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广东省东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高二下学期第二次段考数学试题
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025高二下·东莞期中）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·东莞期中）定义二阶行列式，则“”是“”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高二下·东莞期中）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（　　）
A．老年男性志愿者人数为90
B．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数
C．青年女性志愿者人数为72
D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数
4．（2025高二下·东莞期中）已知，，，则关于，，的方程共有（　　）组不同的解.
A．36 B．45 C．50 D．24
5．（2025高二下·东莞期中）已知函数，则在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·东莞期中）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·东莞期中）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则方程的根个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2025高二下·东莞期中）已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2025高二下·东莞期中）下列函数的求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025高二下·东莞期中）给出下列说法，其中正确的有（ ）
A．随机变量，若，则
B．随机变量 ，若，则
C．一组数据的经验回归方程为，若，则
D．对于独立性检验，随机变量的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
11．（2025高二下·东莞期中）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．下面说法正确的是（　　）
A．若函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同
B．若是二次函数，则曲线的曲率在顶点处取得最小值
C．若函数，则函数的值域为
D．若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二下·东莞期中）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，　 　研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
13．（2025高二下·东莞期中）设被9除所得的余数为m，则的展开式中的常数项为　 　．
14．（2025高二下·东莞期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构 形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为　 　．
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高二下·东莞期中）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计， 具体数据见下表：
年份代号 1 2 3 4 5
广告费投入 4.8 5.6 6. 2 7. 6 8. 8
并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况， 得到的部分数据见下表：
　 认可 不认可
50 岁以下 140 60
50 岁及以上 120 80
（1）求广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联
附： ① 经验回归方程中，；
②，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（2025高二下·东莞期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
17．（2025高二下·东莞期中）树人中学篮球训练营有一项三人间的传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为，
（1）写出，，的值；
（2）求与的关系式，并求；
（3）第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为X，求X的期望．
18．（2025高二下·东莞期中）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19．（2025高二下·东莞期中）在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和（）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设发送信号0和1是等可能的．
（1）若，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为，求的数学期望和方差；
（2）随机变量的分布列为，记事件（）发生后给我们的信息量为，则称（）为的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵的最大值；
（3）若，发送信号次，设为出现0的总次数，为第次出现1的次数（0或1次），记表示发送信号次，0恰好出现次且第次出现1的次数为的概率，如时，．对于随机变量，记其合并熵为，且．证明：当时，．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
.
故答案为：C.
【分析】先利用一元二次不等式求解方法和对数型函数的定义域求解方法，则分别求出集合A和集合B，再根据补集的运算法则和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，得，
当时，，解得；
当时，，解得．
所以的解集为．
由，解得或，
即不等式的解集为．
因集合是集合的真子集，
故“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：C．
【分析】根据二阶行列式的定义，可得，分、求解不等式，再解二次不等式，结合必要不充分条件的判定求解．
3．【答案】C
【知识点】频率分布直方图；样本与样本量
【解析】【解答】解：由图1可知300名主播中，青年人有人，
中年人有人，老年人有人，
对于A，由图2可知样本老年男性志愿者人数为人，故A错误；
对于B，由图2可知老年女性志愿者人数为人；
中年女性志愿者有人；故B错误，
青年女性志愿者有人，故C正确，
中年男性志愿者人数为，青年男性志愿者人数，故D错误，
故答案为：C．
【分析】根据扇形图及高堆积条形图，逐项计算并判断即可．
4．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，
每组至少1个，第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解，
则10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可，共有组不同的解.
故答案为：A.
【分析】利用隔板法结合组合数公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】函数的表示方法；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
当时，，此时，
所以，
求导可得，
所以，
所以切线方程为，即.
故答案为：D.
【分析】根据分段函数可得，再求时，，结合导数的几何意义求切线方程即可．
6．【答案】D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意，可得，
，
所以
.
故答案为：D.
【分析】由题意结合组合数公式、古典概率公式、条件概率公式以及全概率公式，从而得出事件B的概率.
