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广东省广州市天河中学2024-2025学年高二下学期期中基础考试数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分．
1．（2025高二下·天河期中）曲线在处的切线经过点，则实数的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2025高二下·天河期中）已知等比数列的前n项和为，若，则（　　）
A． B． C． D．
二、（选择性必修二教参P152第5题改编）
3．（2025高二下·天河期中）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
三、（选修性必修三P27第7题改编）
4．（2025高二下·天河期中）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（　　）
A．96 B．144 C．480 D．600
四、（2023山东烟台月考卷试题改编）
5．（2025高二下·天河期中）已知，该函数在时有极值0，则（　　）
A．4 B．7 C．11 D．4或11
五、（创新新设P26训练2改编）
6．（2025高二下·天河期中）从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·天河期中）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（　　）
A．40 B．48 C．52 D．60
8．（2025高二下·天河期中）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
六、多选题：本大题共3小题，共18分．
9．（2025高二下·天河期中）若，，则（　　）
A． B．
C． D．
七、（2025湖南省单元测）
10．（2025高二下·天河期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（　　）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
11．（2025高二下·天河期中）在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（　　）
A．曲线在点处的切线方程为
B．
C．曲线关于点对称
D．当时，
八、（选修性必修二P41综合应用第7题改编）
12．（2025高二下·天河期中）数列满足，首项为，则数列的通项公式　 　．
13．（2025高二下·天河期中）若直线与函数的图象相切，则　 　.
九、（选择性必修二教参P152第8题改编）
14．（2025高二下·天河期中）已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是　 　．
十、（选修性必修三P38第5题改编）
15．（2025高二下·天河期中）已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为．
（1）求和的值及展开式中项的系数；
（2）求的展开式中的常数项．
十一、（原创题）
16．（2025高二下·天河期中）已知数列的前项和为，．
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和；
（2）设，求数列的前项和．
17．（2025高二下·天河期中）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
18．（2025高二下·天河期中）已知函数，，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
十二、（选修性必修二P104拓广探索第19题改编）
19．（2025高二下·天河期中）已知函数，．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）已知函数有两个零点，，
①求实数的取值范围；
②证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，
由导数几何意义知，在处的切线斜率为，
当时，，切线经过点，则，解得.
故答案为：C．
【分析】求导，根据导数几何意义，结合斜率公式求实数的值即可.
2．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q，由，
可得，即，则
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列通项公式及前n项和公式结合，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由已知，函数的定义域为，所以，
由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，
即，可转化为在上恒成立，所以．
因为，所以，所以．
因此实数的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】 函数在定义域内单调递减等价于其导函数在定义域内恒小于等于 0，通过分离参数将问题转化为求新函数的最小值，进而确定参数 a 的取值范围。
4．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西有2选择，第五步涂湖南有2种选择，
所以共有种涂色方案.
故答案为：B
【分析】 根据相邻省份颜色不同的要求，结合分步乘法计数原理，按先涂中心省份、再涂周边省份的顺序计算涂色方案数。
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：容易得，
因在处取极值，
则且，
解得或，
当时，，
则在上单调递增，则无极值，不符合题意；
当时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则在处取极小值，符合题意，
故，则.
故答案为：C
【分析】 函数在某点取极值，需满足该点导数为 0 且函数值为 0，先联立方程求出参数，再检验导数在该点两侧符号变化，排除无极值的解，最终确定a+b的值。
6．【答案】C
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：从5，6，7，8，9中任取两个不同的数有种取法。
事件A=“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：共4种取法，
故，
事件B=“取到的两个数均为偶数”所包含的基本事件有共1种取法，
故，所以.
故答案为：C.
【分析】依据条件概率公式 ，先分别计算事件 发生的概率，以及事件 与 同时发生的概率，最终代入公式求解。
7．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先从四对双胞胎中选出一对，有种选择；
再从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，
这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选法，
根据分步乘法计数原理可知，其中恰有一对双胞胎的选法种数为种选法.
故答案为：B.
【分析】根据分步乘法原理计算即可.
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：构造函数，，
当时，，则，即在上单调递减，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即为上的偶函数，
则在上单调递增，而，故，
故当或时，，当或时，，
由可得或，解得或，
故不等式的解集为.
