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江苏省高邮市2024-2025学年高一下学期期中学情调研测试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·高邮期中）函数的零点是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·高邮期中）（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·高邮期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·高邮期中）的值等于（　　）
A． B．1 C． D．2
5．（2025高一下·高邮期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·高邮期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
7．（2025高一下·高邮期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·高邮期中）在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·高邮期中）下列有关向量的说法，正确的有（　　）
A．若是等边三角形，则向量，的夹角为60°
B．两个非零向量，若，则与共线且反向
C．若，，则可作为平面向量的一组基底
D．已知非零向量，满足，则A，B，C，D四点构成一个梯形
10．（2025高一下·高邮期中）已知，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025高一下·高邮期中）如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（　　）
A．四边形ABCD的面积为
B．该外接圆的半径为
C．过D作交BC于F点，则
D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．（2025高一下·高邮期中）已知向量，的夹角为45°，且，，则　 　.
13．（2025高一下·高邮期中）已知，则　 　．
14．（2025高一下·高邮期中）在非钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是的重心且，则角　 　；若，，则　 　.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·高邮期中）已知，，其中，.
（1）求；
（2）求.
16．（2025高一下·高邮期中）已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量（用坐标表示）.
17．（2025高一下·高邮期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
（1）求线段AC的长度；
（2）求的值.
18．（2025高一下·高邮期中）已知函数的最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程在区间上有相异两解，.
①求实数m的取值范围；
②当时，函数取最大值，设，求.
19．（2025高一下·高邮期中）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若，求的值；
（3）若，，求实数的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，解得，则函数的零点是.
故答案为：C.
【分析】令，求零点即可.
2．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据余弦的两角差公式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由，，可得，
因为，，三点共线，所以与共线，则，即，解得.
故答案为：D.
【分析】根据向量的线性运算先求，再根据向量共线定理列方程求解即可.
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
，
因为，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式，结合同角三角函数基本关系以及的大小关系、诱导公式化简求值即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：设，，
，
因为，所以，
则，即，解得.
故答案为：D.
【分析】设，，根据向量的线性运算化简求值即可.
6．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：要使有两组解，需满足，即，，
则a的值可以为8.
故答案为：B.
【分析】根据有两组解，可得，据此求解即可.
7．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
整理可得，即，
由余弦定理可得，
则，当且仅当，即时等号成立，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】先利用正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理可得，最后根据基本不等式求最值即可.
8．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为D为的中点，所以，所以
以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
由，可得，，
设，则，
，故的最小值为.
故答案为：D.
【分析】由D为的中点，可得，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合向量数量积的坐标运算求的最小值即可.
9．【答案】B,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A、是等边三角形，，
由向量夹角的定义可知，，的夹角为120°，故A错误；
B、两边平方可得，即，
则，因为，所以，则与共线且反向，故B正确；
C、，则与不共线，即可作为平面向量的一组基底，故C正确；
D、由，则，则直线或四点共线，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量夹角的定义，可得，的夹角为120°即可判断A；将两边同时平方可得，再根据向量共线定理即可判断B；利用向量共线的坐标运算求解即可判断C；由向量共线可得所在直线平行或共线即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：A、，整理可得，即，故A正确；
B、，故B正确；
C、因为，则，可得，
可知可能为第一、二、三，四象限，即的符号无法判断，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】化简，利用同角三角函数基本关系求解即可判断A；根据两角差的正切公式求解即可判断B；根据象限角的符号性分析即可判断C；利用余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的商关系化简求值即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、连接，如图所示：
，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
则，且，
则，即，
则四边形的面积
，故A错误；
B、该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为，
在中，由正弦定理可得，即，故B正确；
C、由题意可得：，
过作，垂足，则为的中点，可得，
在方向上的投影向量即为，则，故C正确；
D、过作，垂足，则为的中点，可得，
过作，垂足，可得，
故，即在方向上的投影向量为，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】连接，由题意可得，在中，利用余弦定理结合圆的性质可得，进而求得，，再利用，结合三角形面积公式求解即可判断A；由题意可知四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为，利用正弦定理求外接圆半径即可判断B；根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，即可判断C；根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，即可判断D.
12．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：向量，的夹角为45°，且，，
则
.
故答案为：.
【分析】根据向量的数量积，结合向量的模公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
则．
故答案为：.
【分析】由题意，利用诱导公式，结合余弦的二倍角公式化简求值即可.