7．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，得函数的图象关于点对称，
由，得，则函数的图象关于直线对称，
且有，则，于是是以4为周期的周期函数，
又当时，，即函数在上单调递增，
又，根据对称性可知，函数在上单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，所以，
由，得，
则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标，
而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示：
所以共有5个交点.
故答案为：A.
【分析】根据题意，函数的图象关于点对称且关于直线对称，进而得到是以4为周期的周期函数，再数形结合求解．
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：当时，，，不存在公切线；
当时，设直线与切于点，与切于点，
函数，，求导可得，，
则直线的斜率，，
所以直线为，即，
直线也可以写成，即，
所以，
将代入可得，，
又因为，所以，
因为存在两条不同的直线与函数和图像均相切，
所以方程有两个不同的解，
设，求导可得，
当时，解得，
当时，解得，
且，
又因为且无穷接近时，趋近正无穷；当时，趋近正无穷；
函数的大致图象，如图所示：
由图可知：，则，即或，
则的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】当时，，，不存在公切线，不满足题意；则，设直线与和的切点分别为，对函数，分别求导，根据导数的几何意义可得，求出函数和的切线方程，由条件可得，条件可转化为方程有两个不同的解，设，求导，利用导数判断函数的单调性，作出函数图象，数形结合求的范围即可.
9．【答案】B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据基本初等函数的导数公式，结合导数的运算法则求解判断即可.
10．【答案】A,B,C,D
【知识点】独立性检验；可线性化的回归分析；二项分布；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：对于，随机变量 ，
所以，解得，故A正确；
对于，由正态曲线的对称性可知，，故正确；
对于C，因为，经验回归直线过点，所以，故C正确；
对于，对于独立性检验，随机变量的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小，故错误.
故答案为：ABC.
【分析】对于A，二项分布期望及方差公式求解判断；对于B，由正态分布对称性可知， 对于C，根据均值点过回归方程即可判断；对于D，由独立性检验及的意义即可判断．
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；导数的四则运算；基本不等式
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，导函数为，，
则，
因为，所以为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确；
B、设二次函数，，
则，当且仅当，即时，曲率取得最大值，故B错误；
C、函数，，
，令，则，
当时，；当时，单调递增且，单调递减
且，单调递增且，
根据复合函数的单调性知在时单调递减，
所以可知在时单调递增，
所以的最大值为，所以，即，故C正确；
D、，
，
当且仅当时，等号成立，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据曲率的定义求出曲率，由曲率函数为偶函数即可判断A；设二次函数，计算二次函数曲率，可知时有最大值即可判断B；求出函数的曲率函数，换元后求值域即可判断C；求出的曲率利用均值不等式求最大值即可判断D.
12．【答案】乙
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
故答案为：乙.
【分析】直接根据相关系数的定义判断即可.
13．【答案】70
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以被9除所得的余数为8，即，
则的展开式通项为，
令，即常数项为，
故答案为：70．
【分析】由二项式定理可得，继而可得，则展开式通项为，令即可求解．
14．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：关于的方程，两边取自然对数可得①，
对两边取自然对数，得，
即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，
设且，则，
所以在上单调递增，故的解只有一个，
所以，则．
故答案为：.
【分析】对已知方程两侧取对数得、，利用同构求得，构造并应用导数研究单调性判断对应关系，求目标式的值即可.
15．【答案】（1）解：由题意，得，
则 ，所以
则，
故广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程为；
（2）解：零假设为：市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联，
由题中表格数据，
计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）由数据先计算，再求解回归方程即可；
（2）先进行零假设，再计算，结合独立性检验的原理判断即可.
（1）由题意，得，
则 ，所以
则，
故广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程为.
（2）零假设为：市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联.
由题中表格数据，
计算得.
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
16．【答案】（1）证明：在菱形中，，为正三角形，
因为为线段的中点，所以，即，
因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为为线段的中点，所以，
又平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设为平面的法向量，由，得，
令，则，可得，
易知为平面的法向量，则，
由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量法求二面角的余弦值即可.
（1）在菱形中，，知为正三角形，又为线段的中点，则，即，
平面平面，
又平面平面，
又平面，
为线段的中点，，
又平面平面.
