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数学活动 图形的等分 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十七章
课题 数学活动 图形的等分 课时 1课时
课标要求 通过动手操作、观察分析，探索并掌握三角形、平行四边形、矩形等常见图形的等分方法，理解图形等分的本质是“面积（或周长）相等、形状可同可不同”，能区分“全等等分”与“面积等分”的差异。结合平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理等知识，提升几何直观、动手操作、逻辑推理和创新思维能力，体会转化思想、数形结合思想的应用。能运用图形等分的方法解决简单的实际问题（如图形分割、面积分配等），培养数学应用意识，感受数学与生活的密切联系，激发几何探究的兴趣。
教材分析 本节课是华师大版八年级下册第17章“平行四边形”的数学活动课，是本章核心知识（平行四边形、三角形的性质与判定、三角形中位线定理）的综合应用与拓展延伸，并非单纯的知识新授，而是以“图形等分”为载体，实现“知识整合、能力提升、思维拓展”的核心目标。从教材编排来看，本章前几课时已系统学习平行四边形、矩形的性质与判定，以及三角形中位线定理，为图形等分提供了坚实的知识支撑——图形等分的核心思路（如利用对角线、中位线分割图形），本质是对这些知识的灵活运用。
学情分析 八年级学生已熟练掌握平行四边形、矩形的性质（对边相等、对角线互相平分）、判定定理，以及三角形中位线定理，能运用这些知识解决简单的图形证明和计算问题；同时，小学阶段已学习过线段的等分、简单图形的平均分，对“等分”有初步的直观认知，知道“等分即分成大小相等的部分”，这为本节课的探究奠定了基础。但学生对“图形等分的本质是面积相等”理解不深，对复杂图形的等分思路不清晰，难以将平行四边形知识与等分操作有机结合。
核心素养目标 1. 数学抽象：通过探究不同图形的等分方法，抽象出图形等分的本质是“面积相等”，理解等分与图形核心元素（对角线、中位线）的关联，提升抽象概括能力。2. 几何直观：借助动手操作、图形观察、尺规作图演示，直观感知图形等分的过程和规律，能快速识别图形的等分线，发展几何直观素养，体会“变中的不变”的数学规律。3. 逻辑推理：结合平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，说明图形等分的依据，严谨推导等分方法的合理性，提升合情推理与演绎推理能力，渗透尺规作图的严谨性思维。
教学重点 掌握三角形、平行四边形、矩形等常见图形的基本等分方法（二等分、四等分），理解等分的依据（平行四边形性质、三角形中位线定理等）。
教学难点 探究图形等分的规律，能根据图形特点，灵活设计多种等分方法，尤其是复杂图形的等分（如组合图形）。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 【想一想】观察下面这些生活场景，人们将蛋糕和披萨分成了什么特点的部分？分成大小相等的部分。【想一想】如何将一个三角形、平行四边形分成面积相等的部分呢？ 观察生活实例，发言分享自己的发现，明确“等分即分成大小相等的部分”，了解图形等分的生活意义。 结合生活实例导入，拉近数学与生活的距离，激发学生的探究兴趣，让学生感受数学的实用性。
二、探究 【动手操作】拿出准备好的平行四边形纸片，通过对折、测量等方法探究“如何将它们二等分、四等分”，记录操作过程和依据，小组内交流讨论。如下图，将一个平行四边形ABCD沿着对角线AC翻折，将这个平行四边形一分为二，显然这两部分的形状与大小完全一样，也就是说直线AC将整个平行四边形分成了两个面积相等的部分。【思考】那么是否还存在其他直线， 也能将这个平行四边形分成面积相等的两部分呢？ 另一条对角线BD所在的直线也可以。你还能发现其他直线吗？【想一想】它们之间有什么共同规律呢？这几条直线都相交于一点。总结归纳平行四边形二等分：连接对角线、过对称中心的任意一条直线、连接对边中点的线段都可以将平行四边形分成面积相等的两部分。如果想用两条直线将一个平行四边形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？两条对角线所在的直线能将一个平行四边形分成面积相等的四部分。你还能找到其他直线吗？分别连接两组对边的中点，形成两条线段，这两条线段所在的直线将平行四边形分成四个小平行四边形，每个小平行四边形面积相等。将平行四边形的一组对边分别四等分，过每个四等分点作另一组对边的平行线，这些平行线将平行四边形分成四个面积相等的四部分。总结归纳我们知道平行四边形是一个中心对称图形，你的发现是否与中心对称有某种关系呢？过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的面积和周长都分别相等。是否可以引申到一般的中心对称图形呢？【做一做】将下面图形分成面积相等的四部分。【想一想】更一般地， 对于由几个中心对称或轴对称图形组合而成的图形， 是否也有相应的结论呢？ 动手操作：分组探究平行四边形的二等分、四等分方法，尝试多种思路，记录操作过程和依据。小组讨论：交流自己的方法，对比不同方法的差异，讨论等分的依据，区分“全等等分”与“面积等分”。纠错反思：纠正自己的认知误区，明确图形等分的核心是面积相等，掌握平行四边形、矩形的多种等分方法。