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广东省深圳外国语学校高中园2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1．（2025高二下·深圳期中）的值为（　　）
A．60 B．40 C．35 D．20
2．（2025高二下·深圳期中）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　）
A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关
3．（2025高二下·深圳期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．（2025高二下·深圳期中）已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（　　）
2 4 6 8 10
6 5 4 3 2
A． B． C． D．
5．（2025高二下·深圳期中）下列说法不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·深圳期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
7．（2025高二下·深圳期中）已知口袋中有个黑球和个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·深圳期中）已知，随机变量，若，则的值为（　　）
A．81 B．242 C．243 D．80
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·深圳期中）对变量和的一组样本数据，，…，进行回归分析，建立回归模型，则（　　）
A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
B．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
C．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点
D．若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系
10．（2025高二下·深圳期中）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
0 1 2
且，则下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高二下·深圳期中）下列说法正确的是（　　）
A．被7除后的余数为5
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则
D．从正方体的八个顶点中任取四个顶点，这四点能构成三棱锥的个数为58
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二下·深圳期中）已知随机变量，若，则　 　.
13．（2025高二下·深圳期中）某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有　 　种排法（数字作答）
14．（2025高二下·深圳期中）某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表：
是大绿书的用户 不是大绿书的用户
男性
女性
若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为　 　.（参考公式：，其中）
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分.
15．（2025高二下·深圳期中）（1）解方程：（）.
（2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？
16．（2025高二下·深圳期中）深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：
12 12.5 13 13.5 14
14 13 11 9 8
（1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值.
（2）计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由.
参考数据：，.
参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强.
17．（2025高二下·深圳期中）在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
（1）求n的值；
（2）求的展开式中的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
18．（2025高二下·深圳期中）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
　 红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立.
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金150元，外观和内饰均为同色可以获得奖金300元，外观和内饰都异色可以获得奖金600元，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望.
19．（2025高二下·深圳期中）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】由排列数公式，组合数公式计算.
2．【答案】B
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关，
由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关.
故答案为：B
【分析】由散点可确定变量与正相关，与负相关 .
3．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的对称轴为，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的曲线特点求解即可.
4．【答案】D
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：易知，，
根据样本中心点必在线性回归直线上，将代入回归直线方程，
可得，解得.
故答案为：D.
【分析】根据表格中的数据，先求的平均值，求得样本中心点，将其代入回归直线方程求解即可.
5．【答案】C
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为且，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：因为且，所以，故D正确.
故答案为：C
【分析】由条件概率公式即可判断AC；由即可判断BD.
6．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，第n行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数.
因为只有第12项的二项式系数最大，
所以n为偶数，故，解得，
故答案为：B.
【分析】根据“杨辉三角”与二项式系数的关系，第n行中从左至右只有第12个数为，再结合组合数的性质即可求解.
7．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”，
依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有3个黑球和1个白球（除颜色外完全相同），
所以，，，，
则所求概率为.
故选：B
【分析】本题考查全概率的计算公式.设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”，根据题意分析可求出，，，，利用全概率计算公式列出式子，代入数据可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；正态分布的期望与方差；二项式系数
【解析】【解答】解：因为随机变量，则，，
因为，
则，，
所以，，解得，
令，
所以，，
故.
故答案为：B.
【分析】由正态分布的定义，则，结合二项展开式的系数，进而得到，再利用赋值法求二项式系数之和.
9．【答案】A,C,D
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于A：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A正确；
对于B：用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故B错误；
对于C：若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点，故C正确；
对于D：若和的样本相关系数，所以和成负相关，
又且接近，所以和之间具有很强的线性相关关系，
所以和之间具有很强的负线性相关关系，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】由残差、决定系数、相关系数及回归方程的性质逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：AB、由题意可得，解得，故选项AB正确，
C、，故选项C错误；
D、因为，所以，故选项D正确，
故选：ABD.
【分析】根据分布列的性质以及期望公式可得，即可判断选项A，B；根据期望的性质以及方差的性质即可判断选项C，D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，由
，
则被除的余数为，故A错误；
对于B，两位男生和两位女生随机排成一列的情况数为，
两位女生不相邻的情况数为，所以概率，故B正确；
对于C，由，则，解得，故C正确；
对于D，由正方体的八个顶点中取四个情况数为，
在正方体表面中有六个面且有六个对角面，则能构成三棱锥的个数为，故D正确.
故选：BCD.
【分析】对于A，由二项式定理可得即可判断；对于B，先全排得到总的情况数，接着利用插空法得到两女生不相邻的情况数，再计算概率即可；对于C，根据排列数与组合数公式解方程；对于D，根据组合数及对立事件计算情况数.
12．【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量，则，故，
由二项分布的方差公式可得.
故答案为：.
【分析】由二项分布的期望，方差可解.
13．【答案】1440
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法；
第二步：剩下的3个语言类节目和2个歌唱节目共5个节目全排列有种排法，
共种排法.
故答案为：1440.
【分析】根据分步乘法计数原理，结合特殊元素优先排列进行求解
14．【答案】3
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】解：用大绿书APP的用户存在性别差异，
，
即，故的最小值为3.