（2）如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设为平面的法向量，由得
令，则，即，
易知为平面的法向量，
，
由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为.
17．【答案】（1）解：若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，
第一次传球，球一定不在甲手中，所以，
传球两次，球在甲手中，有两种情况甲乙甲，甲丙甲，
则，
传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为，
所以，
（2）解：记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
，
即，，
所以，且.
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
即次传球后球在甲手中的概率是.
（3）解：由题意可知的最小取值为2，表示传球2次后，球连续2次不在甲的手中，有两种情况：甲乙丙，甲丙乙，
所以，
若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，所以有，
则，解得．
【知识点】数列的递推公式；全概率公式；等比数列的实际应用
【解析】【分析】（1）由独立事件的乘法公式，结合题意分别求，，的值即可；
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，根据全概率公式可得，再通过构造数列为等比数列，结合等比数列的通项公式求；
（3）根据题意可得，，再根据即可求解．
（1）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，
第一次传球，球一定不在甲手中，所以，
传球两次，球在甲手中，有两种情况甲乙甲，甲丙甲，
则，
传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为，所以
，
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
，
即，，
所以，且.
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
即次传球后球在甲手中的概率是.
（3）由题意可知的最小取值为2，表示传球2次后，球连续2次不在甲的手中，有两种情况：甲乙丙，甲丙乙，
所以，
若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，所以有，
则，解得
18．【答案】（1）解：函数定义域为， ，
当时，，函数在上单调递增，
当时，令，则，
若，即时，恒成立，函数在上单调递增，
若，即时，方程的根为，
当时，或，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减；
（2）解：令，则，
令，则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又当时，，且；当时，，
所以当时，先减后增，且在处有最小值，
此时直线与有两个交点，
所以实数的取值范围为；
（3）解：由，可得，
即，对恒成立，
当时，上式显然成立；
当时，上式转化为，
令，，，函数在上单调递增，
则，即，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性；
（2）问题转化为有两解，令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值，据此求实数的取值范围；
（3）问题转化为，对恒成立，显然当时，上式成立；当时，上式转化为，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求出最值，即可求实数的取值范围．
（1）， ，
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，则．
若，即时，恒成立，所以在上单调递增．
若，即时，方程的根为，
当时，或，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（2）令，则．
令，则．
所以当时，，在上单调递减．
当时，，在上单调递增．
又当时，，且；当时，，
所以当时，先减后增，且在处有最小值，
此时直线与有两个交点，
所以实数的取值范围为．
（3）因为，即，
即，对恒成立．
当时，上式显然成立；
当时，上式转化为，
令，，
，所以函数在上单调递增，
，，
综上所述，实数的取值范围为.
19．【答案】（1）当发送信号1次时，记发送信号为事件（），接收为正确信号为事件，
则，，，，
所以．
因为，所以．
由题意知，
所以．
（2）发送信号1次，接收为正确信号的次数的分布列为
0 1
所以，
令，记，，
所以，
由，解得，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，
又，所以此时取得最大值，
且最大值为．
（3）当时，第次出现0，前次中有次出现0，
所以，
所以
．
当时，第次出现1，前次中有次出现0，
所以，
所以，
所以
．
因为，
所以
所以．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；全概率公式；组合数公式
【解析】【分析】（1）发送信号为事件（），接收为正确信号为事件，根据全概率公式可得，故，然后根据二项分布期望，方差公式计算即可；
（2）根据题意可得，令，则，，再利用导数得到的单调性，得出最值；
（3）根据题意可得，
，再求得，进而得到，据此证明即可．
（1）当发送信号1次时，记发送信号为事件（），接收为正确信号为事件，
则，，，，
所以．
因为，所以．
由题意知，
所以．
（2）发送信号1次，接收为正确信号的次数的分布列为
0 1
所以，
令，记，，
所以，
由，解得，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，
又，所以此时取得最大值，
且最大值为．
（3）当时，第次出现0，前次中有次出现0，
所以，
所以
．
当时，第次出现1，前次中有次出现0，
所以，
所以，
所以
．
因为，
所以
所以．
1 / 1广东省东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高二下学期第二次段考数学试题
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025高二下·东莞期中）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
.