观察组合图形，尝试拆解为基本图形，探究等分方案，动手画图验证。 结合本章核心知识（平行四边形的性质），让学生在探究中巩固知识，实现知识的综合应用，同时衔接图形对称性的知识。 鼓励多种等分方法，培养学生的创新思维；小组合作探究，提升合作能力和探究能力。易错辨析，直击学生的认知误区，帮助学生精准理解图形等分的本质，突破重点。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题：1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD，若△ABC的面积是12cm2，则△ABD的面积为（ ）。A. 3cm2 B. 4cm2 C. 5cm2 D. 6cm22.如图，是一个由矩形和三角形拼接而成的组合图形，尝试画出一条直线，将其分成两个面积相等的部分。【知识技能类作业】必做题：3.【问题探究】（1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图（1）可总结规律：一个中心对称图形，过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分。【迁移应用】（2）图（2）是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，作一条直线将图（2）的阴影部分分成面积相等的两部分（不写作图过程，保留作图痕迹）。【归纳总结】（3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分。【综合拓展类作业】4.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点画一条直线，交AB于点E，交CD于点F，求证：直线EF将□ABCD分成两个面积相等的部分。证明∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD, OA=OC.又∵ AB∥CD，∴ ∠OAE=∠OCF。又∵∠AOE=∠COF，∴ △AOE≌△COF。∴ S△AOE = S△COF.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ S△ABC = S△ADC.又∵ S△ABC = S△AOE + S四边形BEOB，S△ADC = S△COF + S四边形DFOD，且S△AOE = S△COF，∴ S四边形BEOC = S四边形DFOA。∴ S四边形BEOC+S△COF = S四边形DFOA+S△AOE，即S四边形AEFD = S四边形EBCF。∴ 直线EF将□ABCD分成两个面积相等的部分。 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
五、提升 适时小结，兴趣延伸1.一个中心对称图形，过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分。2.由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 数学活动 图形的等分① 平行四边形的等分。② 组合图形的等分。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
教学反思 本节课探究层次清晰，贴合认知规律。本节课按照“平行四边形、矩形→组合图形”的顺序，从简单到复杂、从基础到拓展，分层开展探究活动，符合八年级学生的认知特点，有效降低了探究难度，同时衔接小学阶段“平均分”和本章核心知识，实现了知识的梯度衔接。突出活动课核心，落实“做中学”。全程以动手操作为主线，结合小组合作、交流展示，让学生亲历探究过程，既培养了动手操作能力、合作能力，又实现了“动手操作”与“理性推理”的有机结合，落实了核心素养培养，贴合数学活动课的教学理念，同时渗透尺规作图的严谨性思维。
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第十七章 平行四边形
数学活动 图形的等分
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过探究不同图形的等分方法，抽象出图形等分的本质的是“面积相等”，理解等分与图形核心元素（对角线、中位线）的关联，提升抽象概括能力。
01
借助动手操作、图形观察、尺规作图演示，直观感知图形等分的过程和规律，能快速识别图形的等分线，发展几何直观素养。
02
结合平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，说明图形等分的依据，严谨推导等分方法的合理性，提升合情推理与演绎推理能力。
03
02
新知导入
【想一想】观察下面这些生活场景，人们将蛋糕和披萨分成了什么特点的部分？
分成大小相等的部分.
02
新知导入
【想一想】如何将一个三角形、平行四边形分成面积相等的部分呢？
03
新知探究
探究
平行四边形的等分
【动手操作】拿出准备好的平行四边形纸片，通过对折、测量等方法探究“如何将它们二等分、四等分”，记录操作过程和依据，小组内交流讨论。
03
新知探究
如下图，将一个平行四边形ABCD沿着对角线AC翻折，将这个平行四边形一分为二，显然这两部分的形状与大小完全一样，也就是说直线AC将整个平行四边形分成了两个面积相等的部分.
