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广东省深圳市盐田高级中学等校2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·盐田期中）已知离散型随机变量X的分布列为，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·盐田期中）已知离散型随机变量X满足，且，则（　　）
A．1 B．0.1 C．0.01 D．1.01
3．（2025高二下·盐田期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（　　）
A．1 B． C． D．
4．（2025高二下·盐田期中）某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（　　）
A．72 B．54 C．48 D．36
5．（2025高二下·盐田期中）二项式展开式中含项的系数为（　　）
A． B．80 C． D．40
6．（2025高二下·盐田期中）已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球O的表面上，若该三棱锥的体积与球O的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·盐田期中）研究表明某生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似的符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只.则该生物种群数量的增长速度（　　）
A．先增大后减小 B．先减小后增大
C．逐年减小 D．逐年增大
8．（2025高二下·盐田期中）记为数列的前项和，满足，，则（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·盐田期中）现用共5个数字组成四位数，则（　　）
A．可以组成84个无重复数字的四位数
B．可以组成404个有重复数字的四位数
C．可以组成54个无重复数字的四位偶数
D．可以组成120个百位为奇数的四位偶数
10．（2025高二下·盐田期中）已知方程组有且仅有一个复数解z，则实数k的可能取值有（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高二下·盐田期中）某汽车零件制造厂使用最新技术对某款汽车零件制造工艺进行改进，抽取部分汽车零件由智能检测系统进行筛选，其中部分次品汽车零件会被淘汰，筛选后的汽车零件进入流水线由工人进行检验.记事件“抽取的某汽车零件通过智能检测系统筛选”，事件“抽取的某汽车零件经人工检验后合格”，且改进生产工艺后，这款汽车零件的抗压质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个汽车零件中恰有m个的抗压质量指标位于区间，则（　　）
参考数据：
A．
B．
C．
D．当取得最大值时，M的估计值为53
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·盐田期中）已知曲线在点处的切线斜率为，则　 　.
13．（2025高二下·盐田期中）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为　 　.
14．（2025高二下·盐田期中）定义在R上的函数满足对于任意实数均有，且，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·盐田期中）已知二项式.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
16．（2025高二下·盐田期中）某高中为了了解同学们对我国四大名著相关文学的掌握情况，从高二年级的学生中随机抽取了20名同学分成两个小组进行了相关测试（满分为100分），测试结束后统计成绩如下表：
A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99
B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99
（1）分别计算A组成绩的极差和B组成绩的第30百分位数；
（2）若对于本次测试，规定：成绩分时为优秀，从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生，用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望.
17．（2025高二下·盐田期中）如图，长方体中，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
18．（2025高二下·盐田期中）甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中.
（1）记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列；
（2）记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若，求p的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由离散型随机变量X的分布列为，
可得，解得．
故答案为：C．
【分析】根据分布列的性质：，再解方程即可．
2．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A.
【分析】根据方差的性质求解即可.
3．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为点在C上，代入C的方程得，解得，故，
所以C的焦距为.
故答案为：C.
【分析】将点代入C的方程得， 解方程得到椭圆，再根据焦距求解．
4．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法．
故答案为：D．
【分析】先将4人分成3组，3组人数为，共有种，全排分配到3个实验室，再由分步乘法计算原理计算．
5．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意，二项式展开式通项为，
令，可得，则，
即含项的系数为.
故答案为：B.
【分析】先计算展开式通项，再结合题意计算二项式特定项系数即可.
6．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该正三棱锥为，侧棱，
因其侧面均为直角三角形，则两两垂直，故的边长均为，
则该正三棱锥的体积为.
因两两垂直，则该三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球，
而正方体的外接球直径等于该正方体的体对角线长度，故球O的半径，
则球的表面积，依题意有，解得．
故答案为：D．
【分析】由题意设，由侧面均为直角三角形，得到两两垂直， 故三棱锥的体积，正三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球，故外接球的表面积，再列方程求解即可．
7．【答案】A
【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对于，由题意，解得，则，
故，
令，则，因在上单调递减，在上单调递增，
利用复合函数的单调性，可知在上单调递减且为正数，在上单调递增且为正数，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故该生物种群数量的增长速度先增大后减小.
