资源简介

广西壮族自治区柳州铁一中学、玉林实验中学、广西师范大学附属外国语学校2025届高二下学期5月联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·柳州月考）集合则=（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·柳州月考）已知角的终边在直线上，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·柳州月考）为响应国家“体重管理年”的号召，某校高二年级对四个班的同学体重数据进行分析.将四个班同学的体重数据分别绘制成下图所示的频率分布直方图，则班级平均体重高于该班体重中位数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高二下·柳州月考）若，则的值为（　　）
A． B． C．
5．（2025高二下·柳州月考）已知向量，点D在的延长线上且，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·柳州月考）函数，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·柳州月考）已知正三棱台的体积为，，，则点A到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·柳州月考）如图，边长为1的正方形.中，为各边中点，连接，它们的交点分别为，记的面积为；四边形各边中点分别为，连接，它们的交点分别为，记的面积为.依此方法一直继续下去，记的面积为则趋近于（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·柳州月考）若，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则或
B．若，则
C．
D．
10．（2025高二下·柳州月考）如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是动点在棱上，则（　　）
A．
B．直线BD与直线AP所成角为90°
C．平面与平面ABCD的夹角为60°
D．多面体的外接球体积为
11．（2025高二下·柳州月考）已知双曲线与动圆.恰有两个交点，则（　　）
A．双曲线C的离心率为2
B．双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为
C．双曲线 C上存在一条弦，该弦的中点坐标为
D．过双曲线C的一个焦点 F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·柳州月考）二项式的展开式中含项的系数为　 　．
13．（2025高二下·柳州月考）已知函数，且，若，且，则　 　.
14．（2025高二下·柳州月考）将若干块下图所示的由2×3个小正方形组成的矩形砖恰好铺成由6×5个小正方形组成的矩形，有　 　种不同的铺法；若恰好铺成由6×20个小正方形组成的矩形，有　 　种不同的铺法.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·柳州月考）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式在上恒成立， 求实数a的取值范围.
16．（2025高二下·柳州月考）已知，，分别为△ABC的三个内角，，的对边，
（1）求角C的大小；
（2）若 求△ABC的内切圆面积最大值.
17．（2025高二下·柳州月考）某店将年第四季度购车的车主性别与购车类型统计如下表所示（单位：人），已知从该季度所有购车的车主中随机抽取人，抽到购买燃油车的女性车主的概率为.
　 购买燃油车 购买新能源车
男性车主
女性车主
（1）求的值；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为购车车主的性别与购车类型有关
（3）为了回馈部分消费者，现从上述购买燃油车的车主中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人赠送礼品，记这人中女性车主的人数为，求的分布列以及.
参考公式：
参考数据：
18．（2025高二下·柳州月考）在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为正方形.
（1）求证：平面；
（2）设的中点为且，.若为平面上的一点，且，求与平面所成角正弦值的最小值.
19．（2025高二下·柳州月考）已知是抛物线上一点， 以点为圆心，1为半径的圆过的焦点.按如下方式依次构造点.过点作斜率为的直线与C交于另一点点为关于轴的对称点.
（1）求的方程；
（2）令证明是等差数列，并求其通项公式；
（3）设是的面积，求证：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，即，解得，集合，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】先解一元二次不等式求得集合，根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式；直线的斜率
【解析】【解答】解：易知直线的斜率，则.
故答案为：C.
【分析】易知直线的斜率，再根据正切的二倍角的公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：频率分布直方图中，若直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多，如果直方图在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，如果直方图在左边“拖尾”，则平均数小于中位数，若班级平均体重高于该班体重中位数，则直方图应在右边“拖尾”.
故答案为：A.
【分析】根据频率分布直方图的特征，结合中位数、平均数的定义直接判断即可.
4．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得.
故答案为：B.
【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的坐标运算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，求导可得，
将代入，可得，
即，移项可得，即，解得，
将代入，可得，
将代入，
可得.
故答案为： A.
【分析】函数求导，将代入到导函数求得的值，得到函数的解析式，再求的值即可.