故答案为：.
【分析】根据卡方公式列出不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以或，
解得或，经检验符合题意.
（2）解：先把人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，
因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同的游玩方法有种.
【知识点】排列、组合的实际应用；组合数公式
【解析】【分析】（1）根据组合数的性质可得或，再解方程即可；
（2）根据分组分配原理进行求解
16．【答案】（1）解：由题可知，；
（2）解：因为，
，
故；
因为与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近，
说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系.
【知识点】众数、中位数、平均数；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）根据表格数据，结合平均值计算公式求解；
（2）根据相关系数，计算出相关量，得出 ，再与比较即可判断.
（1）由题可知，；
（2）因为，
，
故；
因为与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近，
说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系.
17．【答案】（1）解：由第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，可得，则，解得；
（2）解：二项式展开式的通项公式为，
令，解得，则常数项为；
（3）解：设第项的系数的绝对值最大，
则，即，解得且，即，
则系数的绝对值最大值的项为第7项.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数的关系，结合组合数公式求的值即可；
（2）写出展开式的通项，令，求常数项即可；
（3）设第项的系数的绝对值最大，列不等式组，求解即可.
（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，
即，即，解得.
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，解得，故常数项为.
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则，即，解得且，则，
所以系数的绝对值最大值的项为第7项.
18．【答案】（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率，
若小明取到棕色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即，
则，
，，
所以事件和事件不独立．
（2）由题意的可能取值为，，，
则外观和内饰均为同色的概率，
外观和内饰都异色的概率，
仅外观或仅内饰同色的概率，
，，，
则的分布列为：
150 300 600
则（元）．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）运用古典概型求，由条件概率公式求，再由事件独立性判断是否等于.（2）根据题意，可取，，，再求出相应的概率，列出分布列并计算期望即可.
（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率，
若小明取到棕色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即，
则，
，，
所以事件和事件不独立．
（2）由题意的可能取值为，，，
则外观和内饰均为同色的概率，
外观和内饰都异色的概率，
仅外观或仅内饰同色的概率，
，，，
则的分布列为：
150 300 600
则（元）．
19．【答案】（1）解：记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）解：设，依题意可知，，
则，
所以，
构造等比数列，
设，解得，
则，
又因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则．
（3）解：因为，，
则当时，，
所以．
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和全概率公式，从而得出第2次投篮的人是乙的概率.
（2）设，由题意可得，再根据等比数列的定义和变形法，从而判断出数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出第次投篮的人是甲的概率.
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论和等比数列的前n项和公式，从而得出的值．
（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
1 / 1广东省深圳外国语学校高中园2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1．（2025高二下·深圳期中）的值为（　　）
A．60 B．40 C．35 D．20
【答案】B
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】由排列数公式，组合数公式计算.
2．（2025高二下·深圳期中）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　）
A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关
【答案】B
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关，
由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关.
故答案为：B
【分析】由散点可确定变量与正相关，与负相关 .
3．（2025高二下·深圳期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的对称轴为，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的曲线特点求解即可.
4．（2025高二下·深圳期中）已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（　　）
2 4 6 8 10
6 5 4 3 2
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：易知，，
根据样本中心点必在线性回归直线上，将代入回归直线方程，
可得，解得.
故答案为：D.
【分析】根据表格中的数据，先求的平均值，求得样本中心点，将其代入回归直线方程求解即可.
5．（2025高二下·深圳期中）下列说法不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为且，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：因为且，所以，故D正确.
故答案为：C
【分析】由条件概率公式即可判断AC；由即可判断BD.
6．（2025高二下·深圳期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，第n行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数.
因为只有第12项的二项式系数最大，
所以n为偶数，故，解得，
故答案为：B.
【分析】根据“杨辉三角”与二项式系数的关系，第n行中从左至右只有第12个数为，再结合组合数的性质即可求解.
7．（2025高二下·深圳期中）已知口袋中有个黑球和个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”，
依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有3个黑球和1个白球（除颜色外完全相同），
所以，，，，
则所求概率为.
故选：B
【分析】本题考查全概率的计算公式.设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”，根据题意分析可求出，，，，利用全概率计算公式列出式子，代入数据可求出答案.
8．（2025高二下·深圳期中）已知，随机变量，若，则的值为（　　）
A．81 B．242 C．243 D．80
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；正态分布的期望与方差；二项式系数
【解析】【解答】解：因为随机变量，则，，
因为，
则，，
所以，，解得，
令，
所以，，
故.
故答案为：B.
【分析】由正态分布的定义，则，结合二项展开式的系数，进而得到，再利用赋值法求二项式系数之和.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·深圳期中）对变量和的一组样本数据，，…，进行回归分析，建立回归模型，则（　　）
A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
B．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
C．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点
D．若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系
【答案】A,C,D
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于A：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A正确；
对于B：用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故B错误；
对于C：若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点，故C正确；
对于D：若和的样本相关系数，所以和成负相关，
又且接近，所以和之间具有很强的线性相关关系，
所以和之间具有很强的负线性相关关系，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】由残差、决定系数、相关系数及回归方程的性质逐项判断即可.