故答案为：A.
【分析】由题可知，解得，再求导，结合对勾函数函数单调性判断导函数的单调性即可．
8．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：易知，故，即，，
故.
而，，
故，
当，时，.
故
，
而当时，，，联立解得，.
当时，，解得，于是.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得，即，进而得到，再递推得到即可求解．
9．【答案】B,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：对于A，可以组成无重复数字的四位数个，故A错误；
对于B，可以组成有重复数字的四位数个，故B正确；
对于C，若个位数为0，则有个；若个位数不为0，则有个，
则可以组成无重复数字的四位偶数个，故C错误；
对于D，依次选择千位、百位、十位、个位的数字，
则可以组成百位为奇数的四位偶数个，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】对于A，先排千位，其他全排即可；对于B，先计算可重复数字的四位数，再利用对立事件求解；对于C，分个位为0和不为0两种情况求解；对于D，依次选择千位、百位、十位、个位的数字进行计算．
10．【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：结合复数的几何意义，由，可知复数对应的点的轨迹为以为圆心，5为半径的圆，
由，可知复数对应的点的轨迹为由点与所连线段的垂直平分线，
而方程组有且仅有一个复数解，即直线与圆相切.
由与知线段的中点，直线的斜率为，
则线段的垂直平分线，即，
由圆心到直线的距离为，
即，解得或．
故答案为：AC.
【分析】由，则复数z在复平面中的点在以为圆心，5为半径的圆上，而，即到点与的距离相等，故复数z在复平面中的点也在其垂直平分线上，又有且仅有一个复数解 z ，则与圆相切，利用相切的条件计算即可．
11．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；概率与函数的综合；条件概率；3σ原则；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：对于A中，由条件概率的定义，可得，所以A正确；
对于B中，因为，所以，其中，
所以，又因为，
所以，即，
即，
因为，所以，即，所以B正确；
对于C中，指标服从正态分布，可得，
则，
因为，
所以，所以C错误；
对于D中，由，可得，
设，由，解得，故；
令，解得，
即，所以取得最大值时，的估计值为，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，由条件概率的定义即可判断；对于B，根据条件概率及全概率公式推导可得，进而得到；对于C，根据正态分布的对称性求概率即可；对于D，根据题意可得，再求最值即可．
12．【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意可得，所以.
故答案为：.
【分析】由简单复合函数求导得，进而可得，再解方程即可．
13．【答案】
【知识点】二项分布；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：设枪手命中的概率为p，因总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，
则，
因，化简得：，解得.
故答案为：．
【分析】由题可知，该事件服从二项分布，结合二项分布概率公式可得，再化简计算即可．
14．【答案】4050
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：令，则可变形为，则，
又，解得，
于是.
故答案为：4050.
【分析】利用赋值法可得，据此求解即可．
15．【答案】（1）解：二项式展开式的通项公式为：，，
令，解得，则该二项式的展开式中的常数项为；
（2）解：易知展开式共有7项，
由二项式定理性质知二项式系数最大的项为第四项，即.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）先写出展开式的通项，，求展开式中的常数项即可；
（2）易知展开式共有7项，根据二项式系数的性质可知第四项是二项式系数最大的项.
（1）易得二项式的通项公式为：
，.
令，解得，
故该二项式的展开式中的常数项为.
（2）因，二项展开式共有7项，
由二项式定理性质知二项式系数最大的项为第四项，
即.
16．【答案】（1）解：由表格可知A组成绩的极差为，
由于为整数，
故B组成绩的第30百分位数为.
（2）解：根据题意，A组中优秀的学生有5人，B组中优秀的学生有2人，故X的可能取值为.
则，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
因此，X的数学期望．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据极差的概念及百分数的求解步骤计算即可；
（2）由题可知可取，再计算对应概率，列出分布列并求期望即可．
（1）由表格可知A组成绩的极差为，
由于为整数，
故B组成绩的第30百分位数为.
（2）根据题意，A组中优秀的学生有5人，B组中优秀的学生有2人，故X的可能取值为.
