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广东省深圳市新安中学（集团）燕川中学2024-2025学年高一下学期期中模拟数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·深圳期中）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，复数z对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】先利用复数代数形式的乘除法化简求得复数，再根据复数的几何意义求解即可.
2．（2025高一下·深圳期中）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：向量，，易知由，，
则．
故答案为：B.
【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可.
3．（2025高一下·深圳期中） 在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（　　）
A．，，三点确定一个平面 B．，，三点共线
C．，，，四点共面 D．，，，四点共面
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；异面直线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
AB、连接，则，易知面，
又，所以面，
又面，所以点在面与面的交线上面，
同理可得点在面与面的交线上面，
所以，，三点共线，故A错误，B正确；
C、显然为异面直线，，，，四点不共面 故C错误；
D、由异面直线的定义可知是异面直线，，，，四点不共面.故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据平面的基本性质，异面直线的定义，逐项判断即可.
4．（2025高一下·深圳期中）在中，若，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，即，
即，可得或，
则或，即的形状为等腰或直角三角形.
故答案为：D．
【分析】利用正弦定理，结合正弦的二倍角公式化简判断即可.
5．（2025高一下·深圳期中）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：将正三棱台还原为正三棱锥，如图1，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6；
如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高，
根据三棱锥的棱长均为6，三棱锥的棱长均为12，
可知相似比为，通过相似关系可知，三棱台的高也为.
故答案为：C.
【分析】先将棱台还原为棱锥，由相似关系，先求三棱锥的棱长，再利用大小棱锥的相似比求棱台的高即可.
6．（2025高一下·深圳期中）已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，可得，
因为，，所以，解得，
由，解得，
又因为，所以向量与向量的夹角为.
故答案为：B.
【分析】先将两边平方，结合已知条件得到，再利用向量的数量积求夹角即可.
7．（2025高一下·深圳期中）如图，在正方体ABCD—中，，点E为AB中点，点F为BC中点，则过点A与，都平行的平面α被正方体ABCD—截得的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：取中点G，中点H，则就是平面a被正方体ABCD—截得的截面，如图所示：
其中，，边上的高为，
则的面积.
故答案为：D.
【分析】取中点G，中点H，利用平行关系，作出截面，再计算截面的面积即可.
8．（2025高一下·深圳期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（　　）
A．3 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，，且，
所以，
化为，
所以，解得，
所以.
故答案为：C.
【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得的值，再由三角形的面积公式得出的面积.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·深圳期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（　　）
A．等边三角形 B．等腰非等边三角形
C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形
【答案】A,D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：，如图所示：
由斜二测画法可知：，
则，即为正三角形，
.
故答案为：AD.
【分析】根据斜二测画法还原，根据边长关系求的各边，即可判断三角形的形状，再计算三角形的面积即可.
10．（2025高一下·深圳期中）已知则（　　）
A．z有可能为实数
B．z不可能为纯虚数
C．的最小值为1
D．若z在复平面内所对应的点在第三象限，则
【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
，其中，
A、若z为实数，则，符合题意，故A正确；
B、由于z实部为-2，故不可能纯虚数，故B正确；
C、当时取得最小值，且最小值为2，故C错误；
D、若z在复平面内所对应的点在第三象限，则，解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再计算复数的模，最后根据复数的模、复数的概念以及复数在复平面内的表示逐项判断即可.
11．（2025高一下·深圳期中）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：A、设为的中点，底面为平行四边形，连接，
设交于点，连接，如图所示：
则，
因为，所以，即四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，平面平面，
假设平面，则，
即在平面内过点有两条直线和都平行，
这是不可能的，因此与平面不平行，故A错误；
B、设为的中点，底面为平行四边形，连接，
则，
又，，故，即四边形为平行四边形，
故，又因为平面，平面，所以平面，故B正确；
C、设为的中点，底面为平行四边形，连接，
则，
又，，
故，即四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，故平面，故C正确；
D、设底面为平行四边形，
连接交于点，交于点，
则为的中点，连接，
由于为的中点，故；
又平面，平面，平面平面，
假设平面，则，
即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，
因此与平面不平行，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】设为的中点，底面为平行四边形，连接，设交于点，连接，
利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断A，D；设为的中点，底面为平行四边形，连接，根据线面平行的判定定理证明即可判断B；设为的中点，底面为平行四边形，连接，根据线面平行的判定定理证明即可判断C.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·深圳期中）如果一个圆锥的底面直径和高都等于球的直径，那么这个圆锥的侧面积和球的表面积之比为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的直径为，则球的表面积，
因为圆锥的底面直径和高是，所以圆锥的侧面积为，
则圆锥的侧面积和球的表面积之比为.