故答案为：B
【分析】构造函数，求导，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，再结合列不等式组求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：因，则，A正确；
展开式的通项，，当为奇数时，，当为偶数时，，
则，B正确；
，而，则，C错误；
，而，则，D正确.
故答案为：ABD
【分析】 利用二项式定理的通项公式求指定项系数，结合赋值法计算系数和、系数绝对值和及特定分式和，逐一验证选项。
10．【答案】A,C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A，若每人都安排一项工作，则每人选择一项工件有4种选法，
所以不同的方法数为种，故A正确；
B，若每项工作至少有1人参加，则有一项工作有2人，其余3项工作各1人，
先将5人分成4个组种分法，再安排这4个组的人各负责一项工作有种，
由分步计数原理有，故B错误；
C，因为每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，
故需从丙、丁、戊中选1人或2人从事司机工作，
若安排丙、丁、戊中1人从事司机工作有，若安排丙、丁、戊中2人从事司机工作有，
故不同安排方案的种数是，故C正确；
D，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，
把5名同学分按3，1，1分组安排有种安排方法，
把5名同学分按2，2，1分组安排有种安排方法，
故这5名同学全部被安排的不同方法数为种，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】 依据分步乘法计数原理、分组分配法（先分组后排列）以及分类加法计数原理，对每个选项涉及的排列组合问题进行分步计算与验证。
11．【答案】A,B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为直线的斜率为，所以的方程为，即，A正确.
因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，
故可设(其中)，则，
由，，得，，所以，B正确.
由选项B可知，，所以曲线关于点对称，C正确.
当时，有，，所以，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】 结合导数的几何意义、函数零点与解析式设定、中心对称判定及函数符号判断，对每个选项逐一推导验证。
12．【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
则数列是以为首项，以1为公差的等差数列，
所以，则.
故答案为：.
【分析】对递推关系式进行变形，构造出公差明确的新等差数列，通过求新数列的通项，反向推导出原数列的通项公式。
13．【答案】1
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，可得，
因为直线与函数的图象相切，故设切点为，
则，故，则，
故，
故答案为：1
【分析】利用导数的几何意义确定切点横坐标，再结合切点同时在直线和曲线上建立关系式，最终求解 a+b 的值。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数在区间上有两个零点，令，
即，得，.
记，，则.
当时，当时，
由此可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，，且当时，.
要使得在上有两个零点，则，
则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】将函数零点问题转化为方程 的根的个数问题，通过构造新函数 ，利用导数分析其在给定区间的单调性与极值、最值，进而确定 的取值范围，最终反推得到 的范围。
15．【答案】（1）解：因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得；
所以，令可得，解得；
所以展开式的通项为：，
令，解得，
所以项的系数为；
（2）解：
，
①当即时，；
②当即时，；
所求的常数项为．
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】(1) 利用二项式系数和公式 求出 ，再令 得到各项系数和从而求出 ；写出展开式通项，令 的幂次为 求出对应项系数。
(2) 将乘积拆分为两项，分别利用(1)的通项公式找到使 幂次为 的项，求和得到常数项。
（1）因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得；
所以，令可得，解得；
所以展开式的通项为：，
令，解得，
所以项的系数为；
（2），
①当即时，；
②当即时，；
所求的常数项为．
16．【答案】（1）解：数列的前项和为，，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列，
所以，所以，
，
所以；
（2）解：因为，
所以，
设数列的前项和为，
，
，
，
，
，
，
所以.
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 利用 （）将递推式转化为 与 的关系，构造新数列 证明其为等比数列，再分组求和求 。
(2) 先化简 与 的通项，再用错位相减法求前 项和 。
（1）数列的前项和为，，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列，
所以，所以，
，
所以；
（2）因为，
所以，
设数列的前项和为，
，
，
，
，
，
，
所以.