03
新知探究
【思考】那么是否还存在其他直线， 也能将这个平行四边形分成面积相等的两部分呢？
另一条对角线BD所在的直线也可以.
03
新知探究
你还能发现其他直线吗
【想一想】它们之间有什么共同规律呢
这几条直线都相交于一点。
总结归纳
平行四边形二等分：连接对角线、过对称中心的任意一条直线、连接对边中点的线段都可以将平行四边形分成面积相等的两部分.
03
新知探究
如果想用两条直线将一个平行四边形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢
你还能找到其他直线吗
两条对角线所在的直线能将一个平行四边形分成面积相等的四部分.
03
新知探究
你还能找到其他将一个平行四边形分成面积相等的四部分的直线吗
分别连接两组对边的中点，形成两条线段，这两条线段所在的直线将平行四边形分成四个小平行四边形，每个小平行四边形面积相等。
03
新知探究
你还能找到其他将一个平行四边形分成面积相等的四部分的直线吗
将平行四边形的一组对边分别四等分，过每个四等分点作另一组对边的平行线，这些平行线将平行四边形分成四个面积相等的四部分。
总结归纳
我们知道平行四边形是一个中心对称图形，你的发现是否与中心对称有某种关系呢？
是否可以引申到一般的中心对称图形呢
过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的面积和周长都分别相等.
03
新知探究
【做一做】将下面图形分成面积相等的四部分.
03
新知探究
【想一想】更一般地， 对于由几个中心对称或轴对称图形组合而成的图形， 是否也有相应的结论呢？
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD，若△ABC的面积是12cm2，则△ABD的面积为（ ）。
A. 3cm2
B. 4cm2
C. 5cm2
D. 6cm2
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，是一个由矩形和三角形拼接而成的组合图形，尝试画出一条直线，将其分成两个面积相等的部分。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.【问题探究】(1)如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分 我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图(1)可总结规律：一个中心对称图形，_____________的直线将它分成面积相等的两部分.
过对称中心
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.[迁移应用】(2)图(2)是一个由正方形和圆构成的“组合图形”,作一条直线将图(2)的阴影部分分成面积相等的两部分(不写作图过程，保留作图痕迹).
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.【归纳总结】
(3)由两个中心对称图形组合成的图形，__________________________
__________的直线将它分成面积相等的两部分.
经过两个中心对称图形的
对称中心
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
4.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点画一条直线，交AB于点E，交CD于点F，求证：直线EF将□ABCD分成两个面积相等的部分。
证明∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，OA=OC。
又∵ AB∥CD，∴ ∠OAE=∠OCF。
又∵∠AOE=∠COF，∴ △AOE≌△COF。
∴ S△AOE = S△COF。∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ S△ABC = S△ADC。
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
4.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点画一条直线，交AB于点E，交CD于点F，求证：直线EF将□ABCD分成两个面积相等的部分。
又∵ S△ABC = S△AOE + S四边形BEOB，
S△ADC = S△COF + S四边形DFOD，
且S△AOE = S△COF，∴ S四边形BEOC = S四边形DFOA。
∴ S四边形BEOC+S△COF = S四边形DFOA+S△AOE，
即S四边形AEFD = S四边形EBCF。
∴ 直线EF将□ABCD分成两个面积相等的部分。
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.一个中心对称图形，过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分.
2.由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分.
Thanks!
