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广东省佛山市顺德区德胜学校2024-2025学年高一下学期期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·顺德期中）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：C
【分析】由，再利用正弦差角公式展开计算．
2．（2025高一下·顺德期中）下列四个函数中，以为最小正周期的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，函数的最小正周期为，A不是；
对于B，函数的最小正周期为，B是；
对于C，函数的最小正周期为，C不是；
对于D，函数的最小正周期为，D不是.
故答案为：B
【分析】根据的周期公式，结合绝对值的性质可判断ABC，由的周期公式可判断D．
3．（2025高一下·顺德期中）已知向量，，若，则（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：向量，，由，得，解得，，
所以.
故答案为：B．
【分析】利用向量垂直的坐标表示，，若，则，再代入坐标计算即可.
4．（2025高一下·顺德期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（　　）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：对于A，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向左平行移动个单位长度，
得，A正确；
对于B，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向右平行移动个单位长度，
得，B错误；
对于C，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向左平行移动个单位长度，
得，C错误；
对于D，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向右平行移动个单位长度，
得，D错误.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的伸缩平移变换，逐项判断即可.
5．（2025高一下·顺德期中）已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
6．（2025高一下·顺德期中）设在 中，角 所对的边分别为 ， 若 ， 则 的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
，
所以 ，所以是直角三角形.
【分析】利用正弦定理可得 ，结合三角形内角和定理与诱导公式可得 ，从而可得结果.
7．（2025高一下·顺德期中）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，可得为中点，
又为外接圆圆心，所以，，，
又因为，所以，，
在向量上的投影为：，
则向量在向量上的投影向量为：．
故答案为：D．
【分析】利用投影向量的定义求解即可.
8．（2025高一下·顺德期中）已知均为锐角，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题可得，
因为均为锐角，两边同时除以得，
所以，
因为均为锐角，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：C．
【分析】运算三角恒等变形化简可得，再结合基本不等式求最值即可．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025高一下·顺德期中）下列各式的值为1的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：对于A，，A不是；
对于B，，B是；
对于C，，C是；
对于D，，D不是.
故答案为：BC.
【分析】对于A，利用余弦差角公式计算；对于B，由正弦二倍角公式计算；对于C，由正切和角公式计算；对于D，逆用正弦和角公式计算．
10．（2025高一下·顺德期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．是函数图象的一条对称轴
D．若，则的最小值为
【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：依题意可得，，
所以，又，解得，所以，
对于A：由图象，函数过点，即，
所以，
所以，又，所以，
所以，故A错误；
对于B：由的图象向左平移个单位长度得到，
故B正确；
对于C：因为，
所以不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】首先根据函数图象求出函数解析式即可判断A；根据三角函数变换可确定B；代入验证即可判断C；由正弦型函数图象性质可得．
11．（2025高一下·顺德期中）已知与夹角为，若且，，则的可能值为（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由，则，
整理可得，由，当且仅当时取等号，
则，解得，所以，
由，则选项AB错误，选项CD正确.
故答案为：CD.
【分析】由数量积得定义，求出，进而得到，再结合基本不等式求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·顺德期中）在中，，，，则AC的长为　 　.
【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：根据定理可得
.
故答案为：.
【分析】由余弦定理，再代入计算求解.
13．（2025高一下·顺德期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E为BC中点，若，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB=3，AD=，E为BC中点，
∴A(0，0)，B(3，0)，D(0，)，
设，，
，∴3x=3，解得x=1，∴C(1，)，
∵E为BC中点，∴，即为，
，
.
故答案为： 3.
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设，则，得到，结合中点坐标的求法，得到，再平面向量数量积的坐标运算求解.
14．（2025高一下·顺德期中）折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，设，，
，
则
，
因为，所以，所以，
则的范围为.
故答案为：.
【分析】以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合正弦函数的性质求范围即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·顺德期中）（1）化简；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）解：.
（2）解：，
由，得，而，则，
而，则，解得，
所以原式.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据化简计算即可；
（2）利用诱导公式化简原式，根据条件确定正余弦符合，再由同角三角函数关系求值．
16．（2025高一下·顺德期中）已知的周长为，且.
（1）求边的长；
（2）若的面积为，求角的度数.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为的周长为，所以，所以；
（2）解：由的面积，可得，
由（1）知，，，
由余弦定理知，
因为，所以．
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得，结合的周长求解即可；
（2）根据三角形的面积，结合（1）的结论以及余弦定理求解即可.
（1）解：由正弦定理知，
，
，
的周长为，
，
．
（2）解：的面积，
，
由（1）知，，，
由余弦定理知，
，
．
17．（2025高一下·顺德期中）设函数；
（1）写出函数的单调递增区间；
（2）若，求函数的最值及对应的的值；
（3）若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：依题意，，
由，得，
所以的单调递增区间为.
（2）解：由（1）知，当时，，
则当，即时，；
当，即时，，
所以函数的最小值为，对应，最大值为0，对应.