故答案为：C.
【分析】先利用一元二次不等式求解方法和对数型函数的定义域求解方法，则分别求出集合A和集合B，再根据补集的运算法则和交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高二下·东莞期中）定义二阶行列式，则“”是“”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，得，
当时，，解得；
当时，，解得．
所以的解集为．
由，解得或，
即不等式的解集为．
因集合是集合的真子集，
故“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：C．
【分析】根据二阶行列式的定义，可得，分、求解不等式，再解二次不等式，结合必要不充分条件的判定求解．
3．（2025高二下·东莞期中）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（　　）
A．老年男性志愿者人数为90
B．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数
C．青年女性志愿者人数为72
D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数
【答案】C
【知识点】频率分布直方图；样本与样本量
【解析】【解答】解：由图1可知300名主播中，青年人有人，
中年人有人，老年人有人，
对于A，由图2可知样本老年男性志愿者人数为人，故A错误；
对于B，由图2可知老年女性志愿者人数为人；
中年女性志愿者有人；故B错误，
青年女性志愿者有人，故C正确，
中年男性志愿者人数为，青年男性志愿者人数，故D错误，
故答案为：C．
【分析】根据扇形图及高堆积条形图，逐项计算并判断即可．
4．（2025高二下·东莞期中）已知，，，则关于，，的方程共有（　　）组不同的解.
A．36 B．45 C．50 D．24
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，
每组至少1个，第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解，
则10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可，共有组不同的解.
故答案为：A.
【分析】利用隔板法结合组合数公式求解即可.
5．（2025高二下·东莞期中）已知函数，则在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的表示方法；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
当时，，此时，
所以，
求导可得，
所以，
所以切线方程为，即.
故答案为：D.
【分析】根据分段函数可得，再求时，，结合导数的几何意义求切线方程即可．
6．（2025高二下·东莞期中）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意，可得，
，
所以
.
故答案为：D.
【分析】由题意结合组合数公式、古典概率公式、条件概率公式以及全概率公式，从而得出事件B的概率.
7．（2025高二下·东莞期中）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则方程的根个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，得函数的图象关于点对称，
由，得，则函数的图象关于直线对称，
且有，则，于是是以4为周期的周期函数，
又当时，，即函数在上单调递增，
又，根据对称性可知，函数在上单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，所以，
由，得，
则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标，
而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示：
所以共有5个交点.
故答案为：A.
【分析】根据题意，函数的图象关于点对称且关于直线对称，进而得到是以4为周期的周期函数，再数形结合求解．
8．（2025高二下·东莞期中）已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：当时，，，不存在公切线；
当时，设直线与切于点，与切于点，
函数，，求导可得，，
则直线的斜率，，
所以直线为，即，
直线也可以写成，即，
所以，
将代入可得，，
又因为，所以，
因为存在两条不同的直线与函数和图像均相切，
所以方程有两个不同的解，
设，求导可得，
当时，解得，
当时，解得，
且，
又因为且无穷接近时，趋近正无穷；当时，趋近正无穷；
函数的大致图象，如图所示：
由图可知：，则，即或，
则的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】当时，，，不存在公切线，不满足题意；则，设直线与和的切点分别为，对函数，分别求导，根据导数的几何意义可得，求出函数和的切线方程，由条件可得，条件可转化为方程有两个不同的解，设，求导，利用导数判断函数的单调性，作出函数图象，数形结合求的范围即可.
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2025高二下·东莞期中）下列函数的求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据基本初等函数的导数公式，结合导数的运算法则求解判断即可.
10．（2025高二下·东莞期中）给出下列说法，其中正确的有（ ）
A．随机变量，若，则
B．随机变量 ，若，则
C．一组数据的经验回归方程为，若，则
D．对于独立性检验，随机变量的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】A,B,C,D
【知识点】独立性检验；可线性化的回归分析；二项分布；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：对于，随机变量 ，
所以，解得，故A正确；
对于，由正态曲线的对称性可知，，故正确；
对于C，因为，经验回归直线过点，所以，故C正确；
对于，对于独立性检验，随机变量的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小，故错误.