7．【答案】B
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：延长，相交于点，得到三棱锥，
取的中心，连接，点在上，
且⊥平面，⊥平面，为正三棱台的高，
其中，，
正三棱台的体积为，
即，
解得，
因为 ，所以，故，，
故，
连接并延长，交于点，则为中点，⊥，
连接，因为，所以⊥，
故，，
由勾股定理得，
所以，
设点A到平面的距离为，则，即，解得.
故答案为：B.
【分析】延长相交于点，得到三棱锥，取的中心，连接，点在上，根据棱台体积求出棱台的高，得到锥体的高和体积，利用等体积法求点到平面的距离即可.
8．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：分析第一个小正方形与大正方形面积的关系：
已知，则一个大正方形面积等于个小正方形面积，
即，那么可得，
推导后续小正方形与前一个小正方形面积的关系：
按照同样的规律，第二个小正方形的面积与第一个小正方形的面积关系为.将代入上式，
可得，
同理，第三个小正方形的面积与第二个小正方形的面积关系为，进一步可得，
总结第个小正方形面积的规律：
通过前面的推导，可以总结出第个小正方形的面积，
并且旁边三角形面积和最中间小正方形面积相等，
则，
，
当，，
故趋近于.
故答案为：C.
【分析】分析第一个小正方形与大正方形面积的关系可得，后续推导小正方形与前一个小正方形面积的关系，找出规律来求解第个小正方形的面积，得到三角形面积规律，借助等比数列求和公式求和即可.
9．【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、取，，满足，
但不满足或，故A错误；
B、若，则，故B正确；
C、设，，
，
，
，则，故C正确；
D、由C可知，，，只有时，其它情况不相等，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】取特殊复数即可判断A；根据共轭复数的定义即可判断B；设，，根据复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式求解即可判断C；由C选项，结合复数的乘方、以及复数模的运算求解即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：在平行六面体中，易知，
则
，即，故A正确；
B、连接AC交BD于O，连接，如图所示：
因为，，所以为等边三角形，四边形为菱形，，
同理可得，也为等边三角形，即也为等边三角形，，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，故B正确；
C、连接交于，连接，，如图所示：
平面，平面，，
又，平面平面，
所以就是平面与平面ABCD的夹角，
在平行六面体中，，
因为，为等边三角形，所以，，
则，故C错误；
D、连接交于，为、中点，
又，，所以四边形为正方形，
，又，
所以，
即，所以多面体外接球球心在中点处，
半径，体积，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知，利用向量的数量积以及向量模的求法求解即可判断A；连接AC交BD于O，连接，利用线面垂直的判定证明平面，结合线面垂直的性质求解即可判断B；连接交于，连接，，找出平面与平面ABCD的夹角并计算即可判断C；根据题意可确定球心在中点处，求出半径，再根据球的体积公式求解即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：A、联立C与M的方程，消去x整理可得，
即，由题意得，
由m的任意性，解得，则，离心率，故A正确；
B、直线是双曲线C的一条渐近线，圆心到该渐近线的距离为，
圆M的半径为，则该渐近线被圆M截得的弦长为，故B错误；
C、设中点为的弦所在的直线与C交于，两点，
则，，且，
两式相减可得
化简得，
所以中点弦所在直线方程为，即，
联立，得，
，所以存在，故C正确；
D、不妨设，圆心，半径，
，
在中，，
所以，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】联立圆与双曲线方程联立，根据，结合m的任意性，解得，再求离心率即可判断A；易知双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离，结合勾股定理求弦长即可判断B；设中点为的弦所在的直线与C交于，两点，根据点差法，结合点与双曲线的位置关系，即可判断C；不妨设，圆心，半径，在中，求即可判断D.
12．【答案】720
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项式为，
令，得，
则二项式中展开式中含项的系数为720．
故答案为：720.
【分析】先写出展开式的通项，令，求解即可.
13．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得的对称中心为，
则，即，解得，
因为，且，所以，，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可得的对称中心为，利用函数的对称性得到，解得，再根据同角三角函数基本关系求解即可.