则，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
因此，X的数学期望
17．【答案】（1）证明：在长方体中，可得平面，
因为平面，所以，
在直角中，可得，
同理可得，
故，所以，，即，所以，
取中点M，连接，
因为分别为的中点，故，所以四点共面，
又因为四边形为正方形，可得，
因为平面，且平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，故平面平面.
（2）解：以D为坐标原点，以分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
则，可得，
故二面角的正弦值为.

【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得，结合向量的线性运算可得，进而证得，取中点M，再证，得到平面，结合面面垂直的判定定理即可；
（2）以D为坐标原点，以分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，根据平面法向量的求解方式，分别求出平面和平面的法向量为和，再求法向量夹角的余弦值，进而得到正弦值即可．
（1）证明：在长方体中，可得平面，
因为平面，所以，
在直角中，可得，
同理可得，
故，所以，，即，所以，
取中点M，连接，
因为分别为的中点，故，所以四点共面，
又因为四边形为正方形，可得，
因为平面，且平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，故平面平面.
（2）解：以D为坐标原点，以分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
则，可得，
故二面角的正弦值为.
18．【答案】（1）根据题意，则X所有可能的取值为，
于是，
，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）记事件B为“进行了4局比赛分出胜负”，则，
记事件A为“甲获胜”，则事件表示“进行了4局比赛以后甲获胜”，
则，
故进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为
；
记事件为“进行了5局比赛分出胜负”，
则，
则表示“进行了5局比赛以后甲获胜”，
则，
故进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为
.
依题意，，
解得，故p的取值范围为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；条件概率
【解析】【分析】（1）由题可得，X可取，结合比赛情况计算出对应概率，再列出分布列即可；
（2）根据题意，结合条件概率公式，分别求得、，再作差解不等式．
（1）根据题意，则X所有可能的取值为，
于是，
，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）记事件B为“进行了4局比赛分出胜负”，
则，
记事件A为“甲获胜”，则事件表示“进行了4局比赛以后甲获胜”，
则，
故进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为
；
记事件为“进行了5局比赛分出胜负”，
则，
则表示“进行了5局比赛以后甲获胜”，
则，
故进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为
.
依题意，，
解得，故p的取值范围为.
1 / 1广东省深圳市盐田高级中学等校2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·盐田期中）已知离散型随机变量X的分布列为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由离散型随机变量X的分布列为，
可得，解得．
故答案为：C．
【分析】根据分布列的性质：，再解方程即可．
2．（2025高二下·盐田期中）已知离散型随机变量X满足，且，则（　　）
A．1 B．0.1 C．0.01 D．1.01
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A.
【分析】根据方差的性质求解即可.
3．（2025高二下·盐田期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为点在C上，代入C的方程得，解得，故，
所以C的焦距为.
故答案为：C.
【分析】将点代入C的方程得， 解方程得到椭圆，再根据焦距求解．
4．（2025高二下·盐田期中）某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（　　）
A．72 B．54 C．48 D．36
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法．
故答案为：D．
【分析】先将4人分成3组，3组人数为，共有种，全排分配到3个实验室，再由分步乘法计算原理计算．
5．（2025高二下·盐田期中）二项式展开式中含项的系数为（　　）
A． B．80 C． D．40
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意，二项式展开式通项为，
令，可得，则，
即含项的系数为.
故答案为：B.
【分析】先计算展开式通项，再结合题意计算二项式特定项系数即可.
6．（2025高二下·盐田期中）已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球O的表面上，若该三棱锥的体积与球O的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该正三棱锥为，侧棱，
因其侧面均为直角三角形，则两两垂直，故的边长均为，
则该正三棱锥的体积为.
因两两垂直，则该三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球，
而正方体的外接球直径等于该正方体的体对角线长度，故球O的半径，
则球的表面积，依题意有，解得．
故答案为：D．
【分析】由题意设，由侧面均为直角三角形，得到两两垂直， 故三棱锥的体积，正三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球，故外接球的表面积，再列方程求解即可．
7．（2025高二下·盐田期中）研究表明某生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似的符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只.则该生物种群数量的增长速度（　　）
A．先增大后减小 B．先减小后增大
C．逐年减小 D．逐年增大
【答案】A
【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对于，由题意，解得，则，
故，
令，则，因在上单调递减，在上单调递增，
利用复合函数的单调性，可知在上单调递减且为正数，在上单调递增且为正数，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故该生物种群数量的增长速度先增大后减小.