故答案为：.
【分析】设球的直径为，利用球的表面积公式和圆锥侧面积公式求解即可.
13．（2025高一下·深圳期中）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为4m的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是　 　m．
【答案】
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：由轴截面是边长为4米的正，可得圆锥底面直径为4，底面半径为2，
则底面周长为，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为4，其展开图为一个半径为4的半圆，
由图可知：
，，则.
故答案为：.
【分析】由题意，先求圆锥的底面半径和周长，易知圆锥的侧面展开图为扇形，利用圆锥的展开图，连接，利用表格勾股定理求即为小猫所经过的最短路程.
14．（2025高一下·深圳期中）在中，点是边上的动点（点异于，），且，若，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，
因为三点共线，所以，
，
因为点是边上的动点（点异于，），所以，则，为正数，
则，
且仅当时等号成立.
故答案为：.
【分析】由题意，利用三点公式求得，再利用基本不等式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·深圳期中）已知复数.
（1）求复数；
（2）若，求实数a，b的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：，则，解得.
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的四则运算化简求复数z；
（2）根据复数的四则运算，结合复数的相等，列方程求实数a，b的值即可．
（1）；
（2），则有，
解得.
16．（2025高一下·深圳期中）如图，中，，D是AC的中点，，AB与DE交于点M．
（1）用表示﹔
（2）设，求的值；
【答案】（1）解：；
（2）解：，
因为三点共线，所以，解得.
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可；
（2）利用向量的线性运算用表示，再根据向量共线向量定理的推论列式计算即可.
（1）依题意，.
（2）依题意，
，而三点共线，则，
所以.
17．（2025高一下·深圳期中）如图所示，'为四边形的斜二测直观图，其中，，.
（1）求平面四边形的面积；
（2）若该四边形以为旋转轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积.
【答案】（1）解：在直观图中，，，
则在平面图形中，，，，
平面四边形的平面图形，如图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，面积为；
（2）解：直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
则体积.
【知识点】斜二测画法直观图；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用斜二测画法的边长关系求原图的各边长，并画出原图，易知平面四边形为直角梯形，求出的边长，计算四边形的面积即可；
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，结合（1）的结论，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解即可.
（1）在直观图中，，，
则在平面图形中，，，于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
（2）直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积.
18．（2025高一下·深圳期中）如图，在平面四边形中，与互补，，
（1）求的长；
（2）求.
【答案】解：（1）在中，由余弦定理可得，即；
（2）因为且，所以，
因为与互补，，所以，
由正弦定理，可得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中，直接利用余弦定理求解即可；
（2）由题意得到，再根据与互补，得到，利用同角三角函数基本关系求出，再利用正弦定理求解即可.
19．（2025高一下·深圳期中）如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积.
【答案】（1）证明：在梯形中，，，，，
因为G为的中点，所以，，，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为分别是，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面平面；
（2）解：设，由（1）可知，则为三棱锥的高h，
故，由，可得，，
又因为，，所以，
故，解得，
在中，，
故圆台的侧面积.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用中位线性质，结合线面平行的判定定理证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明平面平面即可；
（2）设，根据三棱锥体积求得的面积，再根据三棱锥的体积，求得，再在中，利用勾股定理求，最后根据圆台的侧面积公式求解即可．
（1）∵在梯形中，，，∴，
又G为的中点，∴，∴，
故四边形为平行四边形，∴.
又平面，平面，
∴平面.
∵分别是，的中点，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
又，平面，平面，
∴平面平面.
（2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h.
故，
由，可得，
∴.
又∵，，
∴.
故，
∴.
在中，.
