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广西来宾市忻城县高级中学与柳州市普通高中2024-2025学年高一下学期2月开学检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·忻城开学考）已知全集为，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·忻城开学考）若，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·忻城开学考）为了得到的图象，只需把余弦曲线上所有的点（　　）
A．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变
B．纵坐标变为原来的，横坐标不变
C．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D．横坐标变为原来的，纵坐标不变
4．（2025高一下·忻城开学考）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2025高一下·忻城开学考）已知，且，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025高一下·忻城开学考）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，若扇环所在圆的圆心角，则扇环的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·忻城开学考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·忻城开学考）已知函数，则满足的实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·忻城开学考）下列说法正确的是（　　）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数与函数的图象关于直线对称
C．函数与函数是同一函数
D．函数在上的值域为
10．（2025高一下·忻城开学考）下列有关最值的结论正确的是（　　）
A．当时，函数的最小值为2
B．若均为正数，且，则的最小值为4
C．若均为正数，且，则的最小值为1
D．若均为正数，且，则的最小值为2
11．（2025高一下·忻城开学考）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到哈尔滨赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如大滑梯 摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面的高度为，最低点离地面的高度为，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周的时间约为.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面高度为与的关系可以用如下解析式体现：，则下列说法正确的是（　　）
A．摩天轮的轮盘直径为
B．关于的函数解析式为
C．关于的函数解析式为
D．游客乘坐摩天轮一周的过程中，有离地面高度超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·忻城开学考）计算：　 　.
13．（2025高一下·忻城开学考）若函数的最小正周期为，则　 　.
14．（2025高一下·忻城开学考）已知函数是上的增函数，则的取值范围为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明 证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·忻城开学考）已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16．（2025高一下·忻城开学考）已知.
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值.
17．（2025高一下·忻城开学考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间.
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
18．（2025高一下·忻城开学考）已知函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围.
19．（2025高一下·忻城开学考）一般地，设函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形.已知函数.
（1）计算的值，并求的对称中心.
（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.
（3）若，将区间分成等分，记等分点的横坐标分别为，问：是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】A，集合并不是集合的子集，A错误.
B，集合并不是集合的子集，B错误.
C，，C正确.
D，由题设，D错误.
故答案为：C
【分析】根据集合的包含关系定义和交、并、补运算规则，逐一分析各选项的正误。
2．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：指数函数单调递增，，，即，
对数函数为减函数，，则.
故答案为：C.
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，结合中间值比较大小即可.
3．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的横坐标伸缩变换规律，分析y=cosx到y=cos2x的变换方式。
4．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上的奇函数，，
所以，所以，
又，所以函数是周期为的周期函数，
则.
故答案为：A.
【分析】先利用奇函数性质求出f(0)和f(1)，再根据周期性将f(2025)、f(2026)转化为周期内的函数值，最后求和。
5．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】A，由，得，故A错误；
B、C，由，得，又，
所以，故B正确，C错误；
D，，故D错误.
故答案为：B
【分析】先对已知分式进行弦化切变形，求出tanα，再结合同角三角函数平方关系及α的范围求sinα、cosα，最后用二倍角公式验证cos2α，逐一判断选项。
6．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，设扇环所在圆的圆心为，
圆心角，
根据，得到，
所以扇环面积.
故答案为：A.
【分析】先利用弧长公式求出扇环的内外半径，再根据扇环面积公式（大扇形面积减小扇形面积）计算面积。
7．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得，即，
联立，解得，
则，.
故答案为：D.
【分析】将两边平方，结合正弦的二倍角求出，联立求，即可求得，再利用两角和的正弦公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；不等式的解集
【解析】【解答】解：令定义域为，满足，且则为奇函数，
因为函数在上均为增函数，所以函数在上为增函数，
又因为，
所以原不等式可转化为，即，
由单调性可得，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】构造函数求定义域，利用奇偶性判断函数的奇偶性，再分析判断函数的单调性，利用奇偶性、单调性将不等式转化为，求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：A，因为的定义域为，所以，解得，
故的定义域为，故A正确.
B，函数与函数的图象关于直线对称，故B错误.
C，函数与函数定义域、对应关系、值域均相同，是同一函数，故C正确.
D，在上单调递减，在上单调递增，
故，故值域为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】分别根据复合函数定义域、反函数图象关系、同一函数的判定条件、二次函数值域的知识点，逐一分析选项正误。
10．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】A，当时，则，当且仅当，即时等号成立，
故当时，函数的最大值为，A错误.
B，因为均为正数，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，B正确.
C，若均为正数，且，由基本不等式得，
得，即，得，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为1，C正确.
D，若均为正数，且，则，得，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，D正确.