14．【答案】2；114
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设在6×5个小正方形组成的矩形中，如上图水平放置的有个，垂直放置的有个，其中，，则，可知，故由2×3个小正方形组成的矩形砖恰好铺成由6×5个小正方形组成的矩形，共有种不同的铺法；
设在6×20个小正方形组成的矩形中，如上图水平放置的有个，垂直放置的有个，
其中，，则，可知或或或.
当时，共有种铺法；
当时，从9个位置中选择2个水平放置2×3的矩形，共有种不同的铺法；
当时，从8个位置中选择4个水平放置2×3的矩形，共有种不同的铺法；
当时，从7个位置中选择6个水平放置2×3的矩形，共有种不同的铺法；
故由2×3个小正方形组成的矩形砖恰好铺成由6×20个小正方形组成的矩形，共有种不同的铺法.
故答案为：2；114.
【分析】设在6×5个小正方形组成的矩形中，水平放置的有个，垂直放置的有个，由题意可得，则，结合组合知识求解即可；设在6×20个小正方形组成的矩形中，如上图水平放置的有个，垂直放置的有个，其中，，则，解得或或或，分类讨论，结合组合知识求解即可.
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导可得，
若，恒成立，在上单调递增；
若，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，若，在上单调递增；
若，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由（1）可知不等式，
即在上恒成立，
即在上恒成立，只需即可，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，所以．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由（1）由（1）可知不等式，即在上恒成立，
分离参数，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得 实数a的取值范围.
（1）由题意可知，，则，
若，恒成立，在上单调递增．
若，当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，若，在上单调递增；
若，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知不等式，
即在上恒成立，
即在上恒成立，只需即可．
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，所以．
16．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
则，
因为， 所以，所以，所以，
又因为，所以，即；
（2）解：设内切圆半径为r，的周长为，面积为，
则，即，
由（1）知，则，解得，
因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
，且，
当，即时，内切圆半径取到最大值，
故面积最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合正弦的两角和公式、辅助角公式化简求角C即可；
（2）设内切圆半径为r，的周长为，面积为，根据三角形面积公式和余弦定理，结合基本不等式求出内切圆半径的最大值，即可求面积的最大值.
（1）∵，
∴由正弦定理，
∴．
∵， ∴，∴，
∴． ∵，∴，即．
（2）设内切圆半径为r，的周长为，面积为．
则，即，
由（1）知，
∴，∴．
∵，∴，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，
且，
∴当，即时，内切圆半径取到最大值，
∴面积最大值为．
17．【答案】（1）解：依题意可得，即，解得 ；
（2）解：零假设购车车主的性别与购车类型无关，
，
故依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为购车车主的性别与购车类型有关；
（3）解：购买燃油车的车主中，男性车主与女性车主的比例为，
分层随机抽样抽取的人中人是男性车主，人是女性车主，
记这人中，女性车主的人数为，则的可能取值为、、，
，，，
则的分布列如下：
．
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；超几何分布
【解析】【分析】（1）由表中数据，结合古典概型的概率公式列关于的等式，求的值即可；
（2）先进行零假设，再根据的公式计算的观测值，与临界值比较判断即可；
（3）先根据分层抽样确定抽取的人中男性车主，女性车主的分数，记女性车主的人数为，则的可能取值为、、，利用超几何分布列求对应的概率，列随机变量的分布列，再求的值即可.
（1）依题意可得，即，解得．
（2）零假设购车车主的性别与购车类型无关．
，
故依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为购车车主的性别与购车类型有关．
（3）购买燃油车的车主中，男性车主与女性车主的比例为，
所以分层随机抽样抽取的人中人是男性车主，人是女性车主．
记这人中，女性车主的人数为，则的可能取值为、、．
，，．
所以的分布列如下：
则．
18．【答案】（1）证明： 在四棱锥中 ，因为底面是正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，同理可得，
又因为，，平面，所以平面；
（2）解：由（1）平面，，可得平面，
因为面，所以，又因为，，，所以平面，
又因为平面，所以，
因为为中点，所以，
设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，则，又，
由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，
又因为，所以该椭圆，，则，
所以在平面内椭圆轨迹方程为：，
设，，，
又是平面的法向量，
记与面所成角为，则，
又由Q的轨迹方程得，
记，，
该二次函数的对称轴为，∴，
所以与平面所成角正弦值的最小值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据四棱锥中，底面是正方形，结合面面垂直的性质得到平面，即可得到，同理可证，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）由（1）平面，，可得平面，设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，依题意点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设，与面所成角为，利用空间向量法求解即可.