14．【答案】；2
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，
整理可得，
显然，则，即，
又因为，可得；
因为点P是的重心，则，
两边平方可得，
即，整理可得，解得.
故答案为：；2.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简求得，即可得角A；由点是的重心，可得，将其两边平方，结合向量数量积运算律求解即可.
15．【答案】（1）解：由，，可得，，
则 ；
（2）解：因为，，所以，所以，
则，
因为，所以.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求和，再利用正切的二倍角化简求值即可；
（2）利用同角三角函数的基本关系求，再根据，结合两角差的正弦公式求值即可.
（1），，
.
（2），，所以
16．【答案】（1）解：法一：，设，
因为，所以，解得，则或；
法二：设，由且，可得，解得或，
则或；
（2）解：因为与垂直，所以，所以，
则，解得，
则向量在方向上的投影向量.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）法一：设，利用向量模的坐标表示列式求解即可；
法二：设，根据且，列方程组，求得的值，即可得向量的坐标；
（2）根据与垂直，数量积为零，列出方程求得，再根据投影向量的计算公式求解即可.
（1）解：法一：因为，可设，
因为，可得，解得，
所以或.
法二：设，
因为且，可得，解得或，
所以或.
（2）解：因为与垂直，可得，
所以，可得，解得，
所以向量在方向上的投影向量.
17．【答案】（1）解：由，可得，即，解得，
在中，由余弦定理得，
则；
（2）解：在中，由正弦定理，可得，解得，
因为，所以，
在中，由正弦定理，可得，则.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据，利用面积公式求得，再利用助余弦定理求线段的长度即可；
（2）在中，利用正弦定理求，再根据可得，再在中，利用正弦定理求即可.
（1），，
，，
在中，由余弦定理得：
，；
（2）在中，由正弦定理得：，
，，
，，
在中，由正弦定理得：，
，.
18．【答案】（1）解：，
因为的最小正周期为，且，所以，解得，
则；
（2）解：①由，即，
关于x的方程在区间上有相异两解，，
也即函数与的图象在区间上有两个交点，
由，得，
又在上单调递增，在上单调递减，
作出在区间上的图象，如图所示：
由图可知，要使函数与的图象在区间上有两个交点，
则有，所以实数m的取值范围.
②解法一：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则有，所以，
则有，即，
也即，整理得，所以，
故
解法二：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则有，所以，
，其中，
则当，即时，取最大值，
则，
则有
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的图象；辅助角公式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用正弦、余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简求得，再根据最小正周期得到，即可得到函数的解析式；
（2）①、由，可得，问题转化为与的图象在区间上有两个不同的交点，求出，画出在区间上的图象，数形结合得到；
②解法一：由对称性可得，所以，则有，从而得到方程，平方求出，所以，由三角恒等变换得到；
解法二：由对称性可得，所以，由辅助角公式得到时，取最大值，则，由三角恒等变换得到.
（1）由题
，
因为的最小正周期为，且，所以，解得，
所以；
（2）①由，即，
关于x的方程在区间上有相异两解，，
也即函数与的图象在区间上有两个交点，
由，得，
又在上单调递增，在上单调递减，
作出在区间上的图象如图，
由图可知，要使函数与的图象在区间上有两个交点，
则有，所以实数m的取值范围.
②解法一：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则有，所以，
则有，即，
也即，整理得，所以，
故
解法二：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则有，所以，
，其中，
则当，即时，取最大值，
则，
则有
19．【答案】（1）解：，
由正弦定理得，
即，
即，即，即，
又因为，所以，得；
（2）解：由，整理可得①，
由余弦定理得②，
联立①②得，由且点为的费马点，
则，
故，
化简得：，即；
（3）解：设，，，
在，，中，由余弦定理得，
，
，
因为，所以，则，即，
由，则，
故，即，解得或（舍去），
当且仅当且且，解得时等号成立，
故实数的最小值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和、差的正弦公式以及辅助角公式化简计算即可；
（2）由，整理可得①，由余弦定理可得②，联立求得，再利用费马点和三角形面积公式化简即可；
（3）设，，，通过代入余弦定理化简，通过题意代入化简，用重要不等式进行求解最小值即可.
（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，所以，
即，又所以，得；
（2）由即①，
由余弦定理得②，
由①②得，由且点为的费马点，
则，
故，
化简得：，
即；
（3）设，，，
在，，中，由余弦定理得，
，
，
又则得，，
即，
由，则，
故，
即有，解得或（舍去），
当且仅当且且，解得时，等号成立，
故实数的最小值为.