故答案为：BCD
【分析】结合基本不等式的使用条件（一正、二定、三相等），对每个选项分别变形后求最值，验证等号成立条件，判断结论正误。
11．【答案】A,B,D
【知识点】三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】A，因为摩天轮最高点离地面的高度为130m，最低点离地面的高度为10m，
所以摩天轮的轮盘直径为，故A正确；
B、C，因为，则，
令，则，由，解得，
所以，故B正确，C错误；
D，，
当离地面的高度超过40m时，即，则，
即，解得，又，
所以，所以游客有16min时间离地面的高度超过40m，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】先根据摩天轮的高低点求振幅、平衡位置，结合周期求角频率ω，再利用初始条件确定相位φ，得到函数解析式；最后解三角不等式求高度超 40m 的时间，逐一判断选项。
12．【答案】
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】根据有理数指数幂的运算性质（负指数、零指数、分数指数）和根式与指数幂的互化，分步化简计算式子。
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
即.
故答案为：.
【分析】先根据正切型函数的周期公式求出，得到函数解析式后，代入计算函数值。
14．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，是增函数，所以，即.
当时，也是增函数，故.
当时，代入得，代入得，
所以要使函数在上是增函数，
则解得，即的取值范围为.
故答案为：
【分析】根据分段函数单调递增的条件：各段函数分别递增，且左段在分界点的函数值不大于右段在分界点的函数值，列不等式组求解a的取值范围。
15．【答案】（1）解：当时，，又，
所以或，则.
（2）解：因为或，又，且，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】(1) 先代入求出集合，再求的补集，最后计算交集；
(2) 由，结合集合的范围列不等式组求解的取值范围。
（1）当时，，又，
所以或，则.
（2）因为或，又，且，
所以，解得，故实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：，
故.
（2）解：由（1）知，则，
又，则，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1) 利用三角函数诱导公式化简的表达式，再代入求值；
(2) 先由和求出、，再结合同角三角函数关系得、，最后用差角余弦公式求。
（1），故.
（2）由（1）知，则，
又，则，
.
17．【答案】（1）解：由题意得，
，
，
所以函数的最小正周期为.
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：将函数的图象先向左平移个单位长度，
得到，
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，
令，因为，所以，
则，由正弦函数性质得在上单调递减，
在上单调递增，所以当时，此时，
即时，，
当时，此时，即时，.
故当时，函数的值域为.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先利用两角差的正弦公式和二倍角公式化简f(x)为正弦型函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间；
(2) 按图象平移、伸缩变换规则得到g(x)解析式，结合x的取值范围确定内层函数的范围，进而求值域。
（1）由题意得，
，
，
所以函数的最小正周期为.
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，
得到，
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，
令，因为，所以，
则，由正弦函数性质得在上单调递减，
在上单调递增，所以当时，此时，
即时，，
当时，此时，即时，.
故当时，函数的值域为.
18．【答案】（1）解：；
（2）解：函数是奇函数.
证明：因为的定义域为，
所以任取，则，
所以，
所以函数是奇函数；
（3）解：由（2）知是奇函数，所以
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以方程在上有两个不同的实根，
即在上有两个不同的解.
令，则在上有两个不同的正解，
即直线与函数的图象有两个不同的交点，
画出与的图象，
如图所示，可得，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；对数的性质与运算法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 利用指数与对数的运算性质代入求值；
(2) 根据函数奇偶性的定义，先判断定义域，再验证f( x)与 f(x)的关系；
(3) 利用奇函数的性质化简方程，通过换元法转化为二次函数零点问题，结合图象求参数范围。
（1）；
（2）函数是奇函数.
证明：因为的定义域为，
所以任取，则，
所以，
所以函数是奇函数；
（3）由（2）知是奇函数，所以
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以方程在上有两个不同的实根，
即在上有两个不同的解.
令，则在上有两个不同的正解，
即直线与函数的图象有两个不同的交点，
画出与的图象，
如图所示，可得，
所以实数的取值范围为.
19．【答案】（1）解：因为，所以，
所以的对称中心为点.
（2）解：因为的定义域为，
所以的解集为全体实数.
若，则，解集为，不符合题意；
若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
（3）解：当时，，，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
因为的图象关于点对称，且区间关于对称，
所以
所以
，
所以，解得，
所以存在正整数符合题意.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1) 代入解析式计算，再根据中心对称定义求对称中心；
(2) 对数函数定义域为转化为二次函数恒正问题，结合判别式求解；
(3) 先求的最小值，再利用的中心对称性求求和式的值，结合不等式确定的取值。
（1）因为，
所以，
所以的对称中心为点.
（2）因为的定义域为，
所以的解集为全体实数.
若，则，解集为，不符合题意；
若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
（3）当时，，，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
因为的图象关于点对称，且区间关于对称，
所以
所以
，
所以，解得，
所以存在正整数符合题意.