故圆台的侧面积.
1 / 1广东省深圳市新安中学（集团）燕川中学2024-2025学年高一下学期期中模拟数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·深圳期中）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025高一下·深圳期中）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·深圳期中） 在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（　　）
A．，，三点确定一个平面 B．，，三点共线
C．，，，四点共面 D．，，，四点共面
4．（2025高一下·深圳期中）在中，若，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
5．（2025高一下·深圳期中）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·深圳期中）已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·深圳期中）如图，在正方体ABCD—中，，点E为AB中点，点F为BC中点，则过点A与，都平行的平面α被正方体ABCD—截得的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·深圳期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（　　）
A．3 B． C． D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·深圳期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（　　）
A．等边三角形 B．等腰非等边三角形
C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形
10．（2025高一下·深圳期中）已知则（　　）
A．z有可能为实数
B．z不可能为纯虚数
C．的最小值为1
D．若z在复平面内所对应的点在第三象限，则
11．（2025高一下·深圳期中）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·深圳期中）如果一个圆锥的底面直径和高都等于球的直径，那么这个圆锥的侧面积和球的表面积之比为　 　.
13．（2025高一下·深圳期中）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为4m的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是　 　m．
14．（2025高一下·深圳期中）在中，点是边上的动点（点异于，），且，若，则的最小值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·深圳期中）已知复数.
（1）求复数；
（2）若，求实数a，b的值．
16．（2025高一下·深圳期中）如图，中，，D是AC的中点，，AB与DE交于点M．
（1）用表示﹔
（2）设，求的值；
17．（2025高一下·深圳期中）如图所示，'为四边形的斜二测直观图，其中，，.
（1）求平面四边形的面积；
（2）若该四边形以为旋转轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积.
18．（2025高一下·深圳期中）如图，在平面四边形中，与互补，，
（1）求的长；
（2）求.
19．（2025高一下·深圳期中）如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，复数z对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】先利用复数代数形式的乘除法化简求得复数，再根据复数的几何意义求解即可.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：向量，，易知由，，
则．
故答案为：B.
【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；异面直线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
AB、连接，则，易知面，
又，所以面，
又面，所以点在面与面的交线上面，
同理可得点在面与面的交线上面，
所以，，三点共线，故A错误，B正确；
C、显然为异面直线，，，，四点不共面 故C错误；
D、由异面直线的定义可知是异面直线，，，，四点不共面.故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据平面的基本性质，异面直线的定义，逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，即，
即，可得或，
则或，即的形状为等腰或直角三角形.
故答案为：D．
【分析】利用正弦定理，结合正弦的二倍角公式化简判断即可.
5．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：将正三棱台还原为正三棱锥，如图1，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6；
如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高，
根据三棱锥的棱长均为6，三棱锥的棱长均为12，
可知相似比为，通过相似关系可知，三棱台的高也为.
故答案为：C.
【分析】先将棱台还原为棱锥，由相似关系，先求三棱锥的棱长，再利用大小棱锥的相似比求棱台的高即可.
6．【答案】B
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，可得，
因为，，所以，解得，
由，解得，
又因为，所以向量与向量的夹角为.
故答案为：B.
【分析】先将两边平方，结合已知条件得到，再利用向量的数量积求夹角即可.
7．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：取中点G，中点H，则就是平面a被正方体ABCD—截得的截面，如图所示：
其中，，边上的高为，
则的面积.
故答案为：D.
【分析】取中点G，中点H，利用平行关系，作出截面，再计算截面的面积即可.
8．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，，且，
所以，
化为，
所以，解得，
所以.
故答案为：C.
【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得的值，再由三角形的面积公式得出的面积.
9．【答案】A,D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：，如图所示：
由斜二测画法可知：，
则，即为正三角形，
.
故答案为：AD.