（1）∵底面是正方形，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面．∵平面，∴．
同理可得，
∵，，平面，∴平面．
（2）由（1）知平面，，∴平面，
又∵面，
∴．∵，，，∴平面，
又平面，∴．
∵为中点，∴．
如图，设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则，，则，又．
由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，
又∵，所以该椭圆，，则，
所以在平面内椭圆轨迹方程为：．
设，， ∴．
又是平面的法向量，
记与面所成角为，则，
又由Q的轨迹方程得．
记，．
该二次函数的对称轴为，∴，
所以与平面所成角正弦值的最小值为
19．【答案】（1）解：由题意可知，与x轴相切于点，，则，解得，
即C的方程为；
（2）证明：点关于x轴的对称点为，直线的斜率，
则，，即．
又点，都在C上，于是，
两式相减得，
因此，数列是首项为1，公差为的等差数列，数列通项公式为；
（3）证明：要证，只需证明，
直线的斜率，
直线的斜率，
因此，即，所以．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；斜率的计算公式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意可知，与x轴相切于点，，将的坐标代入抛物线方程求得，即可得抛物线的方程；
（2）求点关于x轴的对称点的坐标，利用斜率坐标公式，以及点，都在抛物线上，结合等差数列的定义证明即可；
（3）结合图形将问题转化为证明，利用斜率坐标公式结合（2）推理得证.
（1）由题意可知，与x轴相切于点F，所以，
∴，解得．所以C的方程为．
（2）点关于x轴的对称点为，直线的斜率，
则，，即．
又点，都在C上，于是，
两式相减得，
因此，数列是首项为1，公差为的等差数列，通项公式为．
（3）要证，只需证明．
直线的斜率．
直线的斜率，
因此，即，所以．
1 / 1广西壮族自治区柳州铁一中学、玉林实验中学、广西师范大学附属外国语学校2025届高二下学期5月联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·柳州月考）集合则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，即，解得，集合，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】先解一元二次不等式求得集合，根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高二下·柳州月考）已知角的终边在直线上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式；直线的斜率
【解析】【解答】解：易知直线的斜率，则.
故答案为：C.
【分析】易知直线的斜率，再根据正切的二倍角的公式求解即可.
3．（2025高二下·柳州月考）为响应国家“体重管理年”的号召，某校高二年级对四个班的同学体重数据进行分析.将四个班同学的体重数据分别绘制成下图所示的频率分布直方图，则班级平均体重高于该班体重中位数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：频率分布直方图中，若直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多，如果直方图在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，如果直方图在左边“拖尾”，则平均数小于中位数，若班级平均体重高于该班体重中位数，则直方图应在右边“拖尾”.
故答案为：A.
【分析】根据频率分布直方图的特征，结合中位数、平均数的定义直接判断即可.
4．（2025高二下·柳州月考）若，则的值为（　　）
A． B． C．
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质求解即可.
5．（2025高二下·柳州月考）已知向量，点D在的延长线上且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得.
故答案为：B.
【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的坐标运算求解即可.
6．（2025高二下·柳州月考）函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，求导可得，
将代入，可得，
即，移项可得，即，解得，
将代入，可得，
将代入，
可得.
故答案为： A.
【分析】函数求导，将代入到导函数求得的值，得到函数的解析式，再求的值即可.
7．（2025高二下·柳州月考）已知正三棱台的体积为，，，则点A到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：延长，相交于点，得到三棱锥，
取的中心，连接，点在上，
且⊥平面，⊥平面，为正三棱台的高，
其中，，
正三棱台的体积为，
即，
解得，
因为 ，所以，故，，
故，
连接并延长，交于点，则为中点，⊥，
连接，因为，所以⊥，
故，，
由勾股定理得，
所以，
设点A到平面的距离为，则，即，解得.
故答案为：B.
