点到直线的距离即最小值，求导，求切点坐标，根据点到直线的距离公式求解即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·柳城期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】A,B,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、如果甲，乙必须相邻，将 甲，乙 捆绑，则不同的排法有种，故A正确；
B、若最左端排甲，则有种排法；
若最左端排乙，有种排法，则不同的排法共有42种，故B正确；
C、甲乙不相邻，则甲、乙插空，则不同的排法种数有种，故C错误；
D、甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解即可判断A；分最左端排甲，和最左端排乙两类求解即可判断B；根据甲乙不相邻，利用插空法求解即可判断C；根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解即可判断D.
10．（2025高二下·柳城期中）下列说法正确的是（　　）
A．设已知随机变量满足，则
B．若，则
C．若，设，则
D．若事件相互独立且，则
【答案】A,C,D
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点；条件概率
【解析】【解答】解：A、由，可得，故A正确；
B、若，则，故B错误；
C、若，则，故C正确；
D、因为相互独立，所以，
且，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据数学期望的性质求解即可判断A；根据二项分布的方差公式求解即可判断B；根据正态分布曲线的对称性求解即可判断C；根据条件概率公式求解即可判断D.
11．（2025高二下·柳城期中）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（　　）
A．两条异面直线和所成的角为
B．直线与平面所成的角等于
C．点到面的距离为
D．四面体的体积是
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
A、、、、，
则、，故，
故，即异面直线和所成的角为，故A错误；
B、，由轴平面，故平面法向量可为，
则，故直线与平面所成的角为，故B正确；
C、，，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故，故C正确；
D、易得四面体为正四面体，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线的夹角和线面夹角即可判断AB；利用空间向量法求点到面的距离即可判断C；根据正方体和棱锥的体积公式求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·柳城期中）的展开式中常数项是　 　（用数字作答）．
【答案】240
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为：，
令，解得，则的展开式的常数项为.
故答案为：240．
【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为0，求得，再求常数项即可.
13．（2025高二下·柳城期中）在等比数列中，已知，则　 　．
【答案】6
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，所以，解得，
若，由，可得，则，即，无解；
若，由，可得，则，解得，
则.
故答案为：.
【分析】设数列的公比为，由已知条件结合等比数列性质求得，再分类讨论结合等比数列的通项公式求解即可.
14．（2025高二下·柳城期中）一个动圆与圆 外切，与圆 内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：　 　.
【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设动圆的圆心为 ，半径为R，
因为动圆与圆 外切，与圆 内切，
所以 ，
所以 ，
所以动圆圆心的轨迹为以 为焦点的椭圆，
所以 ，
所以动圆圆心的轨迹方程为 ，
故答案为：
【分析】设动圆的圆心为 ，半径为R，根据动圆与圆 外切，与圆 内切，得到 ，两式相加得到 ，再根据椭圆的定义求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·柳城期中）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，
由题意可得，解得，
则；
（2）解：由（1）可得，
则数列的前项和.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列的通项公式与求和公式列式，求和，即可得等差数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和法求即可.
（1）解法一：设等差数列的首项为，公差为，
由已知，
解得，
所以．
解法二：因为，所以．
因为，所以.
所以，
所以.
（2）因为．
所以数列的前项和
16．（2025高二下·柳城期中）为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80
服用 150 70 220
合计 250 400
（1）求s，t；
（2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值；
（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由列联表知，；
（2）解：由列联表知，未服用药物的动物有（只），
未服用药物且患疾病的动物有（只），
所以未服用药物的动物患疾病的频率为，
所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为；
（3）解：零假设为：药物对预防疾病无效，
由列联表得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过，
所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效.
【知识点】独立性检验的应用；用频率估计概率；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据列联表直接求和即可得 s，t的值 ；
（2）根据列联表，利用频率估计概率即可；
（3）先进行零假设，再根据公式计算，最后与临界值比较判断即可.