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 下册第十七章
课标要求 1. 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的本质特征，能准确识别平行四边形。2. 探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理，能运用定理进行简单的推理、计算和作图。3. 经历观察、猜想、验证、证明的完整过程，培养几何推理能力、逻辑思维能力和动手操作能力，体会数形结合、转化的数学思想。4. 能运用平行四边形的性质和判定知识解决生活中的简单实际问题，感受几何图形在生活中的广泛应用，提升数学应用意识和创新意识。5. 通过图形的变换（平移、旋转、轴对称）探究平行四边形的性质与判定，理解图形的对称性，培养空间观念。
内容分析 《平行四边形》是华师大版八年级下册第17章的核心内容，是“图形与几何”领域的重要单元，承接七年级下册三角形、全等三角形的知识，是对平面图形性质和判定的进一步拓展，也是后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形、梯形、多边形的重要基础。本单元以平行四边形为核心，围绕“性质”和“判定”两大主线展开，形成“探究—证明—应用”的知识逻辑，既注重图形性质的直观感知，也强调逻辑推理的规范训练，是培养学生几何推理能力、规范表达能力的关键单元，同时渗透的数学思想和方法，对学生后续几何学习具有重要的指导意义。
学情分析 八年级学生已熟练掌握全等三角形的判定与性质，能进行简单的几何推理和作图；同时，在小学阶段已初步认识过平行四边形，对平行四边形有直观的感知，能识别简单的平行四边形图形，但未从几何逻辑的角度理解其性质和判定，也未掌握规范的几何证明方法。同时八年级学生思维已从具象思维向抽象思维过渡，具备一定的观察、猜想、探究能力，能通过动手操作（如折叠、测量、平移）发现平行四边形的特征，但逻辑推理能力和规范表达能力仍较弱，对“猜想—验证—证明”的几何探究过程不够熟悉，容易出现推理不严谨、步骤不完整的问题。
单元目标 （一）教学目标1. 掌握平行四边形的概念，理解其本质特征，能准确识别平行四边形。2. 熟练掌握平行四边形的性质定理（边、角、对角线）和判定定理（边、角、对角线），能运用定理进行线段相等、角相等、平行等问题的推理和计算。3. 能区分平行四边形的性质与判定，灵活运用其解决相关几何证明、计算问题和简单实际问题。4. 能规范进行几何证明的书写，掌握“已知—求证—证明”的基本步骤，做到逻辑清晰、论据充分。5. 能运用平行四边形的知识进行简单的作图（如作平行四边形），解决生活中的简单测量和作图问题。（二）教学重点、难点重点1. 平行四边形的性质定理和判定定理的探究与证明。2. 能熟练区分平行四边形的性质与判定，灵活运用其解决相关推理、计算和证明问题。3. 掌握几何证明的规范步骤，能清晰、准确地表达推理过程。难点1. 平行四边形判定定理的灵活运用（尤其是多条件组合判定、性质与判定的双向运用）。2. 在复杂几何情境中，运用平行四边形的知识进行综合推理和计算，体会数形结合、转化思想的应用。3. 几何证明的规范性，能准确书写已知、求证、证明过程，逻辑清晰、论据充分，尤其是判定定理的规范应用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数17.1平行四边形的性质平行四边形边、角的性质；平行四边形对角线的性质.417.2平行四边形的判定平行四边形的判定平行四边形的性质与判定的综合应用三角形的中位线4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1平行四边形的性质1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.2.会用平行四边形的性质解决简单的计算问题，并会进行有关的论证.能说出平行四边形的定义和边、角性质，能解决基础计算题任务一：讲解平行四边形定义，使学生形成初步认知。任务二：理解平行四边形的边角性质1.熟练运用平行四边形的边角性质进行相关的计算和证明.2.培养学生观察、分析及合作交流的能力.能灵活运用边、角性质解决综合推理题，能主动探究性质的拓展应用任务一：平行四边形边、角性质的运用。任务二：例题讲解。理解平行四边形是中心对称图形的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.任务一：讲解平行四边形对角线互相平分的性质。。任务二：例题讲解。1.熟练运用平行四边形的性质进行相关的计算.2.培养学生观察、分析及合作交流的能力.综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.任务一：平行四边形性质的应用.任务二：例题讲解。17.2平行四边形的判定1.理解并掌握两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.能用平行四边形的判定和性质来解决问题.能记住判定定理，能运用定理解决简单的判定问题，证明步骤基本完整任务一：讲解平行四边形的各类判定定理（能准确表述、区分性质与判定）；任务二：判定定理的应用。1.理解并掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形.2.培养用类比、逆向思考及运动的思维方法来研究问题.掌握平行四边形的第3判定方法，并且能熟练应用.任务一：讲解平行四边形的第3判定方法.任务二：例题讲解。1.熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2.能综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决问题.能熟练区分性质与判定，能根据条件灵活选择判定定理，证明步骤规范，能解决简单综合问题。任务一：能灵活运用数学思想解决实际应用问题.任务二：例题讲解。1.了解三角形的中位线的定义，注意与三角形的中线的区别.2.掌握三角形的中位线定理，并能灵活的运用.能识记三角形的中位线定义、定理，三角形中位线定理的灵活运用.任务一：能灵活运用三角形中位线定理.任务二：例题讲解。
《平行四边形》大单元教学设计
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