【分析】延长相交于点，得到三棱锥，取的中心，连接，点在上，根据棱台体积求出棱台的高，得到锥体的高和体积，利用等体积法求点到平面的距离即可.
8．（2025高二下·柳州月考）如图，边长为1的正方形.中，为各边中点，连接，它们的交点分别为，记的面积为；四边形各边中点分别为，连接，它们的交点分别为，记的面积为.依此方法一直继续下去，记的面积为则趋近于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：分析第一个小正方形与大正方形面积的关系：
已知，则一个大正方形面积等于个小正方形面积，
即，那么可得，
推导后续小正方形与前一个小正方形面积的关系：
按照同样的规律，第二个小正方形的面积与第一个小正方形的面积关系为.将代入上式，
可得，
同理，第三个小正方形的面积与第二个小正方形的面积关系为，进一步可得，
总结第个小正方形面积的规律：
通过前面的推导，可以总结出第个小正方形的面积，
并且旁边三角形面积和最中间小正方形面积相等，
则，
，
当，，
故趋近于.
故答案为：C.
【分析】分析第一个小正方形与大正方形面积的关系可得，后续推导小正方形与前一个小正方形面积的关系，找出规律来求解第个小正方形的面积，得到三角形面积规律，借助等比数列求和公式求和即可.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·柳州月考）若，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则或
B．若，则
C．
D．
【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、取，，满足，
但不满足或，故A错误；
B、若，则，故B正确；
C、设，，
，
，
，则，故C正确；
D、由C可知，，，只有时，其它情况不相等，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】取特殊复数即可判断A；根据共轭复数的定义即可判断B；设，，根据复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式求解即可判断C；由C选项，结合复数的乘方、以及复数模的运算求解即可判断D.
10．（2025高二下·柳州月考）如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是动点在棱上，则（　　）
A．
B．直线BD与直线AP所成角为90°
C．平面与平面ABCD的夹角为60°
D．多面体的外接球体积为
【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：在平行六面体中，易知，
则
，即，故A正确；
B、连接AC交BD于O，连接，如图所示：
因为，，所以为等边三角形，四边形为菱形，，
同理可得，也为等边三角形，即也为等边三角形，，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，故B正确；
C、连接交于，连接，，如图所示：
平面，平面，，
又，平面平面，
所以就是平面与平面ABCD的夹角，
在平行六面体中，，
因为，为等边三角形，所以，，
则，故C错误；
D、连接交于，为、中点，
又，，所以四边形为正方形，
，又，
所以，
即，所以多面体外接球球心在中点处，
半径，体积，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知，利用向量的数量积以及向量模的求法求解即可判断A；连接AC交BD于O，连接，利用线面垂直的判定证明平面，结合线面垂直的性质求解即可判断B；连接交于，连接，，找出平面与平面ABCD的夹角并计算即可判断C；根据题意可确定球心在中点处，求出半径，再根据球的体积公式求解即可判断D.
11．（2025高二下·柳州月考）已知双曲线与动圆.恰有两个交点，则（　　）
A．双曲线C的离心率为2
B．双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为
C．双曲线 C上存在一条弦，该弦的中点坐标为
D．过双曲线C的一个焦点 F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：A、联立C与M的方程，消去x整理可得，
即，由题意得，
由m的任意性，解得，则，离心率，故A正确；
B、直线是双曲线C的一条渐近线，圆心到该渐近线的距离为，
圆M的半径为，则该渐近线被圆M截得的弦长为，故B错误；
C、设中点为的弦所在的直线与C交于，两点，
则，，且，
两式相减可得
化简得，
所以中点弦所在直线方程为，即，
联立，得，
，所以存在，故C正确；
D、不妨设，圆心，半径，
，
在中，，
所以，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】联立圆与双曲线方程联立，根据，结合m的任意性，解得，再求离心率即可判断A；易知双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离，结合勾股定理求弦长即可判断B；设中点为的弦所在的直线与C交于，两点，根据点差法，结合点与双曲线的位置关系，即可判断C；不妨设，圆心，半径，在中，求即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·柳州月考）二项式的展开式中含项的系数为　 　．
【答案】720
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项式为，
令，得，
则二项式中展开式中含项的系数为720．
故答案为：720.