（1）由列联表知，；
（2）由列联表知，未服用药物的动物有（只），
未服用药物且患疾病的动物有（只），
所以未服用药物的动物患疾病的频率为，
所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为；
（3）零假设为：药物对预防疾病无效，
由列联表得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过，
所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效.
17．（2025高二下·柳城期中）已知函数.
（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）若是的极小值点，求b的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，其中，
则，令，
化简得，解得（负值舍去），
又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为，即.
（2）解：由题可得定义域为，，
因是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）切线方程：先求函数导数，令导数等于切线斜率得切点横坐标，再求切点纵坐标，最后用点斜式写切线方程。
（2）极值点的参数范围：由极小值点的导数为 0，得到a与b的关系，代入导数表达式后，通过讨论导数的符号（结合b的不同取值），确定x=1为极小值点时b的范围。
（1）当时，，其中，
则，令，
化简得，解得（负值舍去），
又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为，即.
（2）由题可得定义域为，，
因是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
18．（2025高二下·柳城期中）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下：
x 1 2 3 4 5
y 75 84 93 98 100
（1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）；
（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考数据：．，，
附：相关系数，，
【答案】（1）解：由表中数据可得，，，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系，，则，
令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109；
（2）解：若选方案一 需付款元；
若选方案二 设需付款元，则的取值可能为，，
，
，因此选择方案二更划算．
【知识点】线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先计算数据的平均值，再根据相关系数公式求，判断人数与天数之间的关系可用线性回归模型拟合，再根据线性回归方程的知识求解即可；
（2）先计算方案一的付款；方案二中，设需付款元，由题意可知的取值可能为，根据二项分布的概率公式求出为的概率值，并求期望，比较即可判断.
（1）由表中数据可得，，所以，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．而，则所以
令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109．
（2）若选方案一 需付款元．
若选方案二 设需付款元，则的取值可能为，则，
，
所以，因此选择方案二更划算．
19．（2025高二下·柳城期中）在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
（3）求面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意知：，又，
解得.
椭圆的方程为：.
（2）证明：设，为线段AB的中点，所以，
因为A，B两点在椭圆上，
所以，两式相减可得：，
则，
即，
而直线OM的斜率为，
直线的斜率为，所以.
故直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
（3）解：因为直线的斜率不为，所以设直线的方程为：，
由方程组可得：，
可得，，
设点到直线的距离为，则，
即，
令，则，
所以，
当且仅当，即，则时取等，
所以面积的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标和短轴长，结合椭圆中a、b、c的关系，求出a、b的值，进而得到椭圆的标准方程。
（2）利用点差法，对A、B两点在椭圆上的方程作差，结合直线斜率的定义，证明直线OM与直线l的斜率乘积为定值。
（3）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再结合三角形面积公式，通过换元法和基本不等式求出面积的最大值。
（1）由题意知：，又，
解得.
椭圆的方程为：.
（2）设，为线段AB的中点，所以，
因为A，B两点在椭圆上，
所以，两式相减可得：，
则，
即，
而直线OM的斜率为，
直线的斜率为，所以.
故直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
（3）因为直线的斜率不为，所以设直线的方程为：，
由方程组可得：，
可得，，
设点到直线的距离为，则，
即，
令，则，
所以，
当且仅当，即，则时取等，
所以面积的最大值为.
1 / 1广西壮族自治区柳州市柳城县中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·柳城期中） 已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·柳城期中）抛物线y2=4x的焦点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
3．（2025高二下·柳城期中）已知，则（　　）
A．2 B．4 C． D．6
4．（2025高二下·柳城期中）若直线：与直线：平行，则（　　）
A．4 B． C．1或 D．或4
5．（2025高二下·柳城期中） 双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·柳城期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·柳城期中）一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（　　）
A．0.8 B．0.5 C．0.23 D．0.32
8．（2025高二下·柳城期中）已知点是直线上的动点，点是曲线上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·柳城期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
10．（2025高二下·柳城期中）下列说法正确的是（　　）
A．设已知随机变量满足，则
B．若，则
C．若，设，则
D．若事件相互独立且，则
11．（2025高二下·柳城期中）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（　　）
A．两条异面直线和所成的角为
B．直线与平面所成的角等于
C．点到面的距离为
D．四面体的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·柳城期中）的展开式中常数项是　 　（用数字作答）．
13．（2025高二下·柳城期中）在等比数列中，已知，则　 　．
14．（2025高二下·柳城期中）一个动圆与圆 外切，与圆 内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·柳城期中）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16．（2025高二下·柳城期中）为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80
服用 150 70 220
合计 250 400
（1）求s，t；
（2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值；
（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．（2025高二下·柳城期中）已知函数.