故答案为：A.
【分析】由题可知，解得，再求导，结合对勾函数函数单调性判断导函数的单调性即可．
8．（2025高二下·盐田期中）记为数列的前项和，满足，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：易知，故，即，，
故.
而，，
故，
当，时，.
故
，
而当时，，，联立解得，.
当时，，解得，于是.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得，即，进而得到，再递推得到即可求解．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·盐田期中）现用共5个数字组成四位数，则（　　）
A．可以组成84个无重复数字的四位数
B．可以组成404个有重复数字的四位数
C．可以组成54个无重复数字的四位偶数
D．可以组成120个百位为奇数的四位偶数
【答案】B,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：对于A，可以组成无重复数字的四位数个，故A错误；
对于B，可以组成有重复数字的四位数个，故B正确；
对于C，若个位数为0，则有个；若个位数不为0，则有个，
则可以组成无重复数字的四位偶数个，故C错误；
对于D，依次选择千位、百位、十位、个位的数字，
则可以组成百位为奇数的四位偶数个，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】对于A，先排千位，其他全排即可；对于B，先计算可重复数字的四位数，再利用对立事件求解；对于C，分个位为0和不为0两种情况求解；对于D，依次选择千位、百位、十位、个位的数字进行计算．
10．（2025高二下·盐田期中）已知方程组有且仅有一个复数解z，则实数k的可能取值有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：结合复数的几何意义，由，可知复数对应的点的轨迹为以为圆心，5为半径的圆，
由，可知复数对应的点的轨迹为由点与所连线段的垂直平分线，
而方程组有且仅有一个复数解，即直线与圆相切.
由与知线段的中点，直线的斜率为，
则线段的垂直平分线，即，
由圆心到直线的距离为，
即，解得或．
故答案为：AC.
【分析】由，则复数z在复平面中的点在以为圆心，5为半径的圆上，而，即到点与的距离相等，故复数z在复平面中的点也在其垂直平分线上，又有且仅有一个复数解 z ，则与圆相切，利用相切的条件计算即可．
11．（2025高二下·盐田期中）某汽车零件制造厂使用最新技术对某款汽车零件制造工艺进行改进，抽取部分汽车零件由智能检测系统进行筛选，其中部分次品汽车零件会被淘汰，筛选后的汽车零件进入流水线由工人进行检验.记事件“抽取的某汽车零件通过智能检测系统筛选”，事件“抽取的某汽车零件经人工检验后合格”，且改进生产工艺后，这款汽车零件的抗压质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个汽车零件中恰有m个的抗压质量指标位于区间，则（　　）
参考数据：
A．
B．
C．
D．当取得最大值时，M的估计值为53
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；概率与函数的综合；条件概率；3σ原则；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：对于A中，由条件概率的定义，可得，所以A正确；
对于B中，因为，所以，其中，
所以，又因为，
所以，即，
即，
因为，所以，即，所以B正确；
对于C中，指标服从正态分布，可得，
则，
因为，
所以，所以C错误；
对于D中，由，可得，
设，由，解得，故；
令，解得，
即，所以取得最大值时，的估计值为，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，由条件概率的定义即可判断；对于B，根据条件概率及全概率公式推导可得，进而得到；对于C，根据正态分布的对称性求概率即可；对于D，根据题意可得，再求最值即可．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·盐田期中）已知曲线在点处的切线斜率为，则　 　.
【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意可得，所以.
故答案为：.
【分析】由简单复合函数求导得，进而可得，再解方程即可．
13．（2025高二下·盐田期中）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为　 　.
【答案】
【知识点】二项分布；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：设枪手命中的概率为p，因总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，
则，
因，化简得：，解得.
故答案为：．
【分析】由题可知，该事件服从二项分布，结合二项分布概率公式可得，再化简计算即可．
14．（2025高二下·盐田期中）定义在R上的函数满足对于任意实数均有，且，则　 　.