【分析】先写出展开式的通项，令，求解即可.
13．（2025高二下·柳州月考）已知函数，且，若，且，则　 　.
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得的对称中心为，
则，即，解得，
因为，且，所以，，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可得的对称中心为，利用函数的对称性得到，解得，再根据同角三角函数基本关系求解即可.
14．（2025高二下·柳州月考）将若干块下图所示的由2×3个小正方形组成的矩形砖恰好铺成由6×5个小正方形组成的矩形，有　 　种不同的铺法；若恰好铺成由6×20个小正方形组成的矩形，有　 　种不同的铺法.
【答案】2；114
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设在6×5个小正方形组成的矩形中，如上图水平放置的有个，垂直放置的有个，其中，，则，可知，故由2×3个小正方形组成的矩形砖恰好铺成由6×5个小正方形组成的矩形，共有种不同的铺法；
设在6×20个小正方形组成的矩形中，如上图水平放置的有个，垂直放置的有个，
其中，，则，可知或或或.
当时，共有种铺法；
当时，从9个位置中选择2个水平放置2×3的矩形，共有种不同的铺法；
当时，从8个位置中选择4个水平放置2×3的矩形，共有种不同的铺法；
当时，从7个位置中选择6个水平放置2×3的矩形，共有种不同的铺法；
故由2×3个小正方形组成的矩形砖恰好铺成由6×20个小正方形组成的矩形，共有种不同的铺法.
故答案为：2；114.
【分析】设在6×5个小正方形组成的矩形中，水平放置的有个，垂直放置的有个，由题意可得，则，结合组合知识求解即可；设在6×20个小正方形组成的矩形中，如上图水平放置的有个，垂直放置的有个，其中，，则，解得或或或，分类讨论，结合组合知识求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·柳州月考）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式在上恒成立， 求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，求导可得，
若，恒成立，在上单调递增；
若，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，若，在上单调递增；
若，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由（1）可知不等式，
即在上恒成立，
即在上恒成立，只需即可，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，所以．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由（1）由（1）可知不等式，即在上恒成立，
分离参数，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得 实数a的取值范围.
（1）由题意可知，，则，
若，恒成立，在上单调递增．
若，当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，若，在上单调递增；
若，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知不等式，
即在上恒成立，
即在上恒成立，只需即可．
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，所以．
16．（2025高二下·柳州月考）已知，，分别为△ABC的三个内角，，的对边，
（1）求角C的大小；
（2）若 求△ABC的内切圆面积最大值.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
则，
因为， 所以，所以，所以，
又因为，所以，即；
（2）解：设内切圆半径为r，的周长为，面积为，
则，即，
由（1）知，则，解得，
因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
，且，
当，即时，内切圆半径取到最大值，
故面积最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合正弦的两角和公式、辅助角公式化简求角C即可；
（2）设内切圆半径为r，的周长为，面积为，根据三角形面积公式和余弦定理，结合基本不等式求出内切圆半径的最大值，即可求面积的最大值.
（1）∵，
∴由正弦定理，
∴．
∵， ∴，∴，
∴． ∵，∴，即．
（2）设内切圆半径为r，的周长为，面积为．
则，即，
由（1）知，
∴，∴．
∵，∴，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，
且，
∴当，即时，内切圆半径取到最大值，
∴面积最大值为．
17．（2025高二下·柳州月考）某店将年第四季度购车的车主性别与购车类型统计如下表所示（单位：人），已知从该季度所有购车的车主中随机抽取人，抽到购买燃油车的女性车主的概率为.
　 购买燃油车 购买新能源车
男性车主
女性车主
（1）求的值；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为购车车主的性别与购车类型有关
（3）为了回馈部分消费者，现从上述购买燃油车的车主中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人赠送礼品，记这人中女性车主的人数为，求的分布列以及.