故答案为：ABC.
【分析】对于A，二项分布期望及方差公式求解判断；对于B，由正态分布对称性可知， 对于C，根据均值点过回归方程即可判断；对于D，由独立性检验及的意义即可判断．
11．（2025高二下·东莞期中）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．下面说法正确的是（　　）
A．若函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同
B．若是二次函数，则曲线的曲率在顶点处取得最小值
C．若函数，则函数的值域为
D．若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；导数的四则运算；基本不等式
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，导函数为，，
则，
因为，所以为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确；
B、设二次函数，，
则，当且仅当，即时，曲率取得最大值，故B错误；
C、函数，，
，令，则，
当时，；当时，单调递增且，单调递减
且，单调递增且，
根据复合函数的单调性知在时单调递减，
所以可知在时单调递增，
所以的最大值为，所以，即，故C正确；
D、，
，
当且仅当时，等号成立，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据曲率的定义求出曲率，由曲率函数为偶函数即可判断A；设二次函数，计算二次函数曲率，可知时有最大值即可判断B；求出函数的曲率函数，换元后求值域即可判断C；求出的曲率利用均值不等式求最大值即可判断D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二下·东莞期中）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，　 　研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
【答案】乙
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
故答案为：乙.
【分析】直接根据相关系数的定义判断即可.
13．（2025高二下·东莞期中）设被9除所得的余数为m，则的展开式中的常数项为　 　．
【答案】70
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以被9除所得的余数为8，即，
则的展开式通项为，
令，即常数项为，
故答案为：70．
【分析】由二项式定理可得，继而可得，则展开式通项为，令即可求解．
14．（2025高二下·东莞期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构 形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：关于的方程，两边取自然对数可得①，
对两边取自然对数，得，
即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，
设且，则，
所以在上单调递增，故的解只有一个，
所以，则．
故答案为：.
【分析】对已知方程两侧取对数得、，利用同构求得，构造并应用导数研究单调性判断对应关系，求目标式的值即可.
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高二下·东莞期中）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计， 具体数据见下表：
年份代号 1 2 3 4 5
广告费投入 4.8 5.6 6. 2 7. 6 8. 8
并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况， 得到的部分数据见下表：
　 认可 不认可
50 岁以下 140 60
50 岁及以上 120 80
（1）求广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联
附： ① 经验回归方程中，；
②，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：由题意，得，
则 ，所以
则，
故广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程为；
（2）解：零假设为：市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联，
由题中表格数据，
计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）由数据先计算，再求解回归方程即可；
（2）先进行零假设，再计算，结合独立性检验的原理判断即可.
（1）由题意，得，
则 ，所以
则，
故广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程为.
（2）零假设为：市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联.
由题中表格数据，
计算得.
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
16．（2025高二下·东莞期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：在菱形中，，为正三角形，
因为为线段的中点，所以，即，
因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为为线段的中点，所以，
又平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设为平面的法向量，由，得，
令，则，可得，
易知为平面的法向量，则，
由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量法求二面角的余弦值即可.
（1）在菱形中，，知为正三角形，又为线段的中点，则，即，
平面平面，
又平面平面，
又平面，
为线段的中点，，
又平面平面.
（2）如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设为平面的法向量，由得
令，则，即，
易知为平面的法向量，
，
由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为.
17．（2025高二下·东莞期中）树人中学篮球训练营有一项三人间的传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为，
（1）写出，，的值；
（2）求与的关系式，并求；
（3）第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为X，求X的期望．
【答案】（1）解：若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，
第一次传球，球一定不在甲手中，所以，
传球两次，球在甲手中，有两种情况甲乙甲，甲丙甲，
则，
传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为，
所以，
（2）解：记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
，
即，，
所以，且.
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
即次传球后球在甲手中的概率是.