1 / 1江苏省高邮市2024-2025学年高一下学期期中学情调研测试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·高邮期中）函数的零点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，解得，则函数的零点是.
故答案为：C.
【分析】令，求零点即可.
2．（2025高一下·高邮期中）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据余弦的两角差公式求解即可.
3．（2025高一下·高邮期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由，，可得，
因为，，三点共线，所以与共线，则，即，解得.
故答案为：D.
【分析】根据向量的线性运算先求，再根据向量共线定理列方程求解即可.
4．（2025高一下·高邮期中）的值等于（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
，
因为，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式，结合同角三角函数基本关系以及的大小关系、诱导公式化简求值即可.
5．（2025高一下·高邮期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：设，，
，
因为，所以，
则，即，解得.
故答案为：D.
【分析】设，，根据向量的线性运算化简求值即可.
6．（2025高一下·高邮期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：要使有两组解，需满足，即，，
则a的值可以为8.
故答案为：B.
【分析】根据有两组解，可得，据此求解即可.
7．（2025高一下·高邮期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
整理可得，即，
由余弦定理可得，
则，当且仅当，即时等号成立，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】先利用正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理可得，最后根据基本不等式求最值即可.
8．（2025高一下·高邮期中）在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为D为的中点，所以，所以
以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
由，可得，，
设，则，
，故的最小值为.
故答案为：D.
【分析】由D为的中点，可得，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合向量数量积的坐标运算求的最小值即可.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·高邮期中）下列有关向量的说法，正确的有（　　）
A．若是等边三角形，则向量，的夹角为60°
B．两个非零向量，若，则与共线且反向
C．若，，则可作为平面向量的一组基底
D．已知非零向量，满足，则A，B，C，D四点构成一个梯形
【答案】B,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A、是等边三角形，，
由向量夹角的定义可知，，的夹角为120°，故A错误；
B、两边平方可得，即，
则，因为，所以，则与共线且反向，故B正确；
C、，则与不共线，即可作为平面向量的一组基底，故C正确；
D、由，则，则直线或四点共线，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量夹角的定义，可得，的夹角为120°即可判断A；将两边同时平方可得，再根据向量共线定理即可判断B；利用向量共线的坐标运算求解即可判断C；由向量共线可得所在直线平行或共线即可判断D.
10．（2025高一下·高邮期中）已知，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：A、，整理可得，即，故A正确；
B、，故B正确；
C、因为，则，可得，
可知可能为第一、二、三，四象限，即的符号无法判断，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】化简，利用同角三角函数基本关系求解即可判断A；根据两角差的正切公式求解即可判断B；根据象限角的符号性分析即可判断C；利用余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的商关系化简求值即可判断D.
11．（2025高一下·高邮期中）如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（　　）
A．四边形ABCD的面积为
B．该外接圆的半径为
C．过D作交BC于F点，则
D．
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、连接，如图所示：
，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
则，且，
则，即，
则四边形的面积
，故A错误；
B、该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为，
在中，由正弦定理可得，即，故B正确；
C、由题意可得：，
过作，垂足，则为的中点，可得，
在方向上的投影向量即为，则，故C正确；
D、过作，垂足，则为的中点，可得，
过作，垂足，可得，
故，即在方向上的投影向量为，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】连接，由题意可得，在中，利用余弦定理结合圆的性质可得，进而求得，，再利用，结合三角形面积公式求解即可判断A；由题意可知四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为，利用正弦定理求外接圆半径即可判断B；根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，即可判断C；根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．（2025高一下·高邮期中）已知向量，的夹角为45°，且，，则　 　.
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：向量，的夹角为45°，且，，
则
.
故答案为：.
【分析】根据向量的数量积，结合向量的模公式求解即可.
13．（2025高一下·高邮期中）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
则．
故答案为：.
【分析】由题意，利用诱导公式，结合余弦的二倍角公式化简求值即可.
14．（2025高一下·高邮期中）在非钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是的重心且，则角　 　；若，，则　 　.
【答案】；2
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，
整理可得，
显然，则，即，
又因为，可得；
因为点P是的重心，则，
两边平方可得，
即，整理可得，解得.
故答案为：；2.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简求得，即可得角A；由点是的重心，可得，将其两边平方，结合向量数量积运算律求解即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·高邮期中）已知，，其中，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）解：由，，可得，，
则 ；
（2）解：因为，，所以，所以，
则，
因为，所以.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求和，再利用正切的二倍角化简求值即可；
（2）利用同角三角函数的基本关系求，再根据，结合两角差的正弦公式求值即可.