参考公式：
参考数据：
【答案】（1）解：依题意可得，即，解得 ；
（2）解：零假设购车车主的性别与购车类型无关，
，
故依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为购车车主的性别与购车类型有关；
（3）解：购买燃油车的车主中，男性车主与女性车主的比例为，
分层随机抽样抽取的人中人是男性车主，人是女性车主，
记这人中，女性车主的人数为，则的可能取值为、、，
，，，
则的分布列如下：
．
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；超几何分布
【解析】【分析】（1）由表中数据，结合古典概型的概率公式列关于的等式，求的值即可；
（2）先进行零假设，再根据的公式计算的观测值，与临界值比较判断即可；
（3）先根据分层抽样确定抽取的人中男性车主，女性车主的分数，记女性车主的人数为，则的可能取值为、、，利用超几何分布列求对应的概率，列随机变量的分布列，再求的值即可.
（1）依题意可得，即，解得．
（2）零假设购车车主的性别与购车类型无关．
，
故依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为购车车主的性别与购车类型有关．
（3）购买燃油车的车主中，男性车主与女性车主的比例为，
所以分层随机抽样抽取的人中人是男性车主，人是女性车主．
记这人中，女性车主的人数为，则的可能取值为、、．
，，．
所以的分布列如下：
则．
18．（2025高二下·柳州月考）在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为正方形.
（1）求证：平面；
（2）设的中点为且，.若为平面上的一点，且，求与平面所成角正弦值的最小值.
【答案】（1）证明： 在四棱锥中 ，因为底面是正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，同理可得，
又因为，，平面，所以平面；
（2）解：由（1）平面，，可得平面，
因为面，所以，又因为，，，所以平面，
又因为平面，所以，
因为为中点，所以，
设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，则，又，
由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，
又因为，所以该椭圆，，则，
所以在平面内椭圆轨迹方程为：，
设，，，
又是平面的法向量，
记与面所成角为，则，
又由Q的轨迹方程得，
记，，
该二次函数的对称轴为，∴，
所以与平面所成角正弦值的最小值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据四棱锥中，底面是正方形，结合面面垂直的性质得到平面，即可得到，同理可证，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）由（1）平面，，可得平面，设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，依题意点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设，与面所成角为，利用空间向量法求解即可.
（1）∵底面是正方形，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面．∵平面，∴．
同理可得，
∵，，平面，∴平面．
（2）由（1）知平面，，∴平面，
又∵面，
∴．∵，，，∴平面，
又平面，∴．
∵为中点，∴．
如图，设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则，，则，又．
由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，
又∵，所以该椭圆，，则，
所以在平面内椭圆轨迹方程为：．
设，， ∴．
又是平面的法向量，
记与面所成角为，则，
又由Q的轨迹方程得．
记，．
该二次函数的对称轴为，∴，
所以与平面所成角正弦值的最小值为
19．（2025高二下·柳州月考）已知是抛物线上一点， 以点为圆心，1为半径的圆过的焦点.按如下方式依次构造点.过点作斜率为的直线与C交于另一点点为关于轴的对称点.
（1）求的方程；
（2）令证明是等差数列，并求其通项公式；
（3）设是的面积，求证：
【答案】（1）解：由题意可知，与x轴相切于点，，则，解得，
即C的方程为；
（2）证明：点关于x轴的对称点为，直线的斜率，
则，，即．
又点，都在C上，于是，
两式相减得，
因此，数列是首项为1，公差为的等差数列，数列通项公式为；
（3）证明：要证，只需证明，
直线的斜率，
直线的斜率，
因此，即，所以．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；斜率的计算公式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意可知，与x轴相切于点，，将的坐标代入抛物线方程求得，即可得抛物线的方程；
（2）求点关于x轴的对称点的坐标，利用斜率坐标公式，以及点，都在抛物线上，结合等差数列的定义证明即可；
（3）结合图形将问题转化为证明，利用斜率坐标公式结合（2）推理得证.
（1）由题意可知，与x轴相切于点F，所以，
∴，解得．所以C的方程为．
（2）点关于x轴的对称点为，直线的斜率，
则，，即．
又点，都在C上，于是，
两式相减得，
因此，数列是首项为1，公差为的等差数列，通项公式为．
（3）要证，只需证明．
直线的斜率．
直线的斜率，
因此，即，所以．
1 / 1

展开更多......

收起↑