1 / 1广西来宾市忻城县高级中学与柳州市普通高中2024-2025学年高一下学期2月开学检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·忻城开学考）已知全集为，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】A，集合并不是集合的子集，A错误.
B，集合并不是集合的子集，B错误.
C，，C正确.
D，由题设，D错误.
故答案为：C
【分析】根据集合的包含关系定义和交、并、补运算规则，逐一分析各选项的正误。
2．（2025高一下·忻城开学考）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：指数函数单调递增，，，即，
对数函数为减函数，，则.
故答案为：C.
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，结合中间值比较大小即可.
3．（2025高一下·忻城开学考）为了得到的图象，只需把余弦曲线上所有的点（　　）
A．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变
B．纵坐标变为原来的，横坐标不变
C．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D．横坐标变为原来的，纵坐标不变
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的横坐标伸缩变换规律，分析y=cosx到y=cos2x的变换方式。
4．（2025高一下·忻城开学考）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上的奇函数，，
所以，所以，
又，所以函数是周期为的周期函数，
则.
故答案为：A.
【分析】先利用奇函数性质求出f(0)和f(1)，再根据周期性将f(2025)、f(2026)转化为周期内的函数值，最后求和。
5．（2025高一下·忻城开学考）已知，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】A，由，得，故A错误；
B、C，由，得，又，
所以，故B正确，C错误；
D，，故D错误.
故答案为：B
【分析】先对已知分式进行弦化切变形，求出tanα，再结合同角三角函数平方关系及α的范围求sinα、cosα，最后用二倍角公式验证cos2α，逐一判断选项。
6．（2025高一下·忻城开学考）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，若扇环所在圆的圆心角，则扇环的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，设扇环所在圆的圆心为，
圆心角，
根据，得到，
所以扇环面积.
故答案为：A.
【分析】先利用弧长公式求出扇环的内外半径，再根据扇环面积公式（大扇形面积减小扇形面积）计算面积。
7．（2025高一下·忻城开学考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得，即，
联立，解得，
则，.
故答案为：D.
【分析】将两边平方，结合正弦的二倍角求出，联立求，即可求得，再利用两角和的正弦公式求解即可.
8．（2025高一下·忻城开学考）已知函数，则满足的实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；不等式的解集
【解析】【解答】解：令定义域为，满足，且则为奇函数，
因为函数在上均为增函数，所以函数在上为增函数，
又因为，
所以原不等式可转化为，即，
由单调性可得，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】构造函数求定义域，利用奇偶性判断函数的奇偶性，再分析判断函数的单调性，利用奇偶性、单调性将不等式转化为，求解即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·忻城开学考）下列说法正确的是（　　）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数与函数的图象关于直线对称
C．函数与函数是同一函数
D．函数在上的值域为
【答案】A,C
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：A，因为的定义域为，所以，解得，
故的定义域为，故A正确.
B，函数与函数的图象关于直线对称，故B错误.
C，函数与函数定义域、对应关系、值域均相同，是同一函数，故C正确.
D，在上单调递减，在上单调递增，
故，故值域为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】分别根据复合函数定义域、反函数图象关系、同一函数的判定条件、二次函数值域的知识点，逐一分析选项正误。
10．（2025高一下·忻城开学考）下列有关最值的结论正确的是（　　）
A．当时，函数的最小值为2
B．若均为正数，且，则的最小值为4
C．若均为正数，且，则的最小值为1
D．若均为正数，且，则的最小值为2
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】A，当时，则，当且仅当，即时等号成立，
故当时，函数的最大值为，A错误.
B，因为均为正数，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，B正确.
C，若均为正数，且，由基本不等式得，
得，即，得，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为1，C正确.
D，若均为正数，且，则，得，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，D正确.
故答案为：BCD
【分析】结合基本不等式的使用条件（一正、二定、三相等），对每个选项分别变形后求最值，验证等号成立条件，判断结论正误。
11．（2025高一下·忻城开学考）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到哈尔滨赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如大滑梯 摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面的高度为，最低点离地面的高度为，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周的时间约为.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面高度为与的关系可以用如下解析式体现：，则下列说法正确的是（　　）
A．摩天轮的轮盘直径为
B．关于的函数解析式为
C．关于的函数解析式为
D．游客乘坐摩天轮一周的过程中，有离地面高度超过
【答案】A,B,D
【知识点】三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】A，因为摩天轮最高点离地面的高度为130m，最低点离地面的高度为10m，
所以摩天轮的轮盘直径为，故A正确；
B、C，因为，则，
令，则，由，解得，
所以，故B正确，C错误；
D，，
当离地面的高度超过40m时，即，则，
即，解得，又，
所以，所以游客有16min时间离地面的高度超过40m，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】先根据摩天轮的高低点求振幅、平衡位置，结合周期求角频率ω，再利用初始条件确定相位φ，得到函数解析式；最后解三角不等式求高度超 40m 的时间，逐一判断选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·忻城开学考）计算：　 　.