【分析】根据斜二测画法还原，根据边长关系求的各边，即可判断三角形的形状，再计算三角形的面积即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
，其中，
A、若z为实数，则，符合题意，故A正确；
B、由于z实部为-2，故不可能纯虚数，故B正确；
C、当时取得最小值，且最小值为2，故C错误；
D、若z在复平面内所对应的点在第三象限，则，解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再计算复数的模，最后根据复数的模、复数的概念以及复数在复平面内的表示逐项判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：A、设为的中点，底面为平行四边形，连接，
设交于点，连接，如图所示：
则，
因为，所以，即四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，平面平面，
假设平面，则，
即在平面内过点有两条直线和都平行，
这是不可能的，因此与平面不平行，故A错误；
B、设为的中点，底面为平行四边形，连接，
则，
又，，故，即四边形为平行四边形，
故，又因为平面，平面，所以平面，故B正确；
C、设为的中点，底面为平行四边形，连接，
则，
又，，
故，即四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，故平面，故C正确；
D、设底面为平行四边形，
连接交于点，交于点，
则为的中点，连接，
由于为的中点，故；
又平面，平面，平面平面，
假设平面，则，
即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，
因此与平面不平行，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】设为的中点，底面为平行四边形，连接，设交于点，连接，
利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断A，D；设为的中点，底面为平行四边形，连接，根据线面平行的判定定理证明即可判断B；设为的中点，底面为平行四边形，连接，根据线面平行的判定定理证明即可判断C.
12．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的直径为，则球的表面积，
因为圆锥的底面直径和高是，所以圆锥的侧面积为，
则圆锥的侧面积和球的表面积之比为.
故答案为：.
【分析】设球的直径为，利用球的表面积公式和圆锥侧面积公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：由轴截面是边长为4米的正，可得圆锥底面直径为4，底面半径为2，
则底面周长为，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为4，其展开图为一个半径为4的半圆，
由图可知：
，，则.
故答案为：.
【分析】由题意，先求圆锥的底面半径和周长，易知圆锥的侧面展开图为扇形，利用圆锥的展开图，连接，利用表格勾股定理求即为小猫所经过的最短路程.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，
因为三点共线，所以，
，
因为点是边上的动点（点异于，），所以，则，为正数，
则，
且仅当时等号成立.
故答案为：.
【分析】由题意，利用三点公式求得，再利用基本不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：；
（2）解：，则，解得.
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的四则运算化简求复数z；
（2）根据复数的四则运算，结合复数的相等，列方程求实数a，b的值即可．
（1）；
（2），则有，
解得.
16．【答案】（1）解：；
（2）解：，
因为三点共线，所以，解得.
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可；
（2）利用向量的线性运算用表示，再根据向量共线向量定理的推论列式计算即可.
（1）依题意，.
（2）依题意，
，而三点共线，则，
所以.
17．【答案】（1）解：在直观图中，，，
则在平面图形中，，，，
平面四边形的平面图形，如图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，面积为；
（2）解：直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
则体积.
【知识点】斜二测画法直观图；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用斜二测画法的边长关系求原图的各边长，并画出原图，易知平面四边形为直角梯形，求出的边长，计算四边形的面积即可；
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，结合（1）的结论，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解即可.
（1）在直观图中，，，
则在平面图形中，，，于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
（2）直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积.
18．【答案】解：（1）在中，由余弦定理可得，即；
（2）因为且，所以，
因为与互补，，所以，
由正弦定理，可得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中，直接利用余弦定理求解即可；
（2）由题意得到，再根据与互补，得到，利用同角三角函数基本关系求出，再利用正弦定理求解即可.
19．【答案】（1）证明：在梯形中，，，，，
因为G为的中点，所以，，，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为分别是，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面平面；
（2）解：设，由（1）可知，则为三棱锥的高h，
故，由，可得，，
又因为，，所以，
故，解得，
在中，，
故圆台的侧面积.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用中位线性质，结合线面平行的判定定理证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明平面平面即可；
（2）设，根据三棱锥体积求得的面积，再根据三棱锥的体积，求得，再在中，利用勾股定理求，最后根据圆台的侧面积公式求解即可．
（1）∵在梯形中，，，∴，
又G为的中点，∴，∴，
故四边形为平行四边形，∴.
又平面，平面，
∴平面.
∵分别是，的中点，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
又，平面，平面，
∴平面平面.
（2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h.
故，
由，可得，
∴.
又∵，，
∴.
故，
∴.
在中，.
故圆台的侧面积.
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