17．【答案】解：（1）圆柱的侧面积为，底面积为，
则圆柱形蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元，
蓄水池的总建造成本为元，
由，可得，
则，
因为，所以
故函数的定义域为；
（2）由（1）中，，求导可得（），
令，解得
则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
则当时该蓄水池的体积最大.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】（1）先计算圆柱的侧面积及底面积，再求总造价，求得，计算，由可得；
（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
（2）解：由，得，
由，得，当时，不等式显然成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，则；
当时，设，
则方程有两根，，于是，
当时，，则，在上单调递减，
又，则当时，，不满足条件，
所以的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 先对 求导，将导数因式分解后，根据参数 的不同取值范围，讨论导数的符号，进而确定 的单调区间。
(2) 先将不等式化简，构造新函数 ，通过求导分析其单调性，结合 处的边界条件，分类讨论 的取值，使不等式对 恒成立。
（1）函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
（2）由，得，
由，得，当时，不等式显然成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，则；
当时，设，
则方程有两根，，于是，
当时，，则，在上单调递减，
又，则当时，，不满足条件，
所以的取值范围是.
19．【答案】（1）解：当时，，
则，所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）①解：函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，在上单调递增，所以不可能有2个零点；
当时，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，当时，，
所以要满足函数有2个零点，只需，
即，
整理得，
设，函数的定义域为，
则，所以在定义域上单调递增，
且，则不等式的解集为，
所以的取值范围为；
②证明：由①知，，则，
要证明，即证明，
不妨设，
因为，所以，
又，函数在上单调递增，
此时需证明，
当，时，
可得，
因为，即证明，
设，函数的定义域为，
则
，
所以在单调递增，则，
，所以，
所以，
即，命题得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 先代入 求出 及 ，计算 和 ，再用点斜式写出切线方程。
(2) ① 求导分析 单调性，结合极值与零点个数确定 的范围；
② 构造辅助函数，利用单调性将不等式转化为函数值大小关系进行证明。
（1）当时，，
则，所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）①函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，在上单调递增，所以不可能有2个零点；
当时，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，当时，，
所以要满足函数有2个零点，只需，
即，
整理得，
设，函数的定义域为，
则，所以在定义域上单调递增，
且，则不等式的解集为，
所以的取值范围为；
②由①知，，则，
要证明，即证明，
不妨设，
因为，所以，
又，函数在上单调递增，
此时需证明，
当，时，
可得，
因为，即证明，
设，函数的定义域为，
则
，
所以在单调递增，则，
，所以，
所以，
即，命题得证.
1 / 1广东省广州市天河中学2024-2025学年高二下学期期中基础考试数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分．
1．（2025高二下·天河期中）曲线在处的切线经过点，则实数的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，
由导数几何意义知，在处的切线斜率为，
当时，，切线经过点，则，解得.
故答案为：C．
【分析】求导，根据导数几何意义，结合斜率公式求实数的值即可.
2．（2025高二下·天河期中）已知等比数列的前n项和为，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q，由，
可得，即，则
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列通项公式及前n项和公式结合，求解即可.
二、（选择性必修二教参P152第5题改编）
3．（2025高二下·天河期中）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由已知，函数的定义域为，所以，
由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，
即，可转化为在上恒成立，所以．
因为，所以，所以．
因此实数的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】 函数在定义域内单调递减等价于其导函数在定义域内恒小于等于 0，通过分离参数将问题转化为求新函数的最小值，进而确定参数 a 的取值范围。
三、（选修性必修三P27第7题改编）
4．（2025高二下·天河期中）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（　　）
A．96 B．144 C．480 D．600
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西有2选择，第五步涂湖南有2种选择，
所以共有种涂色方案.
故答案为：B
【分析】 根据相邻省份颜色不同的要求，结合分步乘法计数原理，按先涂中心省份、再涂周边省份的顺序计算涂色方案数。
四、（2023山东烟台月考卷试题改编）
5．（2025高二下·天河期中）已知，该函数在时有极值0，则（　　）
A．4 B．7 C．11 D．4或11
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：容易得，
因在处取极值，
则且，
解得或，
当时，，
则在上单调递增，则无极值，不符合题意；
当时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则在处取极小值，符合题意，
故，则.
故答案为：C
【分析】 函数在某点取极值，需满足该点导数为 0 且函数值为 0，先联立方程求出参数，再检验导数在该点两侧符号变化，排除无极值的解，最终确定a+b的值。
五、（创新新设P26训练2改编）
6．（2025高二下·天河期中）从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：从5，6，7，8，9中任取两个不同的数有种取法。
事件A=“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：共4种取法，
故，
事件B=“取到的两个数均为偶数”所包含的基本事件有共1种取法，
故，所以.