10．（2025高二下·深圳期中）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
0 1 2
且，则下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：AB、由题意可得，解得，故选项AB正确，
C、，故选项C错误；
D、因为，所以，故选项D正确，
故选：ABD.
【分析】根据分布列的性质以及期望公式可得，即可判断选项A，B；根据期望的性质以及方差的性质即可判断选项C，D.
11．（2025高二下·深圳期中）下列说法正确的是（　　）
A．被7除后的余数为5
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则
D．从正方体的八个顶点中任取四个顶点，这四点能构成三棱锥的个数为58
【答案】B,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，由
，
则被除的余数为，故A错误；
对于B，两位男生和两位女生随机排成一列的情况数为，
两位女生不相邻的情况数为，所以概率，故B正确；
对于C，由，则，解得，故C正确；
对于D，由正方体的八个顶点中取四个情况数为，
在正方体表面中有六个面且有六个对角面，则能构成三棱锥的个数为，故D正确.
故选：BCD.
【分析】对于A，由二项式定理可得即可判断；对于B，先全排得到总的情况数，接着利用插空法得到两女生不相邻的情况数，再计算概率即可；对于C，根据排列数与组合数公式解方程；对于D，根据组合数及对立事件计算情况数.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二下·深圳期中）已知随机变量，若，则　 　.
【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量，则，故，
由二项分布的方差公式可得.
故答案为：.
【分析】由二项分布的期望，方差可解.
13．（2025高二下·深圳期中）某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有　 　种排法（数字作答）
【答案】1440
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法；
第二步：剩下的3个语言类节目和2个歌唱节目共5个节目全排列有种排法，
共种排法.
故答案为：1440.
【分析】根据分步乘法计数原理，结合特殊元素优先排列进行求解
14．（2025高二下·深圳期中）某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表：
是大绿书的用户 不是大绿书的用户
男性
女性
若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为　 　.（参考公式：，其中）
【答案】3
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】解：用大绿书APP的用户存在性别差异，
，
即，故的最小值为3.
故答案为：.
【分析】根据卡方公式列出不等式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分.
15．（2025高二下·深圳期中）（1）解方程：（）.
（2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？
【答案】（1）解：因为，所以或，
解得或，经检验符合题意.
（2）解：先把人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，
因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同的游玩方法有种.
【知识点】排列、组合的实际应用；组合数公式
【解析】【分析】（1）根据组合数的性质可得或，再解方程即可；
（2）根据分组分配原理进行求解
16．（2025高二下·深圳期中）深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：
12 12.5 13 13.5 14
14 13 11 9 8
（1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值.
（2）计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由.
参考数据：，.
参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强.
【答案】（1）解：由题可知，；
（2）解：因为，
，
故；
因为与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近，
说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系.
【知识点】众数、中位数、平均数；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）根据表格数据，结合平均值计算公式求解；
（2）根据相关系数，计算出相关量，得出 ，再与比较即可判断.
（1）由题可知，；
（2）因为，
，
故；
因为与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近，
说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系.
17．（2025高二下·深圳期中）在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
（1）求n的值；
（2）求的展开式中的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
【答案】（1）解：由第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，可得，则，解得；
（2）解：二项式展开式的通项公式为，
令，解得，则常数项为；
（3）解：设第项的系数的绝对值最大，
则，即，解得且，即，
则系数的绝对值最大值的项为第7项.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数的关系，结合组合数公式求的值即可；
（2）写出展开式的通项，令，求常数项即可；
（3）设第项的系数的绝对值最大，列不等式组，求解即可.
（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，
即，即，解得.
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，解得，故常数项为.
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则，即，解得且，则，
所以系数的绝对值最大值的项为第7项.
18．（2025高二下·深圳期中）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
　 红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立.
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金150元，外观和内饰均为同色可以获得奖金300元，外观和内饰都异色可以获得奖金600元，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望.
【答案】（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率，
若小明取到棕色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即，
则，
，，
所以事件和事件不独立．
（2）由题意的可能取值为，，，
则外观和内饰均为同色的概率，
外观和内饰都异色的概率，
仅外观或仅内饰同色的概率，
，，，
则的分布列为：
150 300 600
则（元）．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）运用古典概型求，由条件概率公式求，再由事件独立性判断是否等于.（2）根据题意，可取，，，再求出相应的概率，列出分布列并计算期望即可.
（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率，
若小明取到棕色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即，
则，
，，
所以事件和事件不独立．
（2）由题意的可能取值为，，，
则外观和内饰均为同色的概率，
外观和内饰都异色的概率，
仅外观或仅内饰同色的概率，
，，，
则的分布列为：
150 300 600
则（元）．
19．（2025高二下·深圳期中）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【答案】（1）解：记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）解：设，依题意可知，，
则，
所以，
构造等比数列，
设，解得，
则，
又因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则．
（3）解：因为，，
则当时，，
所以．
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和全概率公式，从而得出第2次投篮的人是乙的概率.
（2）设，由题意可得，再根据等比数列的定义和变形法，从而判断出数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出第次投篮的人是甲的概率.
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论和等比数列的前n项和公式，从而得出的值．
（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
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