（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）若是的极小值点，求b的取值范围.
18．（2025高二下·柳城期中）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下：
x 1 2 3 4 5
y 75 84 93 98 100
（1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）；
（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考数据：．，，
附：相关系数，，
19．（2025高二下·柳城期中）在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
（3）求面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），
故选：D
【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案；本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
3．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：复数，则.
故答案为：C.
【分析】直接根据复数模的计算公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：若直线：与直线：平行，
则，
整理可得，解得或，
若，直线：与直线：平行，符合题意；
若，直线：与直线：平行，符合题意，
综上所述：或.
故答案为：D.
【分析】根据直线一般方程的平行关系求出的值，再代入检验得出满足要求的m的值.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，则双曲线的渐近线为.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的标准方程直接写渐近线方程即可.
6．【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”，
由题意可得：，
则.
故答案为：A.
【分析】先记事件，再根据条件概率公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：依题意，教授迟到的概率为.
故答案为：C
【分析】代入全概率公式 P(D) = P(D|A) P(A) + P(D|B) P(B) + P(D|C) P(C) 得解.
8．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设曲线上切点为，
，求导可得，
则，解得，即 ，
点到直线的距离为，则的最小值为.
故答案为：B.
【分析】设曲线上切点为，平移直线，当与直线平行的直线与曲线相切时，切点到直线的距离即最小值，求导，求切点坐标，根据点到直线的距离公式求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、如果甲，乙必须相邻，将 甲，乙 捆绑，则不同的排法有种，故A正确；
B、若最左端排甲，则有种排法；
若最左端排乙，有种排法，则不同的排法共有42种，故B正确；
C、甲乙不相邻，则甲、乙插空，则不同的排法种数有种，故C错误；
D、甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解即可判断A；分最左端排甲，和最左端排乙两类求解即可判断B；根据甲乙不相邻，利用插空法求解即可判断C；根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点；条件概率
【解析】【解答】解：A、由，可得，故A正确；
B、若，则，故B错误；
C、若，则，故C正确；
D、因为相互独立，所以，
且，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据数学期望的性质求解即可判断A；根据二项分布的方差公式求解即可判断B；根据正态分布曲线的对称性求解即可判断C；根据条件概率公式求解即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
A、、、、，
则、，故，
故，即异面直线和所成的角为，故A错误；
B、，由轴平面，故平面法向量可为，
则，故直线与平面所成的角为，故B正确；
C、，，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故，故C正确；
D、易得四面体为正四面体，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线的夹角和线面夹角即可判断AB；利用空间向量法求点到面的距离即可判断C；根据正方体和棱锥的体积公式求解即可判断D.
12．【答案】240
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为：，
令，解得，则的展开式的常数项为.
故答案为：240．
【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为0，求得，再求常数项即可.
13．【答案】6
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，所以，解得，
若，由，可得，则，即，无解；
若，由，可得，则，解得，
则.
故答案为：.
【分析】设数列的公比为，由已知条件结合等比数列性质求得，再分类讨论结合等比数列的通项公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设动圆的圆心为 ，半径为R，
因为动圆与圆 外切，与圆 内切，
所以 ，
所以 ，
所以动圆圆心的轨迹为以 为焦点的椭圆，
所以 ，
所以动圆圆心的轨迹方程为 ，
故答案为：
【分析】设动圆的圆心为 ，半径为R，根据动圆与圆 外切，与圆 内切，得到 ，两式相加得到 ，再根据椭圆的定义求解.