（1），，
.
（2），，所以
16．（2025高一下·高邮期中）已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量（用坐标表示）.
【答案】（1）解：法一：，设，
因为，所以，解得，则或；
法二：设，由且，可得，解得或，
则或；
（2）解：因为与垂直，所以，所以，
则，解得，
则向量在方向上的投影向量.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）法一：设，利用向量模的坐标表示列式求解即可；
法二：设，根据且，列方程组，求得的值，即可得向量的坐标；
（2）根据与垂直，数量积为零，列出方程求得，再根据投影向量的计算公式求解即可.
（1）解：法一：因为，可设，
因为，可得，解得，
所以或.
法二：设，
因为且，可得，解得或，
所以或.
（2）解：因为与垂直，可得，
所以，可得，解得，
所以向量在方向上的投影向量.
17．（2025高一下·高邮期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
（1）求线段AC的长度；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由，可得，即，解得，
在中，由余弦定理得，
则；
（2）解：在中，由正弦定理，可得，解得，
因为，所以，
在中，由正弦定理，可得，则.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据，利用面积公式求得，再利用助余弦定理求线段的长度即可；
（2）在中，利用正弦定理求，再根据可得，再在中，利用正弦定理求即可.
（1），，
，，
在中，由余弦定理得：
，；
（2）在中，由正弦定理得：，
，，
，，
在中，由正弦定理得：，
，.
18．（2025高一下·高邮期中）已知函数的最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程在区间上有相异两解，.
①求实数m的取值范围；
②当时，函数取最大值，设，求.
【答案】（1）解：，
因为的最小正周期为，且，所以，解得，
则；
（2）解：①由，即，
关于x的方程在区间上有相异两解，，
也即函数与的图象在区间上有两个交点，
由，得，
又在上单调递增，在上单调递减，
作出在区间上的图象，如图所示：
由图可知，要使函数与的图象在区间上有两个交点，
则有，所以实数m的取值范围.
②解法一：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则有，所以，
则有，即，
也即，整理得，所以，
故
解法二：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则有，所以，
，其中，
则当，即时，取最大值，
则，
则有
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的图象；辅助角公式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用正弦、余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简求得，再根据最小正周期得到，即可得到函数的解析式；
（2）①、由，可得，问题转化为与的图象在区间上有两个不同的交点，求出，画出在区间上的图象，数形结合得到；
②解法一：由对称性可得，所以，则有，从而得到方程，平方求出，所以，由三角恒等变换得到；
解法二：由对称性可得，所以，由辅助角公式得到时，取最大值，则，由三角恒等变换得到.
（1）由题
，
因为的最小正周期为，且，所以，解得，
所以；
（2）①由，即，
关于x的方程在区间上有相异两解，，
也即函数与的图象在区间上有两个交点，
由，得，
又在上单调递增，在上单调递减，
作出在区间上的图象如图，
由图可知，要使函数与的图象在区间上有两个交点，
则有，所以实数m的取值范围.
②解法一：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则有，所以，
则有，即，
也即，整理得，所以，
故
解法二：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则有，所以，
，其中，
则当，即时，取最大值，
则，
则有
19．（2025高一下·高邮期中）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若，求的值；
（3）若，，求实数的最小值.
【答案】（1）解：，
由正弦定理得，
即，
即，即，即，
又因为，所以，得；
（2）解：由，整理可得①，
由余弦定理得②，
联立①②得，由且点为的费马点，
则，
故，
化简得：，即；
（3）解：设，，，
在，，中，由余弦定理得，
，
，
因为，所以，则，即，
由，则，
故，即，解得或（舍去），
当且仅当且且，解得时等号成立，
故实数的最小值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和、差的正弦公式以及辅助角公式化简计算即可；
（2）由，整理可得①，由余弦定理可得②，联立求得，再利用费马点和三角形面积公式化简即可；
（3）设，，，通过代入余弦定理化简，通过题意代入化简，用重要不等式进行求解最小值即可.
（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，所以，
即，又所以，得；
（2）由即①，
由余弦定理得②，
由①②得，由且点为的费马点，
则，
故，
化简得：，
即；
（3）设，，，
在，，中，由余弦定理得，
，
，
又则得，，
即，
由，则，
故，
即有，解得或（舍去），
当且仅当且且，解得时，等号成立，
故实数的最小值为.
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