（3）解：由题意可知的最小取值为2，表示传球2次后，球连续2次不在甲的手中，有两种情况：甲乙丙，甲丙乙，
所以，
若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，所以有，
则，解得．
【知识点】数列的递推公式；全概率公式；等比数列的实际应用
【解析】【分析】（1）由独立事件的乘法公式，结合题意分别求，，的值即可；
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，根据全概率公式可得，再通过构造数列为等比数列，结合等比数列的通项公式求；
（3）根据题意可得，，再根据即可求解．
（1）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，
第一次传球，球一定不在甲手中，所以，
传球两次，球在甲手中，有两种情况甲乙甲，甲丙甲，
则，
传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为，所以
，
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
，
即，，
所以，且.
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
即次传球后球在甲手中的概率是.
（3）由题意可知的最小取值为2，表示传球2次后，球连续2次不在甲的手中，有两种情况：甲乙丙，甲丙乙，
所以，
若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，所以有，
则，解得
18．（2025高二下·东莞期中）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为， ，
当时，，函数在上单调递增，
当时，令，则，
若，即时，恒成立，函数在上单调递增，
若，即时，方程的根为，
当时，或，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减；
（2）解：令，则，
令，则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又当时，，且；当时，，
所以当时，先减后增，且在处有最小值，
此时直线与有两个交点，
所以实数的取值范围为；
（3）解：由，可得，
即，对恒成立，
当时，上式显然成立；
当时，上式转化为，
令，，，函数在上单调递增，
则，即，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性；
（2）问题转化为有两解，令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值，据此求实数的取值范围；
（3）问题转化为，对恒成立，显然当时，上式成立；当时，上式转化为，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求出最值，即可求实数的取值范围．
（1）， ，
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，则．
若，即时，恒成立，所以在上单调递增．
若，即时，方程的根为，
当时，或，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（2）令，则．
令，则．
所以当时，，在上单调递减．
当时，，在上单调递增．
又当时，，且；当时，，
所以当时，先减后增，且在处有最小值，
此时直线与有两个交点，
所以实数的取值范围为．
（3）因为，即，
即，对恒成立．
当时，上式显然成立；
当时，上式转化为，
令，，
，所以函数在上单调递增，
，，
综上所述，实数的取值范围为.
19．（2025高二下·东莞期中）在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和（）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设发送信号0和1是等可能的．
（1）若，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为，求的数学期望和方差；
（2）随机变量的分布列为，记事件（）发生后给我们的信息量为，则称（）为的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵的最大值；
（3）若，发送信号次，设为出现0的总次数，为第次出现1的次数（0或1次），记表示发送信号次，0恰好出现次且第次出现1的次数为的概率，如时，．对于随机变量，记其合并熵为，且．证明：当时，．
【答案】（1）当发送信号1次时，记发送信号为事件（），接收为正确信号为事件，
则，，，，
所以．
因为，所以．
由题意知，
所以．
（2）发送信号1次，接收为正确信号的次数的分布列为
0 1
所以，
令，记，，
所以，
由，解得，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，
又，所以此时取得最大值，
且最大值为．
（3）当时，第次出现0，前次中有次出现0，
所以，
所以
．
当时，第次出现1，前次中有次出现0，
所以，
所以，
所以
．
因为，
所以
所以．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；全概率公式；组合数公式
【解析】【分析】（1）发送信号为事件（），接收为正确信号为事件，根据全概率公式可得，故，然后根据二项分布期望，方差公式计算即可；
（2）根据题意可得，令，则，，再利用导数得到的单调性，得出最值；
（3）根据题意可得，
，再求得，进而得到，据此证明即可．
（1）当发送信号1次时，记发送信号为事件（），接收为正确信号为事件，
则，，，，
所以．
因为，所以．
由题意知，
所以．
（2）发送信号1次，接收为正确信号的次数的分布列为
0 1
所以，
令，记，，
所以，
由，解得，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，
又，所以此时取得最大值，
且最大值为．
（3）当时，第次出现0，前次中有次出现0，
所以，
所以
．
当时，第次出现1，前次中有次出现0，
所以，
所以，
所以
．
因为，
所以
所以．
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