（3）解：不等式，
由（2）知，当时，，，
依题意，当时，恒成立，
因此且，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式降幂，结合辅助角公式化简得，再由正弦函数单调性求出单调递增区间；
（2）由题可得，则当时取得最大值，当时取得最小值，据此求解；
（3）由题可得，再求出最值，代入即可解得实数的取值范围.
（1）依题意，，
由，得，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）知，当时，，
则当，即时，；
当，即时，，
所以函数的最小值为，对应，最大值为0，对应.
（3）不等式，
由（2）知，当时，，，
依题意，当时，恒成立，
因此且，解得，
所以的取值范围为.
18．（2025高一下·顺德期中）已知：是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
（3）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设∵，且∴，解得或∴或；（2）解：∵与垂直，∴，即，∴，∴，∴与的夹角为；（3）解：与的夹角为锐角则，且与不同向共线，，解得：，若存在，使，则，，解得：，所以且，实数的取值范围是．
（1）解：设
∵，且
∴，解得或
∴或；
（2）解：∵与垂直，∴，
即，
∴，
∴，
∴与的夹角为；
（3）解：与的夹角为锐角
则，且与不同向共线，
，
解得：，
若存在，使，
则，
，解得：，
所以且，
实数的取值范围是．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量夹角的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）设，根据条件可得，再解方程组即可；（2）由题可知，进而得到，再根据求角即可；
（3）由题可知，且与不同向共线，再列不等式求解.
19．（2025高一下·顺德期中）某幢大楼前由两条小路、围成的一个角状区域，在区域内修建一个正三角形花园（如图），已知，，设.
（1）用表示，并求的最大值；
（2）问为何值时，花园出口与之间的距离最近？
【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理得，即，
则，
因此，
由，得，当时，即时，，
所以的最大值为.
（2）解：由是正三角形，得，，
由（1）知，在中，由余弦定理得
由，得，
当，即时，取最小值112，即取最小值，
所以当时，花园出口与之间的距离最近.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，再由三角恒等变形化简可得，结合正弦型函数的最值求解；
（2）由（1）知，运用余弦定理及三角恒等变形化简可得，再结合的范围求解即可．
（1）在中，，
由正弦定理得，即，
则，
因此，
由，得，当时，即时，，
所以的最大值为.
（2）由是正三角形，得，，
由（1）知，在中，由余弦定理得
由，得，
当，即时，取最小值112，即取最小值，
所以当时，花园出口与之间的距离最近.
1 / 1广东省佛山市顺德区德胜学校2024-2025学年高一下学期期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·顺德期中）（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·顺德期中）下列四个函数中，以为最小正周期的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·顺德期中）已知向量，，若，则（　　）.
A． B． C． D．
4．（2025高一下·顺德期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（　　）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
5．（2025高一下·顺德期中）已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·顺德期中）设在 中，角 所对的边分别为 ， 若 ， 则 的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
7．（2025高一下·顺德期中）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． B． C． D．
8．（2025高一下·顺德期中）已知均为锐角，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025高一下·顺德期中）下列各式的值为1的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2025高一下·顺德期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．是函数图象的一条对称轴
D．若，则的最小值为
11．（2025高一下·顺德期中）已知与夹角为，若且，，则的可能值为（　　）
A．2 B． C． D．1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·顺德期中）在中，，，，则AC的长为　 　.
13．（2025高一下·顺德期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E为BC中点，若，则　 　.
14．（2025高一下·顺德期中）折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·顺德期中）（1）化简；
（2）已知，，求的值.
16．（2025高一下·顺德期中）已知的周长为，且.
（1）求边的长；
（2）若的面积为，求角的度数.
17．（2025高一下·顺德期中）设函数；
（1）写出函数的单调递增区间；
（2）若，求函数的最值及对应的的值；
（3）若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
18．（2025高一下·顺德期中）已知：是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
（3）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
19．（2025高一下·顺德期中）某幢大楼前由两条小路、围成的一个角状区域，在区域内修建一个正三角形花园（如图），已知，，设.
（1）用表示，并求的最大值；
（2）问为何值时，花园出口与之间的距离最近？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：C
【分析】由，再利用正弦差角公式展开计算．
2．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，函数的最小正周期为，A不是；
对于B，函数的最小正周期为，B是；
对于C，函数的最小正周期为，C不是；
对于D，函数的最小正周期为，D不是.
故答案为：B
【分析】根据的周期公式，结合绝对值的性质可判断ABC，由的周期公式可判断D．
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：向量，，由，得，解得，，
所以.
故答案为：B．
【分析】利用向量垂直的坐标表示，，若，则，再代入坐标计算即可.
4．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：对于A，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向左平行移动个单位长度，
得，A正确；
对于B，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向右平行移动个单位长度，
得，B错误；
对于C，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向左平行移动个单位长度，
得，C错误；
对于D，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向右平行移动个单位长度，
得，D错误.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的伸缩平移变换，逐项判断即可.
5．【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
，
所以 ，所以是直角三角形.