15．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，
由题意可得，解得，
则；
（2）解：由（1）可得，
则数列的前项和.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列的通项公式与求和公式列式，求和，即可得等差数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和法求即可.
（1）解法一：设等差数列的首项为，公差为，
由已知，
解得，
所以．
解法二：因为，所以．
因为，所以.
所以，
所以.
（2）因为．
所以数列的前项和
16．【答案】（1）解：由列联表知，；
（2）解：由列联表知，未服用药物的动物有（只），
未服用药物且患疾病的动物有（只），
所以未服用药物的动物患疾病的频率为，
所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为；
（3）解：零假设为：药物对预防疾病无效，
由列联表得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过，
所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效.
【知识点】独立性检验的应用；用频率估计概率；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据列联表直接求和即可得 s，t的值 ；
（2）根据列联表，利用频率估计概率即可；
（3）先进行零假设，再根据公式计算，最后与临界值比较判断即可.
（1）由列联表知，；
（2）由列联表知，未服用药物的动物有（只），
未服用药物且患疾病的动物有（只），
所以未服用药物的动物患疾病的频率为，
所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为；
（3）零假设为：药物对预防疾病无效，
由列联表得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过，
所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效.
17．【答案】（1）解：当时，，其中，
则，令，
化简得，解得（负值舍去），
又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为，即.
（2）解：由题可得定义域为，，
因是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）切线方程：先求函数导数，令导数等于切线斜率得切点横坐标，再求切点纵坐标，最后用点斜式写切线方程。
（2）极值点的参数范围：由极小值点的导数为 0，得到a与b的关系，代入导数表达式后，通过讨论导数的符号（结合b的不同取值），确定x=1为极小值点时b的范围。
（1）当时，，其中，
则，令，
化简得，解得（负值舍去），
又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为，即.
（2）由题可得定义域为，，
因是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
18．【答案】（1）解：由表中数据可得，，，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系，，则，
令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109；
（2）解：若选方案一 需付款元；
若选方案二 设需付款元，则的取值可能为，，
，
，因此选择方案二更划算．
【知识点】线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先计算数据的平均值，再根据相关系数公式求，判断人数与天数之间的关系可用线性回归模型拟合，再根据线性回归方程的知识求解即可；
（2）先计算方案一的付款；方案二中，设需付款元，由题意可知的取值可能为，根据二项分布的概率公式求出为的概率值，并求期望，比较即可判断.
（1）由表中数据可得，，所以，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．而，则所以
令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109．
（2）若选方案一 需付款元．
若选方案二 设需付款元，则的取值可能为，则，
，
所以，因此选择方案二更划算．
19．【答案】（1）解：由题意知：，又，
解得.
椭圆的方程为：.
（2）证明：设，为线段AB的中点，所以，
因为A，B两点在椭圆上，
所以，两式相减可得：，
则，
即，
而直线OM的斜率为，
直线的斜率为，所以.
故直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
（3）解：因为直线的斜率不为，所以设直线的方程为：，
由方程组可得：，
可得，，
设点到直线的距离为，则，
即，
令，则，
所以，
当且仅当，即，则时取等，
所以面积的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标和短轴长，结合椭圆中a、b、c的关系，求出a、b的值，进而得到椭圆的标准方程。
（2）利用点差法，对A、B两点在椭圆上的方程作差，结合直线斜率的定义，证明直线OM与直线l的斜率乘积为定值。
（3）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再结合三角形面积公式，通过换元法和基本不等式求出面积的最大值。
（1）由题意知：，又，
解得.
椭圆的方程为：.
（2）设，为线段AB的中点，所以，
因为A，B两点在椭圆上，
所以，两式相减可得：，
则，
即，
而直线OM的斜率为，
直线的斜率为，所以.
故直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
（3）因为直线的斜率不为，所以设直线的方程为：，
由方程组可得：，
可得，，
设点到直线的距离为，则，
即，
令，则，
所以，
当且仅当，即，则时取等，
所以面积的最大值为.
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