故答案为：C.
【分析】依据条件概率公式 ，先分别计算事件 发生的概率，以及事件 与 同时发生的概率，最终代入公式求解。
7．（2025高二下·天河期中）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（　　）
A．40 B．48 C．52 D．60
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先从四对双胞胎中选出一对，有种选择；
再从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，
这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选法，
根据分步乘法计数原理可知，其中恰有一对双胞胎的选法种数为种选法.
故答案为：B.
【分析】根据分步乘法原理计算即可.
8．（2025高二下·天河期中）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：构造函数，，
当时，，则，即在上单调递减，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即为上的偶函数，
则在上单调递增，而，故，
故当或时，，当或时，，
由可得或，解得或，
故不等式的解集为.
故答案为：B
【分析】构造函数，求导，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，再结合列不等式组求解即可.
六、多选题：本大题共3小题，共18分．
9．（2025高二下·天河期中）若，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：因，则，A正确；
展开式的通项，，当为奇数时，，当为偶数时，，
则，B正确；
，而，则，C错误；
，而，则，D正确.
故答案为：ABD
【分析】 利用二项式定理的通项公式求指定项系数，结合赋值法计算系数和、系数绝对值和及特定分式和，逐一验证选项。
七、（2025湖南省单元测）
10．（2025高二下·天河期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（　　）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
【答案】A,C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A，若每人都安排一项工作，则每人选择一项工件有4种选法，
所以不同的方法数为种，故A正确；
B，若每项工作至少有1人参加，则有一项工作有2人，其余3项工作各1人，
先将5人分成4个组种分法，再安排这4个组的人各负责一项工作有种，
由分步计数原理有，故B错误；
C，因为每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，
故需从丙、丁、戊中选1人或2人从事司机工作，
若安排丙、丁、戊中1人从事司机工作有，若安排丙、丁、戊中2人从事司机工作有，
故不同安排方案的种数是，故C正确；
D，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，
把5名同学分按3，1，1分组安排有种安排方法，
把5名同学分按2，2，1分组安排有种安排方法，
故这5名同学全部被安排的不同方法数为种，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】 依据分步乘法计数原理、分组分配法（先分组后排列）以及分类加法计数原理，对每个选项涉及的排列组合问题进行分步计算与验证。
11．（2025高二下·天河期中）在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（　　）
A．曲线在点处的切线方程为
B．
C．曲线关于点对称
D．当时，
【答案】A,B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为直线的斜率为，所以的方程为，即，A正确.
因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，
故可设(其中)，则，
由，，得，，所以，B正确.
由选项B可知，，所以曲线关于点对称，C正确.
当时，有，，所以，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】 结合导数的几何意义、函数零点与解析式设定、中心对称判定及函数符号判断，对每个选项逐一推导验证。
八、（选修性必修二P41综合应用第7题改编）
12．（2025高二下·天河期中）数列满足，首项为，则数列的通项公式　 　．
【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
则数列是以为首项，以1为公差的等差数列，
所以，则.
故答案为：.
【分析】对递推关系式进行变形，构造出公差明确的新等差数列，通过求新数列的通项，反向推导出原数列的通项公式。
13．（2025高二下·天河期中）若直线与函数的图象相切，则　 　.
【答案】1
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，可得，
因为直线与函数的图象相切，故设切点为，
则，故，则，
故，
故答案为：1
【分析】利用导数的几何意义确定切点横坐标，再结合切点同时在直线和曲线上建立关系式，最终求解 a+b 的值。
九、（选择性必修二教参P152第8题改编）
14．（2025高二下·天河期中）已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数在区间上有两个零点，令，
即，得，.
记，，则.
当时，当时，
由此可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，，且当时，.