【分析】利用正弦定理可得 ，结合三角形内角和定理与诱导公式可得 ，从而可得结果.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，可得为中点，
又为外接圆圆心，所以，，，
又因为，所以，，
在向量上的投影为：，
则向量在向量上的投影向量为：．
故答案为：D．
【分析】利用投影向量的定义求解即可.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题可得，
因为均为锐角，两边同时除以得，
所以，
因为均为锐角，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：C．
【分析】运算三角恒等变形化简可得，再结合基本不等式求最值即可．
9．【答案】B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：对于A，，A不是；
对于B，，B是；
对于C，，C是；
对于D，，D不是.
故答案为：BC.
【分析】对于A，利用余弦差角公式计算；对于B，由正弦二倍角公式计算；对于C，由正切和角公式计算；对于D，逆用正弦和角公式计算．
10．【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：依题意可得，，
所以，又，解得，所以，
对于A：由图象，函数过点，即，
所以，
所以，又，所以，
所以，故A错误；
对于B：由的图象向左平移个单位长度得到，
故B正确；
对于C：因为，
所以不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】首先根据函数图象求出函数解析式即可判断A；根据三角函数变换可确定B；代入验证即可判断C；由正弦型函数图象性质可得．
11．【答案】C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由，则，
整理可得，由，当且仅当时取等号，
则，解得，所以，
由，则选项AB错误，选项CD正确.
故答案为：CD.
【分析】由数量积得定义，求出，进而得到，再结合基本不等式求解.
12．【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：根据定理可得
.
故答案为：.
【分析】由余弦定理，再代入计算求解.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB=3，AD=，E为BC中点，
∴A(0，0)，B(3，0)，D(0，)，
设，，
，∴3x=3，解得x=1，∴C(1，)，
∵E为BC中点，∴，即为，
，
.
故答案为： 3.
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设，则，得到，结合中点坐标的求法，得到，再平面向量数量积的坐标运算求解.
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，设，，
，
则
，
因为，所以，所以，
则的范围为.
故答案为：.
【分析】以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合正弦函数的性质求范围即可.
15．【答案】（1）解：.
（2）解：，
由，得，而，则，
而，则，解得，
所以原式.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据化简计算即可；
（2）利用诱导公式化简原式，根据条件确定正余弦符合，再由同角三角函数关系求值．
16．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为的周长为，所以，所以；
（2）解：由的面积，可得，
由（1）知，，，
由余弦定理知，
因为，所以．
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得，结合的周长求解即可；
（2）根据三角形的面积，结合（1）的结论以及余弦定理求解即可.
（1）解：由正弦定理知，
，
，
的周长为，
，
．
（2）解：的面积，
，
由（1）知，，，
由余弦定理知，
，
．
17．【答案】（1）解：依题意，，
由，得，
所以的单调递增区间为.
（2）解：由（1）知，当时，，
则当，即时，；
当，即时，，
所以函数的最小值为，对应，最大值为0，对应.
（3）解：不等式，
由（2）知，当时，，，
依题意，当时，恒成立，
因此且，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式降幂，结合辅助角公式化简得，再由正弦函数单调性求出单调递增区间；
（2）由题可得，则当时取得最大值，当时取得最小值，据此求解；
（3）由题可得，再求出最值，代入即可解得实数的取值范围.
（1）依题意，，
由，得，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）知，当时，，
则当，即时，；
当，即时，，
所以函数的最小值为，对应，最大值为0，对应.
（3）不等式，
由（2）知，当时，，，
依题意，当时，恒成立，
因此且，解得，
所以的取值范围为.
18．【答案】（1）解：设∵，且∴，解得或∴或；（2）解：∵与垂直，∴，即，∴，∴，∴与的夹角为；（3）解：与的夹角为锐角则，且与不同向共线，，解得：，若存在，使，则，，解得：，所以且，实数的取值范围是．
（1）解：设
∵，且
∴，解得或
∴或；
（2）解：∵与垂直，∴，
即，
∴，
∴，
∴与的夹角为；
（3）解：与的夹角为锐角
则，且与不同向共线，
，
解得：，
若存在，使，
则，
，解得：，
所以且，
实数的取值范围是．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量夹角的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）设，根据条件可得，再解方程组即可；（2）由题可知，进而得到，再根据求角即可；
（3）由题可知，且与不同向共线，再列不等式求解.
19．【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理得，即，
则，
因此，
由，得，当时，即时，，
所以的最大值为.
（2）解：由是正三角形，得，，
由（1）知，在中，由余弦定理得
由，得，
当，即时，取最小值112，即取最小值，
所以当时，花园出口与之间的距离最近.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，再由三角恒等变形化简可得，结合正弦型函数的最值求解；
（2）由（1）知，运用余弦定理及三角恒等变形化简可得，再结合的范围求解即可．
（1）在中，，
由正弦定理得，即，
则，
因此，
由，得，当时，即时，，
所以的最大值为.
（2）由是正三角形，得，，
由（1）知，在中，由余弦定理得
由，得，
当，即时，取最小值112，即取最小值，
所以当时，花园出口与之间的距离最近.
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