【答案】4050
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：令，则可变形为，则，
又，解得，
于是.
故答案为：4050.
【分析】利用赋值法可得，据此求解即可．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·盐田期中）已知二项式.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1）解：二项式展开式的通项公式为：，，
令，解得，则该二项式的展开式中的常数项为；
（2）解：易知展开式共有7项，
由二项式定理性质知二项式系数最大的项为第四项，即.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）先写出展开式的通项，，求展开式中的常数项即可；
（2）易知展开式共有7项，根据二项式系数的性质可知第四项是二项式系数最大的项.
（1）易得二项式的通项公式为：
，.
令，解得，
故该二项式的展开式中的常数项为.
（2）因，二项展开式共有7项，
由二项式定理性质知二项式系数最大的项为第四项，
即.
16．（2025高二下·盐田期中）某高中为了了解同学们对我国四大名著相关文学的掌握情况，从高二年级的学生中随机抽取了20名同学分成两个小组进行了相关测试（满分为100分），测试结束后统计成绩如下表：
A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99
B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99
（1）分别计算A组成绩的极差和B组成绩的第30百分位数；
（2）若对于本次测试，规定：成绩分时为优秀，从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生，用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：由表格可知A组成绩的极差为，
由于为整数，
故B组成绩的第30百分位数为.
（2）解：根据题意，A组中优秀的学生有5人，B组中优秀的学生有2人，故X的可能取值为.
则，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
因此，X的数学期望．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据极差的概念及百分数的求解步骤计算即可；
（2）由题可知可取，再计算对应概率，列出分布列并求期望即可．
（1）由表格可知A组成绩的极差为，
由于为整数，
故B组成绩的第30百分位数为.
（2）根据题意，A组中优秀的学生有5人，B组中优秀的学生有2人，故X的可能取值为.
则，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
因此，X的数学期望
17．（2025高二下·盐田期中）如图，长方体中，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：在长方体中，可得平面，
因为平面，所以，
在直角中，可得，
同理可得，
故，所以，，即，所以，
取中点M，连接，
因为分别为的中点，故，所以四点共面，
又因为四边形为正方形，可得，
因为平面，且平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，故平面平面.
（2）解：以D为坐标原点，以分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
则，可得，
故二面角的正弦值为.

【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得，结合向量的线性运算可得，进而证得，取中点M，再证，得到平面，结合面面垂直的判定定理即可；
（2）以D为坐标原点，以分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，根据平面法向量的求解方式，分别求出平面和平面的法向量为和，再求法向量夹角的余弦值，进而得到正弦值即可．
（1）证明：在长方体中，可得平面，
因为平面，所以，
在直角中，可得，
同理可得，
故，所以，，即，所以，
取中点M，连接，
因为分别为的中点，故，所以四点共面，
又因为四边形为正方形，可得，
因为平面，且平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，故平面平面.
（2）解：以D为坐标原点，以分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
则，可得，
故二面角的正弦值为.
18．（2025高二下·盐田期中）甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中.
（1）记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列；
（2）记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若，求p的取值范围.
【答案】（1）根据题意，则X所有可能的取值为，
于是，
，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）记事件B为“进行了4局比赛分出胜负”，则，
记事件A为“甲获胜”，则事件表示“进行了4局比赛以后甲获胜”，
则，
故进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为
；
记事件为“进行了5局比赛分出胜负”，
则，
则表示“进行了5局比赛以后甲获胜”，
则，
故进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为
.
依题意，，
解得，故p的取值范围为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；条件概率
【解析】【分析】（1）由题可得，X可取，结合比赛情况计算出对应概率，再列出分布列即可；
（2）根据题意，结合条件概率公式，分别求得、，再作差解不等式．
（1）根据题意，则X所有可能的取值为，
于是，
，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）记事件B为“进行了4局比赛分出胜负”，
则，
记事件A为“甲获胜”，则事件表示“进行了4局比赛以后甲获胜”，
则，
故进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为
；
记事件为“进行了5局比赛分出胜负”，
则，
则表示“进行了5局比赛以后甲获胜”，
则，
故进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为
.
依题意，，
解得，故p的取值范围为.
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