要使得在上有两个零点，则，
则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】将函数零点问题转化为方程 的根的个数问题，通过构造新函数 ，利用导数分析其在给定区间的单调性与极值、最值，进而确定 的取值范围，最终反推得到 的范围。
十、（选修性必修三P38第5题改编）
15．（2025高二下·天河期中）已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为．
（1）求和的值及展开式中项的系数；
（2）求的展开式中的常数项．
【答案】（1）解：因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得；
所以，令可得，解得；
所以展开式的通项为：，
令，解得，
所以项的系数为；
（2）解：
，
①当即时，；
②当即时，；
所求的常数项为．
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】(1) 利用二项式系数和公式 求出 ，再令 得到各项系数和从而求出 ；写出展开式通项，令 的幂次为 求出对应项系数。
(2) 将乘积拆分为两项，分别利用(1)的通项公式找到使 幂次为 的项，求和得到常数项。
（1）因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得；
所以，令可得，解得；
所以展开式的通项为：，
令，解得，
所以项的系数为；
（2），
①当即时，；
②当即时，；
所求的常数项为．
十一、（原创题）
16．（2025高二下·天河期中）已知数列的前项和为，．
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：数列的前项和为，，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列，
所以，所以，
，
所以；
（2）解：因为，
所以，
设数列的前项和为，
，
，
，
，
，
，
所以.
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 利用 （）将递推式转化为 与 的关系，构造新数列 证明其为等比数列，再分组求和求 。
(2) 先化简 与 的通项，再用错位相减法求前 项和 。
（1）数列的前项和为，，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列，
所以，所以，
，
所以；
（2）因为，
所以，
设数列的前项和为，
，
，
，
，
，
，
所以.
17．（2025高二下·天河期中）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【答案】解：（1）圆柱的侧面积为，底面积为，
则圆柱形蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元，
蓄水池的总建造成本为元，
由，可得，
则，
因为，所以
故函数的定义域为；
（2）由（1）中，，求导可得（），
令，解得
则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
则当时该蓄水池的体积最大.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】（1）先计算圆柱的侧面积及底面积，再求总造价，求得，计算，由可得；
（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.
18．（2025高二下·天河期中）已知函数，，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
（2）解：由，得，
由，得，当时，不等式显然成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，则；
当时，设，
则方程有两根，，于是，
当时，，则，在上单调递减，
又，则当时，，不满足条件，
所以的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 先对 求导，将导数因式分解后，根据参数 的不同取值范围，讨论导数的符号，进而确定 的单调区间。
(2) 先将不等式化简，构造新函数 ，通过求导分析其单调性，结合 处的边界条件，分类讨论 的取值，使不等式对 恒成立。
（1）函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
（2）由，得，
由，得，当时，不等式显然成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，则；
当时，设，
则方程有两根，，于是，
当时，，则，在上单调递减，
又，则当时，，不满足条件，
所以的取值范围是.
十二、（选修性必修二P104拓广探索第19题改编）
19．（2025高二下·天河期中）已知函数，．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）已知函数有两个零点，，
①求实数的取值范围；
②证明：．
【答案】（1）解：当时，，
则，所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）①解：函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，在上单调递增，所以不可能有2个零点；
当时，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，当时，，
所以要满足函数有2个零点，只需，
即，
整理得，
设，函数的定义域为，
则，所以在定义域上单调递增，
且，则不等式的解集为，
所以的取值范围为；
②证明：由①知，，则，
要证明，即证明，
不妨设，
因为，所以，
又，函数在上单调递增，
此时需证明，
当，时，
可得，
因为，即证明，
设，函数的定义域为，
则
，
所以在单调递增，则，
，所以，
所以，
即，命题得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 先代入 求出 及 ，计算 和 ，再用点斜式写出切线方程。
(2) ① 求导分析 单调性，结合极值与零点个数确定 的范围；
② 构造辅助函数，利用单调性将不等式转化为函数值大小关系进行证明。
（1）当时，，
则，所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）①函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，在上单调递增，所以不可能有2个零点；
当时，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，当时，，
所以要满足函数有2个零点，只需，
即，
整理得，
设，函数的定义域为，
则，所以在定义域上单调递增，
且，则不等式的解集为，
所以的取值范围为；
②由①知，，则，
要证明，即证明，
不妨设，
因为，所以，
又，函数在上单调递增，
此时需证明，
当，时，
可得，
因为，即证明，
设，函数的定义域为，
则
，
所以在单调递增，则，
，所以，
所以，
即，命题得证.
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