【答案】
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】根据有理数指数幂的运算性质（负指数、零指数、分数指数）和根式与指数幂的互化，分步化简计算式子。
13．（2025高一下·忻城开学考）若函数的最小正周期为，则　 　.
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
即.
故答案为：.
【分析】先根据正切型函数的周期公式求出，得到函数解析式后，代入计算函数值。
14．（2025高一下·忻城开学考）已知函数是上的增函数，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，是增函数，所以，即.
当时，也是增函数，故.
当时，代入得，代入得，
所以要使函数在上是增函数，
则解得，即的取值范围为.
故答案为：
【分析】根据分段函数单调递增的条件：各段函数分别递增，且左段在分界点的函数值不大于右段在分界点的函数值，列不等式组求解a的取值范围。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明 证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·忻城开学考）已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，又，
所以或，则.
（2）解：因为或，又，且，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】(1) 先代入求出集合，再求的补集，最后计算交集；
(2) 由，结合集合的范围列不等式组求解的取值范围。
（1）当时，，又，
所以或，则.
（2）因为或，又，且，
所以，解得，故实数的取值范围为.
16．（2025高一下·忻城开学考）已知.
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：，
故.
（2）解：由（1）知，则，
又，则，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1) 利用三角函数诱导公式化简的表达式，再代入求值；
(2) 先由和求出、，再结合同角三角函数关系得、，最后用差角余弦公式求。
（1），故.
（2）由（1）知，则，
又，则，
.
17．（2025高一下·忻城开学考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间.
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【答案】（1）解：由题意得，
，
，
所以函数的最小正周期为.
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：将函数的图象先向左平移个单位长度，
得到，
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，
令，因为，所以，
则，由正弦函数性质得在上单调递减，
在上单调递增，所以当时，此时，
即时，，
当时，此时，即时，.
故当时，函数的值域为.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先利用两角差的正弦公式和二倍角公式化简f(x)为正弦型函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间；
(2) 按图象平移、伸缩变换规则得到g(x)解析式，结合x的取值范围确定内层函数的范围，进而求值域。
（1）由题意得，
，
，
所以函数的最小正周期为.
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，
得到，
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，
令，因为，所以，
则，由正弦函数性质得在上单调递减，
在上单调递增，所以当时，此时，
即时，，
当时，此时，即时，.
故当时，函数的值域为.
18．（2025高一下·忻城开学考）已知函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围.
【答案】（1）解：；
（2）解：函数是奇函数.
证明：因为的定义域为，
所以任取，则，
所以，
所以函数是奇函数；
（3）解：由（2）知是奇函数，所以
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以方程在上有两个不同的实根，
即在上有两个不同的解.
令，则在上有两个不同的正解，
即直线与函数的图象有两个不同的交点，
画出与的图象，
如图所示，可得，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；对数的性质与运算法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 利用指数与对数的运算性质代入求值；
(2) 根据函数奇偶性的定义，先判断定义域，再验证f( x)与 f(x)的关系；
(3) 利用奇函数的性质化简方程，通过换元法转化为二次函数零点问题，结合图象求参数范围。
（1）；
（2）函数是奇函数.
证明：因为的定义域为，
所以任取，则，
所以，
所以函数是奇函数；
（3）由（2）知是奇函数，所以
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以方程在上有两个不同的实根，
即在上有两个不同的解.
令，则在上有两个不同的正解，
即直线与函数的图象有两个不同的交点，
画出与的图象，
如图所示，可得，
所以实数的取值范围为.
19．（2025高一下·忻城开学考）一般地，设函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形.已知函数.
（1）计算的值，并求的对称中心.
（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.
（3）若，将区间分成等分，记等分点的横坐标分别为，问：是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以的对称中心为点.
（2）解：因为的定义域为，
所以的解集为全体实数.
若，则，解集为，不符合题意；
若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
（3）解：当时，，，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
因为的图象关于点对称，且区间关于对称，
所以
所以
，
所以，解得，
所以存在正整数符合题意.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1) 代入解析式计算，再根据中心对称定义求对称中心；
(2) 对数函数定义域为转化为二次函数恒正问题，结合判别式求解；
(3) 先求的最小值，再利用的中心对称性求求和式的值，结合不等式确定的取值。
（1）因为，
所以，
所以的对称中心为点.
（2）因为的定义域为，
所以的解集为全体实数.
若，则，解集为，不符合题意；
若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
（3）当时，，，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
因为的图象关于点对称，且区间关于对称，
所以
所以
，
所以，解得，
所以存在正整数符合题意.
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